课件19张PPT。第1章 二次函数1.1 二次函数第1章 二次函数1.1 二次函数考场对接 例题1 当k= 时, 函数y=(k+2)x 是关于x的二次函数.题型一 根据二次函数的定义求字母的值2锦囊妙计
利用二次函数的定义求待定字母的值的步骤
(1)根据自变量的最高次数是2, 求得字母的值；
(2)去掉使二次项系数为0的字母的值, 即得答案.题型二 二次函数的一般形式例题2 二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与一次项系数的和为( ).
A．2 B．-2 C．-1 D．-4D锦囊妙计解二次函
数系数问
题的一般
步骤一化：将函数表达式化为一般形式二找：找准各项系数和常数项,
注意不要漏掉前面的符号三解：解决问题题型三 求二次函数中自变量的值或函数值例题3 已知二次函数y=3(x+2)2 -1.
(1)当自变量x=2时, 函数值y是多少？
(2)当函数值y=11时, 自变量x的值是多少？解: (1)将x=2代入y=3(x+2)2 -1中, 得y=48-1=47.
(2)令y=11, 得11=3(x+2)2 -1, 解得x1 =0, x2 =-4.锦囊妙计
求二次函数中自变量的值或函数值的思路
已知自变量求函数值, 实际上是求代数式的值；已知函数值求自变量的值, 实际上是解一元二次方程.题型四 列二次函数表达式及确定自变量的取值范围例题4 如图1-1-2所示, 在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=12 mm, BC=24 mm, 动点P从点A开始, 沿边AC向点C以2 mm/s的速度移动；动点Q从点C开始, 沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动.如果P, Q两点同时出发, 求Rt△PCQ的面积
S(mm2 )与出发时间t(s)之间的函数表达
式, 并求出t的取值范围.分析 首先用含t的代数式分别表示出CP和CQ的长, 根据S △PCQ = CP·CQ
求出相应的函数表达式, 再根据t>0, 0 mm求出t的取值范围.解: ∵出发时间为t s, 点P的移动速度为2 mm/s,
点Q的移动速度为4 mm/s,
∴CP=(12-2t) mm, CQ=4t mm,
∴S= ×(12-2t)×4t=-4t2 +24t.
∵t>0, 0<12-2t<12, 且0<4t<24,
∴0求几何问题中二次函数的表达式, 除了根据有关面积、体积的公式写出二次函数的表达式外,还应考虑问题的实际意义, 明确自变量的取值范围(在一些实际问题中, 自变量的取值可能是整数或者是在一定的范围内). 判断自变量的取值范围时,应结合问题, 全面考虑, 不要漏掉一些约束条件. 列不等式组是求自变量的取值范围的常用方法.题型五 运用二次函数模型解决实际问题例题5 某软件商店销售一种益智游戏软件, 如果以每盘50元的价格销售, 那么一个月能售出500盘.根据市场分析, 若每盘涨1元, 则月销售量就减少10盘.
(1)若每盘涨x元, 求该商店月销售额y(元)与x(元)之间的函数表达式, 并写出自变量x的取值范围；
(2)若每盘涨20元, 则每月可以售出多少盘？销售额是多少？
(3)若该商店计划每月获得24 000元的销售额,应该怎样定价？解: (1)根据题意, 当每盘涨x元时, 实际每盘
的销售价格为(50+x)元, 月销售量为(500-10x)盘,
∴ y=(50+x)(500－10x),即y=-10x2 +25 000.
x≥0,
根据题意, 得
500-10x≥0,
∴0≤x≤50,
∴y=-10x2 +25 000(0≤x≤50).(2)当x=20时, 月销售量为500-10×20=300(盘).
y=-10×202 +25 000=21 000.
答：若每盘涨20元, 每月可以售出300盘, 销售额是21 000元.
(3)若该商店计划每月获得24 000元的销售额,即y=24 000, 则-10x2 +25 000=24 000,
解得x=10或x=-10(舍去).
50+10=60(元).
答：应该定价为每盘60元.锦囊妙计
商品销售问题常用的等量关系
在商品销售问题中, 常用的等量关系如下：
(1)利润=售价-进价；
(2)利润率= ×100%= ×100%；
(3)总利润=每件的利润×销售量=(售价-进价)×销售量；
(4)售价=进价×(1+利润率).
谢 谢 观 看！课件29张PPT。第1章 二次函数1.2 二次函数的图像与性质第1章 二次函数1.2 二次函数的图像与性质考场对接 例题1 求二次函数y=x2 +2x-1的图像的顶点坐标、对称轴及函数的最小值.题型一 求二次函数图像的顶点坐标、对称轴和函数的最值解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2,
∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时,
y最小值 =-2.锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快速求解.题型二 抛物线的平移例题2 [常德中考] 将抛物线y=2x2 向右平移3个单位, 再向下平移5个单位, 得到的抛物线的函数表达式为( ).
A．y=2(x-3)2 -5 B．y=2(x+3)2 +5
C．y=2(x-3)2 +5 D．y=2(x+3)2 -5A锦囊妙计
抛物线的平移规律
将抛物线y=ax2 (a≠0)向上平移k(k>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式为y=ax2 +k；向下平移k(k>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式为y=ax2 -k；向左平移h(h>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式为y=a(x+h)2 ；向右平移h(h>0)个单位, 所得抛物线的函数表达式为y=a(x-h)2 . 这一规律可简记为“上加下减, 左加右减”. 若抛物线的函数表达式是一般式, 可将其化为顶点式后, 再按此平移规律解答.题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 ____________
(用“＜”连接).y2 ＜y1 ＜y3锦囊妙计
比较二次函数值的大小的三种思路
思路一：由顶点式可知抛物线的对称轴,利用图像的对称性将各点转化到对称轴的同一侧, 依据抛物线的开口方向和函数的增减性比较大小. 思路二：二次函数的表达式和各个点的横坐标都是已知的, 可以把点的横坐标代入表达式求出各个点的纵坐标, 然后比较大小. 思路三：若抛物线开口向上, 则顶点的纵坐标最小, 由图像的变化趋势可知抛物线上的点距离对称轴越近(即离顶点越近), 纵坐标越小；若抛物线开口向下, 则顶点的纵坐标最大, 由图像的变化趋势可知抛物线上的点距离对称轴越近(即离顶点越近), 纵坐标越大.题型四 系数相关的两个函数图像的推断问题例题4 一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)在同一个平面直角坐标系中的图像可能是( ).图1-2-5D分析 当x=0时, 都有y=c, 所以直线和抛物线都过点(0, c), 故排除A项；B项中, 由直线知a<0, 由抛物线知a>0, 故排除B项；C项中, 由直线知a>0,由抛物线知a<0, 故排除C项. 只有D项符合, 故选D.锦囊妙计
推断在同一平面直角坐标系中系数相关的两个函数的图像时, 有两种方法：一种是先利用其中一个较简单的函数图像确定系数的取值范围,再用另一个较复杂的函数图像来验证, 从而找出答案；另一种是对系数的不同取值进行分类讨论.题型五 已知二次函数图像的顶点和图像上另外一点求函数的表达式例题5 二次函数y=ax2 +bx+c的图像的顶点坐标为(3, -1), 与y轴的交点为(0, -4), 则这个二次函数的表达式是 .分析 设这个二次函数表达式为y=a(x-3)2 -1, 把(0, -4)代入, 得a·(-3)2 -1=-4,
解得a=- , 所以这个二次函数的表达式为y=- (x-3)2 -1=- x2 +2x-4.锦囊妙计
在求抛物线表示的函数的表达式时, 若题中给出抛物线的顶点坐标(m, n)和另外一点, 则应该用顶点式解题. 设抛物线表示的函数的表达式为y=a(x-m) 2 +n, 然后把另外一点的坐标代入即可求出a的值, 进而得到抛物线表示的函数的表达式.题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-10.
其中正确的个数为( ).
A．1 B．2
C．3 D．4B分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
∵图像与x轴交于(-1, 0), (3, 0)两点,∴ =1, ∴2a+b=0, ②错误；
∵当x=1时, 图像在x轴上方, ∴a+b+c>0, ③正确；
∵当-1＜x＜3时, 图像在x轴上方, ∴y＞0, ④正确.
故正确的说法共有2个, ∴选B.锦囊妙计
抛物线y=ax2 +bx+c中a,b,c的作用
(1)a决定抛物线的开口方向：a>0, 抛物线开口向上；a<0, 抛物线开口向下.
(2) a和b共同决定抛物线对称轴的位置：由于抛物线y=ax2 +bx+c的对称轴是直线x= ,∴当b=0时, 对称轴为y轴；当
>0时, 对称轴在y轴左侧；当 <0时, 对称轴在y轴右侧.
(3)c的正负决定抛物线y=ax2 +bx+c与y轴交点的位置.题型七 二次函数的图像与三角形的综合问题例题7 如图1-2-7, 二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), 另一个交点为B, 且与y轴交于点C．
(1)求m的值；
(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图像上有一点D(x,y)
(其中x＞0, y＞0), 使得S△ABD =S△ABC ,
求点D的坐标．解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3.
(2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).锦囊妙计
解决二次函数与几何图形综合问题的思路
首先在二次函数图像中找特殊点, 根据该点坐标求出二次函数的表达式, 再根据几何图形的面积公式、性质、定理等求解相关问题.题型八 二次函数最大(小)值的应用例题8 如图1-2-9, 在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=5米, AC=12米. 点M在线段CA上从点C向点A运动, 速度为1米/秒；同时点N在线段AB上从点A向点B运动, 速度为2米/秒, 运动时间为t秒.
(1)当t为何值时, ∠AMN=∠ANM？
(2)当t为何值时, △AMN的面积最大？
并求出这个最大值．分析 (1)由∠AMN =∠ANM, 得AM=AN, 建立关于时间t的方程, 求解即可；(2)先把面积用关于t的函数表示出来, 再求其最大值即可.解: (1)依题意, 得AM=(12-t)米, AN=2t米. 若∠AMN=∠ANM, 则AM=AN, 所以12-t=2t, 解得t=4, 即当t=4时, ∠AMN=∠ANM.锦囊妙计
利用二次函数解决面积最值问题的思路
首先根据题中所给条件及面积公式, 列出二次函数的表达式, 然后将表达式化为顶点式,再根据二次函数的性质求出最大(小)值.
谢 谢 观 看！课件16张PPT。第1章 二次函数*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式第1章 二次函数*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式考场对接 例题1 已知二次函数图像的顶点为A(2, -2) ,并且经过点B(1, 0), C(3, 0), 求这个二次函数的表达式.题型一 选择合适的方法求抛物线的函数表达式方法2：设二次函数的表达式为y=a(x-2)2 -2,
将B(1, 0)代入, 得0=a(1-2)2 -2,
解得a=2．所以y=2(x-2) 2 -2,即y=2x2 -8x+6.
方法3：设二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3),
将A(2, -2)代入, 得-2=a(2-1)×(2-3),解得a=2.
所以y=2(x-1)(x-3),
即y=2x2 -8x+6.锦囊妙计
选择合适的方法求抛物线的函数表达式
(1)若给出的条件是抛物线上三个点的坐标或函数的三组对应值, 一般选用一般式求解；
(2)若给出的条件中有抛物线与x轴的交点坐标, 一般选用交点式求解；
(3)若给出的条件中有抛物线的顶点坐标或对称轴或函数的最值, 一般选用顶点式求解.题型二 利用二次函数的图像与性质确定表达式例题2 请选择一组你喜欢的a, b, c的值, 使二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)同时满足下列条件：①图像开口向下．②当x<2时, y随x的增大而增大；当x>2时, y随x的增大而减小．这样的二次函数的表达式可以是 .答案不唯一, 如y=-x2 +4x分析 由①, 知a<0；
由②, 知二次函数图像的对称轴为直线x=2.
可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2 +h(a<0).
当a=-1, h=4时, 二次函数的表达式为y=-(x-2)2 +4=-x2 +4x(答案不唯一).锦囊妙计
利用二次函数的图像与性质确定表达式的方法
这类题不直接给出抛物线上点的坐标, 常需要根据已知图像的特征或函数的性质判断出顶点坐标, 然后利用顶点式求函数表达式.题型三 函数表达式的应用例题3 科幻小说《实验室的故事》中有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中, 经过一天后, 测量出这种植物高度的增长情况如下表：根据这些数据, 科学家推测植物高度每天的增长量y是温度x的函数, 且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数, 求出它的函数表达式, 并简要说明不选择另外两种函数的理由；
(2)当温度为多少时, 这种植物高度每天的增长量最大？分析 (1)选择二次函数, 设y=ax2 +bx+c(a≠0),然后选择三组数据, 利用待定系数法求二次函数表达式, 并将其余各组数据代入验证即可, 再根据反比例
函数的自变量x不能为0以及一次函数的特点说明不选择这两种函数的理由；
(2)先把二次函数表达式整理成顶点式, 再根据二次函数的性质解答.不选另外两种函数的理由：
∵点(0, 49)不可能在反比例函数的图像上,∴y不是x的反比例函数.
∵点(-4, 41), (-2, 49), (2, 41)不在同一直线上,∴y不是x的一次函数.
(2)由(1), 得y=-x2 -2x+49=-(x+1)2 +50.
∵a=-1<0, ∴当x=-1时, y有最大值,
即当温度为-1℃时, 这种植物高度每天的增长量最大.锦囊妙计
函数类型不明确时求函数表达式的方法
在利用待定系数法求函数表达式时, 若函数类型未知, 则不能直接设函数表达式, 可以根据所给点的坐标或自变量与函数的各组对应值,在平面直角坐标系内描出这些点. 若存在三点共线, 则考虑该函数是一次函数；若任意三点都不共线, 则考虑该函数是二次函数或反比例函数；若其中有一个点的横坐标或纵坐标为0,则该函数不可能是反比例函数.
谢 谢 观 看！课件24张PPT。第1章 二次函数1.4 二次函数与一元二次方程的联系第1章 二次函数1.4 二次函数与一元二次方程的联系考场对接 例题1 不画图像, 判断下列抛物线与x轴的交点情况：(1)y=-3x2 -x+4；(2)y=-x2 +2x-1；(3)y=5x2 -10x+6.题型一 判断二次函数的图像与x轴的交点情况解: (1)∵b2 -4ac=(-1)2 -4×(-3)×4=49>0,
∴抛物线y=-3x2 -x+4与x轴有两个不同的交点.
(2)∵b2 -4ac=22 -4×(-1)×(-1)=0,
∴抛物线y=-x2 +2x-1与x轴有两个重合的交点.
(3)∵b2 -4ac=(-10)2 -4×5×6=-20<0,
∴抛物线y=5x2 -10x+6与x轴没有交点.锦囊妙计
不画二次函数图像,判断图像与x轴交点个数的方法
计算b2 -4ac的值：
b2 -4ac>0→抛物线与x轴有两个不同的交点；
b2 -4ac=0→抛物线与x轴有两个重合的交点；
b2 -4ac<0→抛物线与x轴没有交点.题型二 根据交点的个数求系数中字母的值例题2 已知二次函数y=kx2 +3x-4.
(1)当k为何值时, 图像与x轴有两个不同的交点？
(2)当k为何值时, 图像与x轴有两个重合的交点？
(3)当k为何值时, 图像与x轴没有交点？分析 由题意, 得k≠0.锦囊妙计
Δ的取值与抛物线和x轴交点个数之间的关系
抛物线与x轴有两个不同的交点 ? Δ>0；抛物线与x轴有两个重合的交点 ? Δ=0；抛物线与x轴没有交点 ? Δ<0．题型三 求函数值大于(小于0)时, 自变量的取值范围例题3 如 图 1 - 4 - 4 是 二 次 函 数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的一部分, 其对称轴为直线x=1. 若图像与x轴的一个交点为A(3, 0), 则由图
像可知, 当x满足 时,
函数y=ax2 +bx+c的值小于0. - 1根据函数值求自变量的取值范围的方法二次函数
值大于0二次函数
值小于0图像位于
x轴上方图像位于
x轴下方x的取值范围x的取值范围题型四 根据图像确定一元二次方程的根例题4 已知二次函数y=-x2 +2x+m的部分图像如图1-4-5所示, 你能确定关于x的一元二次方程-x2 +2x+m=0的根吗？解: 方法一：根据图像, 可知抛物线y=-x2 +2x+m经过点(3, 0), 将(3, 0)代入函数表达式,得-32 +2×3+m=0, 解得m=3. 把m=3代入一元二次方程-x2 +2x+m=0, 得-x2 +2x+3=0, 解得x1 =3,x2 =-1.
方法二：由图像与x轴的一个交点的坐标为(3, 0), 图像的对称轴是直线x=1, 可知图像与x轴的另一个交点的坐标为(-1, 0), 所以一元二次方程-x2 +2x+m=0的两个根为x1 =3, x2 =-1.锦囊妙计
已知抛物线与x轴的一个交点,求相应一元二次方程的
另一根的两种方法题型五 利用抛物线与x轴的交点坐标解决实际问题例题5 在羽毛球比赛中, 羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图1-4-6)．若不考虑外力因素, 羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)满足表达式y= , 则羽毛球飞出的水平距离为 米．5分析 令y=0, 得 =0, 解得x1 =5,x2 =-1(舍去), 所以羽毛球飞出的水平距离为5米.锦囊妙计
二次函数的应用
二次函数的应用问题往往涉及利用待定系数法求二次函数表达式的知识, 有时还要建立平面直角坐标系才能得出二次函数表达式.解题时要会把实际问题转化为二次函数的问题, 一般与抛物线的顶点或者抛物线与坐标轴的交点有关.题型六 二次函数与根的判别式、根与系数关系的综合题例题6 已知二次函数y=x2 +(2m+1)x+m2 的图像与x轴有两个不同的交点．
(1)求m的取值范围；
(2)当这两个不同的交点的横坐标的平方和为7时, 求m的值.锦囊妙计
二次函数的图像与x轴交点问题的解题策略
有关二次函数图像与x轴交点情况的问题,常利用根的判别式解决；与二次函数图像与x轴交点的横坐标有关的代数式求值问题, 常利用一元二次方程根与系数的关系解决.
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