1.1直角三角形的性质和判定（1）课件（19张ppt）

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1.1 直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
学习目标
2.掌握直角三角形的判定.（难点）
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？

说一说
∠A +∠B =
90°
直角三角形的性质：
直角三角形两锐角互余
2.如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，
那么△ABC是直角三角形吗？
图3-58
由三角形内角和性质，∠A +∠B+∠C= 180°，因为∠A +∠B=90°，所以∠C=90°，于是△ABC是直角三角形.

有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
画一个Rt△ABC，∠ACB=90°， CD是斜边AB上的中线，并度量CD、AB、AD、BD的长度，再比较CD、AB的关系。

探究
CD= ；
AD= ；
BD= ；
AB= ；
CD= AB
你们得到了什么结论？

结论
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质定理：
是否任意一个Rt △ABC都有 成立呢？

图2
如图1，如果中线 ，即CD=AD，所以∠ACD=∠A。于是在图2中，过 Rt△ABC 的直角顶点 C 作射线 CD′交 AB 于 D′，使 ∠1 = ∠A，则有
(等角对等边)
图1

直角三角形两个角等于90°
又∵∠A +∠B = 90° ( )
∠1 +∠2 = 90°

∴ ∠B =∠2
∴ (等角对等边)
∴
∴ D′是斜边AB的中点
即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′与CD重合，并且有
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是AB的中点，连结CD，求证：







C
B
A

D


E
提示：延长CD，使得CD=DE,连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然后证△ACB≌ △EBC，得AB=CE，最后说明
求证：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

举
例
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，
求证：这个三角形是直角三角形.


如图，已知：CD是△ABC的AB边上的中线，且
求证： △ABC是直角三角形.

证明：
∵
∴ ∠1=∠A
等边对等角
∠2=∠B （ ）
又 ∵ ∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形 内角和的性质）
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°
∴ 2(∠A+∠B)=180°
∴ ∠A+∠B =90°
∴ △ABC是直角三角形( )
有两个角互余的三角形是直角三角形

结论
三角形一边上的中线等于这条边的一半的
三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
例2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
变式训练．已知，如图，BD、CE分别是△ABC的高，M、N分别是BC、DE的中点，分别连结ME，MD。
求证：MN⊥ED
变式训练：如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点，试说明：MN⊥DE.
解：连结EM、DM.
∵BD、CE是高，M是BC中点，
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，


∴EM=DM.
又∵N是ED中点，
∴MN⊥ED










N

M

D

E

B

C

A



，
，
BC
2
1
DM
BC
2
1
EM
=
=
（1）在Rt△ABC中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为???????；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A -∠B =30度，那么∠A=?????? ，∠B=?????? ；
（3）在△ABC中， ∠C=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段是_____，与∠A相等的角是_____，若∠A=35°，那么∠ECB= ______．
（4）在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．

练习



















小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?

直角三角形的性质：


直角三角形的判定：


1：直角三角形两锐角互余；
2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；

……
2：三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；

1：有一个角内角等于90°的三角形是直角三角形。
3：有两个角互余的三角形是直角三角形；
……
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD是斜边AB上的高，那么， 与∠B互余的角有????????，与∠A互余的角有????????，与∠B相等的角有????????? ，与∠A相等的角有?????????.




C
A
B
D
作业：
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF.求证:AB=AC
D
C
A
B
E
F






如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB上的中点，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB
（1）?? 求证：∠1=∠2
（2）?? 过点M作AB的垂直平分线交CD延长线于E， 求证：CM=EM
（3）?? △AEB是什么三角形？证明你的猜想
思考与探究：