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沪教新版 八年级第二学期 第21章 代数方程 单元测试卷
一．选择题（共6小题）
1．下列说法中正确的是
A．是二项方程 B．是二元二次方程
C．是分式方程 D．是无理方程
2．下列方程，，，中无理方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列方程中是二项方程的是
A． B． C． D．
4．下列无理方程中，有实数解的是
A． B． C． D．
5．由方程组消去后化简得到的方程是
A． B． C． D．
6．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为千米时，依题意列方程正确的是
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
7．关于的方程的解是一切实数，那么实数
8．如果关于的方程有增根，那么 ．
9．试写出一个二元二次方程： ，使它的一个解是．
10．方程的解是 ．
11．方程的解是 ．
12．方程的增根是 ．
13．已知关于的方程是二项方程，那么 ．
14．用换元法解方程时，如果设时，则原方程可以化成关于的整式方程是 ．
15．将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
16．方程组的解是 ．
17．小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打35个字，小丽打400个字的时间与小明打300个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ．
18．一项工程．乙队先单独做2天后，再由甲乙两队合作10天就能完成．已知乙队单独完成此工程比甲单独完成此工程少用5天．设甲队单独完成此工程需要天，那么根据题意可列出方程 ．
三．解答题（共11小题）
19．解方程：．
20．解方程：．
21．解方程：．
22．解方程：．
23．解方程：
24．解方程：
25．解方程组：．
26．解方程组：
27．甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．
28．某校青年老师准备捐款3600元为敬老院的老年人购买一台电脑，这笔钱大家平均承担．实际捐款时又多了2名教师，因为购买电脑所需的总费用不变，于是每人少捐90元．问共有多少人参加捐款？原计划每人捐款多少元？．
29．小王开车从甲地到乙地，去时走线路，全程约100千米，返回时走线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米小时，求小王开车返回时的平均速度．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．下列说法中正确的是
A．是二项方程 B．是二元二次方程
C．是分式方程 D．是无理方程
【解答】解：．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；
．是二元三次方程，此选项错误；
．是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；
．是一元二次方程，属于整式方程；
故选：．
2．下列方程，，，中无理方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：方程，，，中无理方程是，，，
故选：．
3．下列方程中是二项方程的是
A． B． C． D．
【解答】解：、不是二项方程，故本选项错误；
、不是二项方程，故本选项错误；
、是二项方程，故本选项正确；
、不是二项方程，故本选项错误；
故选：．
4．下列无理方程中，有实数解的是
A． B． C． D．
【解答】解：．由知，此方程无实数解；
．知，此方程有实数根；
．由知，而时，得到，故此方程无实数根；
．由无解知，此方程无实数根；
故选：．
5．由方程组消去后化简得到的方程是
A． B． C． D．
【解答】解：，
由①，得
③，
将③代入②，得
，
化简，得
，
故选：．
6．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为千米时，依题意列方程正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：设甲车的速度为千米时，则乙车的速度为千米时，
甲车行驶30千米所用的时间为：，
乙车行驶40千米所用时间为：，
根据题意得：
，
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．关于的方程的解是一切实数，那么实数 3
【解答】解：方程整理得：，
由方程的解是一切实数，得到，
解得：，
故答案为：3
8．如果关于的方程有增根，那么 1 ．
【解答】解：，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得，
解得．
故答案为：1．
9．试写出一个二元二次方程： ，使它的一个解是．
【解答】解：（答案不唯一）
；
故答案为；
10．方程的解是 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
解得，，，
经检验，当时，原方程无意义，当时，原方程有意义，
故原方程的根是，
故答案为：．
11．方程的解是 ．
【解答】解：由题意知，
解得：，
两边平方可得，
解得：或，
则，
故答案为：．
12．方程的增根是 ．
【解答】解：，
，
整理得，解得，，
检验：当时，左边，右边，左边右边，则为原方程的增根；
当时，左边，右边，左边右边，则为原方程的根，
所以原方程的解为．
故答案为．
13．已知关于的方程是二项方程，那么 0 ．
【解答】解：由题意，得
．
故答案为：0．
14．用换元法解方程时，如果设时，则原方程可以化成关于的整式方程是 ．
【解答】解：
设，则原式有，整理得
故答案为：
15．将方程组：转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
【解答】解：由方程得，
即或，
所以，原方程组可化为，，
故答案为：，．
16．方程组的解是 或 ．
【解答】解：，
解：由①得，③，
把③代入②得，，
解得：，，
把，分别代入③得，，，
原方程组的解为或，
故答案为：或．
17．小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打35个字，小丽打400个字的时间与小明打300个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ．
【解答】解：设小明每分钟打个字，
根据题意，可列方程：，
故答案为：．
18．一项工程．乙队先单独做2天后，再由甲乙两队合作10天就能完成．已知乙队单独完成此工程比甲单独完成此工程少用5天．设甲队单独完成此工程需要天，那么根据题意可列出方程 ．
【解答】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天．
由题意，得，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
19．解方程：．
【解答】解： 去分母得：，
整理得：，即，
解得：或，
经检验是增根， 分式方程的解为．
20．解方程：．
【解答】解：方程两边同乘以，
得，，
整理得，，
解得：，，
检验：当时，，
不是原方程的根，
当时，，
是原方程的根，
原方程的根是．
21．解方程：．
【解答】解：设，则原方程化为：，
解得：，，
当时，，
解得：，；
当时，，
此时方程无解
所以原方程的解为：，．
22．解方程：．
【解答】解：，
，
则，
整理得，
，
或，
解得：或，
，
，
．
23．解方程：
【解答】解：移项，得，
两边平方，得，
化简，得，
两边平方，海，，
化简整理，得，，
解这个方程，得，，
经检验：不是原方程的根舍去，是原方程的根，
所以原方程的根是
24．解方程：
【解答】解：移项得，，
方程两边平方得：，
解得：，，
当时，，，
是方程的解．
25．解方程组：．
【解答】解：，
由①得，
所以或，
所以原方程可转化为或，
解得或或或，
所以原方程组的解为或或或．
26．解方程组：
【解答】解：
由②得：
原方程组可化为：或
解得：，．
原方程组的解为，．
27．甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．
【解答】解：设提速前的列车速度为．
则：．
解之得：．
经检验，是原方程的解．
所以，提速前的列车速度为．
因为．
所以可以再提速．
28．某校青年老师准备捐款3600元为敬老院的老年人购买一台电脑，这笔钱大家平均承担．实际捐款时又多了2名教师，因为购买电脑所需的总费用不变，于是每人少捐90元．问共有多少人参加捐款？原计划每人捐款多少元？．
【解答】解：设实际共有人参加捐款，那么原来有人参加捐款，实际每人捐款（元，原计划每人捐款（元，
依据题意，得，
即，
两边同乘以，再整理，得，
解得，，
经检验，，都是原方程的根，
但人数不能为负数，所以取，
当时，（元，
答：共有10人参加捐款，原计划每人捐款450元．
29．小王开车从甲地到乙地，去时走线路，全程约100千米，返回时走线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米小时，求小王开车返回时的平均速度．
【解答】解：设小王开车返回时的平均速度为千米小时，
则小王开车去时的平均速度为千米小时，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
经检验：是原方程的解．
答：小王开车返回时的平均速度为80千米小时．
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沪教新版 八年级第二学期 第 21 章 代数方程 单元测试卷
一．选择题（共 6 小题）
1．下列说法中正确的是 ( )
A． 4 1 0x ? ? 是二项方程 B． 2 2x y y? ? 是二元二次方程
C． 1
3 2
x x
? ? 是分式方程 D． 22 1 0x ? ? 是无理方程
2．下列方程 2 2 4 0x x? ? ? ， 1 0x x? ? ? ， 1 1
11
x
xx
? ?
??
， 2 2 4 0x x? ? ? 中无理方程的个数
是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列方程中是二项方程的是 ( )
A． 2 0x x? ? B． 3 0x ? C． 4 4 0x ? ? D． 3 3 1x x? ?
4．下列无理方程中，有实数解的是 ( )
A． 1 2 0x ? ? ? B． 2 2x ? ? C． 1 1 1x x? ? ? ? D． 1 1 2 2x x? ? ? ?
5．由方程组 2 2
1 0
( 1) ( 1) 4 0
x y
x y
? ? ??
? ? ? ? ? ??
消去 y后化简得到的方程是 ( )
A． 22 2 6 0x x? ? ? B． 22 2 5 0x x? ? ? C． 22 5 0x ? ? D． 22 2 5 0x x? ? ?
6．已知甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米．若
设甲车的速度为 x千米 /时，依题意列方程正确的是 ( )
A．
30 40
15x x
?
?
B．
30 40
15x x
?
?
C．
30 40
15x x
?
?
D．
30 40
15x x
?
?
二．填空题（共 12 小题）
7．关于 x的方程 2( 3) 9a x a? ? ? 的解是一切实数，那么实数 a ?
8．如果关于 x的方程 1 3
3 3
k
x x
? ?
? ?
有增根，那么 k ? ．
9．试写出一个二元二次方程： ，使它的一个解是
1
2
x
y
??
? ? ??
．
10．方程 3 2 0x x? ? ? 的解是 ．
11．方程 3 2 0x x? ? ?? 的解是 ．
12．方程 22 7 2x x x? ? ? 的增根是 ．
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13．已知关于 x的方程 22 1 0x mx? ? ? 是二项方程，那么m ? ．
14．用换元法解方程
2
2
1 2 3
1
x x
x x
?
? ?
?
时，如果设 2
1x y
x
?
? 时，则原方程可以化成关于 y的整式方程
是 ．
15．将方程组：
2 2
2 2
5 6 0
1
x xy y
x y
? ? ? ?
?
? ??
转化成两个二元二次方程组分别是 和 ．
16．方程组
3
2
x y
xy
? ? ??
? ??
的解是 ．
17．小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打 35个字，小丽打 400个字的时间与小明打 300个
字的时间相同．如果设小明每分钟打 x个字，那么根据题意可列方程是 ．
18．一项工程．乙队先单独做 2天后，再由甲乙两队合作 10天就能完成．已知乙队单独完成此工程
比甲单独完成此工程少用 5天．设甲队单独完成此工程需要 x天，那么根据题意可列出方程 ．
三．解答题（共 11 小题）
19．解方程： 2
3 6 1
1 1x x
? ?
? ?
．
20．解方程：
2
2
3 1
2 1
x x
x x x
? ?
? ? ?
．
21．解方程： 2 2
62 1
2
x x
x x
? ? ?
?
．
22．解方程： 1 2 3x x? ? ? ．
23．解方程： 2 1 4 1x x? ? ? ?
24．解方程： 3 4 6 0x x? ? ? ??
25．解方程组：
2 2
2 2
2 3 0
3.
x xy y
x xy y
? ? ? ?
?
? ? ??
．
26．解方程组： 2 2
6
3 10 0
x y
x xy y
? ??
? ? ? ??
27．甲、乙两城间的铁路路程为 1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度
增加了 20 千米 /时，列车从甲城到乙城行驶时间减少 4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度
不得超过 140千米 /时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．
28．某校青年老师准备捐款 3600元为敬老院的老年人购买一台电脑，这笔钱大家平均承担．实际捐
款时又多了 2名教师，因为购买电脑所需的总费用不变，于是每人少捐 90元．问共有多少人参加
捐款？原计划每人捐款多少元？．
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29．小王开车从甲地到乙地，去时走 A线路，全程约 100千米，返回时走 B线路，全程约 60千米．小
王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快 20千米 /小时，所用时间却比返回时多 15分钟．若
小王返回时的平均车速不低于 70千米 /小时，求小王开车返回时的平均速度．
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参考答案
一．选择题（共 6 小题）
1．下列说法中正确的是 ( )
A． 4 1 0x ? ? 是二项方程 B． 2 2x y y? ? 是二元二次方程
C． 1
3 2
x x
? ? 是分式方程 D． 22 1 0x ? ? 是无理方程
【解答】解： A．方程是一般式，且方程的左边只有 2项，此方程是二项方程，此选项正确；
B． 2 2x y y? ? 是二元三次方程，此选项错误；
C． 1
3 2
x x
? ? 是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；
D． 22 1 0x ? ? 是一元二次方程，属于整式方程；
故选： A．
2．下列方程 2 2 4 0x x? ? ? ， 1 0x x? ? ? ， 1 1
11
x
xx
? ?
??
， 2 2 4 0x x? ? ? 中无理方程的个数
是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：方程 2 2 4 0x x? ? ? ， 1 0x x? ? ? ， 1 1
11
x
xx
? ?
??
， 2 2 4 0x x? ? ? 中无理方程是
1 0x x? ? ? ， 1 1
11
x
xx
? ?
??
， 2 2 4 0x x? ? ? ，
故选：C．
3．下列方程中是二项方程的是 ( )
A． 2 0x x? ? B． 3 0x ? C． 4 4 0x ? ? D． 3 3 1x x? ?
【解答】解： A、不是二项方程，故本选项错误；
B、不是二项方程，故本选项错误；
C、是二项方程，故本选项正确；
D、不是二项方程，故本选项错误；
故选：C．
4．下列无理方程中，有实数解的是 ( )
A． 1 2 0x ? ? ? B． 2 2x ? ? C． 1 1 1x x? ? ? ? D． 1 1 2 2x x? ? ? ?
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【解答】解： A．由 1 2x ? ? ? 知，此方程无实数解；
B． 2 2 0x ? ? ? 知，此方程有实数根；
C．由 1 1 1x x? ? ? ? 知 1x ? ，而 1x ? 时，得到 0 1? ，故此方程无实数根；
D．由
1 0
1 2 0
x
x
??
? ??
?
? 无解知，此方程无实数根；
故选： B．
5．由方程组 2 2
1 0
( 1) ( 1) 4 0
x y
x y
? ? ??
? ? ? ? ? ??
消去 y后化简得到的方程是 ( )
A． 22 2 6 0x x? ? ? B． 22 2 5 0x x? ? ? C． 22 5 0x ? ? D． 22 2 5 0x x? ? ?
【解答】解： 2 2
1 0
( 1) ( 1) 4 0
x y
x y
? ? ??
?
? ? ? ? ??
①
②
，
由①，得
1x y? ? ③，
将③代入②，得
2 2( 1) 4 0x x? ? ? ? ，
化简，得
22 2 5 0x x? ? ? ，
故选：D．
6．已知甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米．若
设甲车的速度为 x千米 /时，依题意列方程正确的是 ( )
A．
30 40
15x x
?
?
B．
30 40
15x x
?
?
C．
30 40
15x x
?
?
D．
30 40
15x x
?
?
【解答】解：设甲车的速度为 x千米 /时，则乙车的速度为 ( 15)x ? 千米 /时，
甲车行驶 30 千米所用的时间为：
30
x
，
乙车行驶 40 千米所用时间为：
40
15x ?
，
根据题意得：
30 40
15x x
?
?
，
故选：C．
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二．填空题（共 12 小题）
7．关于 x的方程 2( 3) 9a x a? ? ? 的解是一切实数，那么实数 a ? 3
【解答】解：方程整理得： ( 3) ( 3)( 3)a x a a? ? ? ? ，
由方程的解是一切实数，得到 3 0a ? ? ，
解得： 3a ? ，
故答案为：3
8．如果关于 x的方程 1 3
3 3
k
x x
? ?
? ?
有增根，那么 k ? 1 ．
【解答】解：
1 3
3 3
k
x x
? ?
? ?
，
去分母得：1 3( 3)x k? ? ? ，
由分式方程有增根，得到 3 0x ? ? ，即 3x ? ，
把 3x ? 代入整式方程得1 3(3 3) k? ? ? ，
解得 1k ? ．
故答案为：1．
9．试写出一个二元二次方程： 2xy ? ? ，使它的一个解是
1
2
x
y
??
? ? ??
．
【解答】解：（答案不唯一）
2xy ? ? ；
故答案为 2xy ? ? ；
10．方程 3 2 0x x? ? ? 的解是 3x ? ? ．
【解答】解：? 3 2 0x x? ? ? ，
? 3 2x x? ? ? ，
23 2x x? ? ? ，
2 2 3 0x x? ? ? ? ，
( 3)( 1) 0x x? ? ? ? ，
解得， 1 3x ? ? ， 2 1x ? ，
经检验，当 1x ? 时，原方程无意义，当 3x ? 时，原方程有意义，
故原方程的根是 3x ? ? ，
故答案为： 3x ? ? ．
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11．方程 3 2 0x x? ? ?? 的解是 2x ? ．
【解答】解：由题意知
3 0
2 0
x
x
??
? ??
?
? ，
解得： 2x? ，
两边平方可得 (3 )(2 ) 0x x? ? ? ，
解得： 3x ? 或 2x ? ，
则 2x ? ，
故答案为： 2x ? ．
12．方程 22 7 2x x x? ? ? 的增根是 4x ? ? ．
【解答】解：? 22 7 2x x x? ? ? ，
2 22 7 ( 2)x x x? ? ? ? ，
整理得 2 3 4 0x x? ? ? ，解得 1 4x ? ? ， 2 1x ? ，
检验：当 4x ? ? 时，左边 2 16 7 4 2? ? ? ? ? ，右边 4 2 2? ? ? ? ? ，左边 ?右边，则 4x ? ? 为原方程的
增根；
当 1x ? 时，左边 2 1 7 1 3? ? ? ? ? ，右边 1 2 3? ? ? ，左边 ?右边，则 1x ? 为原方程的根，
所以原方程的解为 1x ? ．
故答案为 4x ? ? ．
13．已知关于 x的方程 22 1 0x mx? ? ? 是二项方程，那么m ? 0 ．
【解答】解：由题意，得
0m ? ．
故答案为：0．
14．用换元法解方程
2
2
1 2 3
1
x x
x x
?
? ?
?
时，如果设 2
1x y
x
?
? 时，则原方程可以化成关于 y的整式方程是
2 3 2 0y y? ? ? ．
【解答】解：
设 2
1x y
x
?
? ，则原式有
2 3y
y
? ? ，整理得 2 3 2 0y y? ? ?
故答案为： 2 3 2 0y y? ? ?
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15．将方程组：
2 2
2 2
5 6 0
1
x xy y
x y
? ? ? ?
?
? ??
转化成两个二元二次方程组分别是 2 2
2 0
1
x y
x y
? ??
? ? ??
和 ．
【解答】解：由方程 2 25 6 0x xy y? ? ? 得 ( 2 )( 3 ) 0x y x y? ? ? ，
即 2 0x y? ? 或 3 0x y? ? ，
所以，原方程组可化为 2 2
2 0
1
x y
x y
? ??
? ? ??
， 2 2
3 0
1
x y
x y
? ??
? ? ??
，
故答案为： 2 2
2 0
1
x y
x y
? ??
? ? ??
， 2 2
3 0
1
x y
x y
? ??
? ? ??
．
16．方程组
3
2
x y
xy
? ? ??
? ??
的解是
2
1
x
y
? ??
? ? ??
或
1
2
x
y
? ??
? ? ??
．
【解答】解：
3
2
x y
xy
? ? ??
?
??
①
②
，
解：由①得， 3x y? ? ? ③，
把③代入②得， ( 3 ) 2y y? ? ? ，
解得： 1 1y ? ? ， 2 2y ? ? ，
把 1 1y ? ? ， 2 2y ? ? 分别代入③得， 1 2x ? ? ， 2 1x ? ? ，
?原方程组的解为
2
1
x
y
? ??
? ? ??
或
1
2
x
y
? ??
? ? ??
，
故答案为：
2
1
x
y
? ??
? ? ??
或
1
2
x
y
? ??
? ? ??
．
17．小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打 35个字，小丽打 400个字的时间与小明打 300个
字的时间相同．如果设小明每分钟打 x个字，那么根据题意可列方程是 400 300
35x x
?
?
．
【解答】解：设小明每分钟打 x个字，
根据题意，可列方程：
400 300
35x x
?
?
，
故答案为：
400 300
35x x
?
?
．
18．一项工程．乙队先单独做 2天后，再由甲乙两队合作 10天就能完成．已知乙队单独完成此工程
比甲单独完成此工程少用 5 天．设甲队单独完成此工程需要 x天，那么根据题意可列出方程
12 10 1
5x x
? ?
?
．
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【解答】解：设甲队单独完成此项工程需 x天，则乙队单独完成此项工程需 ( 5)x ? 天．
由题意，得
12 10 1
5x x
? ?
?
，
故答案为：
12 10 1
5x x
? ?
?
．
三．解答题（共 11 小题）
19．解方程： 2
3 6 1
1 1x x
? ?
? ?
．
【解答】解： 去分母得：
23( 1) 6 1x x? ? ? ? ，
整理得：
2 3 2 0x x? ? ? ，即 ( 1)( 2) 0x x? ? ? ，
解得： 1x ? 或 2x ? ，
经检验 1x ? 是增根， 分式方程的解为 2x ? ．
20．解方程：
2
2
3 1
2 1
x x
x x x
? ?
? ? ?
．
【解答】解：方程两边同乘以 ( 2)( 1)x x? ? ，
得， 2 23 ( 2) 2x x x x x? ? ? ? ? ，
整理得， 2 3 2 0x x? ? ? ，
解得： 1 1x ? ， 2 2x ? ，
检验：当 1x ? 时， ( 2)( 1) 0x x? ? ? ，
1x? ? 不是原方程的根，
当 2x ? 时， ( 2)( 1) 0x x? ? ? ，
2x? ? 是原方程的根，
?原方程的根是 2x ? ．
21．解方程： 2 2
62 1
2
x x
x x
? ? ?
?
．
【解答】解：设 2 2x x y? ? ，则原方程化为： 6 1y
y
? ? ，
解得： 1 3y ? ， 2 2y ? ? ，
当 3y ? 时， 2 2 3x x? ? ，
解得： 1 3x ? ? ， 2 1x ? ；
当 2y ? ? 时， 2 2 2x x? ? ? ，
此时方程无解
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所以原方程的解为： 1 3x ? ? ， 2 1x ? ．
22．解方程： 1 2 3x x? ? ? ．
【解答】解：? 1 2 3x x? ? ? ，
? 1 3 2x x? ? ? ，
则 21 9 12 4x x x? ? ? ? ，
整理得 24 13 10 0x x? ? ? ，
( 2)(4 5) 0x x? ? ? ? ，
2 0x? ? ? 或 4 5 0x ? ? ，
解得： 2x ? 或 5
4
x ? ，
?
1 0
3 2 0
x
x
??
? ??
?
? ，
31
2
x? ? ? ，
5
4
x? ? ．
23．解方程： 2 1 4 1x x? ? ? ?
【解答】解：移项，得 2 1 1 4x x? ? ? ? ，
两边平方，得 2 1 1 2 4 4x x x? ? ? ? ? ? ，
化简，得 4 2 4x x? ? ? ，
两边平方，海， 2 8 16 4( 4)x x x? ? ? ? ，
化简整理，得， 2 12 0x x? ? ，
解这个方程，得 1 0x ? ， 2 12x ? ，
经检验： 0x ? 不是原方程的根舍去， 12x ? 是原方程的根，
所以原方程的根是 12x ?
24．解方程： 3 4 6 0x x? ? ? ??
【解答】解：移项得， 3 4 6x x? ? ?? ，
方程两边平方得： 2 7 12 6x x? ? ? ，
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解得： 1 1x ? ， 2 6x ? ，
当 1x ? 时， 3 0x ? ? ， 4 0x ? ? ，
6x? ? 是方程的解．
25．解方程组：
2 2
2 2
2 3 0
3.
x xy y
x xy y
? ? ? ?
?
? ? ??
．
【解答】解：
2 2
2 2
2 3 0
3
x xy y
x xy y
? ? ? ?
?
? ? ??
①
②
，
由①得 ( 3 )( ) 0x y x y? ? ? ，
所以 3 0x y? ? 或 0x y? ? ，
所以原方程可转化为 2 2
3 0
3
x y
x xy y
? ??
? ? ? ??
或 2 2
0
3
x y
x xy y
? ??
? ? ? ??
，
解得
3 21
7
21
7
x
y
?
???
?
? ???
或
3 21
7
21
7
x
y
?
? ???
?
? ? ???
或
1
1
x
y
??
? ? ??
或
1
1
x
y
? ??
? ??
，
所以原方程组的解为
3 21
7
21
7
x
y
?
???
?
? ???
或
3 21
7
21
7
x
y
?
? ???
?
? ? ???
或
1
1
x
y
??
? ? ??
或
1
1
x
y
? ??
? ??
．
26．解方程组： 2 2
6
3 10 0
x y
x xy y
? ??
? ? ? ??
【解答】解： 2 2
6
3 10 0
x y
x xy y
? ??
?
? ? ??
①
②
由②得： ( 2 )( 5 ) 0x y x y? ? ?
原方程组可化为：
6
2 0
x y
x y
? ??
? ? ??
或
6
5 0
x y
x y
? ??
? ? ??
解得： 1
1
12
6
x
y
??
? ??
， 2
2
5
1
x
y
??
? ? ??
．
?原方程组的解为 1
1
12
6
x
y
??
? ??
， 2
2
5
1
x
y
??
? ? ??
．
27．甲、乙两城间的铁路路程为 1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度
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增加了 20 千米 /时，列车从甲城到乙城行驶时间减少 4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度
不得超过 140千米 /时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．
【解答】解：设提速前的列车速度为 /xkm h．
则：
1600 1600 4
20x x
? ?
?
．
解之得： 80x ? ．
经检验， 80x ? 是原方程的解．
所以，提速前的列车速度为80 /km h．
因为80 20 100 140? ? ? ．
所以可以再提速．
28．某校青年老师准备捐款 3600元为敬老院的老年人购买一台电脑，这笔钱大家平均承担．实际捐
款时又多了 2名教师，因为购买电脑所需的总费用不变，于是每人少捐 90元．问共有多少人参加
捐款？原计划每人捐款多少元？．
【解答】解：设实际共有 x人参加捐款，那么原来有 ( 2)x ? 人参加捐款，实际每人捐款 3600
x
（元 )，
原计划每人捐款
3600
2x ?
（元 )，
依据题意，得
3600 3600 90
2x x
? ?
?
，
即
40 40 1
2x x
? ?
?
，
两边同乘以 ( 2)x x ? ，再整理，得 2 2 80 0x x? ? ? ，
解得 1 10x ? ， 2 8x ? ? ，
经检验， 1 10x ? ， 2 8x ? ? 都是原方程的根，
但人数不能为负数，所以取 10x ? ，
当 10x ? 时， 3600 3600 450
2 10 2x
? ?
? ?
（元 )，
答：共有 10人参加捐款，原计划每人捐款 450元．
29．小王开车从甲地到乙地，去时走 A线路，全程约 100千米，返回时走 B线路，全程约 60千米．小
王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快 20千米 /小时，所用时间却比返回时多 15分钟．若
小王返回时的平均车速不低于 70千米 /小时，求小王开车返回时的平均速度．
【解答】解：设小王开车返回时的平均速度为 x千米 /小时 ( 70)x? ，
则小王开车去时的平均速度为 ( 20)x ? 千米 /小时，
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根据题意得：
100 60 15
20 60x x
? ?
?
，
解得： 80x ? 或 60x ? （舍去），
经检验： 80x ? 是原方程的解．
答：小王开车返回时的平均速度为 80千米 /小时．
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