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第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 线段的垂直平分线
目标突破
总结反思
目标一 能利用线段垂直平分线的性质定理进行有关计算
目标突破
例1
教材补充例题
如图1－3－1，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．
图1－3－1
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋AC＝4＋5＝9.
【归纳总结】利用线段垂直平分线的性质求三角形周长的
“三步法”
一剪：将所求三角形在某个顶点处“剪”开；
二拼：把其中一条边和另一条边拼接在一起；
三转化：把三角形的周长转化成已知的两条线段的和或者一条线段的长度．
目标二 应用线段垂直平分线的判定定理进行几何证明
例2
教材例1针对训练
如图1－3－2，在△ABC中，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.
(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；
(2)若AB＝AC，∠A＝46°，
求∠EBC及∠F的度数．
图1－3－2
解：(1)证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∴点E在线段AB的垂直平分线上．
∵D是AB的中点，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DF是线段AB的垂直平分线．
(2)∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°.
由(1)知DF是线段AB的垂直平分线，
∴∠FDB＝90°，
∴∠F＝90°－∠ABC＝23°.
【归纳总结】要证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意两点到这条线段的两个端点的距离相等即可．
例3
教材补充例题
如图1－3－3所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？
图1－3－3
[解析]
到M，N距离相等的点在线段MN的垂直平分线上，故所求位置为线段MN的垂直平分线与公路AB的交点处．
解：(1)如图，连接MN；
(2)作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于点C，则当汽车行驶到点C处时，与村庄M，N的距离相等．
总结反思
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
相等
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的垂直平
分线上．
相等
已知：如图1－3－4，AB＝AC，MB＝MC.
求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
图1－3－4
证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
请你找出以上证明过程中的错误，并改正过来．
解：以上证明过程忽视了“两点确定一条直线”这一基本事实，
通过证明一点在线段BC的垂直平分线上就说明过该点的直线
是线段BC的垂直平分线是错误的．正确的证明过程如下：
∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．
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第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三边的垂直平分线
目标突破
总结反思
目标一 应用三角形三条边的垂直平分线的性质解决实际问题
目标突破
例1
教材补充例题
为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇中的A村，B村，C村的距离相等(A，B，C不在同一直线上，
地理位置如图1－3－5)．
图1－3－5
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若A村，B村相距5千米，B村，C村相距5千米，A村，C村相距6千米，请你求出医疗点P到B村的距离．
图1－3－5
解：
(1)如图所示，
点P即为所求．
(2)如图，连接AP，BP.
【归纳总结】在实际生活中，经常遇到在直线上找一点，使它到某两点的距离相等的问题，一般要应用线段垂直平分线的性质来解决．
目标二 利用尺规作等腰三角形和过一点作已知直线的垂线
例2
教材例3针对训练
已知：线段a，m(如图1－3－6)．
求作：等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的中线AD＝m.(不写作法，保留作图痕迹)
图1－3－6
[解析]
可先画出底边BC＝a，作出底边的垂直平分线DM交BC于点D，在射线DM上截取DA＝m，连接AB，AC即可．
解：如图所示．
例3
教材补充例题尺规作图：经过已知直线AB外一点C作直线AB的垂线(如图1－3－7)．
图1－3－7
解：作法：
(1)任意取一点K，使点K，C在AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D，E；
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；
(4)作直线CF.直线CF就是所求的垂线．
目标三 运用三角形三边的垂直平分线进行计算
例4
教材补充例题
如图1－3－8，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB，BC于M，P两点，NQ分别交AC，BC于N，Q两点，连接AP，AQ.
(1)若△APQ的周长为18，则BC的长为________；
(2)若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数为________．
图1－3－8
18
40°
[解析]
(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC.
∵△APQ的周长为18，∴AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋QC＝18，
∴BC＝18.
(2)∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°.
∵PA＝PB，QA＝QC，∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB＋∠QAC＝∠B＋∠C＝70°，∴∠PAQ＝40°.
【归纳总结】要证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意两点到这条线段的两个端点的距离相等即可．
总结反思
知识点一 三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点
的距离________．
相等
知识点二 已知底边和底边上的高作等腰三角形
几何作图题一般有下面几个步骤：已知、求作、作法．比较复
杂的作图题，在作图之前需做一些分析．
知识点三 过一点作已知直线的垂线
判断：三角形三边垂直平分线的交点一定在三角形内．( )
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