2019-2020学年北师大版江西省赣州市高一第一学期期末数学试卷 Word版含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．已知集合M＝{（x，y）|2x+y＝3}，N＝{（x，y）|x﹣y＝6}，那么集合M∩N为（　　）
A．x＝3，y＝﹣3 B．（3，﹣3） C．{（3，﹣3）} D．{3，﹣3}
2．已知幂函数y＝f（x）的图象过（4，2）点，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞）
C． D．
4．已知，x为第三象限角，那么sin2x＝（　　）
A． B． C． D．
5．点P从点（1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标是（　　）
A．（） B．（﹣，﹣） C．（） D．（）
6．若扇形的面积是4cm2，它的周长是10cm，则扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B．8 C．或8 D．2或
7．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣3）＝f（x+3），且当x∈（﹣3，0）时，f（x）＝3x﹣1，则f（8）＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）的下列说法正确的是（　　）
①g（x）＝﹣sin2x；
②g（x）的图象关于直线对称；
③；
④g（x）在区间上单调递增．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
12．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数（a＞0且a≠1），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1）∪（1，+∞） B．
C． D．（0，1）
二、填空题
13．已知，则＝　 　．
14．函数的零点有　 　个．
15．已知函数，若f（﹣a）＝1，则f（a）＝　 　．
16．下列四个判断正确的是　 　（写出所有正确判断的序号．）
①函数是奇函数，但不是偶函数；
②函数与函数y＝10lg（x﹣1）表示同一个函数；
③已知函数f（x）＝sinx﹣acosx图象的一条对称轴为，则a的值为1；
④设函数，若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的值为3．
三、解答题
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，集合B＝{x|m﹣2＜x＜m+1}．
（1）若m＝1，求A∪B，A∩（?UB）；
（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
18．已知α是第四象限角，．
（1）若，求f（α）的值；
（2）令，当时，求函数g（x）的值域．
19．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%．
（1）写出第x年（2019年为第一年）该企业投入的资金数y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始（2019年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元？
（参考数据lg0.11≈﹣0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301）
20．已知f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣b?2x（b∈R）．
（1）求b的值，并求出f（x）在（0，2]上的解析式；
（2）若对任意的x∈（0，2]，总有f（x）≥m，求实数m的取值范围．
21．已知函数
（1）求函数f（x）的单调增区间和对称中心坐标；
（2）若关于x方程f（x）＝m+2在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），总存在实数x0，使f（x0）＝mx0成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．
（1）当a＝1，b＝﹣3时，求f（x）关于参数1的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；
（3）当a＝1，b＝5时，函数f（x）在x∈（0，4]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．




参考答案
一、选择题
1．已知集合M＝{（x，y）|2x+y＝3}，N＝{（x，y）|x﹣y＝6}，那么集合M∩N为（　　）
A．x＝3，y＝﹣3 B．（3，﹣3） C．{（3，﹣3）} D．{3，﹣3}
【分析】利用交集定义直接求解．
解：∵集合M＝{（x，y）|2x+y＝3}，N＝{（x，y）|x﹣y＝6}，
∴集合M∩N＝{（x，y）|}＝{（3，﹣3）}．
故选：C．
2．已知幂函数y＝f（x）的图象过（4，2）点，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
解：由题意可设f（x）＝xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α＝2，∴，从而可知，
∴．
故选：D．
3．函数的定义域为（　　）
A．[1，+∞） B．（1，+∞）
C． D．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
解：由，解得x≥1且x．
∴函数的定义域为．
故选：D．
4．已知，x为第三象限角，那么sin2x＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．
解：∵，x为第三象限角，
∴sinx＝﹣＝﹣，
∴sin2x＝2sinxcosx＝2×＝．
故选：B．
5．点P从点（1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标是（　　）
A．（） B．（﹣，﹣） C．（） D．（）
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得Q的坐标．
解：点P从点（1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，
则Q的横坐标为cos（﹣）＝cos＝﹣cos＝﹣，
纵坐标为sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，即Q的坐标是（﹣，﹣），
故选：B．
6．若扇形的面积是4cm2，它的周长是10cm，则扇形圆心角的弧度数为（　　）
A． B．8 C．或8 D．2或
【分析】设扇形的半径为r，圆心角为α，由题意列关于r与α的方程组，求解得答案．
解：设扇形的半径为r，圆心角为α，
由题意，，
由②得，r＝③，把③代入①，
得2α2﹣17α+8＝0．
解得或α＝8（舍）．
∴扇形圆心角的弧度数为．
故选：A．
7．函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用奇偶性结合单调性即可选出答案．
解：函数，可知函数f（x）是偶函数，排除C，D；
定义域满足：|x|﹣1＞0，
可得x＜﹣1或x＞1．
当x＞1时，y＝是递增函数，排除A；
故选：B．
8．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】＝tan（α+），只需求出tan（α+）的值即可．先通过α+＝（α+β）﹣（β﹣），利用两角和公式求出tan（α+）．
解：tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝＝．
故选：B．
9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣3）＝f（x+3），且当x∈（﹣3，0）时，f（x）＝3x﹣1，则f（8）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由f（x﹣3）＝f（x+3）可得f（x+6）＝f（x），结合函数的奇偶性可得f（8）＝﹣f（﹣8）＝﹣f（﹣2），由函数的解析式分析可得答案．
解：根据题意，函数f（x）满足f（x﹣3）＝f（x+3），则有f（x+6）＝f（x），
又由f（x）为定义在R上的奇函数，
则f（8）＝﹣f（﹣8）＝﹣f（﹣2）＝﹣（3﹣2﹣1）＝；
故选：C．
10．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【分析】根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．
解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，
又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，
a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），
又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，
则b＞c＞a，
故选：B．
11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）的下列说法正确的是（　　）
①g（x）＝﹣sin2x；
②g（x）的图象关于直线对称；
③；
④g（x）在区间上单调递增．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数图象和性质，得出结论．
解：由题意根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象，
可得A＝1，＝﹣，求得ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝π，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．
将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x++）＝﹣sin2x 的图象，显然，①正确，③不正确；
当x＝﹣时，g（x）＝，不是最值，故g（x）的图象不关于直线对称，故②不正确；
在区间上，2x∈（ ，π），显然，g（x）单调递增，故④正确，
故选：D．
12．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数（a＞0且a≠1），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1）∪（1，+∞） B．
C． D．（0，1）
【分析】根据原点对称的性质，求出当﹣5≤x＜0时函数关于原点对称的函数，条件转化函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣4|，（0＜x≤5），只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．
解：当﹣5≤x＜0时，函数y＝|x+4|关于原点对称的函数
为﹣y＝|﹣x+4|，即y＝﹣|x﹣4|，（0＜x≤5），
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣4|，（0＜x≤5），
只有一个交点，
作出两个函数的图象如图：
若a＞1，则f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣4|，（0＜x≤5），
只有一个交点，满足条件，
当x＝5时，y＝﹣|5﹣4|＝﹣1，
若0＜a＜1，要使两个函数只有一个交点，
则满足f（5）＜﹣1，
即loga5＜﹣1＝loga得＜5，得a＜0或a＞，
∵0＜a＜1，∴＜a＜1，
综上可得a的范围是＜a＜1或a＞1，
即实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞），
故选：C．

二、填空题
13．已知，则＝　7　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
解：∵，
∴＝＝＝7．
故答案为：7．
14．函数的零点有　1　个．
【分析】由题求函数f（x）的零点既是f（x）＝0的根，转化成两个函数的交点问题，数形结合求出交点的个数即是函数零点的个数．
解：由题意＝0，（x≠0）所以x3+2x+1＝0，
即x3＝﹣2x﹣1，令g（x）＝x3，（x≠0），h（x）＝﹣2x﹣1（x≠0）．
大致图象如图所示：由图象可知两个函数仅有一个交点，
所以函数f（x）仅有一个零点，
故答案为：1．

15．已知函数，若f（﹣a）＝1，则f（a）＝　0　．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）的解析式，进而分析可得f（x）+f（﹣x）＝1，据此分析可得答案．
解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝（﹣x）3+sin（﹣x）+＝﹣x3﹣sinx+，
则有f（x）+f（﹣x）＝1，
若f（﹣a）＝1，则f（a）＝1﹣f（﹣a）＝0；
故答案为：0
16．下列四个判断正确的是　②③　（写出所有正确判断的序号．）
①函数是奇函数，但不是偶函数；
②函数与函数y＝10lg（x﹣1）表示同一个函数；
③已知函数f（x）＝sinx﹣acosx图象的一条对称轴为，则a的值为1；
④设函数，若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的值为3．
【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的恒等变换正弦型函数性质的应用，对数函数的性质的应用，函数的图象的应用求出结果．
解：①函数，由于x＝±2，y＝0，所以该函数既是奇函数，又是偶函数；故错误．
②函数＝x﹣1（x＞1）与函数y＝10lg（x﹣1）＝x﹣1（x＞1），所以这两个函数表示同一个函数；故正确．
③已知函数f（x）＝sinx﹣acosx图象的一条对称轴为，所以当x＝时，则，解得a＝1；故正确．
④设函数，若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
根据函数的图象：

所以，故x1+x2＝﹣4，
由于，log2x4＝a，整理得x3x4＝1，
则的值为﹣3．故错误．
故答案为：②③
三、解答题
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，集合B＝{x|m﹣2＜x＜m+1}．
（1）若m＝1，求A∪B，A∩（?UB）；
（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）化简集合A，计算m＝1时集合B，再求A∪B和A∩（?UB）的值；
（2）A∪B＝B时A?B，由此列出不等式组求得实数m的取值范围．
解：（1）集合A＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，
m＝1时，集合B＝{x|m﹣2＜x＜m+1}＝{x|﹣1＜x＜2}．
所以A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}；
又U＝R，所以?UB＝{x|x≤﹣1或x≥2}，
所以A∩（?UB）＝{x|x＝2}＝{2}；
（2）若A∪B＝B，则A?B，
所以，
解得1＜m≤2；
所以实数m的取值范围是（1，2]．
18．已知α是第四象限角，．
（1）若，求f（α）的值；
（2）令，当时，求函数g（x）的值域．
【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
解：（1）＝＝cosα．
∵，∴sinα＝﹣．
∵α是第四象限角，∴cosα＝＝．
∴f（α）＝．
（2）＝cosx+sinx﹣1＝2sin（x+）﹣1．
当时，（x+）∈（，）．
∴sin（x+）∈．
∴函数g（x）∈（0，1]．
19．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%．
（1）写出第x年（2019年为第一年）该企业投入的资金数y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始（2019年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元？
（参考数据lg0.11≈﹣0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301）
【分析】（1）根据题意可得y＝100（1+10%）x万元，其定义域为{x∈N*|x≤10}，
（2）由200（1+10%）x＞400，解得即可．
解：（1）第一年投入的资金数为200（1+10%）万元，
第二年投入的资金数为200（1+10%）+200（1+10%）10%＝200（1+10%）2万元，
第x年（2018年为第一年）该企业投入的资金数y（万元）与x的函数关系式y＝200（1+10%）x万元，
其定义域为{x∈N*|x≤10}；
（2）由200（1+10%）x＞400可得1.1x＞2，即x＞≈≈7.3，
即企业从第8年开始（2019年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元．
20．已知f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣b?2x（b∈R）．
（1）求b的值，并求出f（x）在（0，2]上的解析式；
（2）若对任意的x∈（0，2]，总有f（x）≥m，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得f（0）＝1﹣b＝0，解可得b的值，再设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，结合函数奇偶性分析可得[﹣2，0]上函数的解析式，综合即可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论可得[﹣2，0]上函数的解析式，用换元法分析可得f（x）在[﹣2，0]上的值域，据此分析可得答案．
解：（1）根据题意，f（x）为定义在[﹣2，2]上的奇函数，则有f（0）＝0，
又由当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣b?2x，则f（0）＝1﹣b＝0，
解可得：b＝1，
则当x∈[﹣2，0]时，函数解析式为f（x）＝4x﹣2x，
设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，
则f（﹣x）＝4﹣x﹣2﹣x，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝2﹣x﹣4﹣x，
故f（x）＝，
（2）由（1）的结论，x∈（0，2]时，f（x）＝2﹣x﹣4﹣x＝﹣（）2，
设t＝，则≤t＜1，则y＝t﹣t2＝﹣（t﹣）2+＞0，
即f（x）＞0在（0，2]上恒成立，
若f（x）≥m，必有m≤0，即m的取值范围为（﹣∞，0]．
21．已知函数
（1）求函数f（x）的单调增区间和对称中心坐标；
（2）若关于x方程f（x）＝m+2在上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用倍角公式、和差公式化简函数＝2sin（2x+）+1．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得其单调区间．由sin（2x+）＝0，解得x，可得对称中心坐标．
（2）由，可得：（2x+）∈[，]．画出图象：y＝f（x），．根据关于x方程f（x）＝m+2在上有两个不同的解，结合图象可得实数m的取值范围．
解：（1）函数
＝2cosx（sinx+cosx）﹣sin2x+sin2x+1
＝sin2x+（cos2x﹣sin2x）+1
＝sin2x+cos2x+1
＝2sin（2x+）+1．
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，
解得：kπ﹣π≤x≤kπ+，k∈Z．
可得：函数f（x）的单调增区间为：[kπ﹣π，kπ+]，k∈Z．
由sin（2x+）＝0，解得：2x+＝kπ，解得：x＝﹣，k∈Z．
∴对称中心坐标为（﹣，1）k∈Z．
（2）由，可得：（2x+）∈[，]．
画出图象：y＝f（x），．
若关于x方程f（x）＝m+2在上有两个不同的解，
则1+≤m+2＜3．
解得：﹣1≤m＜1．
∴实数m的取值范围是：﹣1≤m＜1．

22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），总存在实数x0，使f（x0）＝mx0成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．
（1）当a＝1，b＝﹣3时，求f（x）关于参数1的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；
（3）当a＝1，b＝5时，函数f（x）在x∈（0，4]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．
【分析】（1）当a＝1，b＝﹣3时，结合已知可得f（x）＝x2﹣2x﹣4＝x，解方程可求；
（2）由题意可得，ax2+（1+b）x+b﹣1＝x恒有2个不同的实数根（a≠0），结合二次方程的根的存在条件可求；
（3）当a＝1，b＝5时，转化为问题f（x）＝x2+6x+4＝mx在（0，4]上有两个不同实数解，进行分离m，结合对勾函数的性质可求．
解：（1）当a＝1，b＝﹣3时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，
由题意可得，x2﹣2x﹣4＝x即x2﹣3x﹣4＝0，
解可得x＝4或x＝﹣1，
故f（x）关于参数1的不动点为4或﹣1，
（2）由题意可得，ax2+（1+b）x+b﹣1＝x恒有2个不同的实数根（a≠0），
则ax2+bx+b﹣1＝0恒有2个不同的实数根（a≠0），
所以△＝b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，
即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，
所以△′＝16a2﹣16a＜0，
解可得，0＜a＜1，
（3）a＝1，b＝5时，f（x）＝x2+6x+4＝mx在（0，4]上有两个不同实数解，
即m﹣6＝x+在（0，4]上有两个不同实数解，
令h（x）＝x+，0＜x≤4，
结合对勾函数的性质可知，4＜m﹣6≤5，
解可得，10＜m≤11．
故m的范围为（10，11]