2019-2020学年北师大版陕西省咸阳市高二第一学期期末（文科）数学试卷Word版含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（文科）
一、选择题
1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|x＜﹣1或x＞2}
C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
2．已知等比数列{an}中a4＝27，q＝﹣3，则a1＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
3．设a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若A＝，B＝，a＝3，则b＝（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
4．不等式的解集是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣2，0） D．（0，2）
5．命题“?x∈R，有f（x）＞g（x）”的否定形式为（　　）
A．?x∈R，有f（x）≤g（x） B．?x∈R，有f（x）＜g（x）
C．?x0∈R，使f（x0）≤g（x0） D．?x0∈R，使f（x0）＜g（x0）
6．已知函数f（x）＝﹣asinx，且，则实数a的值为（　　）
A．2π B．﹣2π C．2 D．﹣2
7．已知a＞b，c≠0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．ac＞bc D．
8．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图，则下列叙述正确的是（　　）

A．函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上单调递减
B．函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值
C．函数f（x）在x＝﹣4处取得极值
D．函数f（x）只有一个极值点
9．若数列{an}满足an＝n2+3n+2，则的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
10．在等差数列{an}中，a8＞0，a4+a10＜0，则数列{an}的前n项和Sn中最小的是（　　）
A．S4 B．S5 C．S6 D．S7
11．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．点F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．3
二、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3xf′（1）+lnx，则f′（1）＝　 　．
14．函数y＝x++6（x＞0）的最小值为　 　．
15．若直线l过抛物线y2＝2px的焦点F，且与抛物线交于不同的两点A，B，其中点A（2，y0），且|AF|＝4，则p＝　 　．
16．若函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1（a＞0）在区间（0，+∞）内有两个不同的零点，则a的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数：
（Ⅰ）y＝cosx+x；
（Ⅱ）．
18．设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a1＝1，a2为a1，a4的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinB＝bcosC．
（1）求C；
（2）若，，求△ABC的面积．
20．已知Q（1，1）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点过抛物线C的焦点F作条直线l，直线l与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），在点A处作抛物线C的切线l1在点B处作抛物线C的切线l2．
（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设切线l1的斜率为k1，切线l2的斜率为k2，求证：k1?k2＝﹣1．

21．如图，已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A（0，b）是椭圆C的上顶点，点B在x轴负半轴上，满足F1是BF2的中点，且AB⊥AF2．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若Rt△ABF2的外接圆恰好与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程．

22．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设，若f（x）的极小值为，证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）．（其中e＝2.71828…为自然对数的底数）




参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞1} B．{x|x＜﹣1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】根据一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0，即或，即可求解
解：一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0
即或，解得：﹣2＜x＜1
∴一元二次不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}；
故选：C．
2．已知等比数列{an}中a4＝27，q＝﹣3，则a1＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可．
解：等比数列{an}中，a4＝27，q＝﹣3，
则a1＝＝＝﹣1．
故选：B．
3．设a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，若A＝，B＝，a＝3，则b＝（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】由已知利用正弦定理即可求解b的值．
解：∵A＝，B＝，a＝3，
∴由正弦定理，可得＝，
∴解得b＝2．
故选：A．
4．不等式的解集是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，2] C．（﹣2，0） D．（0，2）
【分析】分式不等式等价于乘积，进而求出不等式的解集．
解：等价于（x﹣2）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜2，
故选：A．
5．命题“?x∈R，有f（x）＞g（x）”的否定形式为（　　）
A．?x∈R，有f（x）≤g（x） B．?x∈R，有f（x）＜g（x）
C．?x0∈R，使f（x0）≤g（x0） D．?x0∈R，使f（x0）＜g（x0）
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“?x∈R，有f（x）＞g（x）”的否定形式为：?x0∈R，使f（x0）≤g（x0）．
故选：C．
6．已知函数f（x）＝﹣asinx，且，则实数a的值为（　　）
A．2π B．﹣2π C．2 D．﹣2
【分析】直接利用极限的应用和函数的关系式的应用求出结果．
解：函数f（x）＝﹣asinx，且，
则，
由于，
所以．
故选：C．
7．已知a＞b，c≠0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．ac＞bc D．
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
解：a＞b，c≠0，则a2＞b2，＞，ac＞bc不一定成立，
而＞一定成立．
故选：D．
8．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图，则下列叙述正确的是（　　）

A．函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上单调递减
B．函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值
C．函数f（x）在x＝﹣4处取得极值
D．函数f（x）只有一个极值点
【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案；
解：由已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知，

f′（x）＞0在区间（﹣∞，﹣4），（﹣4，﹣2），f′（x）＝0在x＝﹣4，f′（x）＜0在区间（﹣2，+∞），
根据导函数的定义和集合意义，导函数大于0时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，
导函数等于0 时是原函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得：
A、x∈（﹣∞，﹣4），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上单调递减错误；
B、x∈（﹣4，﹣2），f′（x）＞0，x∈（﹣2，+∞），f′（x）＜0，函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值错误；
C、x∈（﹣∞，﹣4），f′（x）＞0，x＝﹣4，f′（x）＝0，x∈（﹣4，﹣2），f′（x）＞0，函数f（x）在x＝﹣4处取得极值错误；
D、x∈（﹣4，﹣2），f′（x）＞0，x∈（﹣2，+∞），f′（x）＜0，函数f（x）只有一个极值点x＝﹣2正确；
故选：D．
9．若数列{an}满足an＝n2+3n+2，则的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求得＝＝＝﹣，再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
解：＝＝＝﹣，
则数列{}的前10项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．
故选：B．
10．在等差数列{an}中，a8＞0，a4+a10＜0，则数列{an}的前n项和Sn中最小的是（　　）
A．S4 B．S5 C．S6 D．S7
【分析】结合已知及等差数列的性质可判断出a7＜0，a8＞0，即可求解．
解：等差数列{an}中，a8＞0，a4+a10＝2a7＜0，
故a7＜0，
所以数列{an}的前n项和Sn中最小的是s7．
故选：D．
11．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等比数列﹣1，2，﹣4，8…中，满足a2＜a4，但“{an}是单调递增数列不成立，即充分性不成立，
若{an}是单调递增数列，则必有a2＜a4，即必要性成立，
则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件，
故选：B．
12．点F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．3
【分析】由题意，△AOF是等边三角形，＝，利用双曲线C的离心率为，即可得出结论．
解：由题意，△AOF是等边三角形，∴＝，
∴双曲线C的离心率为＝＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3xf′（1）+lnx，则f′（1）＝　　．
【分析】可求出导函数，从而可求出f′（1）的值．
解：∵，
∴f′（1）＝3f′（1）+1，
∴．
故答案为：．
14．函数y＝x++6（x＞0）的最小值为　8　．
【分析】利用基本不等式y＝x++6≥2+6＝8，得出答案．
解：函数y＝x++6≥2+6＝8，（x＞0），
当x＝1时，取得等号，即最小值为8．
故答案为：8
15．若直线l过抛物线y2＝2px的焦点F，且与抛物线交于不同的两点A，B，其中点A（2，y0），且|AF|＝4，则p＝　4　．
【分析】画出图形，由已知直接利用抛物线的定义求解．
解：如图，
∵A（2，y0），且|AF|＝4，∴|AF|＝2+＝4，即p＝4．
故答案为：4．

16．若函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1（a＞0）在区间（0，+∞）内有两个不同的零点，则a的取值范围为　（1，+∞）　．
【分析】根据函数的导函数f'（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a），由f'（x）＞0和f'（x）＜0的解的情况，分类讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，要使得f（x）在区间（0，+∞）内有两个零点，必须使得f（x）的极小值＜0，从而求得a的取值范围．
解：f'（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a）．
①当a≤0时，若x∈（0，+∞），则f'（x）＞0，此时f（x）在∈（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；
②当a＞0时，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增，
因为f（0）＝1＞0，若函数在区间（0，+∞）内有两个零点，有f（a）＝2a3﹣3a3+1＝1﹣a3＜0，得a＞1．
故实数a的取值范围为（1，+∞）．
故答案为（1，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数：
（Ⅰ）y＝cosx+x；
（Ⅱ）．
【分析】根据题意，由导数的计算公式计算可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，y＝cosx+x，
则y′＝（cosx）′+（x）′＝﹣sinx+1，
（Ⅱ）根据题意，y＝，则y′＝＝．
18．设等差数列{an}的公差为d（d≠0），a1＝1，a2为a1，a4的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】本题第（Ⅰ）题根据等差数列的通项公式和等比中项结合，可计算出公差d，即可得到数列{an}的通项公式；
第（Ⅱ）题先求出数列{bn}的通项公式，然后运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
解：（Ⅰ）由题意，a1＝1，a2为a1，a4的等比中项，
∴＝a1?a4，即（1+d）2＝1×（1+3d），解得d＝1．
∴数列{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×1＝n，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn＝an+2n＝n+2n，n∈N*．
故Tn＝b1+b2+…+bn
＝（1+21）+（2+22）+…+（n+2n）
＝（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）
＝+
＝+2（2n﹣1）．
19．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知csinB＝bcosC．
（1）求C；
（2）若，，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用已知条件，结合正弦定理转化求解即可．
（2）利用余弦定理求出a，然后通过三角形的面积公式求解即可．
解：（1）因为csinB＝bcosC，根据正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC，
又sinB≠0，从而tanC＝1，
由于0＜C＜π，所以．
（2）根据余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，而，，，
代入整理得a2﹣4a﹣5＝0，解得a＝5或a＝﹣1（舍去）．
故△ABC的面积为．
20．已知Q（1，1）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点过抛物线C的焦点F作条直线l，直线l与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），在点A处作抛物线C的切线l1在点B处作抛物线C的切线l2．
（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设切线l1的斜率为k1，切线l2的斜率为k2，求证：k1?k2＝﹣1．

【分析】（Ⅰ）将Q点代入抛物线方程，即可求得p的值，求得焦点坐标；
（Ⅱ）设直线方程．代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求证k1?k2＝﹣1．
解：（Ⅰ）将Q（1，1）代入x2＝2py中，可得1＝2p，，
所以抛物线C的标准方程为x2＝y，
故焦点F的坐标为．
（Ⅱ）证明：显然，直线的l斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去y得，，
则，
由y＝x2，得y′＝2x，
所以k1＝2x1，k2＝2x2，
所以k1?k2＝4x1x2＝﹣1．
21．如图，已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A（0，b）是椭圆C的上顶点，点B在x轴负半轴上，满足F1是BF2的中点，且AB⊥AF2．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若Rt△ABF2的外接圆恰好与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，求椭圆C的方程．

【分析】（Ⅰ）根据题意，利用勾股定理，即可求得a＝2c，求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知求得外接圆的圆心，根据点到直线的距离公式求得a和b的值，求得椭圆C的方程．
解：（Ⅰ）因为F1是BF2的中点，AB⊥AF2，
在Rt△ABF2中，，即（4c）2＝9c2+b2+a2，
又a2＝b2+c2，所以a＝2c，
故椭圆C的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，，，
所以Rt△ABF2的外接圆的圆心为，半径r＝a，
因为Rt△ABF2的外接圆恰好与直线相切，
所以，解得a＝2，所以c＝1，，
所以椭圆C的方程为．
22．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设，若f（x）的极小值为，证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）．（其中e＝2.71828…为自然对数的底数）
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间，
（II）要证明当x＞0时，f（x）＞g（x），问题转化为f（x）min＞g（x）max，结合导数及函数的性质可求证．
解：（Ⅰ）由题可知f（x）的定义域为（0，+∞），＝，
令f′（x）＝0，解得x＝，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故f（x）的单调递减区间为（0，）；单调递增区间为（），
（Ⅱ）证明：∵g′（x）＝，
当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（2）＝，
由题及（Ⅰ）知f（x）min＝﹣，
因为﹣（﹣）＝＜0，
所以f（x）min＞g（x）max即f（x）＞g（x）．