(共38张PPT)
沪科版七年级（下册）
第6章实数
教学目标
1．掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别．
2．能用符号正确地表示一个数的平方根．
3．理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系．
教学重点和难点
重点：平方根的概念和求数的平方根．
难点：平方根与算术平方根的联系与区别．
教学设计
一、课前预习
阅读课本第2～5页内容，了解本节主要教学内容．
二、情景导入
问题1：什么数的平方是49?
问题2：平方得81的数有几个？分别是什么？
问题3：一对数互为相反数，它们的平方有什么关系？
三、新知探究
问题1：什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？
问题2：根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？
问题3：什么叫开平方？开平方与平方之间有什么关系？
强调：0的平方根是0，负数没有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数．
问题4：什么样的运算是平方运算？
问题5：你还记得1～20之间整数的平方吗？
问题6：上述问题中可以看作已知什么，求什么的问题？
问题7：你能给算术平方根下个定义吗？
解析：结合平方根的定义来解答．
解：∵2a－1＝3
∴a＝2
∴3×2－2b＋1＝9
∴b＝－1
∴4a－b＝9
∴4a－b的平方根为±3
解析：根据算术平方根的值为非负值来解答．
解：依题意得a＋7＝0，2a－3b－4＝0，
∴a＝－7，b＝－6
∴a2－20b＝(－7)2－20×(－6)＝169
∴a2－20b的算术平方根为13.
五、课堂小结
1．平方根、算术平方根的概念和性质．
2．平方根、算术平方根的应用．
1
3
4
6
0.5
正方形的面积 1 9 16 36 0.25
边长
在括号里填上适当的正数．
提示: 已知一个数的平方，求这个数的问题。
12
0.8
10
7
第一组： ( )2＝ ( )2＝144
第二组： ( )2＝100 ( )2＝0.64
第三组： ( )2＝49
( )2＝
一般地，如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
例如：
∴5 和 －5 都是25的平方根。
∴ 25的平方根是±5。
±6
3
±2
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3) 的平方根是什么?
(4)-4的平方根是什么?为什么?从上面的回答中,你发现了什么?
练习:下列说法中不正确的个数有 ( )
①0.25的平方根是0.5
②-0.5的平方 根是-0.25
③只有正数才有平方根
④0的平方根是0
C
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
正数有2个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根。
a的一个平方根是3，则另一个平方根是 ，a= 。
-3
9
3a-22和2a-3是m的两个平方根，
试求m的值。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作：
它的另一个平方根记作：
一个正数a的平方根表示为：
0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只要求出它的算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
“负数没有平方根”与“一个数的平方根不能为负数”意义是否一样？
求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是平方根。
平方与开平方是互为逆运算.
举一个实际例子吧！
例1：判断下列各数有没有平方根，如果有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方根，说明理由。
例2：求下列各数的平方根。
解： （1）
∴100的平方根是±10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
比一比
看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的
表示的数：
？
练一练：
求出下列各数的平方根
(1)225
(2)
(3)6.25
(4)
用计算器求下列各数的算术平方根
(1) 529; (2)1225; (3)44.81
思考：
你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x2＝49
（2）（x－1）2＝25
判断下列说法是否正确.
1. 的平方根是±16. ( )
2. 一定是正数. ( )
3.a2的算术平方根是a. ( )
4.若 ,则a=-5. ( )
5. . ( )
6.-6是(-6)2的平方根. ( )
7.若x2=36,则x= ( )
8.如果两个数平方后相等,那么它们的也相等
×
×
×
×
×
√
√
例. 已知 有意义,则x一定是 ( )
A.正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
例3.求下列各式的值
例. 求使 有意义x的取值范围.
例4.已知a、b满足等式 +︱b+5︱=0, 求a2-12b的算术平方根.
X≤0
补充练习；
2
13
256
≥0
-5
互为相反数
我们已学习了3种非负数，即绝对值、偶数次方、算术平方根。几个非负数的和为零，它们就同时为零，然后转化为方程（或方程组）来解。
补充练习：
……
学习小结：
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？
1.平方根的概念:
一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根.
2.平方根的性质:
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.
0的平方根还是0.
负数没有平方根.
4.算术平方根的概念:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
(共27张PPT)
沪科版七年级（下册）
第6章实数
教学目标
1．理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2．理解并掌握立方根的性质，知道开立方与立方互为逆运算，会用开立方运算求某些数的立方根，并能用立方根的性质解决实际问题．
3．能运用计算器求立方根．
教学重点和难点
重点：立方根的概念及求法．
难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某数的立方根．
一、课前预习
阅读课本第6～7页内容，了解本节主要教学内容．
二、情景导入
问题：某化工厂使用棱长1m的正方体储气罐储藏气体，现在要造一个新的正方体储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的棱长是原来正方体棱长的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
三、新知探究
问题1：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
(1)这个问题可列出什么样的计算式？
(2)你能找出一个数，使它的立方等于27吗？
(3)与平方根类比，你能给立方根下个定义吗？
问题3：正数、负数、0的立方根各有什么特点？
问题4：任意一个数a的立方根怎么表示？
(3)求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．
解析：根据立方根的定义，把各数分别化为某一个数的立方．
解析：按照计算器的按键顺序进行操作，将显示的近似值精确到0.01.
五、课堂小结
1．立方根的概念和性质．
2．用计算器求数的立方根．
如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根
1. 什么叫平方根
求一个数的平方根的运算，叫开平方
2. 数a的平方根表示为 。
3.一个正数有 平方根，这两个平方根互为 。
4.0的平方根是 。
5.负数 平方根.
两个
相反数
0
没有
∵如果x2=a，那么x是 a的平方根，
（a≥0）
5
5
=|a|
a （a≥0）
-a （a＜0）
问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？
你是怎么知道的？
思考：(1)什么数的立方等于-8？
(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？
设正方体的棱长为X㎝,则
这就是要求一个数,使它的立方等于27.
因为
所以 X=3. 正方体的棱长为3㎝
-2
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．
1.立方根的定义
一个数a的立方根可以表示为:
3是根指数，不能省略。
读作:三次根号 a
如果正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？
设正方体的边长为X,则
求一个数的立方根的运算,叫做开立方
2.立方根的性质
探究1. 根据立方根的意义填空.
因为 =8，所以8的立方根是（ ）
因为( ) =0.125,所以0.125的立方是（ ）
因为( ) ＝０，所以０的立方根是（ ）
因为( ) ＝－8，所以－8的立方根是（ ）
因为( ) ＝－ ,所以－ 的立方根是( )
0
2
-2
0
-2
你能看出正数，0，负数的立方根各有什
么特点?
正数有立方根吗？如果有，有几个?
负数呢？
零呢？
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
立方根的特征
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
被开方数 平方根 立方根
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由
x
(2) 25的平方根是5
x
(3) -64没有立方根
x
x
(5) 0的平方根和立方根都是0
√
立方根是它本身的数有那些?
有1, -1, 0
平方根是它本身的数呢?
只有0
想一想
( )
( )
( )
( )
( )
探究2
因为 = ,
= .
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗?
=
-7
-7
=
-8
-8
互为相反数的数的立方根也互为相反数
例:求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
=4
=-5
1. -216的立方根是 ，3是 的立方根
-6
27
2. 的平方根是 ， 的立方根是 。
下列语句正确的是（ ）
（A） 的立方根是2（B）-3是27的立方根
(C) 的立方根是± (D)(-1)2 的立方根是-1
A
课堂练习
2.你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x3＝729 （2）（x－1）3＝125
解:
∴x＝9
∴x-1＝5
X=6
（3）
（4）
∴X＝66
∴x＝8
(1)1的平方根是______；立方根为______；算术平方根为_________．
(2)平方根是它本身的数是__________．
(3)立方根是其本身的数是___________．
(4)算术平方根是其本身的数是________．
(5) 的立方根为 .
(6) 的平方根为 .
(7) 的立方根为 .
±1
1
1
0
±1 , 0
1 , 0
-2
-2
±2
若一个数的平方根为±8，则这个数的立方根
是 。
3. 若a2=（-5）2，b3=（-5）3，则a+b的值为 。
2. 如果一个数的立方根等于这个数的算术平方根，
那么这个数是（ ）
（A）0 （B）0或1 （C）1 （D）±1或0
5. 若x2-9=0，y3+27=0，则点P（y，-x）
在第 象限
4
B
0或-10
B
二或三
例 用计算器计算
解:按键顺序为:
显示: 12.26494082
已知半径为r 的球，其体积 的计 算公式
为 ．如果甲、乙两球 体积
的比为1 ：8，则甲、乙两球的半径比为 .
R
r
乙
甲
1 : 2
……
小结
你有哪些收获？
表示方法
性质
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
负数没有平方根
0的平方根是0;
正数有两个平方根,它们是互为相反数;
求一个数的平方根的运算叫开平方；开平方与平方是互逆运算。
开方
求一个数的立方根的运算叫开立方；开立方与立方是互逆运算。
平方根 立方根
(共30张PPT)
一、课前预习
阅读课本第9～11页内容，了解本节主要教学内容．
三、新知探究
问题1：把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
问题2：所有的有理数是否都具有问题1中的数的特征，试举例说明．
问题4：实数怎样分类呢？请你用定义给实数分类．
问题5：你还记是有理数的分类吗？请你模仿有理数的分类给实数进行分类．
教师点评：
(1)任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来，所有的有限小数或无限循环小数都是有理数．
(2)无限不循环的小数叫无理数．
(3)有理数和无理数统称实数．
(4)实数的两种分类：
四、点点对接
例1：下列说法正确的是( )
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无理数是带根号的数
C．实数都是无理数
D．无理数是无限不循环小数
解析：结合无理数、实数的定义来解．
解：D
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
正实数集合{ …}
负实数集合{ …}
解析：对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为一定是无理数．
五、课堂小结
1．无理数、实数的概念．
2．实数的分类．
复习
你认识下列各数吗？
有理数的分类：
归纳
实数的分类
实数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数或
无限循环小数
无限不循环小数
你还有其它分类方法吗？
(二分法)
实数的分类
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
你知道怎样区分有理数和无理数吗？
0
负无理数
负有理数
(三分法)
归纳
例 下列各数中，哪些是有理数，哪
些是无理数？
巩固
1、下列各数 ， ， ， ，
， 中，有理数的个数有( )
A 2个 B 3个
C 4个 D 5个
2、在 ， ， ，
， ， 中，无理数分别
是 。
巩固
3、把下列各数分别填在相应的集合中：
有理数集合
无理数集合
…
…
巩固
在数轴上表示下列各数：
有理数都可以用数轴上的点表示.
探究
你有什么发现？
无理数π可以用数轴上的点表示.
O′
探究
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点表示什么？
无理数 可以用数轴上的点表示.
归纳
1、每一个有理数都可以用数轴上的点
表示；
2、每一个无理数都可以用数轴上的点
表示.
实数与数轴上的点是一一对应的.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样。
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数.
在实数范围内有：
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个正数，绝对值较大的数较大.
两个负数，绝对值大的数反而小。
巩固
4、下列命题错误的是( )
A.有最小的正数
B.没有最大的有理数
C.有绝对值最小的数
D.正分数既是有理数又是实数
巩固
5、下列结论正确的是( )
A.无限小数是无理数
B.有理数都可以表示成分数形式
C.无理数都是带根号的数
D.无理数都是无限不循环小数
巩固
6、请将数轴上是各点与下列实数对应
起来：
A
B
C
D
E
小结
1、本节课你学了什么知识?
2、你有什么体会?
实数的定义
实数的分类
实数与数轴上的点一一对应
有理数
无理数
有限小数或
无限循环小数
无限不循环小数
(二分法、三分法)
(共38张PPT)
沪科版七年级（下册）
教学目标
1．理解实数与数轴上的点一一对应．
2．会求一个实数的相反数、绝对值、倒数．
3．了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算．
教学重点和难点
重点：实数的运算法则及运算律．
难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的， 准确地进行实数范围内的运算．
一、课前预习
阅读教材第12～15页内容，了解本节主要教学内容．
三、新知探究
问题1：我们知道，每个有理数都可用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示呢？
问题2：你能在数轴上找到表示、π这样的无理数的点吗？
问题3：实数与数轴上的点之间有什么关系？
教师点评：
每一个无理数都可用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点是一一对应的关系．
当数从有理数扩充到实数以后，实数的绝对值、相反数、运算律、运算法则与有理数一样．
问题6：求一个实数的绝对值的步骤是什么？
解析：按照实数的运算法则、运算性质和运算顺序进行计算．
例2：如图，一个底面积为10πcm2的圆柱形物体，现打算将其放进一个长方体的盒子中，能放进去吗？为什么？
解析：比较圆柱体的直径与长方体的长、宽即可．
五、课堂小结
1．实数与数轴上的点一一对应．
2．实数运算．
复习
你认识下列各数吗？
有理数分类：
引入
把下列各数写成小数的形式：
有限小数
无限循环小数
有限小数和无限循环小数都是有理数
任何一个有理数都可写成有限小数和无限循环小数的形式.
探究
把下列各数写成小数的形式：
无限不循环小数
无限不循环小数叫无理数
有理数和无理数统称为实数
归纳
实数的分类
实数
有理数
无理数
整数
分数
有限小数或
无限循环小数
无限不循环小数
你还有其它分类方法吗？
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
你知道怎样区分有理数和无理数吗？
0
负无理数
负有理数
无理数也有正负之分
例1、下列各数中，哪些是有理数，哪
些是无理数？
1.圆周率
2.开不尽的方根
3.人为构造的数
常见的无理数有以下三类：
1、下列各数 ， ， ， ， ，
中，有理数的个数有( )
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
2、在 ， ， ，
， 中，无理数分别
是 。
C
3. 判断题
1. 无理数是无限小数,无限小数就是无理数
2. 无理数包括正无理数,0,负无理数.
3. 带根号的数都是无理数,不带根号的数
都是有理数
×
×
×
×
3、把下列各数分别填在相应的集合中：
有理数集合
无理数集合
…
…
巩固
4、下列命题错误的是( )
A.有最小的正数
B.没有最大的有理数
C.有绝对值最小的数
D.正分数既是有理数又是实数
5、下列结论正确的是( )
A.无限小数是无理数
B.有理数都可以表示成分数形式
C.无理数都是带根号的数
D.无理数都是无限不循环小数
A
D
引入
在数轴上表示下列各数：
有理数都可以用数轴上的点表示
探究
直径为1个单位长度的圆从原点沿
数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点
到达O′，点O′的坐标是多少？
O 1 2 3 4
O′
无理数π可以用数轴上的点表示
O′的坐标是
OO′=
π
π
1. 画一个直角三角形，使它的两条直角边
分别是3cm和4cm；
2. 用直尺量出斜边的长；
活动
3. 这三条边的平方之间有什么关系？
5cm
32+42=52
直角三角形的两条直角边
的平方和等于斜边的平方
以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点表示什么？
无理数 可以用数轴上的点表示
归纳
1、每一个有理数都可以用数轴上的点
表示；
2、每一个无理数都可以用数轴上的点
表示；
每一个实数都可用数轴上的点来表示；
实数与数轴上的点是一一对应的
数轴上的每一个点都表示一个实数；
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样。
的相反数是 ；
的相反数是 ；
的相反数是 ；
a的相反数是-a
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数.
在实数范围内有：
正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
两个正数，绝对值较大的数较大.
两个负数，绝对值大的数反而小。
例1、(1)求 的绝对值;
(2)已知一个数的绝对值是 ，
求这个数。
2、请将数轴上是各点与下列实数对应
起来：
A
B
C
D
E
3、在数轴上距离表示-2的点是 个
单位长度的数是 。
C
C
4. - 是 的相反数。π-3.14的相反
数是 。
3.14-π
3、求下列各数的相反数：
4、求下列各数的绝对值：
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ ）
5.无理数一定都带根号。（ ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
×
×
×
把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：{
（2）无理数集合：{
（3）整数集合：{
（4）负数集合：{
（5）分数集合：{
（6）实数集合：{
｝
……
小结
1、本节课你学了什么知识?
实数的定义
实数的分类
实数与数轴上的点是一一对应的
有理数
无理数
有限小数或
无限循环小数
无限不循环小数
