2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第1章1.11.1.3　中心投影和平行投影（略）1.1.4　直观图画法Word版含解析

1.1.3　中心投影和平行投影(略)
1.1.4　直观图画法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解斜二测画法的概念．(重点)
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点、易错点)
3.会根据平面图形及空间几何体的直观图还原出平面图形及空间几何体．(难点)
通过画直观图提升学生的直观想象数学核心素养.
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．立体图形的直观图画法
斜二测画法的规则
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°．
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
思考：画平面图形直观图的关键和注意点是什么？
提示：(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
1.思考辨析
(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变． (　　)
(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的.
(　　)
(3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
. (　　)
(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．下列说法正确的是(　　)
A．相等的角，在直观图中仍相等
B．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
C．若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行
D．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直
C　[由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确．]
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm.
5　[由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm＋3 cm＝5 cm.]
4．如图是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC的形状是______三角形．
直角　[由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．]
画水平放置的平面图形的直观图
【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
思路探究：―→
[解]　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连结B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连结成线段．
1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
[解]　如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，如图(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB.
在y′轴上截取O′D′＝OD，过D′作线段D′C′＝DC且D′C′∥A′B′，连结B′C′，A′D′，则四边形A′B′C′D′即为ABCD的直观图．
(1)　　 　　　　　　(2)
画空间几何体的直观图
【例2】　有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．
思路探究：根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，进而确定出正三棱锥的顶点即可．
[解]　(1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示．
(2)过正三角形中心O′建立z′轴，画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3 cm，连结V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)．
(1)　　　　　　(2)　　　 　　(3)
1.用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．
2.在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可．
3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
[解]　(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．
(1)　　　 　　　　(2)
将直观图还原为原平面图形
[探究问题]
1．如图所示，一个平面图形的直观图为平行四边形，则四边形ABCD的实际形状是什么图形？
[提示]　矩形．因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
2．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，这个平面图形本身是等腰梯形吗？其面积是多少？
[提示]　不是等腰梯形，是直角梯形．根据斜二测画法，等腰梯形A′B′C′D′的高为，所以A′B′＝1＋2×＝1＋，在平面图形中，AB的长为1＋，CD的长为1，AD的长为2，所以这个平面图形的面积为(1＋1＋)×2＝2＋.
【例3】　如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．
思路探究：
―→―→
[解]　(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
(3)连结AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连结即可．
3．已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
[解]　建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C，使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
已知A′B′＝A′C′＝a，C′D′为△A′B′C′边A′B′上的高，C′D′＝a，∴OC′＝·a＝a，∴OC＝a，故S△ABC＝A′B′·OC＝a·a＝a2.
1．本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)画平面图形直观图的方法步骤．
(2)画简单几何体直观图的方法步骤．
(3)直观图与原图形之间的关系．
3．本节课的易错点是直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点．
B　[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
2．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是________．
[答案]　椭圆
3．平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中对应点M′，则M′的坐标为________．
(4，2)　[由斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的变为原来的，故M′的坐标为(4，2)．]
4.如图所示，梯形A′B′C′D′是一平面图形ABCD的直观图．若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1.
试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．
[解]　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D′A′＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A′B′＝2.
连结BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.