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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
目标突破
总结反思
目标一 会判定等腰三角形
目标突破
例1
教材补充例题
已知：如图1－1－7，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC.求证：△ADE是等腰三角形．
图1－1－7
[解析]
欲证明△ADE是等腰三角形，只要证明∠ADE＝∠1即可．
证明：∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠2.
∵∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠1，
∴EA＝ED，
即△ADE是等腰三角形．
【归纳总结】等腰三角形的判定方法
定义、定理
证明思路
定义法
两条边相等
的三角形
通过证明三角形全等直接得到两条边相等
判定定理
等角对等边
通过证明三角形全等或利用角度之间的关系得到两个角相等
目标二 反证法的运用
例2
教材例3针对训练
用反证法证明：一个三角形中至少有两个内角是锐角．
[解析]
用反证法进行证明．先假设原结论不成立，经过推导得出与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．
证明：假设△ABC中只有一个内角是锐角，
不妨设0°＜∠A＜90°，∠B≥90°，∠C≥90°，
于是，∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
假设△ABC中没有一个内角是锐角，则∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°，于是，∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾．
所以假设不成立，即一个三角形中至少有两个内角是锐角．
【归纳总结】适宜用反证法证明的三种常见类型
总结反思
知识点一 等腰三角形的判定
相等
等角对等边
(1)定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形．
(2)判定定理：有两个角________的三角形是等腰三角形，
可以简单叙述为____________．
知识点二 反证法
先假设命题的结论__________，然后推导出与定义、基本事实、
已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论
__________．这种证明方法称为反证法．
不成立
一定成立
如图1－1－8，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC于点D.
图1－1－8
小明说：“根据等腰三角形‘三线合一’的性质进行逆推，可得出△ABC是等腰三角形．”
你认为小明的说法正确吗？如果不正确，请你说明错误的原因，并写出△ABC是等腰三角形的推理过程．
解：不正确．等腰三角形“三线合一”的性质不能直接用来判定
一个三角形是等腰三角形．
正解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠CDA＝90°.
又∵AD＝AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
目标突破
总结反思
目标一 会判定等边三角形
目标突破
例1
教材补充例题
已知：如图1－1－9，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED.求证：△DEC为等边三角形．
图1－1－9
证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC.
∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C.
∵EC＝ED，∴∠C＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠C＝∠EDC，
∴△DEC为等边三角形．
例2
教材补充例题
已知：如图1－1－10，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证：∠C＝∠CDE；
(2)若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，
并说明理由．
图1－1－10
解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∴∠C＝∠CDE.
(2)△DEC是等边三角形．
理由：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝60°.
由(1)得∠C＝∠CDE，∴ED＝EC，∴△DEC是等腰三角形，∴△DEC是等边三角形．
【归纳总结】等边三角形的五种判定方法
三个角相等
的三角形是等边三角形
三条边相等
两个角等于60°
一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形
底角和顶角相等
目标二 利用含30
°角的直角三角形的性质进行计算或证明
例3
教材例4针对训练
如图1－1－11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3
cm，求BC的长．
图1－1－11
定理 三个角都________的三角形是等边三角形．
定理 有一个角等于________的________三角形是等边三角形．
总结反思
知识点一 等边三角形的判定定理
相等
60°
等腰
知识点二 含30
°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于________，
那么它所对的直角边等于斜边的________．
30°
一半
如图1－1－12，E是等边三角形ABC的边AC上一点，∠1＝∠2，CD＝BE，试判断△ADE的形状，并说明理由．
图1－1－12
解：△ADE为等腰三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.
又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∴△ADE为等腰三角形．
以上解法正确吗？若不正确，请你写出正确的解答过程．
解：不正确．
正解：△ADE为等边三角形．
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝60°.
又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质
目标突破
总结反思
目标一 证明等腰三角形中相等的线段并写出规范的证明过程
目标突破
例1
教材例1针对训练
如图1－1－3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.请你用不同的方法证明：DE＝DF.(用到相同的知识点
即视为同一种方法)
图1－1－3
证明：方法一：如图，连接AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是∠BAC的平分线，
即∠DAE＝∠DAF.
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠ADE＝∠AFD＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，∴DE＝DF.
证明：方法二：如图，连接AD.
【归纳总结】对于单一等腰三角形构造“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要灵活选择；对于叠合等腰三角形构造“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，如图1－1－4所示的几种图形中巧作辅助线的方法．
图1－1－4
目标二 利用等边三角形的性质进行计算或证明
例2
教材补充例题
如图1－1－5，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
图1－1－5
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠CFE＝∠BDF＝90°，
∴∠ADE＝180°－∠AED－∠A＝180°－90°－60°＝30°，
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
总结反思
知识点一 等腰三角形的性质
相等
相等
相等
相等
知识点二 等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都________，
并且每个角都等于__________．
相等
60
已知：如图1－1－6，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在AC上，求∠EDC的度数．
图1－1－6
上面的解答过程正确吗？若不正确，请改正．
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质
目标突破
总结反思
目标一 三角形全等的判定及性质的运用
目标突破
例1
教材补充例题
已知：如图1－1－1，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.求证：AD＝CB.
图1－1－1
[解析]
根据平行线的性质说明∠A＝∠C.由AE＝CF推出AF＝CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．
证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C.
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，
∵∠D＝∠B，∠A＝∠C，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE(AAS)，∴AD＝CB.
【归纳总结】判定两个三角形全等的思路
目标二 等腰三角形性质定理及其推论的运用
例2
教材补充例题
如图1－1－2，已知AB＝AC，BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.(要求：用两种不同的方法)
图1－1－2
[解析]
根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到∠B＝∠C，然后证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形的对应边相等有AD＝AE，再根据等边对等角的性质即可证明．
证明：∵(证法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．
在△ABD和△ACE中，∵AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD＝AE(全等三角形的对应边相等)，
∴∠ADE＝∠AED(等边对等角)．
证明：如图所示，过点A作AF⊥BC于点F，
则∠AFD＝∠AFE＝90°.
∵AB＝AC，∴BF＝CF.
∵BD＝CE，∴DF＝EF.
又∵∠AFD＝∠AFE＝90°，AF＝AF，∴△AFD≌△AFE(SAS)，
∴∠ADE＝∠AED.
总结反思
知识点一 全等三角形的性质及判定
性质：全等三角形的对应边________、对应角________．
判定：边边边(SSS)，角边角(ASA)，角角边(AAS)，边角边
(SAS)．
相等
相等
知识点二 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两底角________，可以简单叙述为
________________．
相等
等边对等角
知识点三 等腰三角形性质定理的推论
等腰三角形____________________、________________及
__________________互相重合，通常简述为“三线合一”．
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高线
已知等腰三角形的一个角是50°，求它的底角的度数．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程．
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