2019-2020学年北师大版陕西省咸阳市高二第一学期期末（理科）数学试卷 Word版含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
2．已知等比数列{an}中a4＝27，q＝﹣3，则a1＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
3．设a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若A＝，B＝，a＝3，则b＝（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
4．准线方程为y＝2的抛物线的标准方程是（　　）
A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝﹣16y D．x2＝﹣8y
5．命题“?x0∈（0，+∞）．lnx0＝x0+1”的否定是（　　）
A．?x0∈（0，+∞）．lnx0≠x0+1 B．?x?（0，+∞）．lnx≠x+1
C．?x∈（0，+∞）．lnx≠x+1 D．?x0?（0，+∞）．lnx0≠x0+1
6．已知a＞b，c≠0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．ac＞bc D．
7．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则（　　）
A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l与α斜交
8．已知空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且OM＝3MA，点N为BC的中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
9．若数列{an}满足an＝n2+3n+2，则的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
10．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．有下列四个命题：
①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若|x|＝1，则x＝1”的否命题为“若|x|＝1，则x≠1”；
③命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；
④设a、b∈R+，命题“若，则a＞b”的逆命题是真命题
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．点F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．3
二、填空题（本大题共4小题）
13．不等式≤0的解集是　 　．
14．已知△ABC的顶点A是椭圆的一个焦点，顶点B、C在椭圆上，且BC边经过椭圆的另一个焦点，则△ABC的周长为　 　．
15．已知，则x+y的最小值为　 　．
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当Sn取最大值时，n的值为　 　．
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a1＝1，a2为a1，a4的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别为AB，A1C的中点．
（Ⅰ）求|EF|；
（Ⅱ）求证：EF∥平面AA1D1D．

19．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B﹣sin2C＝﹣sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝7，a+b＝8，求△ABC的面积．
20．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线C内一定点，点P为抛物线C上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线x﹣y﹣3＝0与抛物线C交于B（x1，y1）、D（x2，y2）两点，求BD的长．
21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA＝1，点M是SD的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：SC⊥AM；
（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD夹角的大小．

22．设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣2，0），左准线 L1：x＝﹣与x轴交于点N（﹣3，0），过点N且倾斜角为30°的直线L交椭圆于A、B两点．
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F1（﹣2，0）在以线段AB为直径的圆上．




参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合班级题目要求的）
1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】根据一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0，即或，即可求解
解：一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0
即或，解得：﹣2＜x＜1
∴一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}；
故选：C．
2．已知等比数列{an}中a4＝27，q＝﹣3，则a1＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可．
解：等比数列{an}中，a4＝27，q＝﹣3，
则a1＝＝＝﹣1．
故选：B．
3．设a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若A＝，B＝，a＝3，则b＝（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】由已知利用正弦定理即可求解b的值．
解：∵A＝，B＝，a＝3，
∴由正弦定理，可得＝，
∴解得b＝2．
故选：A．
4．准线方程为y＝2的抛物线的标准方程是（　　）
A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝﹣16y D．x2＝﹣8y
【分析】利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可．
解：准线方程为y＝2的抛物线的标准方程是：x2＝﹣8y．
故选：D．
5．命题“?x0∈（0，+∞）．lnx0＝x0+1”的否定是（　　）
A．?x0∈（0，+∞）．lnx0≠x0+1 B．?x?（0，+∞）．lnx≠x+1
C．?x∈（0，+∞）．lnx≠x+1 D．?x0?（0，+∞）．lnx0≠x0+1
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以：命题“?x0∈（0，+∞）．lnx0＝x0+1”的否定是：?x∈（0，+∞）．lnx≠x+1．
故选：C．
6．已知a＞b，c≠0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．ac＞bc D．
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
解：a＞b，c≠0，则a2＞b2，＞，ac＞bc不一定成立，
而＞一定成立．
故选：D．
7．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则（　　）
A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l与α斜交
【分析】推导出直线l的方向向量与平面α的法向量平行，从而得到l⊥α．
解：∵直线l的方向向量为，
平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），
∴，
∴l⊥α．
故选：B．
8．已知空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且OM＝3MA，点N为BC的中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用，，表示出即可．
解：如图空间四边形OABC中，
∵点M在OA上，且OM＝3MA，
∴，又N为BC的中点，
∴（+），
∴＝﹣
＝，
＝．
故选：D．

9．若数列{an}满足an＝n2+3n+2，则的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求得＝＝＝﹣，再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
解：＝＝＝﹣，
则数列{}的前10项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．
故选：B．
10．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等比数列﹣1，2，﹣4，8…中，满足a2＜a4，但“{an}是单调递增数列不成立，即充分性不成立，
若{an}是单调递增数列，则必有a2＜a4，即必要性成立，
则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件，
故选：B．
11．有下列四个命题：
①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若|x|＝1，则x＝1”的否命题为“若|x|＝1，则x≠1”；
③命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；
④设a、b∈R+，命题“若，则a＞b”的逆命题是真命题
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①对于“∧”命题，一假则假；②否命题是指对条件和结论都进行否定；③根据原命题和逆否命题的关系进行改写即可；④先写出逆命题，再判断逆命题的真假．
解：①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①错误；
②否命题是指对条件和结论都否定，所以应该是“若|x|≠1，则x≠1”，所以②错误；
③根据逆否命题的定义进行改写，③正确；
④a、b∈R+，逆命题为“若a＞b，则”，显然该命题成立，所以④正确；
所以真命题为③④，
故选：B．
12．点F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．3
【分析】由题意，△AOF是等边三角形，＝，利用双曲线C的离心率为，即可得出结论．
解：由题意，△AOF是等边三角形，∴＝，
∴双曲线C的离心率为＝＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式≤0的解集是　{x|﹣2＜x≤2}　．
【分析】因为≤0等价于（x﹣2）（x+2）≤0且x≠﹣2；直接写出结论
解：因为≤0等价于（x﹣2）（x+2）≤0且x≠﹣2；
∴不等式≤0的解集是：{x|﹣2＜x≤2}
故答案为：{x|﹣2＜x≤2}
14．已知△ABC的顶点A是椭圆的一个焦点，顶点B、C在椭圆上，且BC边经过椭圆的另一个焦点，则△ABC的周长为　4　．
【分析】由题意可得将三角形的周长转化为焦半径的长，再由椭圆的性质求出三角形的周长．
解：设A为左焦点，由题意可得直线BC过右焦点F，
则△ABC的周长为AC+BC+AB＝AC+BF+AB+BF＝4a，
而由题意可得a2＝3，
即a＝，
所以三角形的周长为：4，
故答案为：4．
15．已知，则x+y的最小值为　16　．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出
解：因为，
则x+y＝（x+y）（）＝10+≥10+6＝16，
当且仅当时取等号，此时取得最小值16．
故答案为：16
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当Sn取最大值时，n的值为　10　．
【分析】由等差数列的性质可知，a1+a20＝a10+a11＞0，a1+a21＝2a11＜0，从而可得a10＞0，a11＜0，即可
解：因为a1＞0，S20＞0，S21＜0，
由等差数列的性质可知，a1+a20＝a10+a11＞0，a1+a21＝2a11＜0，
故a10＞0，a11＜0，
当n＝10时，Sn取最大值．
故答案为：10
三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a1＝1，a2为a1，a4的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】本题第（Ⅰ）题根据等差数列的通项公式和等比中项结合，可计算出公差d，即可得到数列{an}的通项公式；
第（Ⅱ）题先求出数列{bn}的通项公式，然后运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
解：（Ⅰ）由题意，a1＝1，a2为a1，a4的等比中项，
∴＝a1?a4，即（1+d）2＝1×（1+3d），解得d＝1．
∴数列{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×1＝n，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn＝an+2n＝n+2n，n∈N*．
故Tn＝b1+b2+…+bn
＝（1+21）+（2+22）+…+（n+2n）
＝（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）
＝+
＝+2（2n﹣1）．
18．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别为AB，A1C的中点．
（Ⅰ）求|EF|；
（Ⅱ）求证：EF∥平面AA1D1D．

【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出||．
（Ⅱ）求出＝（﹣2，0，2），由＝2，得AD1∥EF，由此能证明EF∥平面AA1D1D．
解：（Ⅰ）解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别为AB，A1C的中点．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
由题知，E（2，1，0），F（1，1，1），∴＝（﹣1，0，1），
∴||＝＝．
（Ⅱ）证明：由题知A（2，0，0），D1（0，0，2），∴＝（﹣2，0，2），
∴＝2，故AD1∥EF，
又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，
∴EF∥平面AA1D1D．

19．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B﹣sin2C＝﹣sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝7，a+b＝8，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，a2+b2﹣c2＝﹣ab，然后结合余弦定理可求，cosC，进而可求C
（2）由c＝7，a+b＝8，结合（1）的条件，a2+b2﹣c2＝﹣ab可求ab，然后结合△ABC的面积公式S＝可求
【解答】解（1）∵siA+sin2B﹣sin2C＝﹣sinAsinB，
由正弦定理可得，a2+b2﹣c2＝﹣ab
由余弦定理可得，cosC＝＝﹣，
∵0＜C＜π，
∴C＝；
（2）∵c＝7，a+b＝8，
由（1）可得，a2+b2﹣c2＝﹣ab
即（a+b）2﹣c2＝ab，
∴ab＝15，
∴△ABC的面积S＝＝＝．
20．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线C内一定点，点P为抛物线C上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线x﹣y﹣3＝0与抛物线C交于B（x1，y1）、D（x2，y2）两点，求BD的长．
【分析】（Ⅰ）设d为点P到x＝的距离，通过|PF|＝d，说明当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，转化求解即可．
（Ⅱ）联立，得y2﹣16y﹣48＝0，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．
解：（Ⅰ）设d为点P到x＝的距离，则由抛物线定义知，|PF|＝d，
∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，
即4+＝8，解得P＝8，
∴抛物线C的方程为y2＝16x．
（Ⅱ）联立，得y2﹣16y﹣48＝0，B（x1，y1）、D（x2，y2）
显然△＞0，y1+y2＝16，y1y2＝48，
∴|y1﹣y2|＝＝＝8，
∴|BD|＝|y1﹣y2|＝8．
21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA＝1，点M是SD的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：SC⊥AM；
（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD夹角的大小．

【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥AM．
（Ⅱ）求出平面SAB的一个法向量和平面SCD的法向量，利用向量法能求出平面SAB与平面SCD夹角的大小．
解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则S（0，0，1），C（1，1，0），A（0，0，0），M（0，），
∴＝（1，1，﹣1），＝（0，），
∴＝＝0，∴SC⊥AM．
（Ⅱ）解：由题意知平面SAB的一个法向量为＝（0，1，0），
S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），
∴＝（1，1，﹣1），＝（0，1，﹣1），
设平面SCD的法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝1，得平面SCD的一个法向量为＝（0，1，1），
设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，
则cosθ＝＝，故θ＝45°，
∴平面SAB与平面SCD夹角的大小为45°．

22．设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣2，0），左准线 L1：x＝﹣与x轴交于点N（﹣3，0），过点N且倾斜角为30°的直线L交椭圆于A、B两点．
（1）求直线L和椭圆的方程；
（2）求证：点F1（﹣2，0）在以线段AB为直径的圆上．
【分析】（1）由椭圆的左焦点为F1（﹣2，0），左准线 L1：x＝﹣与x轴交于点N（﹣3，0），过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点，列出方程组，能求出椭圆方程和直线L的方程．
（2）由方程组，得2x2+6x+3＝0，由此利用韦达定理、直线的斜率公式推导出F1A⊥F1B，由此能证明点F（﹣2，0）在以线段AB为直径的圆上．
解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣2，0），
左准线 L1：x＝﹣与x轴交于点N（﹣3，0），
过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点．
∴，解得a＝，b＝，c＝2，
∴椭圆方程为．
直线L的方程为：y﹣0＝tan30°（x+3），即y＝（x+3）．
证明：（2）由方程组，得2x2+6x+3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2＝﹣3 x1x2＝，
∵＝?＝
＝＝﹣1，
∴F1A⊥F1B，∴∠AF1B＝90°．
∴点F（﹣2，0）在以线段AB为直径的圆上．