(共50张PPT)
10.1.1生活中的轴对称
●教学目标
1．能找出简单对称图形的对称轴．
2．了解轴对称图形的性质．
●教学重点和难点
理解轴对称图形的性质．
一、课前预习
阅读教材第98～100页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
投影或演示各类具有轴对称特点的图案让学生说说他们的共同点．
三、新知探究
探究：轴对称图形
1．议一议
(1)试举例说明现实生活中也具有轴对称特征的物体，发展学生想象能力．
(2)让学生感到具有轴对称特征的物体，它们都是关于一条直线形成对称．
2．做一做
(1)把具有轴对称特征的图形沿某一条直线对折，使直线两旁的部分能够互相重合．
把具有轴对称特征的图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
(2)让学生说出以前学习过的轴对称图形，并找出它的对称轴．
3．归纳总结：
(1)轴对称图形的性质．
(2)轴对称图形的对应线段相等，对应角也相等．
四、点点对接
例1：下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为( )
A．13 B．11 C．10 D．8
解析：根据轴对称及对称轴的定义，分别找出各轴对称图形的对称轴个数，然后可得出答案．
解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；
所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
例2：下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是( )
A．等边三角形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．
解：A.等边三角形有3条对称轴；
B．矩形有2条对称轴；
C．菱形有2条对称轴；
D．正方形有4条对称轴；故选D.
?例3：(操作题)如图，将正方形纸片按图中(1)、(2)的方式依次对折后，再沿(3)中的虚线裁剪，最后将(4)中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )
解析：方法一：观察图形，是将正方形纸片折叠两次，因此是两次轴对称，并且裁剪部位在折叠的最中间，展开后中间应是个小正方形，另一剪裁部分在最上边沿，展开后应是原正方形上下边沿的独立缺口，所以只有B选项适合．方法二：将所给四个选项分别先竖后横依次折叠，再结合最后的剪裁综合分析，A的剪裁既有上下，也有左右，也不适合，C、D的剪裁部位不在最中间也不合适，只有选项B经过两次折叠，符合图(4)裁剪情况，故选B.
B.
五、课堂小结
本节课你学到了哪些知识，跟同学们分享一下．
学习目标
使学生进一步认识轴对称图形，通过动手实验，掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的对应线段相等、对应角相等；理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系.
学习重点、难点
重点：轴对称图形的对应线段相等、对应角相等.
难点：两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系.
20世纪著名数学家赫尔曼·外尔所说的，“对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善……”
正如教材所言：对称的形式都被认为是和谐美丽的
我们生活在一个充满对称的世界里，你平时有注意到吗？现在，让我们一起感受一下吧。
优美的自然风光及倒影
国家体育场鸟巢
游泳中心水立方
2008年北京奥运会国家体育场——“鸟巢”
威严四仪的天安门
诸坛之首－北京天坛
云中牧女－埃菲尔铁塔
中国最具魅力的国粹艺术之一
——京剧脸谱
剪纸艺术
科学家的伟大成就
——飞机
干路先行
十字交叉
禁止通行
禁止长时
或临时停放
宝马·德国
一汽·中国
三菱·日本
奔驰·德国
日常生活——交通标志、汽车标志
实物图案
不论是在自然界中还是在建筑中，不论是在艺术中还是在科学中，甚至在最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见．自远古以来，对称的形式被认为是和谐美丽的．
山倒映在湖中，建筑物倒映水中……这是令人难忘的对称景象．
面对生活中这些美丽的图片，
你是否强烈地感受到美就在我们身边！
这是一种怎样的美呢?
请你谈谈你的感想？
这种现象你能解释吗？
实验一：探索新知
请你想一想：你能将上图中的每一个图形沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？
轴对称图形
如果一个图形能够沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，
这条直线叫这个图形的对称轴。
哇!我知道了什么是轴对称图形!
认一认
答：五角星有五条对称轴，脸谱有一条对称轴，正方形有四条对称轴，标志有两条对称轴。共同的特征是一个对称轴图形，至少有一条对称轴。
（1） （2） （3） （4）
观察图10.1.1中的各个图形，请找出轴对称图形的对称轴；是否有些图形的对称轴还不止一条呢？
我们再看图10.1.3中的两组图形，它们有什么共同点？
议一议
（第一组）
（第一组）
（第二组）
我们再看图10.1.3中的两组图形，它们有什么共同点？
我们再看图10.1.3中的两组图形，它们有什么共同点？
D D1
像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．
一个图形
另一个
图形
两个图形成轴
对称
那对应线段该叫什么呢？
那对应角该叫什么呢？
请你标出下图中 A、B、C 三点的对称点A1、B1、C1.
过点A作对称轴的垂线，垂足为O1,延长AO1到A1，使AO1=A1O1.，即A1为所求对称点；同理，可作出点B1、C1 。
O1
A1
AO1=A1O1
在纸的一侧上滴几滴墨水，将纸迅速对折、压平，并用手指压出清晰的折痕，再将纸打开后铺平，观察所得到的图案，位于折痕两侧墨水图案彼此之间有什么关系？它的对称轴是什么呢？
用一用
位于折痕两侧墨水图案成轴对称 ,对称轴为 折痕所在直线.
显然，轴对称图形（或成轴对称的两个图形）
沿对称轴对折 后的两部分是完全重合的，所以
轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对
应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对
折后重合的角）相等。
练一练
1、尽可能多地在你的周围环境中找轴对 称的物体或建筑。
练一练
2、观察下列各种图形，判断是不是轴对 称图形？并找出该轴对称图形的对称轴？
练一练
2、观察下列各种图形，判断是不是轴对 称图形？并找出该轴对称图形的对称轴？
3、在下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A、锐角三角形 B、曲线
C、线段 D、直角三角形
C
4、等腰三角形的对称轴有（ ）
A、一条 B、二条
C、三条 D、一条或三条
D
5、下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A、有两个角相等的三角形
B、有一角为45°的直角三角形?
C、有两个角分别为50°与80°的三角形
D、有两个角分别为55°与65°的三角形
D
6、下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有
我们今天主要学习了哪些内容？同学们
有什么感受？
1、轴对称图形：
如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形；这条直线叫做这个图形的对称轴。
说一说
一、主要内容：
轴对称：
把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是 对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的 点）叫做对称点．
比较归纳：
１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 ．
２．都有 ．
３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线 ；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是 ．
联系
个图形
个图形
区别
两个图形成轴对称
轴对称图形
一
两
互相重合
对称轴
对称
轴对称图形
A
B
C
D
E
F
G
H
一.下面的字母哪些是轴对称图形？
二.下面的数字哪些是轴对称图形？
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
三.下面的汉字哪些是轴对称图形？
王
口
林
国
森
干
土
田
(1)、26个英文大写字母中有几个是轴对称图形？分别是哪几个？
答：有16个，分别是
ABCDEHIKMOTUVWXY
(2)、54张扑克牌中有几张是轴对称图形？分别是哪几个？
（3）、宋体汉字中有些字是轴对称图形，请你至少写出10个。
课本第109页
习题1、2、3、4
课堂作业
(共40张PPT)
10.1.2轴对称的再认识
●教学目标
探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
●教学重点和难点
理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质．
一、课前预习
阅读教材第102～104页内容，了解本节课的主要内容．
二、新知探究
探究：轴对称图形上的对应点与对称轴的关系
1．做一做：在纸上画出线段AB及它的中点O，画出过O点且与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，看看线段OA与OB是否重合？
2．试一试：在半透明的纸上画出∠AOB，对折，使角的两边完全重合，然后用直尺画折痕OM，看看射线OM与∠AOB是什么关系？
3．总结归纳：
(1)线段、角都是轴对称图形．
(2)轴对称的性质2：对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
三、点点对接
例1：如图所示，已知△ABC和直线MN，求作：△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于直线MN对称．
解析：三点确定一个三角形，只要确定△ABC的顶点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1，即可作出△A1B1C1，其中C点的对称点是它本身．
解：如图所示．
作法：(1)过A作MN的垂线，垂足为O，在垂线上截取A1O＝AO，点A1就是A点的对称点；
(2)同样做出B点关于MN的对称点B1，C的对称点C1是它本身；
(3)连接A1、B1、C1，△A1B1C1即为所示．
例2：如图1是由一个圆、一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图补成轴对称图形．
解析：半圆的对称图形还是半圆，三角形的对称点有两点在对称轴上，只要找到P点关于AB的对称点Q即可．
解：(1)以O为圆心，以OC的长为半径画半圆；
(2)过P作AB的垂线，垂足为D，在垂线上截取QD＝PD，连接CQ，如图2所示即为所示．
四、课堂小结
本节课你学到了哪些知识，跟同学们分享一下．
轴对称与轴对称图形的区别和联系：
区别：
轴对称是说两个图形的位置关系，涉及两个图形
轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，
是对一个图形说的。
轴对称与轴对称图形的区别和联系：
联系：
两个概念没有本质的区别，定义中都有一条直线，
都沿这条直线对折重合
轴对称与轴对称图形的基本特征
显然，轴对称图形（或成轴对称的两个图形）沿对称轴对折后的两部分是完全重合的，所以
轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后
重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。
二、线段
做一做
在半透明纸上画出线段AB和它的中点O，再过O点画与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折,观察线段OA和线段OB是否重合?
线段是轴对称图形吗？
结论
(2) 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,又可称为中垂线.
(1) 线段是轴对称图形.
注: 线段的垂直平分线是一条直线.
新知探究
请同学思考：线段的对称轴是什么？它是唯一的吗？
三、角
新知探究
在半透明纸上画出∠AOB,对折,使角的两边完全重合 , 然后用直尺画出折痕OM , 看看射线OM与∠AOB是什么关系?
A
O
B
M
角是轴对称图形吗？
结论
（1）角是轴对称图形
A
O
B
M
（2）对称轴是它的角平分线所在的直线
四、如何验证轴对称？
情境导入
当我们看到一个图形,感觉它是轴对称的，该如何来验证呢？
这就需要我们去找到它的对称轴，看看沿着对称轴翻折以后两部分是否重合．
五、如何画对称轴？
请同学们拿出一张纸来，将它对折，然后用笔在上边打一个小洞，请问，折痕 与这两个点 、（小洞）是什么关系？
用线段将两个小洞连接起来，对称轴和线段之间又是什么关？
连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
打洞
如图,点A和点A’关于某条直线成轴对称，你能画出这条直线吗？
画点的对称轴
A . . A’
试一试：如图，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称轴．
预 习 部 分
在上图中，由于图形在方格子内，我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴，你能想想是什么原因吗？
因为在方格子中我们比较容易看清楚图形的位置，也就比较容易确定图形的中间位置．
新知探究
画完图后请思考下面的问题：
①能总结你画对称轴的方法吗？
②连接对称点的线段与对称轴有什么关系？
连接对称点的线段被对称轴垂直平分
如果没有方格子，而又不能折叠，你还能比较容易地画出图形的对称轴吗？
试试看：如下图的对称轴我们应该如何去画呢？
总结一下对称轴的画法．
1.找出轴对称图形的任意一组对应点，
3.画出对称点所在连线段的垂直平分线．
则这条垂直平分线就是它的对称轴．
如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．
结论：
2.连结对称点．
如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． ?
通过以上的操作，我们有下面的结论：
做一做
试用连结对称点画垂直平分线的方法，画出下列图形的对称轴.
●
●
●
●
●
●
a
b
两直线a,b相交于点O,这个图形是轴对称图形吗?如果是,试画出它的对称轴.
想一想
(3)
练一练
1.找出对称轴.
想一想
2.找出对称轴.
②④⑥是对称轴.
例2.△ABC中，BC＝10，边BC的
垂直平分线分别交AB、BC于点
E、D；BE＝6，求△BCE的周长。
证明：∵ED是BC的垂直平分线（已知）
∴EC＝EB=6
（线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴△BCE的周长=BC＋CE＋EB＝10＋6＋6=22
答：△BCE的周长为22。
七、练习
（一）、填空题：
1．到线段的两个端点距离相等的点有 个.
2．平分一条已知线段的直线有 条；垂直平分一条已知线段的直线有 条.
3．一条已知线段的对称轴有 条.
4．成轴对称的两个多边形，一个周长为15cm，则另一个多边形的周长为 cm.
无数
无数
1
2
补充知识：直线也是轴对称图形，有无数条对称轴
射线也是轴对称图形，对称轴是自身所在的直线。
（二）、判断题(对的在题后的括号内打“√”，错的打“×”)
5．线段的垂直平分线上存在到这线段两端点距离不相等的点（ ）
6．有一公共端点的两条相等线段的图形是轴对称图形（ ）
7．角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （ ）
×
√
×
15
A
B
C
（三）、解答题：
8．如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇外资、集体、个体工业的发展需要，现三镇联合建造一个变电所，要求变电所到三镇的距离相等，请你作出变电所的位置（用点P表示）
作法：
1、分别连接AB、BC。
2、分别作线段AB、BC的垂直平分线
两直线交于点P
则点P为所求的变电所的位置
P
能想通为什么吗？
9．如图9-2-12,某镇的两个村A、B在长江的南岸L的南面,镇政府为民办实事,决定为两村通自来水,应在南岸L上何处建水厂,才能使水厂P到两村的水管的长度相等？
A
B
P
作法：
1、连接AB。
2、作线段AB的垂直平分线
交直线L于点P
则点P为所求的水厂的位置
能想通为什么吗？
L
畅谈收获
1. 画图形的对称轴的方法：
（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。
（2）连结对称点。
（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，
就是该图形的对称轴
如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．
2.轴对称性质：
常见的轴对称图形
名称 常见的轴对称图形 对称轴条数 对称轴
角 1 角平分线所在的直线
线段 2 线段的垂直平分线和线段所在的直线
等腰三角形 1 等腰三角形底边上的高所在的直线
等边三角形 3 等边三角形各边上的高所在的直线
圆 无数条 过圆心的任意一条直线
正方形 4 两条对角线所在的直线以及两组对边中点所在的直线
长方形 2 两组对边中点所在的直线
菱形 2 两条对角线所在的直线
等腰梯形 1 上、下底边中点所在的直线
结论
(2) 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,又可称为中垂线.
(1) 线段是轴对称图形.
注: 线段的垂直平分线是一条直线.
(共77张PPT)
10.1.3画轴对称图形、设计轴对称图案
●教学目标
1．会作简单平面图形的轴对称图形．
2．通过画轴对称图形，理解轴对称的性质．
●教学重点和难点
画轴对称图形，利用轴对称进行图案设计．
一、课前预习
阅读教材第105～107页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
复习引入新课
什么是轴对称图形？轴对称图形有哪些性质？
三、新知探究
探究：轴对称图形的画法
1．试一试．
如图(1)，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形．
2．做一做．
如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′.请一位同学说说他的画法(其他同学可以补充)
3．总结轴对称图形的画法：
在原图形上取一点A，过A做对称轴的垂线并延长一倍，得A′，依此类推，然后依次画出对应点，再把对应点连接起来即可．
四、点点对接
例1：在由四个相同的小正方形组成的“7”字形图中，请你添画一个小正方形，使它成为轴对称图形，并用虚线画出所得轴对称图形的对称轴．要求在图中画出三种不同的设计方案．
解析：本题是一道关于添图补成轴对称图形的题目，根据图形的特征，可以从上下对折、左右对折以及斜着对折三个方面思考补图的方法．
解：如图，下面给出三种不同方法．
例2：如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，你能用这两个图形拼成轴对称图形吗，试分别在给出的图(1)、图(2)中画出两种不同的拼法．
解析：由于对称轴不同、图形位置不同，得到轴对称图形也不同，我们可以用不同的网络线作为对称轴，来构造不同的轴对称图案．这是一道开放题，答案不唯一，同学们可以开动脑筋发挥你的想象力，绘制出不同的图案．
解：下面提供部分答案，仅供参考，不同的画法例举如下(如图所示)：
五、课堂小结
本节课你学到了哪些知识，跟同学们分享一下．
复习
由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样.
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点.
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
轴对称图形的特征：
一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．
试试你的眼力，判断下列图形哪些是轴对称图形，是轴对称图形的请指出其对称轴
（认真，仔细）
预 习 部 分
创设情境：上节课我们学习了画两个图形或一个图形的对称轴.请同学们为下面的两张轴对称图形画出对称轴.
试一试（相信你能行）：
如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
试一试：如图，实线所构成的图形为已知图形，直线L为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
问题：在下图中，连结对称点的线段与对称轴有何关系
E
L
L
结论：连结对称点的线段被对称轴垂直平分。
问题2：你能画出点A关于直线L的对称点吗？
画法：
1、过点A向直线L画垂线段AO，垂足点O；
2、延长AO至OA1，使OA1=OA。
则点A1就是点A关于直线L的对称点。
问题3：你能画出线段AB关于直线L的对称线 段吗？
2、连结A1 、B1 。
则线段A1 B1就是线段AB关于直线L的对称线段
1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，
在垂线上截取OA’=OA，
问题4：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。
l
作法：
2、类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’；
3、连接A’B’、B’C’、C’A’。
∴△A’B’C’即为所求。
A’
B’
C’
O
点A’就是点A关于直线l的对称点；
问题4：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
l
B’
C’
A’
B’
∴△AB’C’即为所求。
作法：
1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’；
2、连接AB’、B’C’、C’A。
l
作法：
1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A’、B’；
2、连接A’B’、B’C、CA’。
∴△A’B’C即为所求。
画法：
1、画出点A、点B和C点关于直线L的对称点A1 、 B1和C1。
2、连结A1 B1、 B1 C1 、A1 C1 、则 A1 B1 C1就是 AB C关于直线L的对称三角形。
问题4：已知四边形ABCD和直线l，作出与四边形ABCD关于直线l对称的图形．
A'
B'
C'
D'
l
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
1、找点
2、画点
3、连线
（确定图形中的一些特殊点）；
（画出特殊点关于已知直线的对称点）；
（连接对称点）。
1、找点
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤：
（1）确定图形中的一些特殊点；
（2）画出特殊点关于已知直线的对称点；
（3）连接对称点．
1、找点
2、画点
3、连线
古希腊一位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再回到驻地B．问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
问题5： 将军饮马问题
A’
C
作法：
（1）作点A关于直线 l 的
对称点 A’；
（2）连结A’B，交l于点
C；
∴ 点C就是所求的点．
∴AC+BC
l
B
A
C
A'
C'
∵ 直线 l是点A、A’的对称轴，点C、C’在对称轴上，
∴AC=A’C，AC’=A’C’．
在l 上任取另一点C’，
连结AC、AC’、BC’、A’C’．
证明：
在△A’BC’中，A’B∴AC+BC=A’C+BC=A’B．
C
D?
E?
2． 图中给出了一个图案的一半，其中的虚线
是这个图案的对称轴．试画出这些图案的
另一半？
B?
C?
C?
B?
A?
C?
B?
3．如图给出了一个图案的一
半，其中的虚线l是这个图
案的对称轴．
（1）整个图案是个什么形
状？
（2）请准确地画出它的另一
半．
l
4. 在由小正方形围成的L形图中，请你用三种方法分别添画一个小正方形，使它成为轴对称图形．
能力拓展题
一面镜子竖直悬挂在墙上,人眼位置如图所示,有三个物体放在镜子面前,人眼能从镜子中看见哪个物体?
探索创新题
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
P
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
思考？？？
为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的管线最短呢？
总结经验：
实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”加以解决。
(1)找标出特殊点
1、画出点A关于 l 的对称点A’：
（ 3 ）点 A’ 就是点A关于 l 的对称点.
（ 1 ）过点A作对称轴 l 的垂线，垂足为B；
（ 2 ）延长A B 至A’,使得BA’= A B.
A
l
2、画简单平面图形的对称图形：
(2)逐个画出这些特殊点的对称点
（3）连结这些对称点
作业：
1、自画一个图形然后画出它关于某直线的对称图形。
2、
拓展应用，巩固提高
八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。
P
路线：小明——P——A
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。
D
E
C
路线：小明——D——E——A
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
请你设计一下水厂应该建造在哪里?
如图所示，钱塘江的一侧有A,B两个村庄现要在
江边建造一个水厂C,把水送到这两个村庄,
(1)要使供水管到两村庄的距离相等,水厂C应建在
何处.
(2)要使供水管路线最短，水厂C应建在
何处,这样可以节省成本.
A
B
例1.如下图，草原上两个居民点A、B在河流的同旁.一汽车从点A出发到B，途中需要到河边加水.汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图中作出该处，并说明理由；在图上画出这点。
A
B
解：已知：直线CD和CD同侧两点A、B．
求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．
作法：①作点A关于CD的对称点A′
②连结A′ B交CD于点M
则点M即为所求的点．
A′
河
M
C
D
E
?
?
10.1. 3设计轴对称图案
----设计轴对称图案
做游戏：
请同学们自己想好一个动作，然后邀请你的好朋友一起上讲台，请他再作一个动作，使得你们的动作呈轴对称图形。
大自然的杰作
大师们的杰作
法国--雪铁龙
日本—本田
中国—五菱
大师们的杰作
图中给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴。
(1)你能猜出整个图案的形状吗？
(2)你能画出这些图案的另一半吗？
一、猜一猜，画一画
A
B
C
A
A
B
B
C
C
D
E
B?
C?
C?
B?
A?
C?
B?
D?
E?
二、请同学们欣赏P107的装饰图案。
问：
1．有多少条对称轴呢?
2．可以利用轴对称性来画出它吗?
请按以下步骤来画
(1)在正方形纸片上画出四条对称轴。
(2)在其中一个三角形中，如图，画出图形形状的基本线条。(注意：不同的线条最终会得到不同的图案，你可以自己设计线条，而不必和书上一样。)
(3)按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形
(4)按照另一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形。
(5)按照水平(或垂直)对称画出(4)中图形的对称图形，即得到图(5)中的图。
三、归纳设计对称图案的步骤：
（1）画出对称轴
（2）画出图形的基本形状的部分线条
（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形
（4）按照另一条对称轴继续画对称图形
（5）完成对称图案设计
1．用若干根火柴可以摆出一些优美的图案，下图是用火柴摆出的一个图案，此图案的含义是天平（或公正）。请你用5根或5根以上火柴棒摆成一个轴对称图案，并说明图案的含义。
2．书上P109练习1
四、课堂巩固练习
做一做——观察下面的图案：
（1）它们是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴。
（2）生活中这些图案可以代表什么含义？与同伴进行交流。
利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义。
可代表台灯
试试看
收集并欣赏生活中的轴对称徽标（如商标），选择其中的1－2个进行分析，并与同伴交流。
商标分析
衢江区一品红柑桔
江山市三棱塑胶
1、每小组利用轴对称性质，共同设计一个 图标，并说明你们小组的设计意图，比一比 哪个小组的设计既新颖有创意又符合要求。
试一试
试一试
2、画一个正方形，再任意画一条直线，以这条直线为对称轴，画出与正方形成轴对称的图形。先猜一猜，再画一画。
A
B
C
D
这节课你学会了什么，有哪些收获？
小结 ：
1.用四个半圆设计轴对称图案。
⑴尽可能多设计几个
(2)给你设计的图片取个贴切的名字
作业：
小碗
小鸡啄米
剥开的橘子
头 盔
带耳套的人
平衡木
猪八戒的耳朵与嘴巴
小推车
笑脸常开
2.下面花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，依据此图，请你为班级的黑板报设计一条花边，要求：
⑴ 只要画出组成花边的一个或一部分图案，
不写画法，不需配文字；
⑵ 以所给的正方形为基础，
用圆弧或圆画出；
⑶ 图案应有美感；
⑷ 与例图不同．
(共59张PPT)
●教学目标
1．理解平移的概念，掌握平移的性质．
2．利用平移进行作图和解决实际问题．
●教学重点和难点
重点：掌握平移的特征．
难点：理解平移的性质，能解决简单的平移问题．
一、课前预习
阅读教材第112～115页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
请大家仔细观察如图所示的图案，你觉得漂亮吗？这个图案的特点都是由一个“基本图案”通过平移得到的，你能找到这些“基本图案”吗？这节内容我们就来研究一个几何变换——平移．
三、新知探究
探究1：平移的定义
概括归纳：
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．图形的这种移动，叫做平移．
探究2：平移的性质
概括归纳：①平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等．
探究3：平移的作图步骤
总结归纳：①定：确定平移的方向和距离；②找：找出表示图形的关键点；③移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；④连：按原图形顺次连接对应点．
四、点点对接
例1：下列叶片是由左边叶片平移得到的是( )
解析：从图形看，四个选项中的形状、大小都没改变，从位置变化来看，A、B、D都发生了转动，只有C是平行移动得到的，所以应选C.也可以通过连结对应点，看这些连线是否平行或在一条直线上来判断．
解：C.
例2：如图所示，画出猫向右平移8格后的图象．
解析：根据平移规律向右平移8格，找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可．
解：所画图形如图所示．
例3：如图所示，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，则将长方形ABCD沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2?
解：设长方形EFGH为平移后的长方形的位置，如图所示，由平移特征可知点E、F、G、H分别是点A、B、C、D平移后的对应点，且点D、H、C、G在同一条直线上，点A、E、B、F在另一条直线上，从而长方形EBCH即是重叠部分．由EB·BC＝24可得EB＝4，则AE＝AB－EB＝6.又因为点A与点E是对应点，所以线段AE的长度就是长方形ABCD平移到长方形EFGH位置的距离，即将长方形ABCD沿着AB方向平移6cm就能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2.
五、课堂小结
说说平移的概念和性质．
自学提纲（看教材112页到114页，认真思考下列问题）
1.什么是平移？
2.思考图形在平移过程中，图形中的每一点移动的方向和距离一样吗？图形的形状、大小改变了吗？
3.图形的平移是由哪两个条件所决定的？
4. 你能说出图形平移的方向和距离吗？
运动员在白茫茫的
平坦雪地上滑行
高楼大厦里运转的电梯
辘轳上的水桶
火车在笔直的铁轨上飞驰而过
公路上跑着的汽车
天上飞着的飞机
这些都给我们以物体平行移动的感觉
这些美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿一定的方向移动而产生的结果
你能找到它们的共同特征吗？
各抒己见
平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移。
金鱼图向（ ）平移了（ ）格
金鱼图向（ ）平移了（ ）格
金鱼图向（ ）平移了（ ）格
金鱼图向（ ）平移了（ ）格
金鱼图向（ ）平移了（ ）格
左
7
火箭图向（ ）平移了（ ）格
上
4
小房图向（ ）平移了（ ）格
下
5
2. 平移不改变图形的形状、大小，只改变图 形的位置.
平移的基本性质
1.图形上各点沿同一方向移动相同的距离
小结
请看图片，平移是由什么决定的？
平移的方向和平移的距离是决定平移的两个要素。
平移的两个要素：
A
B
C
如何使用直尺与三角板画平行线？
一贴
二靠
三推
四画
我们把点A与点A′叫做对应点，把线段AB与线段A′B′叫做对应线段，∠A与∠A′叫做对应角。
点B的对应点是点___________;
点C的对应点是点___________;
线段AC的对应线段是线段___________;
线段BC的对应线段是线段___________;
∠B的对应角是__________;
∠C的对应角是__________。
点B ′
点C ′
A ′ C ′
B ′ C ′
∠ B ′
∠ C ′
△ABC平移的方向就是由点B到点B′的方向，平移的距离就是线段B B′ 的长度。
平移的方向是一个点到它对应点的方向，即对应点确定的射线的方向
平移的距离是对应点间的线段的长度。
平移前后对应线段相等，对应角相等。
1、平移改变的是图形的（ ）
A、形状 B、位置
C、大小 D、形状、大小及位置
B
我的反应最快
③
2、
C
你知道线段CA的中点M以及线段BC上的点N平移到什么地方去了吗？请在图上标出它们的对应点M′和N′的位置。
M′
N′
4.心灵手巧
DEF是由 ABC平移得到的
点A的对应点是_____
AB的对应线段是______
B的对应角是______
平移的方向是_____
平移的距离_______
A
C
D
F
B
5.我的反应最快
E
△
△
∠
如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗？请补上。你能描述出小船的平移路线吗？
6.心灵手巧
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
学习体会
平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移。
2. 平移不改变图形的形状、大小，只改变图 形的位置.
平移的基本性质
1.图形上各点沿同一方向移动相同的距离
小结
请看图片，平移是由什么决定的？
平移的方向和平移的距离是决定平移的两个要素。
平移的两个要素：
△ABC平移的方向就是由点B到点B′的方向，平移的距离就是线段B B′ 的长度。
平移的方向是一个点到它对应点的方向，即对应点确定的射线的方向
平移的距离是对应点间的线段的长度。
平移前后对应线段相等，对应角相等。
给你一幅图案，你能找出基本图形，并再现平移过程吗？
请欣赏：
求出图中绿地的面积
将绿地平移在一起即可求得
能否用平移的方法求出绿地的面积?
(共44张PPT)
10.3 旋转
1. 图形的旋转
●教学目标
图形旋转的概念，能找出旋转图形中的旋转中心、旋转角度和对应关系．
●教学重点和难点
掌握旋转的有关概念，探索和发现旋转后的图形的形状和大小都没有发生变化；会准确找出对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角．
一、课前预习
阅读教材第118～120页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
1．复习图形的两种运动
在以前的学习中我们已经知道图形的两种运动：平移和翻折(展示运动让学生回答)．
2．引入图形的旋转(从生活中抽象到图形)．
生活中我们还会见到许多其他的运动．
用课件展示日常生活中部分物体的旋转现象．
三、新知探究
探究：图形的旋转、旋转中心、旋转角
1．[演示]：演示单摆和风轩的转动，观察转动时各点的运动情况，得到图形在转动时，位置始终不变的那一点叫做旋转中心．图形转动的角度叫做旋转角．
归纳图形旋转特征：旋转前、后的图形形状和大小不变，只改变图形的位置．
2．试一试
根据教材P119页内容动手操作观察，说说你的发现．
3．做一做
根据教材P120页内容观察旋转图形的对应边和对应角．
四、点点对接
例1：如图，△ABC是等边三角形，△ABP旋转后能与△P′BC重合，那么
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转角是多少度？
(3)连结PP′后，△BPP′是什么三角形？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°.
又∵将△ABP旋转后能与△CBP′重合，
∴AB与CB重合，
∴旋转中心是点B；
(2)∵将△ABP绕点B顺时针旋转后能与△CBP′重合，
∴旋转角等于∠ABC＝60°；
(3)△BPP是等边三角形．理由如下：
∵旋转角为60°，即∠PBP′＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′是等边三角形．
例2：如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__1.6__．
解析：由将△ABC的点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，可得AD＝AB，又由∠B＝60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD＝AB＝2，则可求得答案．
解：由旋转的性质可得：AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵AB＝2，BC＝3.6，
∴CD＝BC－BD＝3.6－2＝1.6.
故答案为：1.6.
例3：如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )
A．55° B．70°
C．125° D．145°
解析：根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转边BA与对应边BA1边的夹角可得∠BAB1即为旋转角．
解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝180°－∠BAC＝180°－55°＝125°，
∴旋转角等于125°.故选C.
五、课堂小结
今天我们学习了图形的一种运动——旋转．通过学习你有什么收获？
新课导入
（１）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？
（２）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？
在平面内，将一个图形绕一个顶点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转（cricumrotate)，这个定点成为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
新课推进
平移和旋转的异同：
1、相同：都是一种运动；运动前后 不改变图形的形状和大小
2、不同
运动方向 运动量的衡量
平移 直线 移动一定距离
旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度
议一议：
如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF．在这个旋转过程中：
１．旋转中心是什
么？旋转角是什么？
２．经过旋转，点A、B
分别移动到什么位置？
３．AO与DO的长有什么关
系？BO与EO呢？
４． ∠AOD与∠BOE有什
么大小关系？
旋转的基本性质
（１）旋转不改变图形的大小和形状．
（２）图形上的每一点都绕旋转中心沿
相同方向转动了相同的角度．
（３）任意一对对应点与旋转中心的连
线所成的角度都是旋转角．
（４）对应点到旋转中心的距离相等．
例１ 钟表的分针匀速旋转一周需要60分．
（１）指出它的旋转中心；
（２）经过20分，分针旋转了多少度？
旋转
解：
（１）它的旋转中心是钟表的轴心；
（２）分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为
△ABC是等边三角形， △ABP顺时针旋转后能与△CBP’重合，那么
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角是多少？
（3）连接PP’后，△BPP’是什么三角形？
解 （1）旋转中心是点B。
（2） 旋转角等于60°。
（3）因为BP′＝BP,
∠ PBP′＝∠ABC＝ 60°,
所以△BPP’是等边三角形（有一个角
等于60°的等腰三角形是等边三角形）。
课堂演练
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
1.教材P125习题10.3第1、2、3题；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
社会主义是科学和文化的社会。要成为社会主义社会的当之无愧的成员，应当努力地和好好地学习，获得很多的知识。 —— 加里宁
学案
同步练习
(共80张PPT)
10.3 旋转
2. 旋转的特征 旋转对称图形
●教学目标
1．理解对应点到旋转中心的距离相等．
2．理解对应点与旋转中心所连线的夹角等于旋转角．
3．理解旋转前、后的图形全等．
●教学重点和难点
重点：图形的旋转的基本性质及其应用．
难点：运用操作实验得出几何图形的旋转的三条基本性质．
一、课前预习
阅读教材第121～123页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
复习引入(学生活动)：老师口问，学生口答．
1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？
2．什么叫旋转的对应点？
三、新知探究
探究1：旋转的性质
1．做一做：硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．
2．根据图回答下面问题．
(1)线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
(2)∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
(3)△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
3．归纳总结旋转的性质．
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等．
探究2：旋转对称图形
归纳总结：旋转一定的角度后能与自身重合的图形称之为旋转对称图形．
四、点点对接
例1：如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．
解析：绕C点旋转，A点的对应点为D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．如图所示．
解：(1)连结CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB；
则B′即为所求的B的对应点；
(4)连结DB′.
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
解析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．
解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM，∠DAB为旋转角且为90°.
∵△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的．
∴BK＝DM
例2：如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁．连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．
例3：下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处．旋转角度至少是多少度？这些图形是轴对称图形吗？
解：正三角形是旋转对称图形，它的旋转中心是两条高线的交点，旋转角度是120°，它也是轴对称图形．
正方形是旋转对称图形，它的旋转中心是两条对角线的交点，旋转角度是90°，它也是轴对称图形．
正六边形是旋转对称图形，它的旋转中心是两条对角线的交点，旋转角度是60°，它也是轴对称图形．
例4：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2α．
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，可求得：
∠B＝90°－α，由旋转的性质可得：CB＝CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB＝∠B＝90°－α，然后由三角形内角和定理，求得答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，
∴∠B＝90°－α，
由旋转的性质可得：CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝90°－α，
∴∠BCD＝180°－∠B－∠CDB＝2α.
即旋转角的大小为2α.
故答案为：2α.
五、课堂小结
1．旋转的性质．
2．旋转对称图形．
探 索
观察下图，你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?
在图中，线段OA、 OB都是绕点O逆时针旋转45°到对应线段OA? 、 OB? ，而且
45°
A?
B?
我们可以看到，
OA＝OA? ， OB＝OB? ， ＡＢ＝A? B? ；
∠AOB＝∠A? OB? ， ∠A＝∠A? ， ∠B＝∠B? ．
新课导入
在图中，旋转中心是点O，点A、 B、 C都是绕点O逆时针旋转60°到对应点A? 、 B? 、 C? ，而且
再观察下图，你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?
O
60°
OA＝ ， OB＝ ， OC＝ ；
AB＝ ， BC＝ ， CA＝ ；
∠CAB＝ ， ∠ABC＝ ， ∠BCA＝ ．
OA?
OB?
OC?
A? B ?
B ? C ?
C? A?
∠C ? A? B ?
∠A? B ? C ?
∠B ? C ? A?
旋转的基本性质
(1)旋转不改变图形的形状和大小．
(2)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度．
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角．
(4)对应点到旋转中心的距离相等.
(5)对应线段相等,对应角相等．
新课推进
C?
A
B
C
A?
B?
A?
B?
C?
如图，在纸上画△ABC和过点P的两条直线PQ、PR．画出△ABC关于PQ对称的△A? B? C? ,再画出△A? B? C?关于PR对称的△A? B? C? ．
观察△ABC和△A? B? C? ,你能发现这两个三角形有什么关系吗?
结论：
两次翻折(对称轴相交)相当于一次旋转.
A?
B?
C?
例1 在方格子纸上作出“小旗子”绕点O按顺时针方向旋转90°后的图案.
(1) 作OA? ?OA，取OA? =OA,OB? = OB；
(2) 连接OC；
(3) 作OC? ?OC，取OC? =OC;
(4) 连接A? C? 、B? C?.
┓
┓
即可作出“小旗子”按要求旋转后的图案.
解：
例2 已知等边?ABC,作出它绕点B按逆时针方向旋转120°后的三角形.
A?
C?
A
B
C
解：
(1)延长CB到点A? ,
(2)分别以点A?、B为圆心,
(3) 连接A? C? 、C? B.
则?A? BC? 就是满足条件的三角形.
使A? B＝A B.
以A?B长为半径画弧,在直线A?C的上侧交于点C?.
例3 如图,在正方形ABCD中, ?ABE旋转后能与?ADF重合
O
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)线段AF与BE的位置关系如何?
如何找旋转中心呢？
旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，你知道为什么吗？
怎样画一个图形关于一个点旋转后的图形？
如何来确定旋转中心？
主要是画图形上的几个点旋转后的对应点.
用对称点连线的中垂线来确定.
1.如图所示， △ABO绕点O旋转得到△CDO，在这个旋转过程中：
(1) 旋转中心( ),旋转角是( ).
(2)经过旋转，点A、B分别移到了( ).
(3)若AO=3cm，则CO=( ).
(4) 若∠AOC=60°，∠AOD=20°，则∠BOD=( ),
∠DOC=( ).
课堂演练
O
∠BOD
C、D
3cm
60°
40°
2. 如图,四边形ABCD与四边形EFGO都是边长相等的的正方形,对角线AC与BD交于点O,那么正方形EFGO绕点O无论怎样转动,请你猜想,两个正方形重叠部分的面积会是一个正方形面积的多少?你能否用旋转有关知识说明理由.
A
B
C
D
O
E
F
G
K
H
利用图形的旋转可以使分散的条件与结论相对地集中，以便发现条件与结论之间的关系，从而获得问题解决的思路与途径。
3.在正方形ABCD中, ∠1＝∠2 ＝30°.试把ΔADE绕点A顺时针旋转90°,观察整个图形中角与角之间,线段与线段之间,存在哪些相等关系?探索DE,BF,AF之间的关系.
4. 如图，正方形ABCD的边长为1, AB、AD上各有一点P、Q，如果三角形APQ的周长为2，求∠PCQ。
如图，把ΔDQC逆时针方向旋转90°到ΔBEC
则DQ＝BE，CQ＝CE。有QP＝2－AQ－AP，
EP＝BP＋BE＝BP＋DQ＝ (1－AP) ＋ (1－AQ) ＝QP
所以ΔQCP≌ΔECP（SSS）所以∠PCQ＝ ∠PCE＝45 °
*解决问题
A?
B?
如图,河两边有A、B两个村庄,现准备建一座桥,桥必须与河岸垂直,问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短?请作出图形,并说说理由.
C
E
D
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
1.教材P125习题10.3第5题；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
谁在装束和发型上用尽心思，谁就没有精力用于学习；谁只注意修饰外表的美丽，谁就无法得到内在的美丽。 —— 杨尊田
学案
同步练习
10.3 旋转
3. 旋转对称图形
新课导入
在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合.
电扇的叶片转动 °能与自身重合；螺旋桨转动
°后，能与自身重合.你能再举出一些这样的实例吗？
新课推进
1.做一做
用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度（小于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合.
【归纳结论】 图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形.
2.用类似上述的操作方法对如图所示的图形进行旋转，它是不是旋转对称图形？想一想：旋转中心在何处？该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？该图形是轴对称图形吗？
3.如图所示的图形是轴对称图形，用类似上述的操作方法对所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗？
4.请你设计一个旋转30°后能与自身重合的图形.
课堂演练
1.如图所示的图形中,是旋转对称图形的有( )
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
D
2.将下列图形绕着一个点旋转120°后,不能与原来的图形重合的是( )
C
3.如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的,把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合,则旋转的角度为( )
A.45°或90° B.90°或180°
C.180°或270° D. 45°n(１≤n≤８,且n为正整数)
D
4.如图,该图形围绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( )
A.72° B.108° C.144° D.216°
B
5.如下图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的?每次旋转了多少度?旋转中心是哪个?
解：图案可以看作由一个菱形通过６次旋转得到的,每次旋转60°,旋转中心在图形的中心.
6.如图,下列各图形是否是旋转对称图形?若是, 则各绕哪一点最少要旋转多少度后,能与它自身重合?
解：(１)是旋转对称图形 ,圆心,１８０°；
(２)不是旋转对称图形；
（３)是旋转对称图形 ,圆心,６０°；
（4）是旋转对称图形,正方形对角线的交点,９０°.
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
1.教材P125习题10.3第4题；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
人要独立生活，学习有用的技艺。
—— 凯德
学案
同步练习
(共47张PPT)
10.4 中心对称
●教学目标
掌握成中心对称的两个图形的性质，会利用性质作出中心对称的图形．
●教学重点和难点
重点：中心对称的性质及初步应用．
难点：理解中心对称与旋转之间的关系．
一、课前预习
阅读教材第127～128页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
导语1：在前一节中我们学习了图形的旋转，那么旋转后的图形有哪些性质？(旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角均相等．)
导语2：观察图中三个图形旋转的角度，发现哪个图形与其他两个不同？
三、新知探究
探究1：中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
这样画出的△ABC与△A′B′C′，关于点O对称，分别连接对应点AA′、BB′、CC′，点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？△ABC与A′B′C′有什么关系？
探究2：中心对称的性质
1．做一做．
如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形．
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180°，画出△A′B′C′；
第三步，移开三角板．
2．归纳总结：(1)关于中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．反过来说，如果两个图形的所有对应点的连线都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称．
四、点点对接
例1：下列图案中，不是中心对称图形的是( )
解析：根据中心对称图形的概念求解．
解：A是中心对称图形，故本选项错误；
B不是中心对称图形，故本选项正确；
C是中心对称图形，故本选项错误；
D是中心对称图形，故本选项错误；
故选B.
例2：下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给的图形进行判断即可．
解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选B.
五、课堂小结
1．本节学习的数学知识是中心对称的概念，以及中心对称的性质．
2．本节学习的数学方法是作中心对称的图形的步骤与方法．
观察下面的图形，你有什么发现？
观察下面的两个图形你有什么发现?
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
A
B
C
A’
C’
B’
O
(1)把其中一个图案绕点O旋转180°,你有什么发现?
观 察
(2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?
重合
重合
概念
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称,也称这两个图形成中心对称
这个点叫作对称中心
2个图形中的对应点叫做对称点
并且由图知OA
=OA`，同理有OB=OB`，OC=OC`。
由此得到下面结论：
定理2 关于中心对
称的两个图形，对称点的
连线都经过对称中心，并
且被对称中心平分。
△ABC与△A`B`C`关于点
O成中心对称,点A、A`，B、B`
，C、C`都分别和对称中心O在
一条直线上，
两个图形关于中心对称，是指两个图形之间的形状、
位置关系。从定义可知，关于中心对称的两个图形必须能
够重合，所以这两个图形一定全等。所以有：
定理1 关于中心对称的两个
图形是全等形。
A
B
C
C`
B`
A`
O
∵ △ABC与△A`B`C`关
于点O成中心对称
∴ △ABC≌ △A`B`C`
∵△ABC与△A`B`C`关
于点O成中心对称
∴AA`、BB`、CC`经过点O
且 OA=OA`，OB=OB`，OC=OC`
（看图）
（再看图）
（2）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．
（1）关于中心对称的两个图形是全等形；
归纳性质
A
A′
B′
B
O
2、线段的中心对称线段的作法
A
O
A′
1、点的中心对称点的作法
灵活运用，体会内涵
以点O为对称中心,作出点A的对称点A′;
以点O为对称中心,作出线段AB的对称线段点A′B′
点A′即为所求的点
例1 (2)如图23.2-5,选择点O为对称中心,画出与
△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
解:
A′
C′
B′
△A′B′C′即为所求的三角形。
3.已知四边形ABCD和点O,画四边形A’B’C’D’,使它
与已知四边形关于点O对称。
画法：1. 连结AO并延长到A’，使OA’=OA，得到点A的对称点A’.
2. 同样画B、C、D的对称点B’、C’、D’.
3. 顺次连结A’、B’、C’、D’各点.
四边形A’B’C’D’就是所求的四边形.
A ’
B’
D’
C’
o
A
B
C
D
O
∴四边形A`B`C`D是
所求的四边形。
A`
．
C`
．
B`
．
若点O是BC的中点呢？
A
B
C
D
∴四边形A`B`C`D`就是
所求的四边形。
A`
B`
．
若点O与点A重合呢？
由已知条件，如果把其中一个图形绕着这个点
旋转180°，它必须与另一个图形重合，根据中心对
称的定义，可知这两个图形关于这一点对称。
逆定理 如果两个图形的对
应点连线都经过某一点，并且被这
一点平分，那么这两个图形关于这
一点对称。
定理2 关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对
称中心平分。
②结论是什么？
②（对称点的连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分）
③它的逆命题是什么？
③（如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。）
（2）我们如何证明这个逆命题是正确的？
定理2的逆命题为：
①（两个图形成中心对称）
现在我们来研究定理2的逆命题，先看定理2。
命题的已知条件（看图）
命题的结论是两个图形关于这点对称（看图）
如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。
解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连结BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点O即为所求（如图）
O
O
解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两组对应点，连结BB’、CC’，BB’、CC’相交于点O，则点O即为所求（如图）。
轴对称 与中心对称定义、性质对比图：
两个图形是全等形。
对称点连线都过对称中心，
且被对称中心平分。
轴对称 中心对称
定
义
1
2
3 有一条对称轴—直线
图形沿轴对折，(翻转达180度。)
翻转后与另一个图形重合。 有一个对称中心—点。
图形绕中心旋转180度。
旋转后与另一个图形重合。
性
质 1
2
两个图形是全等形。
对称轴是对称点连线的垂直平分线。
轴 对 称
中心对称
1
2
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
本节课你有哪些收获与疑问?
归纳：
（1）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分.
反过来,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
（2）关于中心对称的两个图形是全等形。
再见！
(共40张PPT)
10.5图形的全等
●教学目标
1．认识全等图形，理解全等图形的概念与特征．
2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．
●教学重点和难点
重点：理解全等图形的概念与特征．
难点：理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．
一、课前预习
阅读教材第133～135页内容，了解本节课的主要内容．
二、情景导入
通过PPT图片让学生欣赏图片回答问题．
问题1：日常生活中，你见过这样的图案吗？
问题2：这些图案有哪些共同特征？
三、新知探究
探究1：全等的定义
归纳总结：能完全重合的图形叫做全等图形．通过平移、旋转、折叠、对称、中心对称都可以得到全等形．
探究2：全等形的有关概念
归纳总结：
对应顶点：全等形中互相重合的顶点叫对应顶点．
对应边：全等形中互相重合的边叫对应边．
对应角：全等形中互相重合的角叫对应角．
探究3：全等形的性质
归纳总结：全等形的对应边、对应角相等．
四、点点对接
例1：已知△ABC≌△DEF，AB＝8，BC＝12.若△ABC的周长为32，则△DEF的三边长分别是多少？
解：因为AB＝8，BC＝12，且△ABC的周长为32，所以AC＝32－8－12＝12.
又因为△ABC≌△DEF，所以DE＝AB＝8，
EF＝BC＝12，DF＝AC＝12.
解：由图形平移的特征，可知△ABC与△DEF的形状与大小相同，即
△ABC≌△DEF.
∴∠D＝∠A＝80°(全等三角形的对应角相等)．
同理∠DEF＝∠B＝60°.
又∵∠D＋∠DEF＋∠F＝180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠F＝180°－∠D－∠DEF
＝180°－80°－60°
＝40°.
例2：如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A＝80°，∠B＝60°.求∠F的度数．
例3：如图，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转30°后得到△DBE.
(1)△ABC和△DBE有什么关系？
(2)求∠CBE的度数．
解析：将△ABC绕其顶点B旋转得到△DBE，是几何变换中的全等变换，改变的只是位置，而大小、形状没有变化，所以△ABC和△DBE全等．
解：(1)根据旋转变换，得△ABC≌△DBE；
(2)由△ABC绕B点顺时针旋转30°得到△DBE，知BC绕B点顺时针旋转30°得到BE，即∠CBE＝30°.
五、课堂小结
1．全等形的概念．
2．全等形的性质．
备用课件
1.了解全等图形和全等多边形的概念
2.了解全等多边形的对应点、对应边、对应角
3.了解全等多边形的基本性质
观察下面的图形：
图形的三种基本变换:
轴对称、
平移
和
旋转
D
E
F
作△ABC关于直
线l对称的△DEF
作△ABC向右平
移 4 格的△DEF
·
·
·
·
D
·
E
·
F
D
作△ABC绕点O顺时
针旋转90度的△DEF
·
·
E
·
F
这三种基本变换中, △ABC与△DEF都能重合吗?
能
我们把能完全重合的两个图形叫做全等图形.
能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
议一议：
2、观察下面两组图形，它们是不是全等图形?为什么？与同伴进行交流。
全等图形的特征是：能够完全重合。
两个图形形状相同，但大小不同；
两个图形面积相同，但形状不同。
它们不能重合，不是全等图形
议一议：
3、如果两个图形全等，它们
的形状与大小一定相同吗？
全等图形的形状与大小都相同
1.两个能够完全重合的图形称为全等图形。
2.图形经过轴对称、旋转或平移这三种基本的变换，前后两个图形是全等图形。
3.两个全等图形经过轴对称、旋转或平移这三种基本的变换后一定能够完全重合。 P134
概念回顾
观察下图中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？
思考
新概念：上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
五边形ABCDE 五边形A1B1C1D1E1
≌
对应边
全等多边形：能够完全重合的多边形
AB A1B1
BC B1C1
CD C1D1
DE D1E1
EA E1A1
=
=
=
=
=
对应角
∠A ∠A1
∠B ∠B1
∠C ∠C1
∠D ∠D1
∠E ∠E1
=
=
=
=
=
全等于
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
实际上这也是我们判定全等多边形的方法，即________________________的两个多边形全等．
对应边、对应角都分别相等
全等图形的形状与大小都相同
表示方法：
记作：△ABC △ A′B′C′
≌
如图15.4.4中的两个三角形是全等的
图15.4.4
如图如果△ABC ≌△DEF，那么你可以得到：
（2）如果具备： 那么可以得出 △ABC ≌△DEF 。
∠A=∠D，∠B=∠E，
∠C=∠F。
A
B
C
D
E
想一想
AB=DE，BC=EF，AC=DF；
A
B
C
D
E
F
试一试：
解：对应边是：
对应角是：
AC与DF，AB与DE，BC与EF
∠A与∠FDB，∠ABC与∠E，∠C与∠F
A
B
C
D
E
填一填：
⑴△ ≌△
⑵对应边是
⑶对应角是
ABC
DEC
AC与DC，AB与DE，BC与EC。
∠A与∠D、∠B与∠E、
∠ACB与∠DCE
A
B
C
D
如图△ABD≌△ABC
⑴AD的对应边是 ；AB的对应边是
⑵∠DAB的对应角是
AC
AB
∠CAB
A
B
C
D
如图△ABD≌△ABC
A
C
如图△AOC≌△BOD
1.相等的边是：
2.∠AOC=
∠A= ∠C=
OA=OB
OC=OD，AC=BD
∠BOD
∠B ∠D
O
D
B
理由：
全等三角形的对应边、对应角分别相等！
全等多边形的性质：
全等多边形的对应边、对应角分别相等
全等多边形的判定方法：
如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等。
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角分别相等
全等三角形的判定方法：
如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
说一说
请指出下列各图中的全等三角形， 并说出对应顶点、对应边、对应角：
A
B
C
D
A
B
C
D
（1）
（2）
O
练一练
考考你：已知△ABC≌△DEF， △ABC的周长是40cm, AB=10cm,BC=16cm,求DF的长度。
解：∵ △ABC≌△DEF （已知）
∴AC=DF(全等三角形的对应边相等）
∵△ABC的周长是40cm,AB=10cm,BC=16cm（已知）
∴ AC=40-AB-BC=40-10-16=14（cm）
∴ DF=AC=14cm
A
B
C
D
E
F
10
16
如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A=80°, ∠B=60°，求∠F的度数。
80°
60°
40°
40°
完成P136 练习第1、3题
解:①其它对应顶点为
A→G,C→I,E→F;
②对应边为AB→GH,BC→HI,CD→IJ,
DE→JF,EA→FG;
③对应角为(与对应顶点相同);
④a=12,b=10,c=8,d=5,e=11, α=90°, β=115°.
如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，∠B=40°, ∠DAC=50°，求∠E的度数。
40°
50°
30°
30°
做一做:
沿着右边图中的虚线，分别把右面的图形划分为两个全等图形，并与同伴进行交流。
(至少找出两种方法)
图形一
图形二
做一做
我们看看下面的几种划分方法，与你的划分方法对比一下，看看自己是如何划分的。
图形一划分方法
做一做:
图形二划分方法
做一做:
图形二划分方法
回顾小结：
1、本节主要学了哪几种图形：
2、图形的三种基本的运动
轴对称、旋转、平移
明确这三种运动方式，可以让我们容易地找出对应边、对应角
3、全等多边形、全等三角形的对应边，对应角有什么特征？
相等
注意：书写时，对应字母应写在对应位置！
全等图形，全等多边形，全等三角形
