人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制课件(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制课件(共39张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 433.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-27 11:59:00 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
1.1任意角和弧度制
人教A版高中数学必修四
1、角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0?, 360?)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720?，跳水运动员向内、向外转体1080?；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0?, 360?) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵“正角”与“负角”、“0?角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0?）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?.
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360?，角度的绝对值可大于360? .于是就会出现720? ， － 540?等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角，
300?、 ?60?是第Ⅳ象限角，
585?、1300?是第Ⅲ象限角，
135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等
4．终边相同的角
⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k∈Z)个周角的和：
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1)
30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=－5)
⑶ 结论：
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360?}(k∈Z)
即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② ?是任意角；
③ k·360?与?之间是“+”号，如k·360?－30?,应看成k·360?+(－30?)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.
例1. 在0?到360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120?；(2) 640?；(3) －950?12′.
解：⑴∵－120?=－360?+240?，
∴240?的角与－120?的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640?=360?+280?，
∴280?的角与640?的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950?12’=－3×360?+129?48’，
∴129?48’的角与－950?12’的角终边相同，
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360?~720?间的角写出来：
(1) 60?；(2) －21?；(3) 363?14′.
解：(1) S={β| β=k·360?+60? (k∈Z) },
S中在－360?～720?间的角是
－1×360?+60?=－280?；
0×360?+60?=60?；
1×360?+60?=420?．
(2) S={β| β=k·360?－21? (k∈Z) }
S中在－360?～720?间的角是
0×360?－21?=－21?；
1×360?－21?=339?；
2×360?－21?=699?．
(3) β| β=k·360?+ 363?14’ (k∈Z) }
S中在－360?～720?间的角是
－2×360?+363?14’=－356?46’；
－1×360?+363?14’=3?14’；
0×360?+363?14’=363?14’．
例3．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420?，(2) －75?，(3)855?，(4) －510?．
答：(1)第一象限角；
(2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
二、弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1?角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的，
但都对应同一个圆心角。
=定值，
设α=n?， 弧长为l，半径OA为r，
则 ，
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1?；
(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4.公式： ，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0?角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数：
平角=? rad、周角=2? rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
④角?的弧度数的绝对值:
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360?=2? rad ，∴180?=? rad
∴ 1?=
1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明1：设扇形所对的圆心角为n?(αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad.
所以它的面积是
例4. （1) 把112?30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112?30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112?30′=112.5?，
所以112?30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
(2) 112?30′=112.5× = .
例5. 把 化成度。
解：1rad=
例6. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
0
π
2π
例7. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60?，半径是50米，求 的长l（精确到0.1米）。
解：因为60?= ,所以
l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例8. 在半径为R的圆中，240?的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
解：（1）240?= ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例9.与角－1825?的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825?=－5×360?－25?，
所以与角－1825?的终边相同，且绝对值最小的角是－25?.
合
例10. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( ) ?
扇形面积是
1.1任意角和弧度制
人教A版高中数学必修四
1、角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0?, 360?)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720?，跳水运动员向内、向外转体1080?；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0?, 360?) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
⑵“正角”与“负角”、“0?角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0?）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?.
② 角可以任意大;
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?）
③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360?，角度的绝对值可大于360? .于是就会出现720? ， － 540?等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角，
300?、 ?60?是第Ⅳ象限角，
585?、1300?是第Ⅲ象限角，
135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等
4．终边相同的角
⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k∈Z)个周角的和：
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1)
30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=－5)
⑶ 结论：
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360?}(k∈Z)
即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
① k∈Z；
② ?是任意角；
③ k·360?与?之间是“+”号，如k·360?－30?,应看成k·360?+(－30?)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.
例1. 在0?到360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120?；(2) 640?；(3) －950?12′.
解：⑴∵－120?=－360?+240?，
∴240?的角与－120?的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640?=360?+280?，
∴280?的角与640?的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950?12’=－3×360?+129?48’，
∴129?48’的角与－950?12’的角终边相同，
它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360?~720?间的角写出来：
(1) 60?；(2) －21?；(3) 363?14′.
解：(1) S={β| β=k·360?+60? (k∈Z) },
S中在－360?～720?间的角是
－1×360?+60?=－280?；
0×360?+60?=60?；
1×360?+60?=420?．
(2) S={β| β=k·360?－21? (k∈Z) }
S中在－360?～720?间的角是
0×360?－21?=－21?；
1×360?－21?=339?；
2×360?－21?=699?．
(3) β| β=k·360?+ 363?14’ (k∈Z) }
S中在－360?～720?间的角是
－2×360?+363?14’=－356?46’；
－1×360?+363?14’=3?14’；
0×360?+363?14’=363?14’．
例3．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420?，(2) －75?，(3)855?，(4) －510?．
答：(1)第一象限角；
(2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
二、弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1?角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的，
但都对应同一个圆心角。
=定值，
设α=n?， 弧长为l，半径OA为r，
则 ，
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1?；
(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4.公式： ，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0?角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数：
平角=? rad、周角=2? rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
④角?的弧度数的绝对值:
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360?=2? rad ，∴180?=? rad
∴ 1?=
1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明1：设扇形所对的圆心角为n?(αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad.
所以它的面积是
例4. （1) 把112?30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112?30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112?30′=112.5?，
所以112?30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
(2) 112?30′=112.5× = .
例5. 把 化成度。
解：1rad=
例6. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
0
π
2π
例7. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60?，半径是50米，求 的长l（精确到0.1米）。
解：因为60?= ,所以
l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例8. 在半径为R的圆中，240?的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
解：（1）240?= ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例9.与角－1825?的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825?=－5×360?－25?，
所以与角－1825?的终边相同，且绝对值最小的角是－25?.
合
例10. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( ) ?
扇形面积是