湘教版八年级数学下册1.1直角三角形的性质和判定学案（pdf版 含答案）

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直角三角形的性质和判定!
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!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习
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在
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中!
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是 %
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锐角三角形
,!
直角三角形
.!
钝角三角形
/!
不能确定
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习
!
$!
如果两个角的和是
1"(
!那么这两个角互余'如果两个角的和是
$2"(
!那么这两个
角互补
!
&!
三角形内角和定理"三角形内角和为
$2"(!
+!
由直角三角形的定义可知!若判定一个三角形为直角三角形!只要三角形中有一
个角是直角即可
!
!!
前面我们已学过了三角形的一些性质#以及等腰三角形这种特殊三角形的性质和判
定#那么直角三角形作为另外一种特殊三角形#又有哪些特定性质和判定方法呢$
!!
直角三角形的性质
!
"直角三角形的两个锐角互余
这一性质是三角形内角和定理的推论!反映了直角三角形中两个锐角的数量关系
!
"!
直角三角形的判定
!
"有两个角互余的三角形是直角三角形
在一个三角形中!如果两个角的和等于
1"(
!则由三角形内角和定理可知!第三个角
是直角!因而可以判定这个三角形是直角三角形
!
这一判定与性质
$
互为逆定理
!
#!
直角三角形的性质
"
"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
这一性质成立的条件有两个"直角三角形和斜边上的中线!两个条件必须同时满足
!
由直角的特殊性推出直角三角形斜边上的中线与斜边的特殊关系!即由角的关系推
出线段之间的关系
!
直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形!为证
明线段相等提供了新的思路和方法
!
另外!证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半还有很多其他方法!大家不妨试试
!
$!
三角形一条边上的中线等于这条边的一半#则这个三角形是直角三角形
课本中例
$
实际上提供了直角三角形的一种判定方法
!
要注意是(一条边上的中
线*!而不是(斜边上的中线*
!
!!
在直角三角形中!有一个角为
!&(
!那么另一个锐角的度数是
!!!!
!
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一个三角形三个内角的度数之比为
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!则这个三角形一定是 %
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图
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如果一个三角形是直角三角形!则一定有两个角互余
!
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直角三角形的性质比一般三角形的性质更加特殊!由直角的特殊性推出直角三角
形中线段的特殊关系"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
!
由角的关系推出线段
之间的关系!是几何中的常见思路
!
+!
其中一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形!可以用来判定一
个三角形是不是直角三角形
!
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在
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!则斜边长为
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图
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!那么
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与斜边
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有什么关系呢# 为什么#
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直角三角形的性质和判定!
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!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习
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南偏西
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北偏东
+"(
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南偏西
-"( /!
北偏东
-"(
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习
!
$!
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
!
&!
方位角是一个重要的概念!先画出东南西北方位!再看清楚是哪个方向偏哪个方向
!
!!
我们知道直角三角形中一定有两个角是锐角#假设有一个锐角等于
+"(
#那这个角所
对的直角边与斜边有何关系呢$ 反过来#如果直角三角形中一条直角边和斜边之间满足
上述关系#那么可以断定这条直角边所对的角是
+"(
吗$
!!
在直角三角形中#如果一个锐角等于
#&(
#那么它所对的直角边等于斜边的一半
要想运用这一性质!则一定要同时满足两个条件"
!
直角三角形'
"
有一个锐角是
+"(!
若只满足其中一个条件!则不能用这条性质
!
利用这一性质可以进行一些有关线段的计算和证明
!
如"已知
+"(
角的对边!求斜边
长'已知斜边!求
+"(
角所对的边
!
这条性质把角度关系与线段长度关系进行了相互转化!体现了(形*(数*之间相互化
归与转化的数学思想
!
"!
在直角三角形中#如果一条直角边等于斜边的一半#那么这条直角边所对的角等
于
#&(
利用这一性质时!一定要同时满足两个条件"
!
直角三角形'
"
一条直角边等于斜边
的一半
!
这条性质与上条性质是互逆命题!都是化归与转化思想运用的体现
!
要注意的
是!它们的共同前提条件都是"在直角三角形中
!
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图
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如图
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!在
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一个等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半!则这个等腰三角形顶角的度数是
!!!!
!
#!
一艘轮船由南向北航行!如图
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!在
#
处测得小岛
)
在北偏西
$!(
方向上
!
两
个小时后!轮船在
$
处测得小岛
)
在北偏西
+"(
方向上
!
现知道在小岛
)
周围
$2
海里
内有暗礁!若该轮船按
$!
海里+
7
的速度向前航行!是否有触礁的危险#
图
$!$ & +
$!
发现
+"(
角!我们就要想办法将其转化到某直角三角形中!然后找到
+"(
角所对的
直角边!就会得出这条边等于斜边的一半
!
&!
在解决有关方位角的问题时!要根据题意理清图中各角的关系
!
有时所给的方位
角不一定在直角三角形中!需要正确作出辅助线!构造出直角三角形来求解
!
!
图
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如图
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!在
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等腰三角形的一腰长为
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!底角为
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在
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$!$ & -
!在
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的长
!
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图
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如图
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!在
#
岛周围
&"
海里水域有暗礁!一轮船由西向东航行到
+
处时!发现
#
岛在北偏东
-"(
的方向!且与轮船相距槡&" +海里!该轮船如果不改变航向!有触礁的
危险吗# %槡+
%
$!3+
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!
图
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书
第
!
章
!
直角三角形
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!前置诊断"
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理由如下$
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本题分两种情况讨论$
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在三角形内部时#
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