沪教版高中数学高一第二学期第四章T同步《对数函数》教案

同步 对数函数 ★★
情境引入 .10min.
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成次后，得到细胞个数是分裂次数的函数，这个函数可以用指数函数 表示.
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个……细胞？已知细胞个数，如何求分裂次数？得到怎样一个新的函数？




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根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是

如果用表示自变量，用表示函数，这个函数就是
由反函数的概念，可知函数与指数函数互为反函数.
对数函数：一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
一般地，函数就是指函数的反函数，因为得值域是，所以，函数的定义域是.
问题1：当且时，比较函数与函数，它们的定义域和值域有什么关系？
答：函数的定义域、值域分别是函数的值域和定义域.
探究一：在同一坐标下画出函数与函数的图像，写出指数函数与对数函数两种之间的关系.
探索发现：函数与函数的图像关于直线对称.所以我们可以说当且时，函数与函数的图像关于直线对称.
探究二：在同一坐标下画出函数与函数的图像，并把下表填好.







图像特征 函数性质
1. 这些图像都在轴的右边. 1. 定义域是.
2. 函数图像都经过. 2. 1的对数是零.
3. 自左向右看，的图像逐渐上升；的图像逐渐下降. 3. 当底数时，是增函数；当底数时，是减函数.
典型例题 .27min.
例1. （★★）求下列函数的定义域:
（1） （2） （3）
解：（1）因为即， 所以函数的定义域为.
（2）因为，即，所以函数的定义域是.
（3）因为，即，所以函数的定义域是.
例2. （★★）比较大小：
（1）和； （2）和； （3）和，其中.
解：（1）因为对数函数在上是增函数，又，所以.
（2）因为对数函数在上是减函数，又，所以.
（3）（i）当时，因为对数函数在上是增函数，
又，所以.
（ii）当时，因为对数函数在上是减函数，
又，所以.
【小结】两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
1 确定所要考查的对数函数；
2 根据对数底数判断对数函数增减性；
3 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小；
4 若底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较大小.
例3. （★★）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），表示每分钟打出的字数（字/分）. 计算要达到20字/分、40字/分水平所需要的学习时间；（精确到“时”）.
解：用计算器计算，得时，；时，.
所以，要达到这两个水平分别需学习时间16小时和37小时.
课堂练习
1. （★★）求下列函数的定义域:
(1)，其中； (2)，.
解：（1）因为， 所以函数的定义域为.
（2）因为，即，所以函数的定义域是.
2. （★★）比较大小：
（1）和； （2）和；
（3）和，其中.
解：（1）因为对数函数在上是增函数，又，所以.
（2）因为对数函数在上是减函数，又，所以.
（3）（i）当时，因为对数函数在上是增函数，
又，所以.
（ii）当时，因为对数函数在上是减函数，
又，所以.
思考题
（★★★）若真数相同而底数不同时，又如何比较两个对数值的大小呢？ 试判断的大小.
解：
【小结】两个底数不相同时底的对数比较大小的一般步骤：
若底数不相同,可在两个对数中插入一个已知 数(如1或0等)，间接比较大小.
回顾总结 .3min.