2019-2020学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷（解析版）

2019-2020学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x≤5}，B＝{x|x≤2}，则?AB＝（　　）
A．[2，5] B．（2，5] C．（1，2] D．（1，2）
2．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（2，+∞） B．[1，2）
C．[1，2] D．（2，3）∪（3，+∞）
3．（5分）已知函数，则f[f（﹣10）]＝（　　）
A． B． C．1 D．﹣4
4．（5分）设a＝30.2，b＝0.23，c＝log0.23，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
5．（5分）已知，则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0） B．f（x）＝x4﹣2x2
C． D．
6．（5分）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0
C．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0 D．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0
7．（5分）函数的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下结论正确的是（　　）
A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
C．若m∥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
9．（5分）已知函数f（x）＝log3（1﹣ax），若f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，则a的取值范围为（　　）
A．（0，+∞） B． C．（1，2） D．（﹣∞，0）
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）若函数在（0，+∞）内存在两个互异的x，使得f（x+1）＝f（x）+f（1）成立，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.
13．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U（A∪B）的子集个数为　 　．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣1是偶函数，则m的值为　 　．
15．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，，BB1＝2，则该三棱柱的外接球表面积为　 　．
16．（5分）已知二次函数f（x），对任意的x∈R，恒有f（x+2）﹣f（x）＝﹣4x+4成立，且f（0）＝0．设函数g（x）＝f（x）+m（m∈R）．若函数g（x）的零点都是函数h（x）＝f（f（x））+m的零点，则h（x）的最大零点为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）求下列函数的值域：
（1）
（2）
18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣a2﹣a＜0}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，，△PBC是正三角形．
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）求点P到平面ABC的距离．

20．（12分）在△ABC中，B（﹣9，0），C（6，0），AD为角A的角平分线，直线AD的方程为3x﹣y﹣3＝0．记△ABD的面积为S△ABD，△ADC的面积为S△ADC．
（1）求S△ABD：S△ADC；
（2）求A点坐标．
21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1满足以下条件：
①f（1）＝4；②对任意的x∈R，都有f（﹣1﹣x）＝f（﹣1+x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≥（λ+2）x﹣2λ﹣3恒成立，求实数λ的取值范围．
22．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（2020）＝1，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）求证：f（x）在定义域内单调递增；
（3）求解不等式．


2019-2020学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】进行补集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≤5}，B＝{x|x≤2}，
∴?AB＝（2，5]．
故选：B．
2．【分析】由分母中对数式的真数大于0不等于1，根式内部的代数式大于等于联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得x＞2且x≠3．
∴函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选：D．
3．【分析】推导出f（﹣10）＝lg10＝1，从而f[f（﹣10）]＝f（1），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣10）＝lg10＝1，
f[f（﹣10）]＝f（1）＝21﹣3＝．
故选：A．
4．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＝30.2＞1，0＜b＝0.23＜1，c＝log0.23＜0，
∴a＞b＞c．
故选：D．
5．【分析】根据f（）解析式可得出，然后把换上x即可得出f（x）的解析式．
【解答】解：，
∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．
故选：A．
6．【分析】讨论直线过原点和不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【解答】解：当直线过原点时，可得斜率为k＝＝2，
所以直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线不过原点时，设方程为+＝1，
代入点（1，2）可得﹣＝1，解得a＝﹣1，
所以直线方程为x﹣y+1＝0；
综上知，所求直线方程为：2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0．
故选：D．
7．【分析】利用换元法，结合指数函数和一元二次函数的单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：设t＝﹣x2+x+1，
则函数等价为y＝f（t）＝（）t，
∵y＝f（t）＝（）t在定义域上为减函数，
∴要求函数的单调递增区间，
根据复合函数的单调性之间的关系即可函数t＝﹣x2+x+1的减区间并且函数值t≥0，
∵函数t＝﹣x2+x+1的对称轴为x＝，抛物线开口向上，﹣x2+x+1≥0，解得x∈，
∴函数t＝﹣x2+x+1的减区间为[，]，
故函数的单调递增区间为：[，]，
故选：C．
8．【分析】根据空间中线面位置关系的判定定理和性质定理逐一判断即可．
【解答】解：A选项，因为m⊥α，α⊥β，所以m∥β，又因为n∥β，所以m⊥n或m∥n或m与n异面，即A错误；
B选项，因为m∥α，α∥β，所以m∥β，又因为n∥β，所以m⊥n或m∥n或m与n异面，即B错误；
C选项，因为m∥α，α∥β，所以m∥β，又因为n⊥β，所以m⊥n，即C正确；
D选项，因为m⊥α，α⊥β，所以m∥β，又因为n⊥β，所以m⊥n，即D错误．
故选：C．
9．【分析】由题意可得y＝1﹣ax在（﹣∞，2]上满足y＞0且函数y单调递减，故有1﹣2a＞0，且﹣a＜0，由此求得a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝log3（1﹣ax），若f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，
∴y＝1﹣ax在（﹣∞，2]上满足y＞0且函数y单调递减，故1﹣2a＞0，且﹣a＜0，
求得0＜a＜，则a的取值范围为（0，），
故选：B．
10．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论
【解答】解：由f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，
根据偶函数的对称性可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
由可得|2x﹣1|＜，
解可得，，即不等式的解集（）．
故选：D．
11．【分析】当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，从而当0＜BM时，截面为四边形，当BM＞时，截面为五边形，由此能求出线段BM的取值范围．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B，C两点），
点N为线段CC1的中点，平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为四边形，
∴依题意，当点M为线段BC的中点时，
由题意可知，截面为四边形AMND1，
当0＜BM时，截面为四边形，当BM＞时，截面为五边形，
∵平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，
∴线段BM的取值范围为（，1）．
故选：B．

12．【分析】题目等价于在（0，+∞）上，存在两个不同的x使得lg＝lg+lg成立，即存在两个互异的x∈（0，+∞），使得（a2﹣2a）x2+2a2x+（2a2﹣2a）＝0成立，
分类讨论方程根的情况即可
【解答】解：根据条件可得f（1）＝lg，a＞0，
且在（0，+∞）上，存在两个不同的x使得lg＝lg+lg成立，
即存在两个互异的x∈（0，+∞），使得（a2﹣2a）x2+2a2x+（2a2﹣2a）＝0成立，
①若a2﹣2a＝0，即a＝2时，方程可化为8x+4＝0，解得x＝﹣，不满足条件，
②若a2﹣2a≠0时，
（i）a2﹣2a＞0，即a＞2时，要想满足条件，则，
此时因为a2＞0，a2﹣2a＞0，故﹣＜0矛盾；
（ii）a2﹣2a＜0，即0＜a＜2时，则，
此时a∈（1，3﹣），
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.
13．【分析】先求出集合A，B，再求出A∪B，从而求出?U（A∪B），由此能求出集合?U（A∪B）的子集个数．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，
集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2，4}，
∴A∪B＝{1，2，4}，
∴?U（A∪B）＝{3，5}，
∴集合?U（A∪B）的子集个数为：22＝4．
故答案为：4．
14．【分析】先利用幂函数的定义求出m的值，再利用幂函数是偶函数排除一个值即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣1是幂函数，
∴m2﹣3m﹣3＝1，∴m＝﹣1或4，
又∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣1是偶函数，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．【分析】由题意可知求出底面ABC的小圆半径为r，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
AB＝1，AC＝，∠BAC＝，
可得BC＝2，
设底面ABC的小圆半径为r，则 2＝2r，可得r＝1；
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R，
则R＝＝
∴外接球的表面积S＝4πR2＝8π；
故答案为：8π．

16．【分析】设二次函数f（x）的解析式为f（x）＝ax2+bx+c，利用待定系数法可先求出函数f（x）的解析式，结合可解出m的值．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）＝ax2+bx+c，
则f（x+2）﹣f（x）＝a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝4ax+4a+2b，
由f（x+2）﹣f（x）＝﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4＝0恒成立，又f（0）＝0
所以，所以，所以f（x）＝﹣x2+4x，
设x0为g（x）的零点，则，即，
即﹣m2﹣4m+m＝0，得m＝0或m＝﹣3，
1°当m＝0时，h（x）＝﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）＝﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）
所以h（x）所有零点为0，2，4，
2°当m＝﹣3时，h（x）＝﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3＝﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）
（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）
由﹣x2+4x﹣3＝0和﹣x2+4x﹣1＝0得x＝1，3，2±，
所以h（x）所有零点为0，1，2，3，4，2±，
所以最大的零点为4，
故答案为：4．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）分离常数得出，从而可得出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）换元得出（t≥0），从而得出y＝t2+2t+3（t≥0），然后配方即可求出该函数的值域．
【解答】解：（1），
∵，
∴y≠2，
∴该函数的值域为{y|y≠2}；
（2）设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），
∵t≥0，
∴t+1≥1，
∴（t+1）2+2≥3，
∴该函数的值域为[3，+∞）．
18．【分析】（1）把a＝2代入化简集合，并求出；
（2）由A∪B＝B，所以A?B，分类讨论求出a即可．
【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝|x|﹣1＜x＜3}，
当a＝2时，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
故A∩B＝（﹣1，3）；
（2）B＝{x|x2﹣x﹣a2﹣a＜0}＝{x|（x+a）（x﹣（a+1））＜0}，
由A∪B＝B，所以A?B，A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝|x|﹣1＜x＜3}，
当a＝﹣时显然不符合题意．
当a＞﹣时，B＝（﹣a，a+1），由﹣a≤﹣1，a+1≥3，得a≥2；
当a＜﹣时，B＝（a+1，﹣a），由a+1≤﹣1，﹣a≥3，得a≤﹣3；
综上所述：a≥2或a≤﹣3．
19．【分析】（1）由已知得PB＝2，又PA＝，可得AB2+PB2＝PA2，得AB⊥PB，再由AB⊥BC，又线面垂直的判定可得AB⊥平面PBC；
（2）设点P到平面ABC的距离为h，由（1）知AB⊥平面PBC，再由VP﹣ABC＝VA﹣PBC列式求点P到平面ABC的距离．
【解答】（1）证明：∵且△PBC是正三角形，
∴PB＝2，
又∵PA＝，∴AB2+PB2＝PA2，得AB⊥PB，
∵AB⊥BC且PB∩BC＝B，∴AB⊥平面PBC；
（2）解：设点P到平面ABC的距离为h，
由（1）知AB⊥平面PBC，
∴由VP﹣ABC＝VA﹣PBC，得：，即
，
h＝，
即点P到平面ABC的距离为．

20．【分析】（1）由已知求得D点坐标，进一步求得|BD|，|DC|，则答案可求；
（2）设点C关于直线AD对称的点为C′（x0，y0），直线CC′与直线AD的交点为M．联立直线AD与CC′方程求得M，再由中点坐标公式易得C′（﹣3，3）．可得直线BC′的方程为x﹣2y+9＝0，联立直线BC′与AD方程得A点坐标．
【解答】解：（1）将y＝0代入AD方程，得D（1，0），
∴|BD|＝10，|DC|＝5，
则S△ABD：S△ADC；＝2：1；
（2）设点C关于直线AD对称的点为C′（x0，y0），直线CC′与直线AD的交点为M．
则CC′的方程为y＝﹣．
联立直线AD与CC′方程得，
解得x＝y＝，即M（），根据中点坐标公式易得C′（﹣3，3）．
则直线BC′的方程为x﹣2y+9＝0，联立直线BC′与AD方程得，
，解得，即A（3，6）．
21．【分析】（1）由①f（1）＝4且②f（﹣1﹣x）＝f（﹣1+x），列方程组求出a、b的值，写出f（x）的解析式；
（2）由f（x）≥（λ+2）x﹣2λ﹣3得x2﹣λx+2λ+4≥0，构造函数g（x），
求g（x）在（1，+∞）的最小值，列不等式求得λ的取值范围．
【解答】解：（1）对于二次函数f（x）＝ax2+bx+1，
由①f（1）＝4；②对任意的x∈R，都有f（﹣1﹣x）＝f（﹣1+x）；
所以，解得，
所以f（x）＝x2+2x+1；
（2）由f（x）≥（λ+2）x﹣2λ﹣3得x2+2x+1≥（λ+2）x﹣2λ﹣3，
整理得：x2﹣λx+2λ+4≥0；
令g（x）＝x2﹣λx+2λ+4，x∈（1，+∞），
当≤1即λ≤2时，g（x）在（1，+∞）上单调递增，令g（1）＝λ+5≥0，解得λ≥﹣5，所以﹣5≤λ≤2；
当＞1即λ＞2时，g（x）在（1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
令g（）＝﹣λ2+2λ+4≥0，解得4﹣4≤λ≤4+4，所以2＜λ≤4+4；
所以λ的取值范围是[﹣5，4+4]．
22．【分析】本题第（1）题令x＝y＝1，代入f（xy）＝f（x）+f（y）可解得f（1）的值；第（2）题运用单调性的定义法及运用f（xy）＝f（x）+f（y）进行转化计算即可得证f（x）在定义域内单调递增；第（3）题先通过题干进行计算得到f（）＝，然后根据第（2）题的结论解函数不等式可得x的取值范围．
【解答】（1）解：由题意，令x＝y＝1，则
f（1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0．
（2）证明：设?x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
＞1，故f（）＞0．
∴f（x2）﹣f（x1）＝f（?x1）﹣f（x1）＝f（）+f（x1）﹣f（x1）＝f（）＞0．
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在定义域内单调递增．
（3）解：由题意，
1＝f（2020）＝f（?）＝f（）+f（）＝2f（），
解得f（）＝．
故＝f（），
∵由（2）知f（x）在（0，+∞）内单调递增．
∴，
解得x∈（﹣1，0）∪（2019，2020）