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6.1 平方根
人教版·七年级数学·下册
第一课时
1.理解算术平方根的概念,会用根号表示一个非负数的算术平方根,了解算术平方根的非负性,会求一个非负数的算术平方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根.
重点：求一个非负数的算术平方根.
难点：理解算术平方根的非负性.
阅读课本第P40-44页内容，学习本节主要内容.
算术平方根
0
根号a
被开方数
非负
一个正方形的面积等于2,那么这个正方形的边长是多少?能用有理数表示吗?
答案：
边长为
不能用有理数表示.
(1)算术平方根的定义什么?并举例说明一个正数的算术平方根的记法、读法.
答案：
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
例如:正数a的算术平方根记为a,读作“根号a”.
(2)在“ ”中,根指数是多少?被开方数a是什么样的数呢?
答案：
在“ ”中,根指数是2,被开方数a是一个非负数.
(3)被开方数越大,对应的算术平方根会怎样呢?
答案：
被开方数越大,对应的算术平方根也越大.
(4)0的算术平方根是多少?
答案：
0的算术平方根是0.
B
B
B
C
A
D
3
0
0
=
B
0.03173
100.3
( )
例1：求下列各数的算术平方根.
解：
(1)∵62=36,
解析：
图形看,四个选项中的形状、大小都没改变,从位置变化来看,A、B、D都发生了转动,只有C是平行移动得到的,所以应选C.也可以通过连结对应点,看这些连线是否平行或在一条直线上来判断.
∴36的算术平方根是6,
(2)∵0.32=0.09,
∴0.09的算术平方根是0.3,
(3)∵
(4)∵42=(-4)2=16,
∴(-4)2的算术平方根是4,
(5)0的算术平方根是0,
(6)10的算术平方根是
例2：比较下列各组数的大小.
解析：
(1)“被开方数越大,则它的算术平方越大”来比较大小;(2)用作差法进行比较大小.
解：
(1)∵63＜64,
例3：国际比赛的足球场是长在100m到110m之间,宽在64m到75m之间,为了迎接2012年亚洲杯,某地建设了一个长方形的足球场,其长是宽的1.5倍,面积是2560m2,请你判断这个足球场能不能用作国际比赛?并说明理由.
解析：
先利用长方形面积公式表示出足球场的面积,然后利用算术平方根的定义进行求解.
解：
这个足球场能用作国际比赛.
理由:设足球场的宽为xm,则足球场的长为1.5xm,
由题意得1.5x2=7560,
所以x2=5040,
∵足球场宽x＞0,
∴1.5x≈106.49,
∵100＜106.49＜110,64＜70.99＜75.
∴这个足球场能用作国际比赛.
C
A
C
40
0.01354
解：
(1)∵142＝196,
∴196的算术平方根是14,
(2)∵0.32＝0.09,
∴0.09的算术平方根是0.3,
(4)∵42=(-4)2＝16,
∴(-4)2的算术平方根是4,
(5)0的算术平方根是0,
(6)10的算术平方根是
本课时学习了算术平方根的概念和如何来求一个非负数的算术平方根.
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6.1 平方根
人教版·七年级数学·下册
第二课时
1.理解平方根的概念,明确平方根与算术平方根之间的联系与区别.
2.能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开方运算和平方运算之间的互逆关系.会求一个非负数的平方根.
重点：平方根的概念和求一个非负数的平方根.
难点：理解并运用 的双重非负性.
阅读课本第P44-46页内容，学习本节主要内容.
平方根
两
开平方
二次方根
互为相反数
没有平方根
0
已知一个数的平方等于16,这个数是多少?如何来表示这个数呢?
(1)什么叫做平方根?什么叫做开平方?
答案：
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
(2)平方与开平方之间的关系如何?举例说明.
答案：
平方与开平方互为逆运算.例如:±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.
(3)正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?
答案：
正数的平方根有两个,它们互为相反数.0的平方根是0.
(4)负数有平方根吗?为什么?
答案：
负数没有平方根,因为任何一个数的平方都不会是负数,所以负数没有平方根.
(5)举例说明正数的平方根的记法、读法.
答案：
正数a的平方根可以用符号“±a”表示,读作“正、负根号a”.
(6)在“ ”中,a的取值范围是什么?“ ”表示的意义是什么?其结果是什么样的数?“± ”表示的意义又是什么?
答案：
a的取值范围是:a≥0.“ ”表示的意义是求数a的算术平方根,其结果是一个非负数.“± ”表示的意义是求数a的平方根.
A
D
±2
25
B
D
B
例1：求下列各数的平方根.
解：
(1)∵(±11)2=121,
解析：
由平方根的定义知,要找到几对相反数使它们的平方分别等于上面的数,则这几对数就是上面的数的平方根.
∴121的平方根是±11.
(2)∵
(3)∵(±0.03)2=0.0009,
∴0.0009的平方根是±0.03;
(4)∵
例2：求下列各式中的x的值.
(1)x2=361 (2)81x2－49=0
(3)49(x2+1)=50 (4)(3x－1)2=(－5)2
解析：
(1)题可直接开平方求x的值.(2)、(3)题可将它们化为x2=a(a≥0)的形,再求x,(4)题可将(3x－1)看作一个整体,先通过开平方求出这个整体,然后解方程求出x.
解：
(1)∵x2=361,
(2)整理得:81x2－49=0,
(3)整理得:
(4)∵(3x-1)2=(-5)2,
∴3x－1=±5,
当3x－1=5时,x=2;
当3x－1=－5时,x=
综上所述,x=2或x=
例3：一个正数的两个平方根分别是2a+1和a－4,求这个数.
解析：
因为一个正数的平方根有两个,且它们互为相反数,所以2a+1和a－4互为相反数,根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解.
解：
由于一个正数的两个平方根2a+1和a－4,
则有2a+1+a－4=0,解得a=1,
所以这个数为(2a+1)2=(2+1)2=9.
例4：若
解析：
非负数与非负数的和为0,有且只有这两个非负数同为0,由此可列方程求出x、y的值,从而求出代数式的值.
解：
∴2x－1=0,y+3=0,
解得:
B
C
C
±1
-1
±0.5
±12
9
解：
x2＝27×3,
x＝±9;
解：
1.44y2＝1.21,
y2＝
解：
解：
x-1＝2或-(x-1)=2
x＝3或x=-1
本课时学习了平方根的概念和如何来求一个非负数的平方根.
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6.2 立方根
人教版·七年级数学·下册
1.理解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.理解并掌握立方根的性质,知道开立方与立方互为逆运算,会用开立方运算求某数的立方根,并能运用立方根的性质解决实际问题.
3.能运用计算器求立方根.
4.理解被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律.
重点：立方根的概念及求法.
难点：理解被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律.
阅读课本第P49-51页内容，学习本节主要内容.
立方根
正
开立方
立方
0
负
要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的棱长应该是多少?
设这种包装箱的棱长为xm,则x3=27,怎样来求未知数x呢?
(1)什么叫做立方根?
答案：
一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
(2)什么叫做开立方?
答案：
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
(3)立方根的性质是什么?
答案：
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
(4)举例说明立方根的记法、读法.
答案：
例如:一个数a的立方根,用符号
表示,读作“三次
根号a”.
(5)立方根与平方根的区别是什么?
答案：
任何数都有立方根,但只有非负数才有平方根;立方根只有一个,正数的平方根有两个,0的平方根只有一个是它本身.
(6)被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律是什么?
答案：
被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位,所得的立方根的小数点就相应地向左(或向右)移动一位.
B
C
D
C
-6
1
B
A
0.06993
-324.6
0.1507
例1：求下列各数的立方根.
解：
(1)∵53=125,
解析：
可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质
∴125的立方根是5,
(2)∵(-0.4)3=-0.064,
∴-0.064的立方根是-0.4,
例2：求下列各式的值.
解析：
关键要理解符号的意义:(1)是求－125的立方根.
(2)是求
解：
的立方根.(3)是求0.008的立方根的相反数;
(4)是求2×9×12的立方根.(5)是求
例3：用计算器计算(精确到0.01):
解析：
直接输入数据即可,注意符号.
解：
(1)在计算器上依次键入
ON
2
6
·
4
2
=
显示结果为2.978…,
(2)在计算器上依次键入
ON
(-)
6
8
·
4
=
显示结果为－4.089…
(3)在计算器上依次键入
ON
0
1
·
2
5
=
显示结果为0.5,
例4：求下列各式中的x.
(1)27x3－8=0; (2)(x+2)3+1=0;
(3)1000(x－1)3=－27;
解析：
根据立方根的定义,若x3=a,则x=3a,对于(2)、(3)、(4)题可分别把(x+2),(x－1)和(2x+3)看成一个整体.
解：
(1)∵27x3－8=0,
∴27x3=8,
(2)∵(x+2)3+1=0,
∴(x+2)3=-1.
(3)∵1000(x-1)3=-27,
∴(x－1)3=
∴(2x+3)3=216.
∴2x+3=6.
C
A
C
2
-68800
解：
解：
解：
解：
解：
解：
本课时学习了立方根的概念、性质和如何来求一个数的立方根.
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6.3 实 数
人教版·七年级数学·下册
第一课时
1.理解无理数和实数的概念,会将实数按一定的标准进行分类.
2.知道实数与数轴上的点一一对应.
重点：正确理解实数的概念.
难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解.
阅读课本第P53-54页内容，学习本节主要内容.
有限
无
有限小数
实数对
大于
实数
限循环
无限循环小数
无限不循环
小于
大于
大
实数
我们知道有理数包括整数和分数,请把下列分数写成小数的形式,你有什么发现?
(1)无理数的概念
答案：
无限不循环的小数叫做无理数.
(2)实数的概念
答案：
有理数和无理数统称实数
(3)实数的分类
答案：
按定义分类:
按性质分类:
(4)实数与数轴上点的关系
答案：
实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个.
C
A
C
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
D
D
B
例1：下列说法中正确的有( )
①无理数都是实数;②实数都是无理数;③无限小数都是有理数;④带根号的数都是无理数;⑤除了π之处不带根号的数都是有理数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：
A.
解析：
由实数定义可知①是正确的;②错误,因为实数不都是无理数,还有有理数;③错误,无限不循环小数是无理数;④错误,如 就是有理数;⑤错误,如0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0)就是无理数,所以正确的有1个.
例2：把下列各数分别填在相应的集合内:
解析：
首先把能化简的数都化简,然后对照概念填到对应的括号内.
解：
整数集合{ …}; 分数集合{ …};
正数集合{ …}; 负数集合{ …};
有理数集合{ …}; 无理数集合{ …}.
整数集合{ …};
分数集合{ …};
正数集合{ …};
负数集合{ …};
有理数集合{ …
无理数集合{ …}.
例3：用“＜”连接下列各数:
解析：
比较一组实数的大小,和比较一组有理数的大小一样,可以将这些数在数轴上表示出来,然后根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”求解.
解：
将各数的大致位置在数轴上表示出来,如下图.
由图可知,用“＜”可以连接成:
B
A
C
-2
解：
本课时学习了无理数、实数的概念、实数的分类及实数与数轴上点的关系.
(共16张PPT)
6.3 实 数
人教版·七年级数学·下册
第二课时
1.了解实数范围内的相反数和绝对值的意义,会求一个实数的相反数和绝对值.
2.学会比较两个实数的大小.
3.了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行实数运算.
重点：有理数大小比较和运算.
难点：带有绝对值的有理数的运算.
阅读课本第P55-56页内容，学习本节主要内容.
-a
本身
相反数
a
-a
0
法则
性质
同学们,我们在七年级的时候学习了有理数相反数、绝对值的概念,那么它们的意义能否在实数范围内适用吗?
(1)实数a的相反数是什么?
答案：
实数a的相反数是－a.
(2)一个正实数的绝对值是什么?一个负实数的绝对值是什么?0的绝对值是什么?
答案：
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a表示一个实数,
a 当a＞0时;
则|a|= 0 当a=0时;
－a 当a＜0时.
(3)在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等适用吗?
答案：
适用.
A
D
>
A
C
例1：求下列各数的相反数和绝对值.
解：
解析：
有理数的相反数、倒数和绝对值的意义在实数范围仍然适用,本题主要考查相反数和绝对值的意义.
例2：计算下列各式的值:
解析：
(1)利用去括号的法则去掉括号后为
解：
(2)先求
例3：比较
解析：
根据a＜b,b＜c,则a＜c来比较两个实数的大小.
解：
C
D
B
4
解：
解：
解：
解：
课时学习了实数的相反数和绝对值的意义及其运算.
