冀教版九年级下册29.5 正多边形与圆 同步练习（含答案）

29.5　正多边形与圆
　　　　　　 　　　　　 　　　　　　
知识点 1　正多边形与圆的有关概念及计算
1.对于以下说法:
①各角相等的多边形是正多边形;②各边相等的三角形是正三角形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.你认为正确的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.[教材“大家谈谈”第2题变式] 如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个多边形的边数是 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如果一个正多边形绕它的中心旋转45°后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形 (　　)
A.是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
4.边长为a的正六边形的边心距为 (　　)
A.2a B.a C.32a D.12a
5.[2019·成都] 如图29-5-1,正五边形ABCDE内接于☉O,P为DE上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为 (　　)
A.30° B.36° C.60° D.72°
6.从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个面积最大的正方形,则此正方形的边长为　　　　.?

图29-5-1 图29-5-2
7.[2019·扬州] 如图29-5-2,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在AC上,且BC是☉O的内接正十边形的一边.若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=　　　　.?
知识点 2　正多边形的画法
8.利用等分圆可以作正多边形,下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是 (　　)
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.正七边形
9.用尺规作图(不要求写作法和证明,但要保留作图痕迹).
(1)如图29-5-3,已知正五边形ABCDE,求作它的中心O.
图29-5-3
(2)如图29-5-4,已知☉O,求作☉O的内接正八边形.
图29-5-4
10.在学完本节课后,高静同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:
(1)如图29-5-5,作☉O的直径AD;
(2)作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点;
(3)连接AB,AC,那么△ABC即为所求作的三角形.
请你判断高静同学的作法是否正确,如果正确,请给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.
图29-5-5
11.如图29-5-6,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为 (　　)
A.10 B.9 C.8 D.7

图29-5-6 图29-5-7
12.如图29-5-7,要拧开一个边长为a=6 cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为 (　　)
A.62 cm B.12 cm C.63 cm D.43 cm
13.[教材习题A组第2题变式] 如图29-5-8,正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC各边上,则S阴影∶S△ABC等于 (　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3 D.3∶2

图29-5-8 图29-5-9
14.[2018·株洲] 如图29-5-9,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM=　　　　.?
15.如图29-5-10,圆内接正八边形的边长为1,以正八边形的一边AB为边作正方形ABCD,将正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC'重合,则正方形ABCD与正方形A'BC'D'重叠部分的面积为　　　　.?
图29-5-10
16.[2019·铜仁] 如图29-5-11,正六边形ABCDEF内接于☉O,BE是☉O的直径,连接BF,延长BA,过点F作FG⊥BA,垂足为G.
(1)求证:FG是☉O的切线;
(2)已知FG=23,求图中阴影部分的面积.
图29-5-11
17.图29-5-12分别是☉O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…,点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM与BN交于点P.
(1)求图①中∠APN的度数;
(2)图②中,∠APN的度数是　　　　,图③中∠APN的度数是　　　　;?
(3)试探索∠APN的度数与正多边形的边数n的关系(直接写出答案).
图29-5-12

教师详解详析
1.B　[解析] ②④两种说法正确,其余两种说法错误.判定正多边形的两个条件:各边相等,各角相等,缺一不可.只具有其一时,要保证另外一个能推出来.
2.B
3.C　[解析] ∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后,能与原正多边形重合,180°÷45°=4,∴这个正多边形绕它的中心旋转180°后能与原正多边形重合,∴这个正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
4.C　[解析] 如图,设正六边形的中心为O,连接OA,OB,过点O作OC⊥AB于点C,则OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB为等边三角形,∴OA=a,AC=12AB=12a,∴OC=OA2-AC2=32a,
∴正六边形的边心距为32a.故选C.
5.B
6.102 cm　[解析] 如图,由题意知∠BOC=90°,BC=OB2+OC2=102+102=
102(cm).
7.15
8.D　[解析] 直接利用圆的半径即可将圆等分为6份,这样既可得出正三角形,也可以得出正六边形.作两条互相垂直的直径即可将圆四等分,可得出正方形,但是无法利用圆规与直尺七等分圆,故无法得到正七边形.故选D.
9.解:(1)如图①,点O即为所求.
(2)如图②,八边形ABCDEFGH即为所求.
10.解:高静同学的作法正确.
证明:如图,连接BO,CO,
设BC与AD交于点E.
∵BC垂直平分OD,
∴在Rt△OEB中,
cos∠BOE=OEOB=12,
∴∠BOE=60°.
由垂径定理,得∠COE=∠BOE=60°.
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°,
∴AB=BC=CA,即△ABC为等边三角形.
11.D　[解析] ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.如图,延长正五边形的两边相交于点O,则
∠1=180°-(360°-108°×2)=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个正五边形,∴完成这一圆环还需7个正五边形.
12.C　[解析] 设正六边形ABCDEF的中心是O,如图所示.
易得∠AOB=∠BOC=60°,
∴OA=OB=AB=OC=BC,
∴四边形ABCO是菱形.
连接AC,则AC⊥OB于点M.
∵AB=6 cm,∠AOB=60°,
∴cos∠BAC=AMAB,
∴AM=AB·cos∠BAC=6×32=33(cm),
∴AC=2AM=63(cm).故选C.
13.C　[解析] ∵六边形DEFGHI是正六边形,∴DE=DI,∠EDI=120°,
∴∠ADI=60°,
∴△ADI是等边三角形,则AD=DI,
∴AD=DE,同理BE=DE,
∴AD=DE=BE,∴AD∶AB=1∶3,则S△ADI=19S△ABC,同理S△BEF=19S△ABC,S△CGH=19S△ABC,
∴S阴影∶S△ABC=2∶3.故选C.
14.48°　[解析] 如图,连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB=360°5=72°.
∵△AMN是正三角形,∴∠AOM=360°3=120°,
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.
15.2-1　[解析] 正八边形的内角∠ABC'=(8-2)×180°8=135°.正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC'重合,∴∠ABC=∠A'BC'=90°,∠BA'D'=∠BAD=90°,
∴∠ABA'=135°-90°=45°,延长BA'过点D.∵AB=1,∴A'B=AB=1,BD=2,∴A'D=2-1,∴正方形ABCD与正方形A'BC'D'重叠部分的面积为S△BDC-S△DA'E=12×1×1-12×(2-1)×(2-1)=2-1.
16.解:(1)证明:连接OF,AO.
∵AB=AF=EF,∴AB=AF=EF,
∴∠ABF=∠AFB=∠EBF=12∠AOF=30°.
∵OB=OF,
∴∠OBF=∠BFO=30°,
∴∠ABF=∠OFB,
∴AB∥OF.
∵FG⊥BA,∴OF⊥FG,
∴FG是☉O的切线.
(2)∵AB=AF=EF,∴∠AOF=60°.
∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形,
∴∠AFO=60°,∴∠AFG=30°.
∵FG=23,∴AF=4,∴AO=4.
∵∠AFB=∠OBF=30°,∴AF∥BE,
∴四边形ABOF为平行四边形,
∴S△ABF=S△AOF=12S?ABOF,
∴图中阴影部分的面积即为扇形AOF的面积为60π×42360=8π3.
17.解: (1)∵BM=CN, ∴∠BAM=∠CBN.
∵∠APN为△ABP的外角,
∴∠APN=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN=∠ABC=60°.
(2)90°　108°
(3)∠APN=(n-2)×180°n.