2019-2020学年北师大版陕西省西安市高二第一学期期末（理科）数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．命题“?x0∈（0，+∞），”的否定是（　　）
A．?x0∈（0，+∞），
B．?x0＝（0，+∞），
C．?x∈（0，+∞），ex≠x+1
D．?x?（0，+∞），ex＝x+1
2．准线方程为y＝1的抛物线的标准方程为（　　）
A．x2＝﹣4y B．y2＝﹣4x C．x2＝﹣2y D．x2＝4y
3．已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，m），若，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．若抛物线x2＝2py（p＞0）上一点P（m，1）到其点F的距离为2p，则p＝（　　）
A． B． C．2 D．1
6．已知下列命题
①到两定点（﹣1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆
②?x0∈N，x02﹣2x0﹣1≤0；
③已知＝（2，3，m），＝（2n，6，8），则“，为共线向量”是“m+n＝6”的必要不充分条件．
其中真命题的个数（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知命题p：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l与抛物线C相切，命题q：若m＞5，则方程表示椭圆．下列命题是真命题的是（　　）
A．p∨（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）
8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP＝2D1P，若，则x+y+z＝（　　）

A． B． C． D．1
9．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（　　）
A．m∈（2，3） B．m∈（1，4） C．m∈（0，4） D．m∈（4，+∞）
10．已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|＝（　　）
A．8 B．11 C．13 D．16
11．在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体SABC各顶点坐标分别为S（2，2，4），A（6，6，4），B（6，6，0），C（2，6，4），则该四面体外接球的表面积是（　　）
A．12π B．16π C．32 D．48π
12．已知椭圆C：x2+＝1，直线l：y＝x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量＝（2，3，4），＝（1，﹣m，2），若∥，则m＝　 　．
14．命题“?x∈[1，2]，使得x2+lnx﹣a≤0”为假命题，则a的取值范围为　 　．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为　 　．
16．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，tan∠F1PF2＝，O为坐标原点，则|OP|＝　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共0分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．考生根据要求作答
17．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知双曲线E过点（2，﹣），且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程．
18．已知p：对于?x∈R，函数f（x）＝ln（kx2﹣4x+6k）有意义，q：关于k的不等式k2﹣（2+m）k+2m≤0成立．
（1）若￢p为假命题，求k的取值范围
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
19．如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点且SO＝OD
（1）证明：SB∥平面PAC．
（2）求直线BC与平面PAC的所成角的大小

20．如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，MA⊥MD，平面MAD⊥平面ABCD．
（1）证明：平面MAB⊥平面MDC；
（2）若MA＝MD，求二面角M﹣AD﹣N的余弦值．

21．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点（﹣2，﹣1）
（1）求抛物线C的方程
（2）过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．
22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且圆x2+y2＝1经过椭圆C的上、下顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆C1：＝1相交于M，N两点，证明：△OMN的面积为定值（O为坐标原点）．




参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“?x0∈（0，+∞），”的否定是（　　）
A．?x0∈（0，+∞），
B．?x0＝（0，+∞），
C．?x∈（0，+∞），ex≠x+1
D．?x?（0，+∞），ex＝x+1
【分析】根据存在性命题和全称命题的否定即可得到结论．
解：命题为存在性命题，则命题的否定为?x∈（0，+∞），ex≠x+1，
故选：C．
2．准线方程为y＝1的抛物线的标准方程为（　　）
A．x2＝﹣4y B．y2＝﹣4x C．x2＝﹣2y D．x2＝4y
【分析】由已知可设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0）并求得p，则抛物线的标准方程可求．
解：∵抛物线的准线方程是y＝1，∴可设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），
则，p＝2．
∴抛物线的标准方程为x2＝﹣4y．
故选：A．
3．已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，m），若，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
解：∵向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，m），
，分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，
∴＝2+m＝0，
解得m＝﹣2．
故选：C．
4．已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设出双曲线的方程，求出渐近线方程，结合离心率公式，计算可得所求值．
解：双曲线C的焦点在y轴上，可设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），
可得渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝，
则e＝＝＝＝，
故选：D．
5．若抛物线x2＝2py（p＞0）上一点P（m，1）到其点F的距离为2p，则p＝（　　）
A． B． C．2 D．1
【分析】由抛物线的准线：y＝﹣，知点P到准线的距离为1+＝2p，由此能求出抛物线方程．
解：抛物线的准线：y＝﹣，
∴点P到准线的距离为1+＝2p，
∴p＝，
故选：A．
6．已知下列命题
①到两定点（﹣1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆
②?x0∈N，x02﹣2x0﹣1≤0；
③已知＝（2，3，m），＝（2n，6，8），则“，为共线向量”是“m+n＝6”的必要不充分条件．
其中真命题的个数（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】因为到两定点（﹣1，0），（1，0）距离之和等于1的点不存在，故命题①是假命题；解不等式x2﹣2x﹣1≤0得，，所以?x0∈N，使得x02﹣2x0﹣1≤0，故命题②是真命题；已知＝（2，3，m），＝（2n，6，8），若，为共线向量，则，?，m+n＝6，反之不成立，“，为共线向量”是“m+n＝6”的充分不必要条件，命题③是假命题，从而得到真命题的个数．
解：对于命题①：到两定点（﹣1，0），（1，0）距离之和等于1的点不存在，故命题①是假命题；
对于命题②：解不等式x2﹣2x﹣1≤0得，，又∵x∈N，∴x＝0或1或2，∴?x0∈N，使得x02﹣2x0﹣1≤0，故命题②是真命题；
对于命题③：已知＝（2，3，m），＝（2n，6，8），若，为共线向量，则，∴，∴m+n＝6，反之若m+n＝6，则m不一定伟，n不一定为2，∴“，为共线向量”是“m+n＝6”的充分不必要条件，∴命题③是假命题；
∴真命题的个数为：1个，
故选：B．
7．已知命题p：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l与抛物线C相切，命题q：若m＞5，则方程表示椭圆．下列命题是真命题的是（　　）
A．p∨（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）
【分析】由题意可得命题p是假命题，命题q是真命题，即可判断出真假．
解：由题意可得命题p是假命题，命题q是真命题，
则（￢p）∧q是真命题．
故选：B．
8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP＝2D1P，若，则x+y+z＝（　　）

A． B． C． D．1
【分析】结合已知及空间向量的基本运算，比照系数可求x，y，z，进而可求．
解：由题意可得，＝2，
则＝＝＝＝，
故x＝，y＝，z＝，
所以x+y+z＝．
故选：B．
9．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（　　）
A．m∈（2，3） B．m∈（1，4） C．m∈（0，4） D．m∈（4，+∞）
【分析】先求出“方程表示双曲线”的m的取值范围，再找它的真子集即可．
解：若“方程表示双曲线”，则（m﹣1）（m﹣4）＜0，
解得：1＜m＜4，
∵“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（1，4）的真子集，
故选：A．
10．已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|＝（　　）
A．8 B．11 C．13 D．16
【分析】利用抛物线的性质，结合中点的综坐标，转化求解即可．
解：抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝10，
则|AF|+|BF|＝y1+y2+p＝10+3＝13．
故选：C．
11．在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体SABC各顶点坐标分别为S（2，2，4），A（6，6，4），B（6，6，0），C（2，6，4），则该四面体外接球的表面积是（　　）
A．12π B．16π C．32 D．48π
【分析】利用各点坐标确定四面体ABCD各顶点恰是正方体的顶点，利用正方体外接球的直径为其体对角线长可得解．
解：通过各点的坐标可知，
S，A，B，C四点恰为棱长为4的正方体的四个顶点，
故此四面体与对应正方体由共同的外接球，其半径为体对角线的一半：即2R＝4，
所以R＝2，
故其表面积S＝4πR2＝48π，
故选：D．

12．已知椭圆C：x2+＝1，直线l：y＝x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用对称关系，求得对称点M，N的方程，代入椭圆方程，利用△＞0，求得n的取值范围，并且线段MN的中点在直线l上，求得m和n的关系，即可求得m的取值范围．
解：设椭圆上存在关于直线y＝x+m对称的两点为M（x1，y1）、N（x2，y2），
根据对称性可知线段MN被直线y＝x+m垂直平分，且MN的中点T（x0，y0）在直线y＝x+m上，且kMN＝﹣1，
故可设直线MN的方程为y＝﹣x+n，
联立，整理可得：3x2﹣2nx+n2﹣2＝0，
所以x1+x2＝，y1+y2＝2n﹣（x1+x2）＝2n﹣＝，
由△＝4n2﹣12（n2﹣1）＞0，可得﹣＜n＜，
所以x0＝＝，y0＝＝，
因为MN的中点T（x0，y0）在直线y＝x+m上，
所以＝+m，m＝，
﹣＜m＜，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知向量＝（2，3，4），＝（1，﹣m，2），若∥，则m＝　﹣　．
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
解：∵向量＝（2，3，4），＝（1，﹣m，2），∥，
∴，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
14．命题“?x∈[1，2]，使得x2+lnx﹣a≤0”为假命题，则a的取值范围为　（﹣∞，1）　．
【分析】先根据存在性命题是假命题，改写成全称命题为真命题，再参变分离，构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可．
解：由题意可知，命题“?x∈[1，2]，使得x2+lnx﹣a＞0”为真命题
所以a＜x2+lnx对于?x∈[1，2]恒成立
令f（x）＝x2+lnx，则在[1，2]上恒成立，所以f（x）单调递增．
所以f（x）min＝f（1）＝1，即a＜1
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为　　．
【分析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与OD1所成角的余弦值．
解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
令AB＝2，则D1（0，2，2），O（2，1，1），M（0，1，0），N（1，2，2），
∴＝（1，1，2），＝（﹣2，1，1），
设异面直线MN与OD1所成角为θ，
则cosθ＝＝．
∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．
故答案为：．

16．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，tan∠F1PF2＝，O为坐标原点，则|OP|＝　　．
【分析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P在右支上，且|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c＝4，运用双曲线的定义、三角形的余弦定理和中线长性质，计算可得所求值．
解：双曲线C：的a＝1，b＝，c＝2，
不妨设P在右支上，且|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c＝4，
可得m﹣n＝2a＝2，
tan∠F1PF2＝，可得cos∠F1PF2＝＝，
由余弦定理可得4c2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，即为16＝4+2mn﹣mn，
可得mn＝7，
由三角形的中线长公式可得4|OP|2＝m2+n2﹣4c2＝4+2mn﹣16＝2，
可得|OP|＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共0分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．考生根据要求作答
17．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知双曲线E过点（2，﹣），且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程．
【分析】（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），再由已知列关于a，b，c的方程组，求解即可得到椭圆的标准方程；
（2）设双曲线方程为（m＞0，n＞0），结合已知可得关于m，n的方程组，求解得答案．
解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0）．
则，解得，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）由题意可设双曲线方程为（m＞0，n＞0）．
则，解得m2＝3，n2＝1．
∴双曲线E的标准方程为．
18．已知p：对于?x∈R，函数f（x）＝ln（kx2﹣4x+6k）有意义，q：关于k的不等式k2﹣（2+m）k+2m≤0成立．
（1）若￢p为假命题，求k的取值范围
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
【分析】（1）若￢p为假命题，则p为真命题，所以对于?x∈R，函数f（x）＝ln（kx2﹣4x+6k）有意义，∴kx2﹣4x+6k＞0对于?x∈R恒成立，再利用开口方向和△列出不等式，即可求出k的取值范围；
（2）先求出q为真时k的取值范围，再结合p是q的必要不充分条件，得到集合间的包含关系，从而求出m的取值范围．
解：（1）若￢p为假命题，则p为真命题，
∴对于?x∈R，函数f（x）＝ln（kx2﹣4x+6k）有意义，∴kx2﹣4x+6k＞0对于?x∈R恒成立，
∴，解得：k＞；
（2）若q为真，则关于k的不等式k2﹣（2+m）k+2m≤0成立，即（k﹣m）（k﹣2）≤0，
①当m＜2时，m≤k≤2；②当m＝2时，k＝2；③当m＞2时，2≤k≤m，
设p为真命题对应的集合为集合A，q为真命题对应的集合为集合B，
∵p是q的必要不充分条件，∴B?A，
∴．
19．如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点且SO＝OD
（1）证明：SB∥平面PAC．
（2）求直线BC与平面PAC的所成角的大小

【分析】（1）连结PO，推导出PO∥SB，由此能证明SB∥平面PAC．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PAC的所成角的大小．
解：（1）证明：连结PO，
∵在正四棱锥S一ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，
∴O是BD中点，
∵P为侧棱SD的中点，∴PO∥SB，
∵PO?平面PAC，SB?平面PAC，
∴SB∥平面PAC．
（2）解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设SO＝OD＝1，则B（0，1，0），C（﹣1，0，0），A（1，0，0），S（0，0，1），D（0，﹣1，0），P（0，﹣，），
＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，﹣），＝（﹣2，0，0），
设平面PAC的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（0，1，1），
设直线BC与平面PAC的所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，∴θ＝30°，
∴直线BC与平面PAC的所成角的大小为30°．

20．如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，MA⊥MD，平面MAD⊥平面ABCD．
（1）证明：平面MAB⊥平面MDC；
（2）若MA＝MD，求二面角M﹣AD﹣N的余弦值．

【分析】（1）推导出CD⊥AD，从而CD⊥平面MAD，进而CD⊥AM，再由MA⊥MD，得AM⊥平面MDC，由此能证明平面MAB⊥平面MDC．
（2）设MA＝MD＝2，以B为原点，在平面BCN中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AD﹣N的余弦值．
解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，平面MAD⊥平面ABCD．
平面MAD∩平面ABCD＝AD．
∴CD⊥AD，∴CD⊥平面MAD，
∵AM?平面MAD，∴CD⊥AM，
∵MA⊥MD，MD∩CD＝D，∴AM⊥平面MDC，
∵AM?平面MAB，∴平面MAB⊥平面MDC．
（2）解：设MA＝MD＝2，以B为原点，在平面BCN中过B作BC的垂线为x轴，
BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，2），D（0，2，2），M（﹣1，1，2），N（1，1，0），
＝（0，0，2），＝（﹣1，1，0），＝（1，1，﹣2），
设平面ADM的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，0），
设平面ADN的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
设二面角M﹣AD﹣N的平面角为θ，
则cosθ＝＝0．
∴二面角M﹣AD﹣N的余弦值为0．

21．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点（﹣2，﹣1）
（1）求抛物线C的方程
（2）过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．
【分析】（1）由题意可得抛物线的准线方程，进而求出抛物线的方程；
（2）由题意可得与直线l平行的直线与抛物线相切，将切线与抛物线联立用判别式等于0求出参数之间的关系，且两条直线的距离恰好为：2，又可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线l的方程．
解：（1）由题意可得抛物线的方程为：y2＝2px，则由题意准线方程为：x＝﹣2，即﹣＝﹣2，所以p＝4，
所以抛物线的方程为：y2＝8x；
（2）由（1）可得抛物线的焦点F（2，0），由题意显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my+2，
要使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为2，则设直线的左侧与直线平行的直线l'为：x＝my+t，
由题意可得这条直线恰好与抛物线相切，且两条平行线间的距离为2，
所以可得可得y2﹣8mx﹣8t＝0，△＝64m2+32t＝0，即t＝﹣2m2，*
且2＝，将*代入可得：＝，解得：m＝±1，
所以直线l的方程为：x＝±y+2，即x+y﹣2＝0或x﹣y﹣2＝0．
22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且圆x2+y2＝1经过椭圆C的上、下顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆C1：＝1相交于M，N两点，证明：△OMN的面积为定值（O为坐标原点）．
【分析】（1）由离心率及单位圆过的上下顶点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l的方程与椭圆C相切求出参数之间的关系，与椭圆C1联立求出两根之和及两根之积，求出弦长MN，再求O到直线l的距离，用面积公式求出面积，结果为定值．
解：（1）因为圆x2+y2＝1过椭圆C的上、下顶点，所以b＝1．
又离心率，所以，则a2＝4．
故椭圆C的方程为．
（2）证明：椭圆，
当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，
联立，得，即，
则．
当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
由△＝0，可得m2＝4k2+1．
联立 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣4）＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以，，
则＝．
因为原点到直线l的距离，
所以．
综上所述，△OMN的面积为定值．