苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：05并集、交集(基础)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：05并集、交集(基础) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 144.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-28 13:20:20 | ||
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文档简介
并集、交集
【学习目标】
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单的集合并集与交集；
【要点梳理】
要点一、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）．
要点二、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合．
要点三、集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x（A∩B），则xA且xB
若x（A∪B），则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
【典型例题】
类型一、并集
例1．集合,,若,则的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】 D
【解析】∵,,∴∴,故选D．
例2． 已知A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2-qx+2p=0}，若A∩B={1}，则A∪B=（ ）
A． B． {1} C． {1，-3，-4} D．
【思路点拨】充分利用集合A，B是两个一元二次方程的解集这一条件，再根据A∩B={1}知1是两个方程的根进行求解．
【解析】由题意知集合A，B是两个一元二次方程的解集，若A∩B={1}，则x=1是以上两个一元二次方程的公共解，即x=1同时满足两个一元二次方程．
由此可得
∴
正确选项为A．
举一反三：
【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B．
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去．
例3．（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B．
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}．
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}．
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R．
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3 ( a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}(A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3(a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}．
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性．其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件．
举一反三：
【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B．
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去．
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
类型二、交集
例4． 已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=
（A）{1,3} （B）{3,7,9} （C）{3,5,9} （D）{3,9}
【答案】D
【思路点拨】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．
【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为
B∩A={9}，所以9∈A，所以选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．
例5．（2019年黑龙江大庆月考）已知集合A={x|（x－2）（x－3a－1）＜0}，，若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】求出B中不等式的解集确定出B，根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，分类讨论a的范围确定出A中不等式的解集，即可确定出满足题意a的范围．
【答案】
【解析】由B中不等式解得：－1≤x＜5，即B=[－1，5），
∵A∩B=A，∴AB，
由A中的不等式（x－2）（x－3a－1）＜0，
当，即3a+1＜2时，解得：3a+1＜x＜2，
此时有，即；
当时，A=，满足题意；
当，即3a+1＞2时，解得：2＜x＜3a+1，
此时有，即，
综上，a的取值范围为．
【总结升华】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
举一反三：
【变式】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于（ ）
A． B． R C． {-1，9} D． [-1，9]
【答案】D
【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D．
例6． 设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D．
【思路点拨】A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解．
【解析】
因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}
则 解得
∴A∩B＝{（1，－1）}
又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则方程无解
∴B∩C＝
又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则
化成3x＋2y＝1
∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}
【总结升华】A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点．A、D对应直线是一条，有无数个交点．
类型三、并集、交集的综合应用
例6．已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=
【思路点拨】集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．
【答案】3
【解析】∵A∩B={2,3}，∴B中一定有元素3，则m=3．
【总结升华】集合的关系和运算在高考中常常考一个小题，常结合方程的解，不等式的解集，函数的定义域和值域的考查．解题方法是理清元素结合图象（ven图、数轴和坐标系）解决．
例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}．
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（1）a<4 （2）a≥-2 （3）-2≤a<4
【解析】
（1）∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；
（2）画数轴同理可得：a≥-2；
（3）画数轴同理可得：如图，-2≤a<4．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】（2019 广西桂林开学测）已知集合A={x｜1＜ax＜2}，．
（1）当a=－2时，求A∩B；
（2）若A∩B=A，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）求出B中不等式的解集确定出B，将a=－2代入A求出解集确定出A，找出两集合的交集即可；
（2）根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出a的范围即可．
【答案】（1）；（2）[2，＋∞）∪（－∞，－2]∪{0}
【解析】（1）由B中不等式解得：－1＜x＜1，即B={x|－1＜x＜1}，
把a=－2代入A中不等式解得：，即，
则；
（2）∵A∩B=A，
∴AB，
若a=0时，A=，满足题意；
若a＞0时，，此时有，即a≥2；
若a＜0时，，此时有，即a≤－2，
综上，a的范围为[2，+∞）∪（－∞，－2]∪{0}．
【总结升华】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
【变式2】已知集合，若,求实数的取值范围．
【答案】或
【解析】,．
①当时，此时方程无解，由，解得或．
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得．
综上，实数的取值范围是或．
【巩固练习】
1．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b为实数，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )
A．{0,1,2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
2．（2019年黑龙江大庆月考）设集合S={x｜x＞－2}，T={x｜－4≤x≤1}，则=（ ）
A．（－2，1] B．（－∞，－4] C．（－∞，1] D． [1，+∞）
3．集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0或±1
4．（2019年河南郑州月考）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． A∩B B．A∪B C． D．
5．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(?IM)＝?，则M∪N＝( )
A．M B．N
C．I D．?
6．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是( )
A．2 B．2或3
C．1或3 D．1或2
7．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝________．
8．已知集合M＝{x|<0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于________．
9．已知集合A＝{x∈R||x－1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．
10．已知A={x|x2－4x－5＞0}，B={x||x－a|＜4}，且A∪B=R，求实数a取值的集合．
11．（2019 河南郑州月考）已知集合A={x｜2－a≤x≤2+a}，B={x｜x≤1或x≥4}．
（1）当a=1时，求A∪B；
（2）若a＞0，且，求实数a的取值范围．
12．已知M={2，3，m2+4m+2}，P={0，7，m2+4m－2，2－m}，满足M∩P={3，7}，求实数m的值和集合P．
13．已知A={x|1＜|x－2|＜2}，B={x|x2－（a+1）x+a＜0}，且A∩B≠，试确定a的取值范围．
14．已知集合A={x|x=m2-n2，mZ，nZ}．
求证：(1)3A；
(2)偶数4k—2 (kZ)不属于A．
15．(1)P={x|x2-2x-3=0}，S={x|ax+2=0}，SP，求a取值？
(2)A={-2≤x≤5}?，B={x|m+1≤x≤2m-1}，BA，求m．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】∵M∩N＝2，∴2∈M,2∈N．
∴a＋1＝2，即a＝1．
又∵M＝{a，b}，∴b＝2．
∴A∪B＝{1,2,3}．
2．分析：先求出S的补集，再与T求补集．
【答案】C
【解析】因为集合S={x｜x＞－2}，T={x｜－4≤x≤1}，则，
所以；
故选C．
3．【答案】D
【解析】A＝{－1,1}，∵B?A，∴当B＝?时，a＝0；当B≠?时，a＝±1．
4．分析：由图可知即为所求．
【答案】C
【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合为，
故选C．
5．【答案】A
【解析】本小题利用韦恩图解决，根据题意，N是M的真子集，所以M∪N＝M．
6．【答案】D
【解析】由题意得，当a＝1时，方程x2－ax＋1＝0无解，集合B＝?，满足题意；当a＝2时，方程x2－ax＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；当a＝3时，方程x2－ax＋1＝0有两个不相等的实根，，集合B＝{，}，不满足题意．所以满足A∩B＝B的a的值为1或2．
7．【答案】{x|0【解析】∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴?UA＝{x|08．【答案】[1,2)
【解析】M＝{x|09．【答案】3
【解析】A＝{x|－1＜x＜3}，A∩Z＝{0,1,2}，A∩Z中所有元素之和等于3．
10．【解析】A={x|x＞5或x＜－1}，B={x|a－4＜x＜a+4}．
为使A∪B=R，∴1＜a＜3．
11．分析：（1）当a=1时，A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x≤1或x≥4}，由此能求出A∪B．
（2）由，得，由此能求出0＜a＜1．
【答案】（1）{x｜x≤3或4－x}；（2）0＜a＜1
【解析】（1）∵当a=1时，A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x≤1或x≥4}，
∴A∪B={x｜x≤3或4≤x}．
（2）∵，
又A={x｜2－a≤x≤2+a}（a＞0），
B={x｜x≤1或x≥4}，
∴，解得0＜a＜1．
点评：本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意集合性质的合理运用．
12．【解析】∵M∩P＝{3，7}，∴7∈M，
即m2+4m+2=7．∴m=－5或m=1．
当m=－5时，M={2，3，7}，P={0，7，3，7}，P中元素不满足互异性，∴m=－5舍去．
当m=1时，M={2，3，7}，P={0，7，3，1}，满足条件，∴m=1．此时P＝{0，7，3，1}．
13．【解析】A={x|0＜x＜1或3＜x＜4}．
（1）当a＞1时，B={x|1＜x＜a}，
由A∩B≠，得a＞3．
（2）当a＜1时，B={x|a＜x＜1}，
由A∩B≠，易知a＜1．
综上，a的取值范围是{a|a＜1或a＞3}．
14．【证明】(1)3=22-12?，∴3A
(2)设4k-2A，得存在m，nZ，使4k-2=m2-n2成立． (m-n)(m+n)=4k-2
当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数
∴(m-n)(m+n)为4的倍数，与4k-2不是4 倍数矛盾．
当m、n分别为奇、偶数时，m-n，m+n均为奇数
(m-n)(m+n)为奇数，与4k-2是偶数矛盾．∴4k-2A．
15．【解析】(1)a=0，S=，P成立 ；
a0，S，由SP，P={3，-1}
得3a+2=0，a=-或-a+2=0，a=2；
∴a值为0或-或2．
(2)B=，即m+1>2m-1，m<2，A成立．
??? B≠，由题意得，得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3，即m≤3为取值范围．
注：(1)特殊集合作用，常易漏掉；
(2)运用分类讨论思想，等价转化思想，数形结合思想常使集合问题简捷化．
【学习目标】
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单的集合并集与交集；
【要点梳理】
要点一、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）．
要点二、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合．
要点三、集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x（A∩B），则xA且xB
若x（A∪B），则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
【典型例题】
类型一、并集
例1．集合,,若,则的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】 D
【解析】∵,,∴∴,故选D．
例2． 已知A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2-qx+2p=0}，若A∩B={1}，则A∪B=（ ）
A． B． {1} C． {1，-3，-4} D．
【思路点拨】充分利用集合A，B是两个一元二次方程的解集这一条件，再根据A∩B={1}知1是两个方程的根进行求解．
【解析】由题意知集合A，B是两个一元二次方程的解集，若A∩B={1}，则x=1是以上两个一元二次方程的公共解，即x=1同时满足两个一元二次方程．
由此可得
∴
正确选项为A．
举一反三：
【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B．
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去．
例3．（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B．
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}．
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}．
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R．
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3 ( a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}(A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3(a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}．
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性．其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件．
举一反三：
【变式】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B．
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去．
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
类型二、交集
例4． 已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=
（A）{1,3} （B）{3,7,9} （C）{3,5,9} （D）{3,9}
【答案】D
【思路点拨】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．
【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为
B∩A={9}，所以9∈A，所以选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．
例5．（2019年黑龙江大庆月考）已知集合A={x|（x－2）（x－3a－1）＜0}，，若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】求出B中不等式的解集确定出B，根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，分类讨论a的范围确定出A中不等式的解集，即可确定出满足题意a的范围．
【答案】
【解析】由B中不等式解得：－1≤x＜5，即B=[－1，5），
∵A∩B=A，∴AB，
由A中的不等式（x－2）（x－3a－1）＜0，
当，即3a+1＜2时，解得：3a+1＜x＜2，
此时有，即；
当时，A=，满足题意；
当，即3a+1＞2时，解得：2＜x＜3a+1，
此时有，即，
综上，a的取值范围为．
【总结升华】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
举一反三：
【变式】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于（ ）
A． B． R C． {-1，9} D． [-1，9]
【答案】D
【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D．
例6． 设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D．
【思路点拨】A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解．
【解析】
因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}
则 解得
∴A∩B＝{（1，－1）}
又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则方程无解
∴B∩C＝
又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则
化成3x＋2y＝1
∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}
【总结升华】A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点．A、D对应直线是一条，有无数个交点．
类型三、并集、交集的综合应用
例6．已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=
【思路点拨】集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．
【答案】3
【解析】∵A∩B={2,3}，∴B中一定有元素3，则m=3．
【总结升华】集合的关系和运算在高考中常常考一个小题，常结合方程的解，不等式的解集，函数的定义域和值域的考查．解题方法是理清元素结合图象（ven图、数轴和坐标系）解决．
例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}．
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（1）a<4 （2）a≥-2 （3）-2≤a<4
【解析】
（1）∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；
（2）画数轴同理可得：a≥-2；
（3）画数轴同理可得：如图，-2≤a<4．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】（2019 广西桂林开学测）已知集合A={x｜1＜ax＜2}，．
（1）当a=－2时，求A∩B；
（2）若A∩B=A，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）求出B中不等式的解集确定出B，将a=－2代入A求出解集确定出A，找出两集合的交集即可；
（2）根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出a的范围即可．
【答案】（1）；（2）[2，＋∞）∪（－∞，－2]∪{0}
【解析】（1）由B中不等式解得：－1＜x＜1，即B={x|－1＜x＜1}，
把a=－2代入A中不等式解得：，即，
则；
（2）∵A∩B=A，
∴AB，
若a=0时，A=，满足题意；
若a＞0时，，此时有，即a≥2；
若a＜0时，，此时有，即a≤－2，
综上，a的范围为[2，+∞）∪（－∞，－2]∪{0}．
【总结升华】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
【变式2】已知集合，若,求实数的取值范围．
【答案】或
【解析】,．
①当时，此时方程无解，由，解得或．
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得．
综上，实数的取值范围是或．
【巩固练习】
1．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b为实数，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )
A．{0,1,2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
2．（2019年黑龙江大庆月考）设集合S={x｜x＞－2}，T={x｜－4≤x≤1}，则=（ ）
A．（－2，1] B．（－∞，－4] C．（－∞，1] D． [1，+∞）
3．集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0或±1
4．（2019年河南郑州月考）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． A∩B B．A∪B C． D．
5．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(?IM)＝?，则M∪N＝( )
A．M B．N
C．I D．?
6．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是( )
A．2 B．2或3
C．1或3 D．1或2
7．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝________．
8．已知集合M＝{x|<0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于________．
9．已知集合A＝{x∈R||x－1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．
10．已知A={x|x2－4x－5＞0}，B={x||x－a|＜4}，且A∪B=R，求实数a取值的集合．
11．（2019 河南郑州月考）已知集合A={x｜2－a≤x≤2+a}，B={x｜x≤1或x≥4}．
（1）当a=1时，求A∪B；
（2）若a＞0，且，求实数a的取值范围．
12．已知M={2，3，m2+4m+2}，P={0，7，m2+4m－2，2－m}，满足M∩P={3，7}，求实数m的值和集合P．
13．已知A={x|1＜|x－2|＜2}，B={x|x2－（a+1）x+a＜0}，且A∩B≠，试确定a的取值范围．
14．已知集合A={x|x=m2-n2，mZ，nZ}．
求证：(1)3A；
(2)偶数4k—2 (kZ)不属于A．
15．(1)P={x|x2-2x-3=0}，S={x|ax+2=0}，SP，求a取值？
(2)A={-2≤x≤5}?，B={x|m+1≤x≤2m-1}，BA，求m．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】∵M∩N＝2，∴2∈M,2∈N．
∴a＋1＝2，即a＝1．
又∵M＝{a，b}，∴b＝2．
∴A∪B＝{1,2,3}．
2．分析：先求出S的补集，再与T求补集．
【答案】C
【解析】因为集合S={x｜x＞－2}，T={x｜－4≤x≤1}，则，
所以；
故选C．
3．【答案】D
【解析】A＝{－1,1}，∵B?A，∴当B＝?时，a＝0；当B≠?时，a＝±1．
4．分析：由图可知即为所求．
【答案】C
【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合为，
故选C．
5．【答案】A
【解析】本小题利用韦恩图解决，根据题意，N是M的真子集，所以M∪N＝M．
6．【答案】D
【解析】由题意得，当a＝1时，方程x2－ax＋1＝0无解，集合B＝?，满足题意；当a＝2时，方程x2－ax＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；当a＝3时，方程x2－ax＋1＝0有两个不相等的实根，，集合B＝{，}，不满足题意．所以满足A∩B＝B的a的值为1或2．
7．【答案】{x|0
【解析】M＝{x|0
【解析】A＝{x|－1＜x＜3}，A∩Z＝{0,1,2}，A∩Z中所有元素之和等于3．
10．【解析】A={x|x＞5或x＜－1}，B={x|a－4＜x＜a+4}．
为使A∪B=R，∴1＜a＜3．
11．分析：（1）当a=1时，A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x≤1或x≥4}，由此能求出A∪B．
（2）由，得，由此能求出0＜a＜1．
【答案】（1）{x｜x≤3或4－x}；（2）0＜a＜1
【解析】（1）∵当a=1时，A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x≤1或x≥4}，
∴A∪B={x｜x≤3或4≤x}．
（2）∵，
又A={x｜2－a≤x≤2+a}（a＞0），
B={x｜x≤1或x≥4}，
∴，解得0＜a＜1．
点评：本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意集合性质的合理运用．
12．【解析】∵M∩P＝{3，7}，∴7∈M，
即m2+4m+2=7．∴m=－5或m=1．
当m=－5时，M={2，3，7}，P={0，7，3，7}，P中元素不满足互异性，∴m=－5舍去．
当m=1时，M={2，3，7}，P={0，7，3，1}，满足条件，∴m=1．此时P＝{0，7，3，1}．
13．【解析】A={x|0＜x＜1或3＜x＜4}．
（1）当a＞1时，B={x|1＜x＜a}，
由A∩B≠，得a＞3．
（2）当a＜1时，B={x|a＜x＜1}，
由A∩B≠，易知a＜1．
综上，a的取值范围是{a|a＜1或a＞3}．
14．【证明】(1)3=22-12?，∴3A
(2)设4k-2A，得存在m，nZ，使4k-2=m2-n2成立． (m-n)(m+n)=4k-2
当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数
∴(m-n)(m+n)为4的倍数，与4k-2不是4 倍数矛盾．
当m、n分别为奇、偶数时，m-n，m+n均为奇数
(m-n)(m+n)为奇数，与4k-2是偶数矛盾．∴4k-2A．
15．【解析】(1)a=0，S=，P成立 ；
a0，S，由SP，P={3，-1}
得3a+2=0，a=-或-a+2=0，a=2；
∴a值为0或-或2．
(2)B=，即m+1>2m-1，m<2，A成立．
??? B≠，由题意得，得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3，即m≤3为取值范围．
注：(1)特殊集合作用，常易漏掉；
(2)运用分类讨论思想，等价转化思想，数形结合思想常使集合问题简捷化．