人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章复习 课件（共34张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章复习 课件（共34张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-27 17:02:56 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
小结与复习
第二十八章锐角三角函数
课前练习
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
280
2.
3、 Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为( )
17
E
5.
60
直角三角形中边角关系
锐角三角函数
解直角三角形
解决实际问题
全章知识结构图
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
1. 锐角三角函数定义
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
要点梳理
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
1
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边．常用对应关系
三边关系：_______________；
三角关系：_________________ ；
边角关系：sinA＝cosB＝_____ ，cosA＝sinB ＝____，
tanA＝_________，tanB＝_______.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
3. 解直角三角形
?条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
?解法：
①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；
②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；
③斜三角形问题，可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
(2) 直角三角形可解的条件和解法
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = cosα= ，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
(4) 锐角三角函数的增减性
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；
对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据已知条件中各量之间的关系，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 如果不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决；
④得到数学问题的答案；进而得到实际问题的答案．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
例1 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF
的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
10
8
例题讲解
∵∠AFE+∠BFC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，
10
8
10
10
解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ D= ∠ A= ∠ B= 90° ，CD=AB=10
由折叠的性质可得， △EDC ≌ △EFC
∴ CF=CD=10，∠EFC=∠EDC=90°.
1 . 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
B
针对训练
2. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB， 那么△ABC一定是______三角形．
直角
3. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
针对训练
解：∵在直角△ABD中，
∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9，
∴CD=BC－BD=14－9=5，
∴
∴sinC =
4.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，
AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．
(1)根据特殊角的三角函数值求值；
(2)直接运用三角函数的定义求值；
(3)借助边的数量关系求值；
(4)借助等角求值；
(5)根据三角函数关系求值；
(6)构造直角三角形求值．
方法总结
例2 计算：
解：原式＝
针对训练 特殊角的三角函数值
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
特殊角与三角函数值的互相转化
3．若0°<∠A<90°，且4sin2A－2＝0，则∠A的值是
A．30° B．45° C．60° D．75°
B
4、 如果sin2α+sin230o =1，那么锐角
α的值是( )
15o B. 30o C. 45o D. 60o
D
5、若关于x的一元二次方程：
有两个相等的实数根，求θ的值。
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ . 点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC
针对训练 解直角三角形
第19题图
（2019?襄阳）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发没AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
则BC＝AC?tanA≈121×0.75＝90.75，
由题意得，
CD＝AC﹣AD＝121-23.5=97.5，
在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，
∴EC＝CD＝97.5，
∴BE＝EC﹣BC
=97.5-90.75＝6.75≈6.8（m）
答：塔冠BE的高度约为6.8m．
考点四 三角函数的应用
E
F
53
1.
针对训练 解直角三角形应用
2.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 km．
针对训练 解直角三角形应用
3. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
针对训练 解直角三角形应用
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
BC＝ ＝ ≈70.2(米)．
∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)，
t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)．
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
课堂小结
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
作业布置
小结与复习
第二十八章锐角三角函数
课前练习
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
280
2.
3、 Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为( )
17
E
5.
60
直角三角形中边角关系
锐角三角函数
解直角三角形
解决实际问题
全章知识结构图
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
1. 锐角三角函数定义
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
要点梳理
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
1
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边．常用对应关系
三边关系：_______________；
三角关系：_________________ ；
边角关系：sinA＝cosB＝_____ ，cosA＝sinB ＝____，
tanA＝_________，tanB＝_______.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
3. 解直角三角形
?条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
?解法：
①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；
②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；
③斜三角形问题，可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
(2) 直角三角形可解的条件和解法
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = cosα= ，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
(4) 锐角三角函数的增减性
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；
对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据已知条件中各量之间的关系，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 如果不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决；
④得到数学问题的答案；进而得到实际问题的答案．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
例1 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF
的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．
10
8
例题讲解
∵∠AFE+∠BFC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，
10
8
10
10
解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ D= ∠ A= ∠ B= 90° ，CD=AB=10
由折叠的性质可得， △EDC ≌ △EFC
∴ CF=CD=10，∠EFC=∠EDC=90°.
1 . 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
B
针对训练
2. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB， 那么△ABC一定是______三角形．
直角
3. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.
针对训练
解：∵在直角△ABD中，
∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9，
∴CD=BC－BD=14－9=5，
∴
∴sinC =
4.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，
AD＝12，tan∠BAD＝ ，求sinC的值．
(1)根据特殊角的三角函数值求值；
(2)直接运用三角函数的定义求值；
(3)借助边的数量关系求值；
(4)借助等角求值；
(5)根据三角函数关系求值；
(6)构造直角三角形求值．
方法总结
例2 计算：
解：原式＝
针对训练 特殊角的三角函数值
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
特殊角与三角函数值的互相转化
3．若0°<∠A<90°，且4sin2A－2＝0，则∠A的值是
A．30° B．45° C．60° D．75°
B
4、 如果sin2α+sin230o =1，那么锐角
α的值是( )
15o B. 30o C. 45o D. 60o
D
5、若关于x的一元二次方程：
有两个相等的实数根，求θ的值。
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ . 点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC
针对训练 解直角三角形
第19题图
（2019?襄阳）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发没AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，
则BC＝AC?tanA≈121×0.75＝90.75，
由题意得，
CD＝AC﹣AD＝121-23.5=97.5，
在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，
∴EC＝CD＝97.5，
∴BE＝EC﹣BC
=97.5-90.75＝6.75≈6.8（m）
答：塔冠BE的高度约为6.8m．
考点四 三角函数的应用
E
F
53
1.
针对训练 解直角三角形应用
2.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是 km．
针对训练 解直角三角形应用
3. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
针对训练 解直角三角形应用
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．
BC＝ ＝ ≈70.2(米)．
∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)，
t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)．
∴t甲>t乙．
答：乙先到达B处．
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
课堂小结
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰俯角问题
方位角问题
坡度问题
作业布置