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第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 角平分线
目标突破
总结反思
目标一 能运用角平分线的性质定理解决有关问题
目标突破
例1
教材补充例题
如图1－4－1，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，
DE＝2，则△BCD的面积是________．
图1－4－1
4
[解析]
∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，
DF⊥BC于点F，且DE＝2，
∴DF＝2，
∴△BCD的面积为2×4÷2＝4.
目标二 会判定角的平分线
例2
教材补充例题
如图1－4－2，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线．
图1－4－2
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【归纳总结】证明角的平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角的平分线的定义；
(2)定理法：应用“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”来判定．判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”．
目标三 角平分线的性质定理的实际运用
例3
教材补充例题
某石油公司要在∠COD内部修建一个加油站，如图1－4－3，其设计要求是加油站到两村A，B的距离必须相等，且到两条公路m，n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置？在图上标出它的位置．
(要求保留作图痕迹)
图1－4－3
解：作图如图，
点P即为所求的位置．
【归纳总结】既满足到两个点距离相等，又满足到角的两边距离相等的点是连接两个点所得线段的垂直平分线和角的平分线的交点．
总结反思
知识点一 角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离________．
相等
知识点二 角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的
__________上．
平分线
如图1－4－4，AE＝AF，要使PE＝PF，只需再添加一个什么条件？请说明你的理由．
图1－4－4
解：添加∠EAP＝∠FAP.理由：因为AP是∠BAC的平分线，P是角平分线上一点，所以PE＝PF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因，并写出正确的解答过程．
解：解：不正确．本题之所以出错，是因为没有注意还需要
满足PE⊥AB，PF⊥AC时角平分线的性质定理才成立．只是
死搬硬套地运用性质定理，但忘记了性质定理应满足的条件，
这是同学们要注意的．
正解：本题添加条件不唯一，如：添加∠EAP＝∠FAP.
理由：在△PAE和△PAF中，
∵AE＝AF，∠EAP＝∠FAP，AP＝AP，
∴△PAE≌△PAF(SAS)，∴PE＝PF.
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第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三条内角平分线
目标突破
总结反思
目标一 利用三角形三条内角平分线的性质进行计算
目标突破
例1
教材补充例题
如图1－4－5所示，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.
(1)如果OD＝3，那么OE＝______，OF＝______；
(2)如果∠A＝40°，那么∠BOC＝________°.
图1－4－5
3
3
110
目标二 利用三角形角平分线的性质解决实际问题
例2
教材补充例题
如图1－4－6，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？请在图中标出．
图1－4－6
解：如图，△ABC的三条内角平分线的交点P到三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC处的外角的平分线交于点P1，利用角平分线的性质定理和判定定理，可以得到点P1也在∠CAB的平分线上，且到l1，l2，l3的距离相等；
同理还有∠BAC，∠BCA处的外角的平分线的
交点P2；∠BAC，∠ABC处的外角的平分线的
交点P3.因此可选择的地址有4处．
【归纳总结】三角形的三条角平分线和三边垂直平分线的区别
类型
性质
交点位置
三角形的三
条角平分线
到三角形三
边的距离相等
所有三角形
交点在三角形的内部
三角形的三边
垂直平分线
到三角形三个顶点的距离相等
锐角三角形
交点在三角形的内部
直角三角形
交点在三角形的边上
钝角三角形
交点在三角形的外部
目标三 综合利用线段垂直平分线与角平分线的性质解题
例3
教材补充例题
如图1－4－7，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交其延长线于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)如果AB＝5，AC＝3，求AE，BE的长．
图1－4－7
[解析]
(1)连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，即可得DE＝DF.又由DG垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质定理，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
(2)首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB－BE＝AC＋CF，即可得方程5－x＝3＋x，解方程即可求得答案．
解：
(1)证明：如图，连接BD，CD.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
∵DG垂直平分BC，
∴BD＝CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴BE＝CF.
(2)在△AED和△AFD中，
∵∠AED＝∠AFD＝90°，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE＝AF.
设BE＝x，则CF＝x.
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB－BE，AF＝AC＋CF，
∴5－x＝3＋x，解得x＝1，
∴BE＝1，则AE＝AB－BE＝5－1＝4.
【归纳总结】与角平分线有关的四种辅助线作法
(1)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；
(2)过角平分线上的一点向角的两边作垂线段；
(3)如果有和角平分线垂直的线段，常把它延长，与角的两边相交构成等腰三角形；
(4)有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常把它延长一倍，构造全等三角形．
总结反思
知识点 三角形的三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的
________相等．
距离
如图1－4－8，BF，CF分别是△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，且相交于点F，FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N.求证：点F在∠BAC的平分线上．
图1－4－8
证明：因为FM⊥AD，FN⊥AE，
所以点F在∠BAC的平分线上．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因，并写出正确的解答过程．
解：不正确．错解只考虑了与角的两边垂直，而忽略了到角
的两边距离相等，在条件不充分的情况下匆忙下结论致错．
正确的解答过程如下：
证明：过点F作FH⊥BC于点H.
因为BF，CF分别是∠CBD，∠BCE的平分线，
且FM⊥AD，FH⊥BC，FN⊥AE，
所以FM＝FH，FH＝FN，所以FM＝FN，
所以点F在∠BAC的平分线上．
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