苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：03子集、全集、补集(基础)

子集、全集、补集

【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集；了解空集和全集的含义；
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合间的“包含”关系
1.子集
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
2.真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、全集、补集
1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
2.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
【典型例题】
类型一、集合间的“包含”关系
例1. 请判断①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合．
【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
(1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}；
(2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}；
(3){x||x|>1} {x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1【答案】 (1)= (2) (3) (4)
【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】（2019 广西桂林开学测）满足{1}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数为（）
A． 4 B．6 C． 8 D． 16
【答案】D
【解析】∵{1}?M?{1，2，3，4，5}，
∴ 2，3，4，5共4个元素可以选择，
即满足{1}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数可化为
{2，3，4，5}的子集个数；
故其有16个子集，
故选D．
【总结升华】本题考查了集合间的包含关系及集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有个子集，有个真子集．
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.
【答案】 a=-1， a=或a=0
【解析】∵， ∴a2A，
则有：
（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0
综上：a=-1， a=或a=0.
注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.

例3. 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
例4．已知若M=N，则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二、全集、补集

例5. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
例6.已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，＝{a＋3}，求a的值．
【思路点拨】求a的值，需要充分挖掘补集的含义， .S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．
【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．
在(2)中，由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍去，a＝2能满足②③④．故a＝2符合题意．
【总结升华】含参数问题要分类讨论，分类时要做到不重不漏．
类型三、子集、全集、补集综合应用
例7．（2019 福建南安期中）已知集合．
（Ⅰ）求；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵
∴ 如图，；
或
∴ 或
（Ⅱ）画数轴同理可得：．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式】集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，
需，可得2≤m≤3
综上m≤3时有BA
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}
所以，A的非空真子集个数为：28－2＝254
(3)∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件.
②若B＝，则要满足条件有：或解之m＞4
综上有m＜2或m＞4
【巩固练习】
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）

3．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．（2019 福建南安期中）全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．（2019 山西大同期中）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 若集合，，，则的非空子集的个数为 .
9．已知集合A＝{x|－110．设集合，，且，则实数的取值范围是 .
11．已知，则_________.
12．已知集合，若，请写出满足上述条件得集合.
13．（2019 山东日照期末）已知集合
（1）求；
（2）已知，若，求实数的取值的集合.
14．已知集合，且,求实数的值．
15．设全集，，.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】对于，因此．
2．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
3.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，而，∴；∴.
4.【答案】 C
【解析】
5．【答案】B
【解析】∵ 集合，
全集，
∴ ．
∴ ．
故选B．
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7．【答案】C
【解析】由题意，∵ ，，
∴ ，
又∵
∴ ，，，故选C
8.【答案】15
【解析】 ，，非空子集有.
9.【答案】a≥3
【解析】借助数轴
10.【答案】
【解析】，则得.
11.【答案】
【解析】，，，.
12.【答案】满足条件的集合是，，，，，，.
13．【答案】（1）或或．（2）
【解析】（1）显然又,
或，或或．
（2）如图,应有
解之得．
14.【答案】
【解析】显然又,，即0-0+=0，.
由解得或1
，可解得.于是，解得或1.
.
15.【答案】
【解析】当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴
∴.