29.3 第1课时 切线的性质
知识点 切线的性质
1.如图29-3-1,已知PA切☉O于点A,☉O的半径为3,OP=5,则PA的长为 ( )
A.34 B.8 C.4 D.2
图29-3-1 图29-3-2
2.如图29-3-2,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 ( )
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
3.[2019·重庆A卷] 如图29-3-3,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,BC与☉O交于点D,连接OD.若∠C=50°,则∠AOD的度数为 ( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
图29-3-3 图29-3-4
4.如图29-3-4,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D.若OD=2,tan∠OAB=12,则AB的长是 ( )
A.4 B.23
C.8 D.43
5.如图29-3-5,C为☉O外一点,CA与☉O相切,切点为A,AB为☉O的直径,连接CB.若☉O的半径为2,∠ABC=60°,则BC= .?
图29-3-5
6.[2018·连云港] 如图29-3-6,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= °.?
图29-3-6 图29-3-7
7.如图29-3-7,☉O的半径为2,AB为☉O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作☉O的切线,切点为C.若PC=23,则BC的长为 .?
8.[教材习题B组第1题变式] 如图29-3-8,已知AB为☉O的直径,CD,CB为☉O的两条切线,切点分别为D,B,连接AD.求证:AD∥OC.
图29-3-8
9.如图29-3-9,直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,D是☉O上的动点(点D与点B,C不重合).若∠A=40°,则∠BDC的度数是 ( )
图29-3-9
A.25°或155° B.50°或155°
C.25°或130° D.50°或130°
10.[2019·贺州] 如图29-3-10,在△ABC中,O是AB边上的点,以点O为圆心,OB长为半径的☉O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=3OD,AB=12,则CD的长是 ( )
A.23 B.2 C.33 D.43
图29-3-10 图29-3-11
11.[2019·济宁] 如图29-3-11,O为Rt△ABC直角边AC上一点,以OC为半径的☉O与斜边AB相切于点D,交OA于点E,已知BC=3,AC=3,则图中阴影部分的面积是 . ?
12.[2019·聊城] 如图29-3-12,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,作OD⊥AB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作☉O的切线CE,交OF于点E.
(1)求证:EC=ED;
(2)如果OA=4,EF=3,求弦AC的长.
图29-3-12
13.[2018·保定一模] 如图29-3-13,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P为边BC上的一个动点(点P可以与点C重合,但不与点B重合),以点P为圆心,PB为半径作☉P交AB于点D,过点D作☉P的切线交边AC于点E.
(1)求证:AE=DE;
(2)若PB=2,求AE的长;
(3)在点P的运动过程中,请直接写出线段AE长度的取值范围.
图29-3-13
14.如图29-3-14①,水平放置一个三角尺和一个量角器,三角尺的边AB和量角器的直径DE在一条直线上,AB=BC=6 cm,OD=3 cm,开始的时候BD=1 cm,现在三角尺以2 cm/s的速度向右移动.
(1)当点B与点O重合的时候,求三角尺运动的时间;
(2)如图29-3-14②,当AC与半圆相切时,求AD的长度;
(3)如图29-3-14③,当AB和DE重合时,CO与☉O交于点F,连接AF交BC于点G.求证:CF2=CG·CE.
图29-3-14
教师详解详析
C [解析] 如图,连接OA.
∵PA切☉O于点A,∴OA⊥AP.在Rt△OAP中,PA=OP2-OA2=52-32=4.
2.B [解析] 在△ABC中,∵AB=5,BC=3,AC=4,∴AC2+BC2=42+32=52=AB2,∴∠C=90°,如图,设切点为D,连接CD.∵AB是☉C的切线,∴CD⊥AB.
∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD,∴AC·BC=AB·CD,即CD=AC·BCAB=4×35=125=2.4,
∴☉C的半径为2.4.
3.C
4.C [解析] 连接OC.∵大圆的弦AB切小圆于点C,∴OC⊥AB,∴AB=2AC.∵OD=2,∴OC=2.∵tan∠OAB=12,∴AC=4,∴AB=8.
5.8 [解析] ∵CA与☉O相切,切点为A,AB为☉O的直径,
∴∠BAC=90°.
∵∠ABC=60°,☉O的半径为2,
∴在Rt△BAC中,∠C=30°,AB=4,
∴BC=2AB=2×4=8.
6.44° [解析] 如图,连接OB.
∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,
∴∠OBA+∠CBP=90°.
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°.
∵OA=OB,∠OAB=22°,
∴∠OAB=∠OBA=22°,
∴∠APO=∠CBP=68°.
∵∠CPB=∠APO,
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°.
7.2 [解析] 如图,连接OC.
∵PC是☉O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCP=90°.
∵PC=23,OC=2,
∴OP=OC2+PC2=22+(23)2=4,
∴∠OPC=30°,∴∠COP=60°.
∵OC=OB=2,
∴△OCB是等边三角形,
∴BC=OB=2.
8.证明:如图,连接OD.
∵CD,CB为☉O的两条切线,
∴OD⊥CD,OB⊥CB,
∴∠ODC=∠OBC=90°.
又∵OD=OB,OC=OC,
∴Rt△COD≌Rt△COB,
∴∠BOD=2∠BOC.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠A.
∵AB为☉O的直径,∠BOD是△AOD的外角,
∴∠BOD=∠ODA+∠A=2∠A.
∴∠BOC=∠A,∴AD∥OC.
9.A 10.A 11.π6
12.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵CE与☉O相切,OC是☉O的半径,∴OC⊥CE,∴∠OCA+∠ACE=90°.∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,∴∠ACE+∠A=90°.∵OD⊥AB,
∴∠ODA+∠A=90°.∵∠ODA=∠CDE,
∴∠CDE+∠A=90°,∴∠CDE=∠ACE,
∴EC=ED.
(2)∵AB为直径,∴∠ACB=90°,在Rt△DCF中,∠DCE+∠ECF=90°,∠DCE=∠CDE,
∴∠CDE+∠ECF=90°.∵∠CDE+∠F=90°,∴∠ECF=∠F,∴EC=EF.∵EF=3,
∴EC=DE=3.在Rt△OCE中,OC=4,CE=3,∴OE=OC2+EC2=5,∴OD=OE-DE=2.
在Rt△OAD中,AD=OA2+OD2=25.在Rt△AOD和Rt△ACB中,∵∠A=∠A,
∴Rt△AOD∽Rt△ACB,∴AOAC=ADAB,∴AC=1655.
13.解:(1)证明:如图①,连接PD.
∵DE切☉P于点D,∴PD⊥DE.
∴∠ADE+∠PDB=90°.
∵∠C=90°,∴∠B+∠A=90°.
∵PD=PB,∴∠PDB=∠B.
∴∠A=∠ADE.∴AE=DE.
(2)如图①,连接PE.设DE=AE=x,则EC=8-x.
∵PB=PD=2,BC=6.∴PC=4.
∵∠PDE=∠C=90°,
∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2.
∴x2+22=(8-x)2+42,解得x=194.
∴AE=194.
(3)如图②,当圆心P在点B处时,半径为0,此时,点D与点B重合.
∵AE=DE,设AE=ED=x,则EC=8-x,∴EC2+BC2=BE2,
∴(8-x)2+62=x2,解得x=254;
如图③,当点P与点C重合时,∵AE=DE,设AE=DE=x,则EC=8-x,∴EC2=DC2+DE2,
∴(8-x)2=62+x2,解得x=74.
∵P为边BC上一个动点(点P可以与点C重合但不与点B重合),
∴线段AE长度的取值范围为74≤AE<254.
14.解:(1)由题意可得BO=4 cm,t=42=2(s).
(2)如图(a),设AC与半圆相切于点H,连接OH,则OH⊥AC.
又∵∠A=45°,∴AO=2OH=32 cm,
∴AD=AO-DO=(32-3)cm.
(3)证明:如图(b),连接EF.
∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD.
∵DE为☉O的直径,
∴∠ODF+∠DEF=90°.
又∵∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°,
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG.
又∵∠FCG=∠ECF,
∴△CFG∽△CEF,∴CFCG=CECF,
∴CF2=CG·CE.
第2课时 切线的判定
知识点 切线的判定
1.如图29-3-15,直线l上有A,B,C,D四点,以点P为圆心,分别以线段PA,PB,PC,PD的长为半径作圆,所得的圆与直线l相切的是( )
A.以PA的长为半径的圆
B.以PB的长为半径的圆
C.以PC的长为半径的圆
D.以PD的长为半径的圆
2.矩形的两邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作圆,则矩形与圆相切的边共有 ( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
3.在△ABO中,OA=OB=2 cm,☉O的半径为1 cm,当∠AOB= °时,直线AB与☉O相切.?
图29-3-15 图29-3-16
4.如图29-3-16,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当
∠CAB的度数为 时,AC才能成为☉O的切线.?
5.如图29-3-17,D是∠AOB的平分线OC上任意一点,过点D作DE⊥OB于点E,以DE为半径作☉D.求证:OA是☉D的切线.
图29-3-17
6.[2019·乐山] 如图29-3-18,直线l与☉O相离,OA⊥l于点A,与☉O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连接CP并延长交☉O于另一点B,且AB=AC.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为3,求线段BP的长.
图29-3-18
7.如图29-3-19,AB是☉O的直径,☉O交BC于点D,且D为BC的中点,DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结论正确的有 ( )
①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=12AC;④DE是☉O的切线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图29-3-19 图29-3-20
8.如图29-3-20,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条通过点P且与☉O相切的直线,其作法如下.
甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.
乙:过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP长为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是 ( )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.两人都正确 D.两人都错误
9.[2018·石家庄桥西区一模] 如图29-3-21,AB是☉O的直径,P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA.若∠P=40°,则当∠B等于 时,PA与☉O相切( )?
A.20° B.25° C.30° D.40°
图29-3-21 图29-3-22
10.[2019·宁波] 如图29-3-22,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 ,点D在边BC上,CD=5,BD=13.P是线段AD上的一个动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为 .?
11.已知:如图29-3-23,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆☉O与CD相切于点D,交AC于点E.
(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若CE=2,求☉O的半径r.
图29-3-23
12.如图29-3-24,半圆O的直径AB=2,P(不与点A,B重合)为半圆上一点,将图形沿BP折叠,分别得到点A,O的对称点A',O',设∠ABP=α.
(1)当α=15°时,过点A'作A'C∥AB,如图①,判断A'C与半圆O的位置关系,并说明理由.
(2)如图②,当α= 时,BA'与半圆O相切;当α= 时,点O'落在PB上.?
图29-3-24
13.如图29-3-25,☉O的半径为1,直线CD经过圆心O,交☉O于C,D两点,直径AB⊥CD,M是直线CD上异于点C,O,D的一个动点,AM所在的直线交☉O于点N,P是直线CD上另一点,点P在☉O外,且PM=PN.
(1)当点M在☉O内部时,如图①,试判断PN与☉O的位置关系,并写出证明过程;
(2)当点M在☉O外部时,如图②,其他条件不变,(1)的结论是否还成立?请说明理由;
(3)当点M在☉O外部时,如图③,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.
① ② ③
图29-3-25
教师详解详析
1.C [解析] ∵PC⊥直线l,∴以点P为圆心,PC长为半径作圆,所得的圆与直线l相切.
2.B [解析] 根据题意画出图形,如图所示.AB=DC=2.5,AD=BC=5.∵O为直径AD的中点,∴OA=OD=2.5.又∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴AB与圆O相切,DC与圆O相切.过点O作OE⊥BC,交BC于点E.∵∠A=∠B=90°,∠OEB=90°,∴四边形OABE为矩形,∴OE=AB=2.5,∴BC与圆相切,则矩形与圆相切的边共有3条.
3.120° 4.60°
5.证明:如图,过点D作DF⊥OA于点F.
∵D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB,∴DF=DE,
即D到直线OA的距离等于☉D的半径DE,∴OA是☉D的切线.
6.解:(1)证明:如图,连接OB,则OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB=∠CPA.
∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,而OA⊥l,即∠OAC=90°,
∴∠ACB+∠CPA=90°,即∠ABP+∠OBP=90°,∴∠ABO=90°,
∴OB⊥AB,故AB是☉O的切线.
(2)由(1)知∠ABO=90°,而OA=5,OB=OP=3.由勾股定理,得AB=4.
过点O作OD⊥PB于点D,则PD=DB.在△ODP和△CAP中,∵∠OPD=∠CPA,∠ODP=∠CAP=90°,∴△ODP∽△CAP, ∴PDPA=OPCP.又∵AC=AB=4,AP=OA-OP=2,
∴PC=AC2+AP2=25,∴PD=OP·PACP=35 5,∴BP=2PD=65 5.
7.D [解析] 因为AB是☉O的直径,所以∠ADB=90°,所以AD⊥BC.又因为D为BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以AB=AC=2AO,所以∠B=∠C.由DE⊥AC,可以求得∠C=∠EDA,所以∠EDA=∠B.连接OD,则∠BDO=∠B=∠EDA,所以∠ODE=∠ODA+∠ADE=∠ODA+∠ODB=∠ADB=90°,所以DE是☉O的切线.故共有4个正确.
8.C [解析] 对于甲的作法:连接OB,如图①.
∵OA=AP,∴OP为☉A的直径,
∴∠OBP=90°,
∴OB⊥PB.
∵点B在☉O上,
∴PB为☉O的切线,
所以甲的作法正确.
对于乙的作法:如图②,
∵MN⊥OP,∴∠OAB=90°.
在△OAB和△OCP中,OA=OC,∠AOB=∠COP,OB=OP,
∴△OAB≌△OCP,∴∠OAB=∠OCP=90°,
∴OC⊥PC,∴PC为☉O的切线,
∴乙的作法正确.
9.B [解析] ∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,∴∠AOP=90°-∠P=50°.∵OB=OC,
∴∠AOP=2∠B,∴∠B=12∠AOP=25°.
10.132或313
[解析] 在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=12,CD=5,∴AD=12.又∵BD=B,∴AD=BD,∴∠DAB=∠B.
半径为6的☉P与△ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:①当☉P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处,为5,故这种情况不存在;②当☉P与BC相切时,点P到BC的距离为6,如图①,PE=6,PE⊥BC,∴PE为△ACD的中位线,P为AD的中点,∴AP=12AD=132;
③当☉P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF=6,PF⊥AB,如图②,过点D作DG⊥AB于点G,∴△APF∽△ADG∽△ABC,∴PFAP=ACAB.
其中,PF=6,AC=12,AB=AC2+BC2=613,∴AP=313.
综上所述,AP的长为132或313.
11.解:(1)BC与☉O相切.理由如下:
如图,连接OD,OB.
∵☉O与CD相切于点D,
∴OD⊥CD,∠ODC=90°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC垂直平分BD,AD=CD=CB.
∴△ABD的外接圆☉O的圆心O在AC上.
∵OD=OB,OC=OC,CD=CB,
∴△ODC≌△OBC.
∴∠ODC=∠OBC=90°.
又∵☉O为OB的半径,
∴☉O与BC相切.
(2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD.
又∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠CAD,
∴∠COD=2∠ACD.
又∵∠COD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=30°.∴OD=12OC,
即r=12(r+2).
∴r=2.
12.解:(1)相切.
理由如下:
如图,过点O作OD⊥A'C于点D,交A'B于点E.
∵α=15°,由折叠性质可得∠A'BA=2α=30°,A'B=AB,A'C∥AB,
∴∠ABA'=∠CA'B=30°,
∴DE=12A'E,OE=12BE,
∴DO=DE+OE=12(A'E+BE)=12A'B=12AB=OA,
∴A'C与半圆O相切.
(2)当BA'与半圆O相切时,则OB⊥BA',
∴∠OBA'=2α=90°,∴α=45°.
当O'在PB上时,
连接OO',则可知OO'=OB=O'B,
∴△OO'B为等边三角形,
∴∠OBA'=2α=60°,∴α=30°.
故答案为45°,30°.
13.解:(1)PN与☉O相切.
证明:如图①,连接ON.
∵OA=ON,∴∠ONA=∠OAN.
∵AB⊥CD,∴∠AOM=90°,
∴∠AMO+∠OAN=90°. ∵PM=PN,
∴∠PNM=∠PMN. ∵∠AMO=∠PMN,
∴∠PNM=∠AMO.
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°.
∵点N在☉O上,∴PN与☉O相切.
(2)成立.
理由:如图②,连接ON.
∵OA=ON,∴∠ONA=∠OAN.
∵PM=PN,∴∠PNM=∠PMN.
在Rt△AOM中,∠OMA+∠OAM=90°,
∴∠PNM+∠ONA=90°.
∴∠PNO=180°-90°=90°.
∵点N在☉O上,∴PN与☉O相切.
图① 图② 图③
(3)如图③,连接ON.
由(2)可知∠ONP=90°.
∵∠AMO=15°,PM=PN,∴∠PNM=15°,
∴∠OPN=30°,∴∠PON=60°,∠AON=30°.
过点N作NE⊥OD,垂足为E,
则NE=ON·sin60°=1×32=32.
∴S阴影=S△AOC+S扇形AON-S△CON=12OC·OA+30360×π×12-12CO·NE=12×1×1+112π-12×
1×32=12+112π-34.
