第一章 集合
第1.2节 集合的基本关系
一．选择题（共10小题）
（1）．满足{3，4}?M?{0，1，2，3，4}的所有集合M的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
（2）．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A?C?B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
（3）．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（4）.已知集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p﹣q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有非空真子集的个数为（ ）
A．32 B．31 C．30 D．以上都不对
（5）.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1
(6)．集合A＝{1，4，x}，B＝{x2，1}，B?A，则满足条件的实数x的值为（ ）
A．1或0 B．1，0或2 C．0，2或﹣2 D．1或2
(7)．已知A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B?A，则实数a的值为（ ）
A．1，2 B．
C．0，1，2 D．
(8)．设a，b∈R，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a+b三个元素，且集合A与集合B相等，则a+2b＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．不确定
(9)．已知A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，且B?A，则a的取值范围为（ ）
A．[2，] B．（﹣1，] C．（﹣∞，] D．[2，+∞）
(10)．已知集合{x|mx2+2x﹣1＝0}有且只有一个元素，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
二．填空题（共8小题）
(1)．已知集合A＝{2+a2，a}，B＝{0，1，3}，且A?B，则实数a的值是 ．
(2)．设集合A＝{1，2，3}，则A的真子集的个数为 ．
(3)．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的最小值是 ．
(4)．若集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，S＝{x|ax+1＝0}，且S?P，则实数a的可能取值组成的集合是 ．
(5)．已知集合A＝{x|x2+4x﹣5＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B?A，则实数m构成的集合为 ．
(6)．定义集合运算：A?B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A?B的真子集的个数为 ．
(7)．设集合A＝{﹣1，0，2}，则集合A的子集有 个，若集合B＝{x|x∈A，且2﹣x?A}，则B＝ ．
(8)．已知集合A＝{x，，1}，B＝{x2，x+y，0}，若A＝B，则x2017+y2018＝ ．
三．解答题（共2小题）
(1)．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}，B＝{x|x2+ax+a2﹣12＝0}，B?A，求实数a的取值范围组成的集合．
(2)．已知集合P＝{x|x2+4x＝0}，集合Q＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0}，
（1）若P?Q，求实数m的取值范围；
（2）若Q?P，求实数m的取值范围．
第一章 集合
第1.2节 集合的基本关系
一．选择题（共10小题）
（1）．满足{3，4}?M?{0，1，2，3，4}的所有集合M的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】：C．
【解析】解：根据题意：M中必须有3，4这两个元素，则M的个数应为集合{1，2，3}的子集的个数，所以是8个
（2）．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A?C?B的集合C的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
【答案】：B
【解析】：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∴满足A?C?B的集合C有：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．
（3）．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】：C．
【解析】：B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}；
∴B的真子集个数为：23-1=8-1=7
（4）．已知集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p﹣q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有非空真子集的个数为（ ）
A．32 B．31 C．30 D．以上都不对
【答案】：C．
【解析】：由所定义的运算可知P⊕Q＝{1，2，3，4，5}，
∴P⊕Q的所有真子集的个数为25﹣1＝31．
∴集合P⊕Q的所有非空真子集的个数为31﹣1＝30．
（5）．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1
【答案】：C．
【解析】：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn；
若a，b都是正奇数，则由a※b＝16，可得a+b＝16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；
若m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，由a※b＝16，可得ab＝16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；
故集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13，
所以集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是213﹣1．
故选：C．
（6）．集合A＝{1，4，x}，B＝{x2，1}，B?A，则满足条件的实数x的值为（ ）
A．1或0 B．1，0或2 C．0，2或﹣2 D．1或2
【答案】：C．
【解析】：由4＝x2得，x＝±2；由x＝x2得，x＝0，x＝1（舍去）；
满足的条件的x值有：﹣2，2，0．
（7）．已知A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B?A，则实数a的值为（ ）
A．1，2 B．
C．0，1，2 D．
【答案】：D．
【解析】：集合A＝{1，2}，
对于集合B，当a＝0时，B＝?，满足B是A的子集，符合题意；
当a≠0时，B＝{x|x＝}，B?A，
则＝1或＝2，解得a＝1或；
综上可知，a的值为0或1或，
（8）．设a，b∈R，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a+b三个元素，且集合A与集合B相等，则a+2b＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．不确定
【答案】：A．
【解析】：由题意可知a≠0，则只能a+b＝0，
则有以下对应关系：①或②；
由①得a＝﹣1，b＝1，符合题意；
②无解；
则a+2b＝﹣1+2＝1．
（9）．已知A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}，且B?A，则a的取值范围为（ ）
A．[2，] B．（﹣1，] C．（﹣∞，] D．[2，+∞）
【答案】：B
【解析】：由题意：A＝{x|x2﹣5x+4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|x2﹣2ax+a+2≤0}
∵B?A，
∴当B＝?时，满足题意，此时x2﹣2ax+a+2≤0无解，△＜0，4a2﹣4（a+2）＜0，
解得：﹣1＜a＜2．
当B≠?时，要使B?A成立，此时令f（x）＝x2﹣2ax+a+2≤0有解，
△≥0，4a2﹣4（a+2）≥0，
解得：a≥2或a≤﹣1．
根据二次函数根的分布，可得，即
解得：a≤，
∴2≤a≤，
综上可得：﹣1＜a≤，
（10）．已知集合{x|mx2+2x﹣1＝0}有且只有一个元素，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【答案】：D．
【解析】：当m＝0时，显然满足集合{x|mx2+2x﹣1＝0}有且只有一个元素，
当m≠0时，由集合{x|mx2+2x﹣1＝0}有且只有一个元素，可得判别式△＝4+4m＝0，解得 m＝﹣1，
二．填空题（共8小题）
（1）．已知集合A＝{2+a2，a}，B＝{0，1，3}，且A?B，则实数a的值是 1 ．
【解析】：∵①a＝0，A＝{0，2}与A?B矛盾，舍去；
②a＝1，A＝{1，3}，满足A?B；
③a＝3，A＝{3，11}与A?B矛盾，舍去；
∴a＝1．
故答案为：1．
（2）．设集合A＝{1，2，3}，则A的真子集的个数为 7 ．
【解析】：∵集合A含有3个元素，
∴其真子集的个数为23﹣1＝7个．
故答案为：7．
（3）．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的最小值是 ﹣2 ．
【解析】：∵A只有2个子集；
∴A只有一个元素；
∴①k＝﹣2时，，满足条件；
②k≠﹣2时，△＝4k2﹣4（k+2）＝0；
解得k＝﹣1，或2；
综上，满足条件的实数k的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
（4）．若集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，S＝{x|ax+1＝0}，且S?P，则实数a的可能取值组成的集合是 {﹣，0，} ．
【解析】：P＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，
①S＝?，a＝0；
②S≠?，S＝{x|x＝﹣}，
﹣＝﹣3，a＝'
﹣＝2，a＝﹣；
综上可知：
实数a的可能取值组成的集合为{﹣，0，}．
故答案为：{﹣，0，}．
（5）．已知集合A＝{x|x2+4x﹣5＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B?A，则实数m构成的集合为 {0，1，} ．
【解析】：由B?A，当B＝?时，可得m＝0，此时满足题意；
当B≠?时，x＝．
集合A＝{﹣5，1}，
则或，
可得：m＝或m＝1
∴实数m构成的集合为{0，1，}．
故答案为：{0，1，}．
（6）．定义集合运算：A?B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A?B的真子集的个数为 7 ．
【解析】：∵A?B＝{﹣3，﹣2，﹣1}
∴集合A?B的真子集为：?，{﹣3}，{﹣2}，{﹣1}，{﹣3，﹣2}，{﹣3，﹣1}，{﹣2，﹣1}，共7个．
故答案为：7．
（7）．设集合A＝{﹣1，0，2}，则集合A的子集有 8 个，若集合B＝{x|x∈A，且2﹣x?A}，则B＝ {﹣1} ．
【解析】：A＝{﹣1，0，2}的子集为：?，{﹣1}，{0}，{2}，{﹣1，0}，{﹣1，2}，{0，2}，{﹣1，0，2}，共8个；
∵x∈A，且2﹣x?A；
∴B＝{﹣1}．
故答案为：8，{﹣1}．
（8）．已知集合A＝{x，，1}，B＝{x2，x+y，0}，若A＝B，则x2017+y2018＝ ﹣1 ．
【解析】：∵集合A＝{x，，1}，B＝{x2，x+y，0}，A＝B，
∴，解得x＝﹣1，y＝0，
则x2017+y2018＝（﹣1）2017+02018＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共2小题）
（1）．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}，B＝{x|x2+ax+a2﹣12＝0}，B?A，求实数a的取值范围组成的集合．
【解析】：A＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}＝{x|（x﹣4）（x+2）＝0}＝{﹣2，4}，
当B＝?时，△＝a2﹣4（a2﹣12）＜0，解得 a＞4或 a＜﹣4．
当B≠?时，若B中仅有一个元素，则，△＝a2﹣4（a2﹣12）＝0，解得 a＝±4，
当a＝4时，B＝{﹣2}，满足条件；当a＝﹣4时，B＝{2}，不满足条件．
当B中有两个元素时，B＝A，可得a＝﹣2，且 a2﹣12＝﹣8，故有a＝﹣2 满足条件．
综上可得，实数a的取值集合为{a|a＜﹣4，或 a≥4，或 a＝﹣2 }．
（2）．已知集合P＝{x|x2+4x＝0}，集合Q＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0}，
（1）若P?Q，求实数m的取值范围；
（2）若Q?P，求实数m的取值范围．
【解析】解：（1）P＝{0，﹣4}，
∵P?Q，∴Q＝{0，﹣4}，
∴0，﹣4是x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0的两个根，
∴，
∴m＝1
（2）∵Q?P，P＝{0，﹣4}，
∴Q＝?，{0}，{﹣4}，{0，﹣4}，
∴△＝4（m+1）2﹣4（m2﹣1）＜0或
或或，
∴m≤﹣1或m＝1．
