2020春北师大版八下数学1.3线段的垂直平分线学案设计（共两课时，无答案）

2020春北师大版八下数学1.3线段的垂直平分线第1课时学案设计
课标要求：
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
学习目标：
1、通过讨论、交流，教师精讲，掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明方法．
2、通过到手操作，会用尺规作已知线段的垂直平分线．
3、通过例题、练习的学习，会用线段垂直平分线的性质定理和判定定理进行计算或证明。
学习重点：线段的垂直平分线性质定理和逆定理的应用。
学习难点：线段的垂直平分线逆定理证明和应用。
课前预习纲要：
1.什么是线段垂直平分线？
并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，简称 .
2.自学课本P 22-23
请你独立作图：
已知：线段AB(如图)．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：
根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗? 请小组进行交流．
思维提升：当我们学习了线段垂直平分线的作法时．一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的 ．
3、用尺规作已知线段AB的垂直平分线MN（垂足为C）：
符号语言：
∵　____⊥____, ____=_____.
∴MN是线段AB的垂直平分线。
判断正误：
AC=BC AB⊥MN MN⊥AB MC=NC AB是MN的垂直平分线。
课堂学习探究纲要：
一、创设情境 导入新课（1分钟）
通过多媒体，寻找新建码头的地方，引入课题。（具体见课件）
二、明确学习目标（略1分钟）
三、自主探究 合作释疑
【自主学习】：
通过预习和线段平分线的做法，找到码头所在位置。（2分钟）
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
【合作交流与探索展示】
看课本22页“想一想”上面的内容，弄清线段垂直平分线的性质定理的证明方法，并用几何语言叙述定理的内容。
探索一：定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
反思：如何用几何语言叙述定理？
探索二:
你能写出上面这个定理的逆命题吗?如果能请你把它写在下面的横线上，它是真命题吗? 如果是，请你证明它.如果假，则需用反例说明．
.
证明：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
思考：你能用哪些方法证明上面的定理？
反思：如何用几何语言叙述定理？
探索三: 怎样用尺规作线段的垂直平分线．
学生思考——到手——交流与展示
【课堂练习】
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=
2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P．
四、当堂测评，展示自我：
C层题：
1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上。
2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。
B层题：
3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数 。
4、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，
则∠EAG= 。
5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是 。
A层题：
6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
五、反思小结、整理提高
1.、线段垂直平分线的性质定理和判定定理及几何表示方法
2、本节课学习新知识用到哪些思想方法？
课后巩固与拓展纲要
C层题：
1、如右图， AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
（1）、如果△EBC的周长是24cm，那么BC=
（2）、如果BC=8cm，那么△EBC的周长是
（3）、如果∠A=28°，那么∠EBC是
2．如下图左，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是（ ）
A．∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA
C．∠B=∠BAE D．AC=2EC
3.一题多变
B层题：（1）．如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．

A层题：（2）一变：如下图所示，在△ABC中AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周长为b，求△BCE的周长．
B层题：
4．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等。

A层题：
中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。
2020春北师大版八下数学1.3线段的垂直平分线第1课时学案设计
课标要求：
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
学习目标：
1、通过讨论、交流，教师精讲，能证明三角形三边的垂直平分线相交于一点；
2、通过讨论、交流，理解三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；
3、通过例题、练习的学习，会用线段垂直平分线的性质定理和判定定理进行计算或证明。
学习重点：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形。
学习难点：会用所学知识按要求作图。
课前预习纲要：
阅读课本24至25例3以上内容，结合上一节内容的知识和动手实践，作出三角形三边垂直平分线，然后完成下列任务。
1、等腰三角形的顶点一定在 上。
2、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是 。
3、在△ABC中,AB=AC, ∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,
则∠NBC= .
4、已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线。
A B
课堂学习探究纲要：
一、创设情境 导入新课（1分钟）
通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。
二、明确学习目标（略1分钟）
三、自主探究 合作释疑
【自主学习】：
（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?
（3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点
【合作交流与探索展示】
【探究一】：
证明：如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP。
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在 内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 ；
【探究二】：
思考：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？
2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
学生思考——动手——交流与展示
四、当堂测评，展示自我：
C层题：
1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点；
B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；
D、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A、锐角三角形； B、直角三角形；
C、钝角三角形； D、不能确定
B层题：
3、等腰 Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 。
4、如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
A层题：
5、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2，
求AB与BC的长.
五、反思小结、整理提高
1.、线段垂直平分线的性质定理和判定定理及几何表示方法
2、本节课学习新知识用到哪些思想方法？
课后巩固拓展纲要
C层题：
1、判断题：
⑴三角形的任意两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.( )
⑵线段的垂直平分线上的点和这条线段的距离相等. ( )
⑶三角形三条边的垂直平分线必交于一点（ ）
⑷平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等（ ）
2、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.
B层题：
3、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3____∠4，∠5____∠6，
∠2+∠3=______°，∠1+∠4=______°，∠5+∠6=______°，
∠BOC=___ _°
4、如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.

5、如图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△________≌△________(HL)；从而BD=DC，则
△__________≌△__________(SAS)；△ABC是__________三角形.
6、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________°.
A层题：
中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段。