人教版七年级数学上册一课一练 4. 3.3 余角和补角（解析版）

人教版七年级数学上册4. 3.3 余角和补角
基础闯关全练
1．下面角的图形中，能与30°角互补的是( )
A. B. C. D.
2．（2018广东茂名三中月考）如果一个角的度数为13°14’，那么它的余角的度数为( )
A.76°46' B．76°86’ C．86°56’ D．166°46'
3．对于余角有下列三种说法：①36°的角的余角的度数是64°：②互为余角的两个角不可能相等：③同角或等角的余角一定相等．其中正确的说法有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.0种
4．已知∠1与∠2互余，∠1= 7x°-2°，∠2= 3x°+2°，则x的值是____．
5．如图4-3-3-1,∠AOD=∠BOD= ∠EOC= 90°,∠BOC：∠AOE=3：1．
(1)求∠COD的度数；
(2)图中有哪几对角互为余角？
(3)图中有哪几对角互为补角？

图4-3-3-1




6．一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，求出这个角的度数．
7．已知∠α+∠β=90°,∠β+∠γ=90°，则下列等式正确的是( )
A.∠α=∠β B.∠β= ∠γ
C.∠α= ∠β= ∠γ D.∠α=∠γ
8．如图4-3-3-2,若∠1+∠2= 180°, ∠3+∠2= 180°，则∠1=____，依据是_______.

图4-3-3-2
9．已知∠AOC= ∠BOD=α(0°(1)如图4-3-3-3①所示，若α=90°．
①写出图中一组相等的角（除直角外），并说明理由；
②试猜想∠COD和∠AOB在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由；
(2)如图4-3-3-3②所示，∠COD+ ∠AOB和∠AOC满足的等量关系是什么？当d是多少度时，∠COD和∠AOB互余？

图4-3-3-3



10．如图4-3-3-4,0.4是北偏东30°的一条射线，若∠AOB= 90°，则射线OB的方向角是( )

图4-3-3-4
北偏西60° B．北偏西30°
C．东偏北60° D．东偏北30°
11.如图4-3-3-5，甲从4点出发沿北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发沿南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是( )

图 4-3-3-5
A.85° B.160° C.125° D.105°
能力提升全练
1．如果∠α和∠β互补，且∠α>∠β，则下列表示∠β的余角的式子：①90°- ∠β;②∠α-90°；③180°- ∠α;④（∠α-∠β）中，正确的是( )
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
2.（2019天津南开中学期末）如图4-3-3-6，OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分∠AOB时，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC，则∠AOC的度数为( )

图4-3-3-6
A.100° B.110° C.120° D.130°
3．已知锐角α，钝角β，赵、钱、孙、李四位同学计算 (α+β)的结果分别为68.5°、22°、51.5°、72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是( )
A.68.5° B.22° C.5 1.5° D.72°
4．如图4-3-3-7.
(1)射线OA的方向为_________或______;射线OB的方向为______方向;
(2)请在图中画出南偏西40°方向的射线OF，东南方向的射线OH.

图4-3-3-7
三年模拟全练
一、选择题
1．（2019黑龙江哈尔滨三中期末，5，★☆☆）将一副三角板按照如图4-3-3-8所示的位置摆放，则图中的∠α和∠β的关系一定成立的是( )

图4-3-3-8
∠α与∠β互余 B.∠α与∠β互补
C.∠α与∠β相等 D.∠α比∠β小
2．（2018四川宜宾实验中学期末．3．★☆☆）如果锐角α的补角是138°，那么锐角α的余角是( )
A．38° B．42° C．48° D．52°
3．（2019河北衡水中学月考，4，★★☆）如图4-3-3-9，某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转周，则旋转后指针的指向是( )

图4-3-3-9
南偏东50°方向 B．北偏西40°方向
C．南偏东40°方向 D．东南方向
二、填空题
4．（2017陕西宁陕城关初中期末，16．★☆☆）若∠1+∠2=90°,∠3+∠2= 90° ∠1+∠4= 180°, ∠1= 60°，则 ∠3=________,∠4=________．
5．（2019陕西榆林三中期末．22，★★☆）如图4-3-3-10，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余．
(1)若∠AOC：∠BOD=4：5．则∠BOD=__________’
(2)若∠AOC=α(0°<α≤45°)，ON平分∠COD．
①若点D在∠BOC内，补全图形，求出∠AON的度数（用含理的式子表示）：
②若∠AON与∠COD互补，求出α的值．

图4-3-3-10


五年中考全练
一、选择题
1．（2018甘肃白银中考，3．★☆☆）若一个角为65°，则它的补角的度数为( )
A.25° B.35° C.115° D.125°
2．（2016湖北宜昌中考，9，★☆☆）已知M、N、P、Q四点的位置如图4-3-3 -11所示，下列结论中，正确的是( )

图4-3-3-11
∠ NOQ= 42° B.∠NOP= 132°
C．∠PON比∠MOQ大 D.∠MOQ与∠MOP互补
3．（2018河北中考．11，★☆☆）如图4-3-3-12，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为( )

图4-3-3-12
北偏东30° B．北偏东80°
C．北偏西30° D．北偏西50°
二、填空题
4．（2018山东日照中考．13，★☆☆）一个角是70°39’，则它的余角的度数是________．
5．（2016广东茂名中考，12．★☆☆）已知∠A=100°，那么∠A 的补角为_____度．
核心素养全练
1．如图4-3-3-13，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
(1) ∠FEC'和∠CEC'互为余角吗？为什么？
(2) ∠GEF是直角吗？为什么？
(3)在图中，还有哪些角互为余角？还有哪些角互为补角？（举例说明）

图4-3-3-13





2．如图4-3-3-14所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以C为顶点的相等的角；
(2)若∠ACB= 150°，请直接写出∠DCE的度数；
(3)写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；
(4)当三角板ACD绕点C旋转时，你所写出的(3)中的关系是否变化？请说明理由，


图4-3-3-14






答案
基础闯关全练
D
解析：30°角的补角是150°的角，是一个钝角，故选D．
A
解析：根据余角的定义，一个角的度数为13°14'，则其余角度数足90°- 13°14'= 76°46’，故选A．
A
解析：因为36°+64°= 100°，所以64°的角不是36°的角的余角，故①错误；当两个角都是45°时，它们互余且相等，故②错误：“同角或等角的余角相等”是余角的性质，故③正确，故选A．
4．答案9
解析 因为∠1与∠2互余，所以∠1+ ∠2= 90°．
因为∠1= 7x°-2°，∠2=3x°+2°，
所以7x°-2°+3x°+2°=90°，所以10x°=90°，即x=9．
5．解析 (1)根据题意得∠BOC+ ∠A OE= 90°，因为∠BOC：∠AOF=3：1．所以∠BOC=×90°= 67.5°，所以∠COD=90°-67.5°=22.5°．
(2)互为余角的角有4对，分别为∠ COB与∠COD，∠COB与∠AOE，∠DOF.与∠COD，∠DOE与∠AOE．
(3)互为补角的角有7对．分别为∠COB与∠COA，∠AOE与∠EOB,∠DOC与∠BOE．∠DOE与∠AOC，∠AOD与∠BOD，∠COP与∠AOD，∠COE与∠BOD．
6．解析 设这个角的度数为x°，则它的补角、余角分别为(180-x)°、（90-x）°，根据题意得(180-x) -2( 90-x)=180×，解得x= 60．答：这个角的度数为60°．
7．D
解析：因为∠α和∠γ都是∠β的余角，所以∠α=∠γ．
8．答案 ∠3；同角的补角相等
9．解析 (1)①∠AOD= ∠BOC．
理由：因为∠AOC= ∠BOD=90°，
所以∠ AOD+∠AOB= ∠BOC+∠ＡＯB=90°.
根据“同角的余角相等”可得∠αOD= ∠BOC.
②∠COD和∠AOB互补，
理时：因为∠COD= ∠ＡOC+∠ＡOD=90°+∠αOD，
∠AOB= ∠BOD-∠ＡOD=90°-∠ＡOD.
所以∠COD+∠AOB=90°+ ∠110D+90°-∠ＡOD= 180°．
所以∠COD 和∠ＡＯB互补．
( 2)因为∠COD+∠AOB= ∠AOC+∠AOD+ ∠BOD- ∠ＡOD=α+
a= 2a.所以∠COD+∠AOB=2∠ＡOC.
若∠COD和∠AOB互余，
则2∠ＡＯＣ= 90°，
所以∠ＡOC=45°，即α=45°．
A
解析：如图，∵∠AOB= 90°．∴∠1=90°-30°=60°，∴射线OB的方向角是北偏西60°，故选A．

C
解析：根据射线AC和AB的方向知，∠BAC= 15°+90°+20°= 125°．
能力提升全练
B
解析：先由题意，得∠α+∠β=180°，则∠α= 180°-∠β.再把四个式子分别与∠β相加，其中①②④与∠β的和都等于90°，故选B．
C　　
解析：∵OD平分∠ＡＯＢ，OE平分∠BOC。∴∠BOD=∠ＡＯB，∠ BOE=∠BOC，∴∠EOD=∠AOB+ ∠ＢOC ＝∠ＡOC,∵∠EOD= 60°,∴∠ＡOC=2×60° =120°．故选Ｃ.
C　　
解析：∵锐角是大于0°且小于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角，∴０°4．解析(1)北偏东30。；东偏北60°：西北．
(2)射线OF、OH如同所示，

三年模拟全练
一、选择题
1．C
解析：根据余角的性质可得∠1+∠α=90°，∠1+∠β=90°，所以∠α=∠β.故选C．

C　　
解析：∵锐角α的补角是138°，∴α= 180°-138°=42°，∴锐角a的余角是90°-42°=48°，故选C．
C
解析：将指针按逆时针方向旋转周，即按逆时针方向旋转90°．所以旋转后指针的指向是南偏东40°方向，故选C.
二、填空题
4．答案60°；120°
解析 ∠1与∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等，可得∠3= 11= 60°，因为∠1+∠4= 180°，所以∠4= 180°-∠1= 120°．
三、解答题
5．解析 (1)∵∠AOC：∠BOD=4：5，∠BOD与∠ＡOC互余，∴∠BOD=90°×=50°．
(2)①补全罔形如下：

∵∠BOD与∠ＡOC互余，∴∠BOD+ ∠ＡOC= 90°，∴∠COD=90°,∵ON平分∠COD,∴∠CON=45°,∴∠ＡON=a+45°.
②若点D在∠BOC内，

则∠AON= a+45°．∠COD= 90°，依题意可得a+45°+90°=180°，解得α= 45°．若点Ｄ在∠BOC外，在０°
则∠COD= 90°+2a，则∠ＡON= 45°，依题意可得45°+90°+2a=180°，解得α=22.5°．
综上，a的值为45°或22.5°．
五年中考全练
一、选择题
1．C因为一个角为65°，所以它的补角为180°-65°=115°，故选C．
2.C 由题图可知∠NOQ= 138°，∠AOP= 48°，故选项A、B错误：因为∠PON= 48°，∠MOQ= 42°，所以∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；因为∠MOQ= 42°，∠MOP= 132°，所以∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误，故选C．
3.A如图，过B作BC∥ＡP，
∴∠2=∠1=50°.
∴∠3=80°-∠2=30°．
此时的航行方向为北偏东30°，故选A．

二、填空题
4．答案19°2１＇
解析 由余角的定义可知，70°39＇的余角的度数是90°－70°39＇= 19°21＇．
5．答案80
解析由补角的定义可知，∠Ａ的补角为180°- 100°=80°．
1．解析　　如图．

(1)∠ FFC'和∠GEC＇互为余角，
理由如下：
由题意知∠3＝∠１,∠4=∠2，网为∠1+∠2+∠3+∠4=180°,所以∠１+∠2＝90°,即∠FEC'+ ∠CEC'= 90°，故∠FEC'和∠GEC' 互为余角．
(2) ∠ＧＥＦ是直角，因为∠CEF= ∠1+∠2=90°,所以∠ＧＥF是直角．
(3) ∠3和∠4,∠１和∠ＥＦＧ等互为余角，∠ＡCF和∠DCF,∠CEC'和∠DFJC'等互为补角．
2．解析 (1)∠ACD=∠ BCF,∠ＡCE= ∠BCD.
(2)∠ＤＣE= 30°.
(3)∠ＡCB+∠DCＥ= 180°.
(4)不变；理由：因为∠ＡCB= ∠ＡCE+ ∠ECD+ ∠DCB，所以
∠ACB+ ∠DCE= ∠ＡCE+∠ECD+ ∠DCB+ ∠DCE= ∠ＡCD+
∠ＢＣＥ ＝90°+90°= 180°.