(共31张PPT)
9.1.1 认识三角形
●教学目标
1．掌握三角形的定义，并会用字母和符号表示三角形．
2．认识三角形的内角与外角．
●教学重点和难点
会按角给三角形分类；会按边给三角形分类．
一、课前预习
阅读教材第72～75页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
展示生活中的三角形图片导入新课．
三、新知探究
探究1：三角形的定义
归纳总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形，叫做三角形．
强调：三角形的特征有：
(1)三条线段；
(2)不在同一直线上；
(3)首尾顺次连接．
探究2：三角形的有关概念
三角形的顶点：
三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
三角形的边：
组成三角形的三条线段叫做三角形的边．
三角形的角：
三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形的外角：
三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．
探究4：三角形的三线
三角形的中线：
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的角平分线：
三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线．
三角形的高：
过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫做三角形的高．
四、点点对接?
例1：如图所示，图中有几个三角形？分别表示出来，并写出它们的边和角．
分析：根据三角形的定义及构成得出结论．
解：图中有三个三角形，分别是：△ABC、△ABD、△ADC.
△ABC的三边是：AB、BC、AC，三个内角分别是：∠BAC、∠B、∠C；
△ABD的三边是：AB、BD、AD，三个内角分别是：∠BAD、∠B、∠ADB；
△ADC的三边是：AD、DC、AC，三个内角分别是：∠ADC、∠DAC、∠C；
例2：下列说法正确的是( )
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；
③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；
④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④ B．③ C．②③ D．①④
解：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.
例3：下图中，三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE＝2EC，F是CD的中点，那么阴影部分的面积是______平方厘米．
解析：因为S△ACE和S△ABE的高相等，而BE＝2EC，所以S△ABE的面积是S△ACE面积的2倍；然后连接BF，进行分析解答即可．
五、课堂小结
1．三角形的定义．
2．三角形有关的概念．
3．三角形的分类．
4．三角形的三线．
备用课件
一 情景导趣 设疑定线
1.什么叫三角形？三角形该如何表示呢？
2.什么叫三角形的边、内角、外角?
3.一个三角形有几个内角?几个外角?相邻的内角与外角是什么关系？
4.三角形按角如何分类？按边有哪几种特殊的三角形？
5.什么叫三角形的中线、角平分线和高？
二、自探合探 解决疑难
A
B
C
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫做三角形.
这三条线段就是三角形的边.
边
顶点
△ABC
自探一
A
B
C
在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角,如∠ACB.
D
三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的叫做三角形的外角.如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.
三角形的内角
三角形的外角
自探二
1. 下图中有几个三角形?并把它们表示出来.
4. ∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗?
2. 指出△ADC的三个内角、三条边.
3. ∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么?
合探一
3个
△ACD, △BCD, △ACD
∠A, ∠ADC, ∠ACD
AD,AC,CD
不能
内角
外角
不对
注意问题
1、三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制。
2、三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示。 如：△ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c。
3、一般情况下，我们把边BC叫做?A的对边，AC、AB叫?A的邻边；边AC叫?B的对边，AB、BC叫?B的邻边；你能说出?C的对边及邻边吗？
如图， 三个三角形的内角各有什么特点？
三角形可以按角来分类
锐角
三角形
直角
三角形
钝角
三角形
自探三
三个三角形的边各有什么特点？
三角形可以按边来分类
腰
等腰
三角形
等边
三角形
自探三
A
B
C
E
D
F
认识三角形的高，角平分线，中线
高
中线
角平分线
自探四
一个三角形有几条高呢？
A
B
C
E
D
F
这三条高有什么特点呢？
合探二
一个三角形有几条角平分线呢？
A
B
C
E
D
F
这三条角平分线又有什么特点呢？
合探三
一个三角形有几条中线呢？
A
B
C
E
D
F
这三条中线有什么特点呢？
合探四
请同学们自己分别画出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条高，三条角平分线，三条中线？
同学们可以观察出有什么特点吗？
三、精彩展示 各抒己见
四、互编互练 知识拓展
1. 如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC. 试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线.从中你发现了什么？
1、三角形的概念
2．三角形的分类
按角分为三类
按边分为三类
3．三角形的三种重要线段——中线、高、角平分线的概念
4．三角形的中线、高、角平分线的画法
5．三角形的三条中线(高、角平分线)之间的位置关系以及它们与三角形间的位置关系
五、畅谈收获
如图△ABC，边BC上的高画得对吗?为什么?
B
A
C
B
A
C
C
B
A
六、快速检测
1
2
3
(共55张PPT)
2. 三角形的内角和与外角和
●教学目标
1．掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角关系．
2．掌握三角形外角和定理．
●教学重点和难点
利用三角形的内角和与外角和进行相关的证明和计算．
一、课前预习
阅读教材第76～77页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
我们在小学就知道三角形内角和等于180°，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
三、新知探究
探究1：三角形内角和定理
1．画一画、剪一剪、拼一拼，你有什么发现？
2．你能证明你的发现吗？
已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点C作CM∥AB，则∠A＝∠ACM，∠B＝∠DCM，
又∠ACB＋∠ACM＋∠DCM＝180°
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
即：三角形的内角和等于180°.
总结归纳：(1)三角形的内角和等于180°.
(2)直角三角形的两锐角互余．
探究2：三角形外角和定理
1．三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB有怎样的数量关系呢？
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CM∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2
又∠ACD＝∠1＋∠2
∴∠ACD＝∠A＋∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
2．如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：∵∠1＋∠BAC＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°，∴∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°，又∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
四、点点对接
例1：如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2的度数．
例2：填空：(1)如图①，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝______°；
(2)如图②所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝______°，∠ABC＝______°；
(3)如图③，∠3＝120°，则∠1－∠2＝______°.
解：(1)由三角形外角性质可知∠ACP＝∠A＋∠B＝50°＋70°＝120°；
(2)由三角形外角性质可知∠A＝∠ABE－∠C＝142°－72°＝70°；∠ABC与∠ABE互补，所以∠ABC＝38°；
(3)观察图形，根据三角形外角性质可知，∠1是三角形外角，∠1－∠2＝∠4，∠4与∠3互为邻补角，所以∠4＝180°－∠3＝180°－120°＝60°，即∠1－∠2＝60°.
例3：如图，已知△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O.求∠BOC与∠A之间的关系．
五、课堂小结
1．三角形的内角与外角的有关定理．
2．利用内角与外角的有关定理进行计算．
备用课件
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
情境导入
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？
获取新知
验证：三角形的三个内角和是180°
图1
图2
图3
A
B
C
A
A
B
B
C
C
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）
所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
E F
所以∠B+∠BAC +∠C =180°
（等量代换）
已知：△ABC.
求证：
∠A +∠B +∠C =180°
证明：过A作AE∥BC，
则∠B=∠1
(两直线平行,内错角相等)
因为∠1+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
定理：三角形的三个内角和是180°
一个三角形中能有两个直角吗？
一个三角形中能有两个钝角吗？
三个内角都能小于600吗？
讨论
∠1+ ∠2+ ∠3= 3600
1.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，
则∠ C= .
（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,
则∠A = ＿＿＿＿。
（3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，
则∠C = ＿＿＿＿。
1020
400
1200
随堂演练
2.已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
x+3x+5x=180°
解得 x=20°
所以三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
由三角形内角和为180°得
3.求出下列图中x的值:
x
x
x
x =600
x
x
x =450
2 x
x
┐
x =300
4、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在
一定的大小关系？
A
B
C
P
D
E
他们是怎样的，并加以证明？
证明：因为 AB ∥CD
（
1
（
2
所以 ∠1 + ∠ B =1800
(两直线平行，同旁内角互补）
因为∠2+ ∠P +∠D=1800
（三角形内角和定理）
∠1= ∠2 （对顶角相等）
所以∠ B=∠P +∠D (等量代换）
5.三角形的三个外角之比为2:3:4，
则与它们相邻的内角分别为（ ）
A. 80? 120? 160 ? B. 160 ? 120 ? 80 ?
C. 100 ? 60 ? 20 ? D. 140 ? 120 ? 100 ?
解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k，
根据三角形的外角和等于360 ? ，有
2k+3k+4k= 360 ? ，
可解得k=40 ?,三个外角分别为80? ,120? ,160 ? ，
则相邻的内角分
别为100 ? , 60 ? , 20 ? .
故选 C
C
本节课里你学到了什么？？？
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需
转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。
课堂小结
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
学案
同步练习
(共61张PPT)
●教学目标
1．操作探究三角形三边的关系，知道三角形任意两条边的大于第三边．
2．根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数字知识解决实际问题的能力．
●教学重点和难点
重点：知道三角形任意两条边的和大于第三边，并用到实际生活中解决问题．
难点：根据三角形三边的关系解释生活中的现象，解决实际问题．
一、课前预习
阅读教材第80～81页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
1．学校校园的草坪里又被同学们踩出了一条小路，放着平整的水泥路不走，为什么非要从草坪里面穿越呢？你知道这其中的原因吗？
2．小明和我们一样每天都按时上学，请看小明到学校的线路图(课件展示)，小明上学共有几条路线？有一天小明起来晚了，你们猜猜他肯定会走哪条路去学校？为什么？
三、新知探究
探究：三角形的三边关系
1．做一做：画一个三角形，使它的三边长分别为4厘米、3厘米、2.5厘米．
2．试一试：现有若干已知长度的小木棍：三条2厘米，三条3厘米、两条5厘米，两条6厘米，任意选取3条小木棍看看能不能组成一个三角形？
3．归纳总结：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．
四、点点对接
例1：以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6cm，8cm，10cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
解析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
例2：已知等腰三角形的周长是24cm，
(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；
(2)若其中一边长为6cm，求其他两边长．
解析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；
(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，
所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)；
(2)当长为6cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．
因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6cm.
当长为6cm的边为底边时，则腰长(24－6)÷2＝9(cm)，
因为6cm、9cm、9cm可以组成三角形，
所以等腰三角形其他两边长均为9cm.
五、课堂小结
1．三角形的三边关系．
2．三角形具有稳定性．
备用课件
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，称为三角形.
什么是三角形
当两边的和小于第三边时
两边的和小于第三边时,不能围成三角形
当两边的和等于第三边时
两边的和等于第三边时,不能围成三角形。
当两边的和大于第三边时
当两边的和大于第三边时,能围成三角形。
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15cm、10cm、7cm
(2)4cm、5cm、10cm
(3)3cm、8cm、5cm
(4)4cm、5cm、6cm
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;
若不满足，则不能构成三角形.
判断下面哪组线段能围成三角形：
①
２厘米
４厘米
６厘米
２厘米
２厘米
６厘米
５厘米
５厘米
５厘米
②
③
不能
能
能
1、下面的三条线段可以围成一个三角形吗？能的打“√”
(单位:厘米)
4
3
2
( )
考考你：
√
下面的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
×
下面的三条线段可以围成一个三角形吗？ (单位:厘米)
3
( )
√
3
3
你能说出三角形有哪些性质吗？
蚂蚁从A到B的路线有那些？走那条路线最近呢？为什么？
A
B
C
路线1：从A到C再到B路线走
路线2：沿线段AB走
哪条路程较短，你能说出你的根据吗？
两点之间线段最短
你能用语言文字表述上述三角形的三边关系吗？
三角形中任意两边之和大于第三边
三角形中任意两边之差小于第三边
三角形第三边的取值范围是:
两边之差 < 第三边 < 两边之和
思考：有两条长度分别为5cm和7cm的线段，要组成一个三角形那么第三条线段的长度在什么范围内呢？
解题技巧：三角形第三边的取值范围是:
两边之差 < 第三边 < 两边之和
1.两根木棒的长分别为7cm、10cm，要选择第三根木棒，用它们钉成一个三角架，第三根木棒的长有什么限制？
3cm＜第三边＜17cm
一木工有两根分别为40cm和60cm的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架。问第三根木条的长度应在什么范围内？ ( P82 练习第2题)
已知：两条线段a、b，其长度分别为2.5cm与3.5cm，另有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？
例1：在△ABC中，AC=5，BC=2， 并且AB是奇数。求△ABC的周长。
【分析】
根据确定三角形的三边关系有：
AC－BC ＜ AB ＜ AC+ BC
又根据已知条件AB是奇数
由以上两个条件可以得到线段AB的长
所以：△ABC的周长就可以求出
2、如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长=______.
3、如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长=___________.
1、五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成___个三角形.
3
22cm
18cm或21cm
三边长为：5、5、8 和 8、8、5
2、3、4，2、4、5，3、4、5
已知△ABC是等腰三角形。
（1）如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少？
（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为8cm，那么腰长是多少？
19cm
8cm或5cm
摘苹果
（1）任何三条线段都能组成一个三角形 ( )
（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ ）
（3）已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三角形的周长为 （ ） A. 14cm B.19cm
C.14cm或19cm D. 不确定
×
×
B
已知等腰三角形的两边长分别为3cm，4cm，则它的周长为 。
三角形的两边分别为3,4，则周长l的取值范围是 。
已知：等腰三角形的周长是18cm，腰是底边长的2倍，求各边长.
解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm
根据题意，得
2x+2x+x=18
∴ x=3.6
已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？
解：（1）若底边长为4cm，设腰长为xcm，
根据题意，得
2x+4=18
解得 x=7
4+7>7
∴等腰三角形的三边长为：4cm，7cm，7cm
（2） 若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，根据题意，得
2×4+x=18
解得 x=10
∵4+4<10
∴ 以4cm为腰不能构成三角形.
∴ 三角形另外两边长为7cm，7cm。
三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.
若a、b、c是△ABC的三边长，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|
3、三角形的稳定性
1、三角形的三边关系定理；
(2)确定三角形第三边的取值范围：
两边之差<第三边＜两边之和．
三角形的任何两边的和大于第三边。
课堂小结
完成P82 习题9.1
拔尖题：如图，O为 内一点.
求证：
分析：由三角形的三边关系可知：
在中， ①
在中， ②
在中， ③
将上面的三式相加
①＋②＋③得：
从而得证
已知:点P是△ABC的边AC上的一点， 试说明：AB+AC>PB+PC
在△ABP中
AB+AP>BP
∴AB+AP+PC>PB+PC
∴AB+AC>PB+PC
已知:如图点P是△ABC内一点， 试说明：AB+AC>PB+PC
D
延长BP交AC于点D
AB+AD>BP+PD
PD+CD>PC
AB+AD+PD+CD>BP+PD+PC
AB+AD+CD> PC
AB+AC>PB+PC
(共62张PPT)
9.2多边形的内角和与外角和
●教学目标
1．理解多边形的定义，掌握多边形的内角和公式．
2．了解多边形的外角，掌握多边形的外角和公式．
●教学重点和难点
多边形的内角和与外角和公式及其应用．
一、课前预习
阅读教材第83～85页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？请看大屏幕(课件展示)．
刚才大家看到许多实物图片，它与数学图形联系起来，你知道它们各是什么图形？
这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容——多边形．
三、新知探究
探究1：多边形的定义及有关概念
多边形：是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形．各边都相等，各内角也相等的多边形叫正多边形．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．
多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
探究2：多边形的内角和
1．试一试：从五边形的一个顶点引一条对角线把五边形分成几个三角形？六边形呢？七边形呢？n边形呢？
2．完成下表：
3.归纳总结：n边形的内角和为(n－2)×180°
边数 4 5 6 7 … n
分成三角形的个数 2 ? ? ? ? ?
内角和 360 ? ? ? ? ?
探究3：多边形的外角和
1．三角形的外角和是360°，那么四边形的外角和是多少度？五边形的外角和呢？六边形的外角和呢？n边形呢？
2．完成下面的表格：
边数 3 4 5 6 … n
多边形的内角和与 ? ? ? ? ? ?
外角和的总和 ? ? ? ? ? ?
多边形的内角和 ? ? ? ? ? ?
多边形的外角和 ? ? ? ? ? ?
四、点点对接
例1：求八边形的内角和．
解：八边形的内角和为：
(n－2)×180°＝(8－2)×180°＝1080°.
例2：已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
(n－2)·180°＝2160°
解得 n＝14.
即这个多边形的边数为14.
例3：一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
n·72°＝360°
解得 n＝5.
因此，这个多边形是五边形．
例4：一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n－2)·180°＝5×360°
解得 n＝12.
因此，这个多边形是十二边形．
五、课堂小结
谈谈你对本节课的收获与困惑？
1.勾划出四边形、五边形、多边形、正多边形的概念
2.知道有几种方法将多边形分割成三角形
3.了解多边形的内角和公式
复习：
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
三角形的内角和定理是什么？外角和定理呢？
三角形的内角和等于
三角形的外角和等于
多边形的有关概念
记作
记作
记作
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
1. 一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
凹多边形
凸多边形
2.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形……
顶点
内角
边
外角
对角线
4.对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
3.外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
问题 :五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？
答:五边形有5个内角，10个（5对）外角；
六边形有6个内角，12个（6对）外角.
问题 :n边形有多少个内角？多少个外角？
答:n边形有n个内角，2n个（n对）外角.
回顾：把多边形分割成三角形的三种分法
从多边形的一个顶点出发可把这个多边形分成几个三角形？对角线多少条？
数一数：
四边形：
五边形：
六边形：
（n-2）个三角形
从多边形某边上的一点（不是顶点）可把这个多边形分成几个三角形？
探索：
四边形：
五边形：
六边形：
·
·
·
（n-1）个
从多边形上的内部一点出发可把这个多边形分成几个三角形？
探索：
四边形：
五边形：
六边形：
·
·
·
n个
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
请问：n边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
1
2
3
n-3
五边形ABCDE从一个顶点出发可以引多少条对角线？共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
C
从一个顶点出发可以引2条对角线
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线。
1.一个多边形共有27条对角线，那么这个多边形是 边形 。
2.一个n边形的对角线恰好有n条，那么这个多边形是 边形。
3.从多边形的一个顶点能引5条对角线，那么该多边形的边数为 。
九
五
8
问题3:
三角形、四边形、五边形…...n边形的内角和是多少呢?
（完成P85 表格）
多边形的边数
分成的三角形个数
多边形的内角和
3
4
5
6
…
n
1
2
3
4
…
n-2
7
5
…
n边形内角和定理:
把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的内角和为180?，求出多边形的内角和 .
仔细观察表格，回答问题：
1.多边形的边每增加1条，多边形的内角和增加 .
2.n边形的内角和为(n-2)·180?,说明 .
180?
多边形的内角和是180?的整数倍
例1.求八边形的内角和。
解：
八边形的内角和为：
练习：
求九边形的内角和。
例2.已知一个多边形的内角和等于2160?，求这个多边形的边数。
解：
设这个多边形的边数为n，根据题意，得
练习：
已知一个多边形的内角和是2340?，则这个多边形是 边形 。
十五
(n-2)·180?=2160?
解得
n=14
∴这个多边形的边数是14.
1.一个五边形各个内角度数之比为2:3:4:5:6，则每个内角的度数分别为 。
解：设各内角的度数分别为2x，3x，4x，5x，6x
根据题意，得
解得 x=27?
∴这个五边形各内角的度数分别为： 54?，81?，108?，135?，162?
完成P86 练习2题
（写清解题过程）
2.八边形与五边形的内角和之比为 。
解：八边形的内角和为：
2:1
五边形的内角和为：
∴ 1080 ?：540?=2:1
3.已知两个多边形的内角和为1800?，且两个多边形的边数比为2:5，求这两个多边形的边数。
解：设这两个多边形的边数分别为2x，5x
根据题意，得
解得 x=2
∴ 这两个多边形的边数分别为4,10.
n边形和m边形的内角和的度数之差为720?，则n-m= 。
解：n边形的内角和为：
m边形的内角和为：
根据题意，得
(n-2)-(m-2)=4
∴ n-m=4
从与三角形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和，称为三角形的外角和。
从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和，称为多边形的外角和。
P86
问题4：多边形的外角和是多少呢?
多边形的边数
多边形的内角与外角的总和
多边形的内角和
多边形的外角和
3
4
5
6
…
n
7
…
…
…
任意多边形的外角和都为：
多边形的外角和与边数无关。
P87
正n边形的每个内角的度数为：
正n边形的每个外角的度数为：
问题5.正n边形的内角的度数与外角的度数:
一个多边形的每个外角都是72?，这个多边形是几边形？内角和是多少？
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得
解得 n=5
∴ 这个多边形是五边形。
∴ 这个多边形的内角和为：
练习：
（2）在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
3个
（3）在一个多边形中，它的外角最多能有几个钝角?
3个
（1）十边形的内角和是 ,外角和是 ,如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 .
完成P88 练习第1、2题
1.一个多边形的每一个外角都等于45度，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
2.在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
3个
多边形外角和为360度，则外角中至多有三个钝角，因此多边形的内角最多可以有三个锐角。
1.一个正多边形的内角和为1440?，则它的一个外角的度数为 。
2.若多边形的每一个内角为150?，则从它的一个顶点出发引出的对角线有 条。
3.一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20?，则这个多边形的内角和为 。
36?
9
1260?
（n-3）条
小结
1. n边形的内角和定理是什么？
2.推导多边形内角和定理时所用的方法是什么？
3.多边形的外角和定理是什么？
4.多边形的内角与其相邻外角的和是多少？
6.多边形的内角与外角在计算中的相互转化。
把多边形划分成若干个三角形，再利用三角形的内角和为1800求出多边形的内角和.
任意多边形的外角和都为：
n边形的内角和为
5.多边形的对角线共有
［例］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
则它的内角和是为
例题赏析
外角和等于360°
解得 n=8
∴ 这个多边形是八边形.
(n－2)·180°
(n-2)×180°=3×360°
例：一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.
解：设这个角的相邻的外角的度数为x，
则内角的度数为x+36°
根据题意，得
x+（x+36°）=180°
解得 x=72°
∴这个正多边形的边数为 ：
360 °÷72°=5
1. 如果一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角大100°，则这个多边形的边数为（ ）。
2. 一个多边形的外角最多有（ ）个是钝角.
3. 一个多边形的内角最多有（ ）个是锐角.
例3.填空:
4. 内角和与外角和相等的多边形的边数是（ ）.
9
3
3
4
不变
5.一个多边形每增加一条边，内角和增加（ ）.
外角和（ ）.
180?
6.一个多边形裁去一个角（不过顶点）后,形成的多边形的外角和 （ ）, 内角和（ ）.
不变
增加180?
正多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1300°，求这个正多边形的边数
解：
∵1300°÷180°
=7……40°
又∵多边形的内角和是180°的整数倍
∴n-2=7
解得
n=9
∴ 这个外角的度数为40°
设这个正多边形的边数为n，则
多边形内角和为
(n-2)·180°
一个多边形的内角和与其中一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数和这个外角的度数。
∵1350°÷180°
=7……90°
n-2=7
∴ n=9
思考：
1.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的值
1
2
3
思考：
2.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D + ∠E+ ∠F + ∠G+ ∠H的值
思考：
3.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的值
1
思考：
4.求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D
+ ∠E+ ∠F + ∠G的值
1
已知：∠1= ∠2= ∠3= ∠4=70?，求∠AED的度数。
已知：AB//CD，求∠1+ ∠2+ ∠3的度数。
问：在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？（P86 试一试---这个非常重要哟）
已知过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,p边形有p条对角线,求 (m-p)n 的值.
解：∵过m边形的一个顶点有7条对角线
∴ m-3=7
∵n边形没有对角线
∴ n-3=0
∵p边形有p条对角线
∴
解得 m=10
解得 n=3
解得 p=5
∴(m-p)n =
(10-5)3
=125
已知一个n边形，除去一个内角后，其余的（n-1）个内角的和是1035°，则除去的这个内角的度数为 。这个多边形为 边形。
1035°÷180°=
5……135°
45°
八
n-2=6
一个多边形除去一个内角，其余各内角的和等于830°，求这个被除去的内角及多边形的边数。
830°÷180°=
4……110°
n-2=5
(共50张PPT)
用正多边形铺设地面
●教学目标
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形内角和与外角和公式．
2．学会用数学知识解决生活中的问题．
●教学重点和难点
理解镶嵌的关键点．
一、课前预习
阅读教材第88～90页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
随着人们生活水平的提高，很多家庭都铺上了瓷砖，这在数学上是一门学问，叫做平面镶嵌．即用单一平面图形拼合在一起覆盖一个平面，而图形没有空隙，也没有重叠．这种用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌．其实本章的开头已提出了瓷砖的铺设问题，今天我们进一步来探究用什么样的多边形能拼成一个既不留下空白，又不互相重叠的平面图形，即用什么样的正多边形可以完全镶嵌一个平面？
三、新知探究
探究1：用同一种多边形镶嵌
1．动手操作(小组合作，并讨论交流)
请每个学习小组围圈而坐，拿出各自准备好的各种正多边形纸片，并按照下列顺序进行操作：
①只用正三角形，看能否完全镶嵌桌面？
②只用正方形，看能否完全镶嵌桌面？
③只用正五边形，看能否完全镶嵌桌面？
④只用正六边形，看是否能完全镶嵌桌面？
2．计算验证
通过计算验证哪些正多边形可以镶嵌平面？
3.归纳总结：
围绕同一顶点的几个多边形的内角相加等于360°.
正多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
正多边形内角和… ? ? ? ? ? ? ?
每个内角的度数… ? ? ? ? ? ? ?
能否镶嵌平面 能 能 不能 能 不能 … ?
探究2：不同正多边形的镶嵌
1．正三角形与正方形的镶嵌
正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°.设在一个顶点处铺设m个正三角形，n个正方形．
?所以可以用3个正三角形和2个正方形进行镶嵌．
所以，可以用2个正三角形与2个正六边形镶嵌或者用4个正三角形与1个正六边形镶嵌．
3．总结归纳：多个正多边形的镶嵌实际上是求一次方程组的正整数解．
四、点点对接
例1：商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．如果要求只选购其中一种地砖镶嵌平面，则可供选择的地砖有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
解析：判断一个多边形能不能用来作平面镶嵌，就是看这个多边形的内角能否组成360°.若能，则可以用来作平面镶嵌，否则就不能．正方形和长方形内角为90°，4个内角刚好构成360°，所以①②可以用来作平面镶嵌；正五边形的内角为108°，它不可能构成360°角，因此正五边形不能用来平面镶嵌；正六边形的内角为120°，三个内角可拼成360°角，所以正六边形可用来平面镶嵌；同样正八边形不能用作平面镶嵌．
C
解析：求出这三种正多边形的每个内角的度数，再根据三者的和为360°求解．
五、课堂小结
1．同一种正多边形能进行平面镶嵌的关键是什么？
2．不同的多边形进行镶嵌的关键是什么？
结论：当围绕一点拼在一起的几个
多边形的内角加在一起恰好组成
一个周角时，就拼成一个片面图形。
结论：
任意全等的四边形能密铺 ,在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的内角和，也就是它们的和为360?，且相等的边互相重合
做一做（二）
用同一种四边形能否密铺？
在密铺过程中，观察每个拼接点的四个角，它们与这种四边形四个内角有什么关系？
正五边形
正六边形
观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？
第一页
第二页
第三页
第四页
情境问题
1、小明家的地砖如图所示,它是由哪些图形组成？它们为什么能拼地板？
用正方形和正三角形能否密铺？
正五边形可以密铺吗？
1
2
3
∠1+∠2+∠3=?
用正五边形和什么多边形能密铺？
问：
一个木工厂的废料堆里，堆放着大量废木料，都是形状、大小相同的不规则的四边形。如果把它们做成比较规则的四边形，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你说行吗？为什么？
课本内出现的几种铺设方案：
（1）你能说明为什么正三角形和正方形能铺满地面？
（2）你能说明为什么正五边形和正八边形不能铺满地面？
（3）把正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面？
（4）把正三角形、正方形、正六边形三者结合都能铺满地面呢？请你试试看。
复习：
1、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个___时，就拼成一个平面图形。
2、下列图形中不能铺满地面的是（ ）：
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.正八边形
3、用下列一种或两种正多边形铺地面：
（1）正三角形，
（2）正八边形，
（3）正三角形和正八边形，
（4）正六边形和正十二边形，
（5）正五边形和正十边形，
（6）正六边形和正八边形；
能铺满地面的有（ ）
A .2种 B .3种 C .4种 D .5种
①请同学们利用课余时间去收集一些用两种
或两种以上的正多边形进行拼装的图片。
②为什么平常用的地砖一般都是正方形的，
而贴在墙上的墙砖却是长方形的，这种
长方形墙砖的长与宽的比例是多少？
为什么这样设计？
(3.3.3.4.4)
(3.3.3.3.6)
(4.6.12.6)
(3.4.6.4)
(3.6.3.6)
(4.8.8)
(3.12.12)
(3.4.3.3.4)
(3.4.6.4)/(3.4.4.6)
(3.4.6.4)/(3.3.4.3.4)
(3.3.3.4.4)/(3.4.6.4)
(3.3.4.12)/(3.3.3.3.3.3)
(3.4.6.4) /(4.6.12)
(3.12.12)/(3.4.3.12)
(3.3.6.6)/(3.6.3.6) (3.3.3.4.4)
/(3.3.4.3.4)
/(3.4.6.4)
(3.3.3.3.3.3)/(3.3.4.12)/(3.3.4.3.4)
(3.3.4.12)/(3.3.4.3.4) /(3.4.3.12)
(3.3.3.3.3.3)/(3.3.4.3.4)
(3.3.3.3.3.3)/(3.3.4.3.4)
(3.3.3.3.3.3)
/(3.3.3.4.4)
/(3.3.4.3.4)
(3.3.3.3.3.3)/(3.3.3.4.4)/
(3.3.4.3.4)
请同学们欣赏一组由平面图形铺满地面的优美图案
