北师大版八年级数学下册 1.1 等腰三角形课件（第2课时 共32张PPT）

(共33张PPT)
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
第1章 三角形的证明
北师版八年级数学下册
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角.
2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
复习导入
一. 等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
新知探究
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等
已知：如图,在△ABC中，AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD = CE.
例题精析
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，

∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
证明：
例题精析
例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
思路点拨：
先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明．
例题精析
解：
如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB
和AC上的中线，
求证：CE＝BD.
∵AB＝AC，CE和BD分别是AB
和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.
又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.
∴CE＝BD.
证明：
例题精析
二. 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？
2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢?
新知探究
定理　等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC.
求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC，
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.
在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
证明：
新知探究
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
新知探究
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形?
满足什么条件的三角形是等腰三角形?
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
新知探究
如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
例3
导引：
要计算出△DEF各个内角的度
数，有两个途径，即证△DEF
为等边三角形或直接求各个角
的度数，由垂直的定义及等边
三角形的性质，显然直接求各
个角的度数较易．
例题精析
因为△ABC是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
解：
例题精析
方法总结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利
用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．
例题精析
如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．
求证：AE＝CD.
例4
导引：
要证AE＝CD，可通过证AE，
CD所在的两个三角形全等来
实现，即证△ABE≌△CBD，
条件可从等边三角形中去寻
找．
例题精析
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.

在△ABE与△CBD中，

∴△ABE≌△CBD(SAS)．
∴AE＝CD.
证明：
例题精析
方法总结
运用等边三角形性质证明线段相等的方法：
把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或
等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角
形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、
三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．
例题精析
1. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．BC边上的高线和中线互相重合
B．AB和AC边上的中线相等
C．顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D．AB，BC边上的高线相等
课堂精练
D
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(　　)
A．BD，CE为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝ ∠ABC，
∠ACE＝ ∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
D
课堂精练
3. 求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解：
如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，AC边上的中线，且CE与BF相交于点O，
则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，
在Rt△ABF中，∵∠A＝60°，
∴∠ABF＝30°.
在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，
即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
课堂精练
4. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：
由题意易知，
BD＝DE＝AD，
∴∠DBA＝∠BAD.
又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE
＝30°＋60°＋30°＝120°.
课堂精练
5. 下面关于等边三角形的说法正确的有(　　)
①三个角都相等；②三条边都相等；③是一种特殊的等腰三角形；④是一种特殊的直角三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
课堂精练
6. 已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1 cm，那么BC的长是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
B
课堂精练
7. 如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为(　　)
A．90°
B．30°
C．120°
D．150°
C
课堂精练
8.【中考·南充】如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　)
A．(1，1)　
B．( ，1)　
C．( ， )　
D．(1， )
D
课堂精练
9. 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
A
课堂精练
10. 如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹角为20°，则∠α的度数为(　　)
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
C
课堂精练
11. 如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(　　)
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
C
课堂精练
已知△ABC是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交于点G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点H，则下列结论：①点G与点I一定重合；②点G与点H一定重合；③点I与点H一定重合；④点G，点I与点H一定重合．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
易错点拨
因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分线互相重合，所以点G，点I与点H一定重合．
易错点拨
1．等腰三角形的特殊性质：
(1)等腰三角形两底角的平分线相等；
(2)等腰三角形两腰上的高相等；
(3)等腰三角形两腰上的中线相等；
课堂小结
2．等边三角形的性质：
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等
于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分
别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长
度相等．
课堂小结