8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成
B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成
C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成
D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成
解析：用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确．
答案：C
2．下列说法正确的有( )
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．
答案：C
3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )
A．圆台 B．圆锥
C．圆柱 D．球
解析：由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，
所以形成的几何体是圆锥．故选B.
答案：B
4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.
答案：B
二、填空题
5．下列说法正确的是________．
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．
解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．
答案：③
6．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是3，则其轴截面面积是________．
解析：设圆台的高为h，则h＝＝9，
∴轴截面面积S＝(4＋10)×9＝63.
答案：63
7．两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．
解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底面半径为4 cm；
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm.
答案：3 cm,4 cm或4 cm,3 cm
三、解答题
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解析：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
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10．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为________．
解析：由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为＝26(尺)．
答案：26尺
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8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、选择题
1．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是( )
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
解析：
选项A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；选项B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；选项C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；选项D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：D
2．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石 B．粉笔盒
C．篮球 D．金字塔
解析：钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
答案：C
3．下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：本题考查棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.
答案：A
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
答案：D
二、填空题
5．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
6．下列几个命题：
①棱柱的底面一定是平行四边形；
②棱锥的底面一定是三角形；
③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的是________．(填序号)
解析：①棱柱的底面可以为任意多边形．②棱锥的底面可以为四边形、五边形等．
答案：③
7．下列说法正确的有________．
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
④多面体至少有四个面．
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．④显然正确．因而正确的有①③④.
答案：①③④
三、解答题
8．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解析：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
9．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)
[尖子生题库]
10．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm，4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
解析：依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．
展开后，A，C1两点间的距离分别为：＝ (cm)，＝4 (cm)，＝3 (cm)，三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．
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