6.1.5 向量的线性运算
一、选择题
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋等于( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
解析：平行四边形ABCD中，根据向量的加法法则及减法运算可得＋＝(＋)－＝＝b.
答案：B
3．下列四个结论：
①＋＋＝0；
②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；
④＋＋－＝0.
其中一定正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错误；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．
答案：C
4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：∵O为任意一点，∴不妨把A点看成O点，则＋＋＋＝0＋＋＋，∵M是平行四边形ABCD对角线的交点，∴0＋＋＋＝2＝4.
答案：D
二、填空题
5．化简＋－－＋＝________.
解析：＋－－＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝2
答案：2
6．已知点P在线段AB上，且||＝4||，设＝λ，则实数λ＝________.
解析：因为||＝4||，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以＝.
答案：
7．给出下面四个结论：
①若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋；
②若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC；
③若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC；
④若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC.
其中正确的结论有________．
解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，正确．
②三角形内＝＋，但AC≠AB＋BC，错误．
③，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，错误．
④，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，正确．
答案：①④
三、解答题
8．计算
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解析：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
9．已知P为△ABC的边BC上一点，＝a，＝b，若S△ABP＝2S△ACP，用a、b表示.
解析：因为S△ABP＝2S△ACP，所以S△ABP＝S△ABC，即＝，即－＝(－)，所以＝＋＝a＋b.
[尖子生题库]
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e、f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
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(共18张PPT)
6.1.4 数乘向量
一、选择题
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：如图，＝3，所以＝2.
答案：D
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
答案：C
4.
如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：D
二、填空题
5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析：由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案：2
6．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案： －
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，
∴|λ|＝，即λ＝±.
答案：±
三、解答题
8．已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解析：(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
所以，共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
只能有所以k＝±1.
9．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
解析：如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
所以＝＝a.
在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b.
在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．
[尖子生题库]
10．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)·＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n，
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.
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(共17张PPT)
6.1.3 向量的减法
一、选择题
1．下列运算中正确的是( )
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.－＝0
解析：根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
答案：C
2．下列四式中不能化简为的是( )
A.＋(＋) B．(＋)＋(－)
C.－＋ D.＋－
解析：D中，＋－＝－＝＋不能化简为，其余选项皆可．
答案：D
3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A. B.
C. D.
解析：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
答案：C
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：＝＋＋＝a－b＋c.
答案：A
二、填空题
5.＋－＝________.
解析：＋－＝＋＝.
答案：
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，平行四边形ABCD为矩形，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案：2
三、解答题
8．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
9．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
解析：(1)方法一 原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
方法二 原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.
(2)方法一 原式＝－＝.
方法二 原式＝－(＋)＝－＝.
[尖子生题库]
10．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
解析：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c.
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(共25张PPT)
x
0
减法的
进行向
义
量减法
减法的
的运算
运算律
d
D
C
B
6.1.2 向量的加法
一、选择题
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案：A
2．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示( )
A．向东走10 km B．向南走10 km
C．向东南走10 km D．向东南走5 km
解析：
如图所示，＝a＋b，||＝5，||＝5，且AB⊥BC，则||＝5，∠BAC＝45°.
答案：D
3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
解析：如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案：A
4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝＋，由a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________.
解析：由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝0.
答案：0
6．化简(＋)＋(＋)＋＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，|＋|＝||＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解析：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)；
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)；
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)．
9．化简：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解析：(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝＋＝.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
[尖子生题库]
10．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
解析：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，所以＋＝＋＝.
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(共24张PPT)
6.1.1 向量的概念
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
答案：D
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
答案：D
3．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平面几何知识知，与方向不同，
故≠；与方向不同，故≠；
与的模相等而方向相反，故≠.
与的模相等且方向相同，∴＝.
答案：D
4．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
二、填空题
5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
6.
如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.
答案：，
7．给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在?ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中所有正确命题的序号为________．
解析：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．
答案：②③
三、解答题
8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
9．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解析：(1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，
故与共线，即AB∥CD.
又||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝200(千米)．
[尖子生题库]
10．如图，在△ABC中，已知向量＝，＝，求证：＝.
证明：由＝，可得DF＝EC且DF∥EC，
故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC.
∵＝，∴D为AB的中点．
∴＝，∴＝.
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(共32张PPT)
