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9.1 第1课时 分式
分式及其基本性质
教学目标
1．理解并掌握分式有理式的概念．
2．能正确识别分式是否有意义，并掌握分式值为零的条件．
3．有理式的分类．
教学重点和难点
重点：分式的概念．
难点：分式有意义和值为零的条件．
一、课前预习
阅读课本第89～90页内容，了解本节主要教学内容．
二、情景导入
请同学们独立完成下列四个问题，并思考结果的式子有何特点．
1．面积为2平方米的长方形一边长为x米，则它的另一边长为________米．
2．一辆汽车t小时行驶s千米，则它的平均速度为________千米/小时．
3．某商品降价x%后的售价为b元，那么该商品的原价为________元．
4．一箱苹果售价为p元，总重量为m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是________元．
强调：“π”做分母时，它是数，不是字母．
解析：由分式的定义可知：①分式的分子、分母必是整式；②分式的分母中必含有字母，注意π是一个常数，而不是字母．
解：分式有：①③⑤⑥⑦
整式有：②④
解析：分式有意义，分母不为0；分式无意义，分母为0；分式值为0，则分子为0且分母不为0.
解：A
五、课堂小结
1．分式的概念及有理式分类．
2．分式的意义．
备用课件
问题1:有两块稻田,第一块是4hm2,每公顷收
水稻10500kg；第二块是3hm2,每公顷
收水稻9000kg,这两块稻田平均每公顷
收水稻 kg.
思考：
如果第一块是mhm2,每公顷收水稻akg；第二块是nhm2,每公顷收水稻bkg,这两块稻田平均每公顷收水稻 kg.
合作交流:
(1)轮船在静水中没小时走a千米,水流速
度是b千米/秒,轮船在逆水中航行s千
米需 小时.
(2)小明t小时走了10千米,则小明行走的
平均速度是 千米/小时.
(3)一件商品售价x元,利润率为a%(a>0)
则这种商品每件的成本是 元.
问题2:
以上出现的
有什么共同特征?
与我们所学过的整式有什么不同?
分式的概念
一般地,形如 (a、b是整式,且b中含
有字母,b≠0)的式子叫做分式,其中a叫
做分式的分子,b叫做分式的分母.
有理式的分类
下列代数式中,哪些是分式,哪些是整式?
点评:
区别整式与分式,关键是看分母中是否含有字母,但一些特殊的符号如π,不能看作字母.
分式的分母不能为0
知道为什么吗?
分式中字母的取值不能使分母为零,
分式中字母的取值不能使分母为零.当分母的值为零时分式就没有意义.
例.当x取何值时,分式 有意义?
解:当分母的值为0时,分式没有意义,除此之外,分式都有意义
由x-2=0
解得x=2
因而,当x≠0时,分式 有意义.
x取何值时,分式有 意义?
（2）当a取何值时，分式值为零？
（1）当a取何值时，分式无意义？
当a取何值时，分式有意义？
分式的分母中必含有字母。
分式的分母不能为零。
当分子为零，分母不为零时，
分式值为零。
谈谈这节课你的收获和体会.
(共20张PPT)
9.1第2课时
分式及其基本性质
教学目标
1．理解并掌握分式的基本性质，了解最简分式的概念．
2．会利用分式的基本性质对分式进行约分化简．
教学重点和难点
重点：掌握分式的基本性质，并对分式进行约分通分等有关计算．
难点：利用分式的基本性质，把分式化成最简分式或整式．
一、课前预习
阅读课本第91～93页内容，了解本节主要教学内容．
教师点评：
(1)分数的约分；
(2)相等；相等．
2．联想分数的约分，分式的分子与分母是单项式的如何约分？是多项式的呢？
教师点评：
(1)分式的分子、分母是单项式的， 先确定它们的公因式，再利用分式的基本性质约分；
(2)分式的分子、分母是多项式的，先把它们分解因式，再确定它们的公因式，最后利用分式的基本性质约分．
强调：约分的结果必须是最简分式或整式．
解析：(1)式中的分子从左到右除以4a2，故分母从左到右也应除以4a2；(2)式中的分母从左到右乘以x，故分子从左到右也应乘以x.
解：3b；2x2
解析：确定分子、分母的公因式，再约去公因式．
五、课堂小结
1．分式的基本性质．
2．分式的约分、最简分式．
探究:完成下面等式的填空,并说出从左到右
的变化的依据:
(1)
(2)
那么, 与 、 与 存在着怎样的关系?
分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的
整式,分式的值不变.
例1.根据分式的基本性质填空
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
x
5b
2a+2b
点评:
此题应根据分式基本性质解答,解答时,应先观察等式两边已给出的分子、分母,找出分子、分母同乘以多项式,然后再填空.注意若原分式的分子、分母是多项式,要先用括号把分子、分母括起来,再同乘以(或除以)某个整式.
例2 化简下列分式：
（１） （２）
解：（１）
（根据什么？）
（ 2 ）
像这样把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式的基本性质.
化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式.
实数a、b满足 ，
记 ， ，
比较M、N的大小。
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9.2分式的运算（第1课时）
教学目标
1．理解分式乘除的法则．
2．会用分式的乘除法则进行计算．
3．能够用分式的乘除法解决简单的实际问题．
4．理解分式乘方的法则，并进行分式乘方运算．
教学重点和难点
重点：分式的乘除法法则．
难点：分式的乘除法运算及分式的乘、除、乘方的混合运算．
一、课前预习
阅读课本第96～98页内容，了解本节主要教学内容．
1．分数的乘法法则是什么？你能类比分数的乘法法则得出分式的乘法法则吗？
2．利用分式的乘法法则计算上题．
1．想一想，分数除法如何转化成分数乘法？类似分数的除法，你能得到分式的除法法则吗？
2．利用分式除法法则计算上题．
解析：(1)两分式相乘，可以直接相乘，再约分；若分子、分母是多项式，可先进行因式分解，经约分再相乘；(2)先将分式的除法转化为分式的乘法，再进行计算．
解析：先算乘方，再把除法统一成乘法并计算．
五、课堂小结
1．分式乘除的法则及应用．
2．分式乘方的法则及应用．
交流与反思
做一做１：
２ ．
（３）
（４）
（６）
学习小结
1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？
2、在学习的过程 中你有什么体会？
备用课件
【分数的乘除法法则】
两个分数相乘,把
分子相乘的积作为积的
分子把分母相乘的积作
为积的分母
两个分数相除,把
除式的分子分母颠倒位
置后再与被除式相乘
【分式的乘除法法则】
两个分式相乘,把
分子相乘的积作为积的
分子把分母相乘的积作
为积的分母
两个分式相除,把
除式的分子分母颠倒位
置后再与被除式相乘
2-16
解(4)
12-3m
÷(m2+4m)
m2-16
12-3m(m2+4m)
(m2-16)
(12-3m)(m2+4m)
(m-4)(m+4)1
3m(m-4)(m+4)3m
解后归纳
分子或分母是多项式的分式乘除法的解题
步骤是:
①把各分式中分子或分母里的多项式分解
因式;
②除法转化为乘法;
③约分得到积的分式
解:(1)错.应改为
x 66 3
26
4x
2x 8x
(2)错.应改为
3a 2x 3a
3a
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9.2分式的运算（第1课时）
教学目标
1．分式的基本性质的应用．
2．利用分式的基本性质对分式进行通分，并正确找出最简公分母．
教学重点和难点
重点：对分式进行通分．
难点：确定最简公分母．
一、课前预习
阅读课本第99～100页内容，了解本节主要教学内容．
三、新知探究
类似分数的通分，分式的通分依据是多少？通分的关键是什么？当公式的各分母都是单项式时，如何确定最简公分母？多项式呢？
教师点评：
(1)分母都是单项式的，最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积；
(2)分母都是多项式的，先把它们分解因式，再确定最简公分母．
解析：通分的关键是确定最简公分母，注意最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数，字母因式取所有字母因式及其最高次幂．
解：x2－9
解析：先确定最简公分母再通分．
五、课堂小结
1．通分的概念．
2．最简公分母的确定．
问题1：甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?
答:甲工程队一天完成这项工程的___________,
乙工程队一天完成这项工程的______________,
两队共同工作一天完成这项工程的_____________.
问题2：2001年,2002年,2003年某地的森林
面积(单位:公顷)分别是S1，S2，S3，2003年
与2002年相比,森林面积增长率提高了多少?
答:2003年的森林面积增长率是___________,
2002年的森林面积增长率是______________,
2003年与2002年相比,森林面积增长率提高了
_______________.
这就需要我们进一步学习：
对于 ， 如何计算呢？
这是小学数学的同分母分数相加，那么你能说说同分母分数相加的加法法则吗？
同分母分数相加，分母不变，分子相加．
会分数的加减，就会分式的加减
3．猜一猜，同分母的分式应该如何加减?
1．同分母分数加减法的法则如何叙述？
【同分母的分数加减法的法则】
同分母分式加减法法则 与同分母分数加减法的法则类似
【同分母的分式加减法的法则】
计算 ：
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
例1
做一做
尝试完成下列各题：
自我发展的平台
1．计算：
和小学做分数加减一样，通分！
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
（1）异分母的分式加减法要遵守什么法则呢?
分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
分式的加减法法则：
计算 ：
解：原式=
=
=
= x + y
分母不同，先化为同分母。
例2
计算：
（1）
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减。
分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．
再来试试
计算:
例3
先乘方；再乘除；最后加减；有括号先做括号内．
计算：
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
我 们 的 收 获
(共10张PPT)
9.2分式的运算（第2课时）
教学目标
1．理解同分母分式加减法则，并能熟练地进行同分母分式加减运算．
2．理解异分母分式加减法则，并会将异分母分式转化成同分母分式，再加减．
3．掌握分式混合运算顺序，并正确进行分式混合运算．
教学重点和难点
重点：同分母分式与异分母分式的加减法则．
难点：分式的混合运算．
一、课前预习
阅读课本第101～103页内容，了解本节主要教学内容．
二、情景导入
1．甲、乙二人加工一批零件，甲单独加工零件需要a天完成，乙单独加工零件比甲多用4天完成．甲、乙二人共同加工这批零件，一天能完成这批零件的几分之几？甲比乙每天多加工几分之几？
2．随着生活水平的提高，人们对小车的拥有量越来越高，据调查，2012年、2013年、2014年某地小车的拥有量(单位：辆)分别是a1、a2、a3，2014年与2013年相比，小车拥有量增长率提高了多少？
2．类似于同分母分数的加减法，你能得出同分母分式的加减法则吗？
4．类似于异分母分数的加减法，你能得出异分母分式的加减法则吗？
5．数的混合运算有什么规则？分式的混合运算能否用类似于数的混合运算规则进行运算？
6．分式的混合运算过程中，能否使用运算律？运算结果有什么需求？
教师点评：
数的运算规则的运算律对分式的运算同样适用，但分式运算的结果必须是最简分式或整式．
解析：先算括号内的减法，再将除法变为乘方．
五、课堂小结
1．分式的加减法则．
2．分式混合运算顺序．
(共24张PPT)
教学目标
1．理解分式方程的意义．
2．掌握解分式方程的基本思路和解法．
3．理解分式方程产生增根的原因，并掌握解分式方程时验根的方法．
教学重点和难点
重点：解分式方程的基本思路和解法．
难点：理解分式方程产生增根的原因．
一、课前预习
阅读课本第105～107页内容，了解本节主要教学内容．
二、情景导入
活动1：某商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快售完．问：商厦这笔生意盈利多少元？
同学们，针对上述问题，你能设恰当的未知数，列出方程，解决上述问题吗？不妨试一试！
教师点评：
分母中含有未知数的方程叫分式方程．
3．如何将分式方程转化为整式方程？
4．分式方程两边乘以最简公分母后得到的整式方程的解是否一定是原分式方程的解？
5．想一想，为什么解得整式方程的解有的是原分式方程的解，有的又不是原分式方程的解？
6．解分式方程为什么一定要检验？如何检验？
学生回答并展示．
教师点评：
(1)解分式方程时，将方程两边都乘以最简公分母，去分母，转化为整式方程，这一变形中，若最简公分母为0，则整式方程的解就不是原分式方程的解是增根，反之，就是原分式方程的解；
(2)分式方程要验根，可以把求得的整式方程的解，直接代入最简公分母检验．
解析：分母中含未知数的方程是分式方程．
解：B
解析：把分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．
解：方程两边同乘(2x－3)(2x＋3)，得：
2x(2x＋3)－(2x－3)＝(2x－3)(2x＋3)
解得：x＝－3
检验：当x＝－3时，(2x－3)(2x＋3)≠0
∴原分式方程的解为x＝－3.
五、课堂小结
1．分式方程的概念．
2．解分式方程的基本思想和一般步骤．
3．解分式方程产生增根的原因．
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
分析：设江水的流速为v千米／时，填空：
轮船顺流航行速度为＿＿＿千米／时，逆流航行
速度为＿＿＿千米／时，顺流航行100千米所用
的时间为＿＿＿小时，逆流航行60千米所用时间
为＿＿＿小时。
20+v
20-v
像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程.
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1)分式方程的特征是什么？
分式方程的特征是分母中含有未知数.
(2)如何解分式方程？
回顾：1.什么是方程的解？
2.在解有分母的一元一次方程中怎么去分母？
例如：
我们能不能效仿有分母的一元一次方程的解
法，想办法去掉分式方程的分母，把它转化
成整式方程？
解得v=5.
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：
方程两边同乘最简公分母（20+v）（20-v） ，得
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解.
2000－100v=1200+60v
-100v－60v=1200-2000
-160v=-800
V=5
·····
所以江水流速为５千米／时.
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和
做法。
方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得
x+5=10.
解得x=5.
检验：将x=5代入原分式方程，发现这时x-5和x2-25的值都为0，相应分式无意义.所以x=5不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
为什么产生增根？
解分式方程时应进行如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解.
解分式方程，如何检验？
在去分母时，两边同乘一个含未知数的整
式，是否为０事先不知道，以致导致出现分母
为０的现象，因此，解分式方程必须检验.
例1 解分式方程
2x=3x-9
解得x=9
检验:x=9时x(x-3) ≠0,x=9是原方程的解．
分式方程
整式方程
解整式方程
检 验
转化
① ② ③
解分式方程
例2 解分式方程
解:方程两边同乘以 (x-1)(x+2), 得
化简，得x+2=3.
x(x+2)－1·(x-1)(x+2)=3
解得 x=1.
检验：x=１时(x-1)(x+2) =0,x=１不是原方程的解．原方程无解．
一化二解三检验
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
随堂练习
(2)
小 结:
1、分式方程的概念；
2、解分式方程；（一化二解三检验）
3、增根产生的原因；
4、体会数学转化的思想方法.
拓展题：你能不能自己编写一道实际应用问题，需要用分式方程来解决？
再 见!
(共20张PPT)
9.3 分式方程
第2课时
教学目标
1．会分析题意，找出等量关系．
2．掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤．
3．体会利用分式方程的数学模型解决实际问题的重要作用．
教学重点和难点
重点：利用分式方程解决实际问题．
难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系．
一、课前预习
阅读课本第107～108页内容，了解本节主要教学内容．
二、情景导入
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．
(1)你能找出这一情景中的等量关系吗？
(2)根据这一情景，你能提出哪些问题？
(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
学生回答并展示．
三、新知探究
一项工作由甲、乙两人完成，甲、乙两人单独完成这项工作所需时间比是3∶2，两人合作6天可以完成．问两人单独完成此项工作各需多少天？
1．你能根据题意，找出应用题的等量关系吗？
2．如果设甲单独完成此项工作需3x天，那么乙单独完成此项工作需要多少天？
3．你能根据等量关系列出方程并试着解你列的方程吗？
4．请检验一下，你解出的结果是否符合题意？
四、点点对接
例1：某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务．求原计划每天铺设管道多少米？
解析：先设未知数，然后找出等量关系，用含未知数的式子表示等量关系中的每个部分，列出方程．
解析：列分式方程解应用题既要验根，还要检验是否符合实际意义．
经检验，x＝50是所列方程的根，所以第二次所购杂志有(1＋20%)x＝1.2×50＝60(本)．
因为151.2－150＝1.2(元)，所以他第二次销售该杂志是赚钱，赚了1.2元．
五、课堂小结
1．列分式方程解应用题的一般步骤．
2．特别注意不能遗漏检验．
A、B两地相距40千米，甲从A地到B地，若每小
时走x千米，那么需走 小时；如果每
小时多走2千米，那么，需走 小时，这
样可比原先早 小时到达
B地。
做一做
如果分数 的分子分母同时加上同一个数后,
分数的值变为它的倒数,那么加上的这个数是
多少?
解 :设这个数为x,则可列方程 。
某车间加工1200个零件，原来每天可加工x个，则需
________天可加工完成；如果采用新工艺，工效是
原来的1.5倍，这样每天可以加工_ ____个，同样多
的零件只要用 天可加工完成；如果比原来快了
10天完成，则可列方程：
1.5x
例3：工厂生产一种电子配件，每只的成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，问这种配件每只的成本降低了多少元（精确到0.01元）？
本题等量关系是什么？
毛利润＝售价－成本
设这种电子配件每只的成本降低了x元．
25%
25%＋15%
2
成本（元） 售价（元） 毛利率
改进工艺前
改进工艺后
解 设这种电子配件每只的成本降低了x 元，改进工艺前，每只售价为2×（1+25%）=2.5（元）.由题意，得
化简，得
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的根，且符合题意.
答：每只成本降低了0.21元.
例4 照相机成像应用了一个重要原理，即 (v≠f )，其中f 表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u、v来使成像清晰，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？
分析：本题就是利用解分式方程把已知公式变形。把f、v看成已知数，u 看成未知数，解关于u 的分式方程。
解 把 f ,v 均看做已知数，解以 u 为未知数的方程：
移项，得
∴当 f ≠ v 时，
检验：因为 v , f 不为零，f ≠v,所以 是
分式方程 的根.
答：在已知 f , v 的情况下，物体到镜头的距离 u 可
以由公式 来确定.
甲、乙两人每小时共能做35个零件。甲、乙两人同时开始工作，当甲做了90个零件时，乙做了120个。问甲、乙每小时各做多少个零件？
学以致用
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:求出所列方程的解.
5.验:有二次检验.
二次检验是:
(1)是不是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
