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沪教新版 八年级第二学期 第二十二章 四边形 单元测试卷
一．选择题（共6小题）
1．从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为
A． B． C． D．
2．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
3．在梯形中，，下列条件中，不能判断梯形是等腰梯形的是
A． B． C． D．
4．已知平行四边形，、是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是
A． B． C． D．
5．已知在四边形中，，对角线与相交于点，，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是
A． B． C． D．
6．如图，已知在中，对角线、相交于点，下列向量计算结果等于的是
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
7．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ．
8．如图，五边形的每一个内角都相等，则外角 ．
9．与向量相等的向量是
10．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积是 ．
11．如图，在平行四边形中，对角线，，，则 ．
12．在四边形中，，，、分别是、的中点，则线段的取值范围是 ．
13．一个矩形的一条对角线与一条边的夹角是，若这条对角线长，则这个矩形的较小的一条边长 ．
14．如图，四边形是平行四边形，适当选取它的边或对角线作向量，记；，那么图中等于的向量是 ．
15．如图，正方形的面积为5，正方形面积为4，那么的面积是 ．
16．如图，在梯形中，，，，如果点、分别是、的中点，那么的长为 ．
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 ．
18．如图，平行四边形的对角线，交于，过点与，分别交于，，若，，，则四边形的周长 ．
三．解答题（共7小题）
19．在四边形中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少？
20．如图，在等腰梯形中，，，平分．，求对角线的长和梯形的面积．
21．已知：如图，中，、分别是和的角平分线，分别交边、于点、，求证：．
22．如图，在梯形中，，，，，
（1）求对角线的长度；
（2）求梯形的面积．
23．已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，且，求证：四边形是正方形．
24．如图，在矩形中，点是边的中点，沿直线翻折，使点落在矩形内部的点处，联结并延长交于点，联结交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
25．已知：在矩形中，，，四边形的三个顶点、、分别在矩形边、、上，．
（1）如图1，当四边形为正方形时，求的面积；
（2）如图2，当四边形为菱形时，设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为
A． B． C． D．
【分析】先由边形从一个顶点出发可引出条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的每个外角相等且外角和为．
【解答】解：经过多边形的一个顶点有5条对角线，
这个多边形有条边，
此正多边形的每个外角度数为，
故选：．
2．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．
、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．
、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
故选：．
3．在梯形中，，下列条件中，不能判断梯形是等腰梯形的是
A． B． C． D．
【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：、，
，
四边形是等腰梯形，故本选项错误；
、，，
，，
，
，，
，
四边形是等腰梯形，故本选项错误；
、，，
，
，，
，
，
四边形是等腰梯形，故本选项错误；
、根据，不能推出四边形是等腰梯形，故本选项正确．
故选：．
4．已知平行四边形，、是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是
A． B． C． D．
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：、，不能判断四边形是矩形；
、，能判定四边形是菱形；不能判断四边形是矩形；
、，能得出对角线相等，能判断四边形是矩形；
、，不能判断四边形是矩形；
故选：．
5．已知在四边形中，，对角线与相交于点，，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可．
【解答】解：，
，
在与中，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；故正确；
故选：．
6．如图，已知在中，对角线、相交于点，下列向量计算结果等于的是
A． B． C． D．
【分析】利用平行四边形的性质和三角形法则解答．
【解答】解：在平行四边形中，，，，．
、，故本选项错误．
、，故本选项错误．
、，故本选项错误．
、，故本选项正确．
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 14 ．
【分析】边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个正多边形的边数是，
则，
解得：．
则这个正多边形的边数是14．
故答案为：14．
8．如图，五边形的每一个内角都相等，则外角 ．
【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．
【解答】解：．
故外角等于．
故答案为：．
9．与向量相等的向量是
【分析】根据平面向量的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式，
故答案为：
10．如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积是 24 ．
【分析】先求出菱形对角线和的长度，利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【解答】解：因为四边形是菱形，
所以．
在中，利用勾股定理求得．
，．
菱形面积为．
故答案为24．
11．如图，在平行四边形中，对角线，，，则 13 ．
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长．
【解答】解：的对角线与相交于点，
，，
，
，
故答案为：13．
12．在四边形中，，，、分别是、的中点，则线段的取值范围是 ．
【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：连接，取的中点，连接、，
是的中点，是的中点，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
当时，．
线段长的取值范围是：，
故答案为：．
13．一个矩形的一条对角线与一条边的夹角是，若这条对角线长，则这个矩形的较小的一条边长 4 ．
【分析】根据矩形的性质推出，证出等边，求出．
【解答】解：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
即：这个矩形的较小的一条边长．
故答案为：4．
14．如图，四边形是平行四边形，适当选取它的边或对角线作向量，记；，那么图中等于的向量是 ．
【分析】由向量的性质和平行四边形的性质，所以问题转化为的问题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
；，
．
故答案是：．
15．如图，正方形的面积为5，正方形面积为4，那么的面积是 ．
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，然后求出，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：正方形的面积为5，正方形面积为4，
正方形的边长为，正方形的边长为2，
，
的面积．
故答案为：．
16．如图，在梯形中，，，，如果点、分别是、的中点，那么的长为 2 ．
【分析】连接并延长，交于点，根据全等三角形的判定和性质易证明是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可求解．
【解答】解：如图所示，连接并延长，交于点．
，
，，
又为中点，
．
，．
在中，为中位线，
，
又，，
．
故答案为：2．
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 16或20 ．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出；分两种情况：①当，时；②当，时；即可求出平行四边形的周长．
【解答】解：如图所示：①当，时，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
平行四边形的周长；
②当，时，
同理得：，
平行四边形的周长；
故答案为：16或20．
18．如图，平行四边形的对角线，交于，过点与，分别交于，，若，，，则四边形的周长 12 ．
【分析】根据平行四边形的性质知，，，，，和是对顶角相等，所以，所以，，所以四边形的周长，由此就可以求出周长．
【解答】解：四边形平行四边形，
，，，，，
，
，，
四边形的周长
．
故填空答案：12．
三．解答题（共7小题）
19．在四边形中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少
【分析】先根据四边形的相对的两个内角互补，及已知求出，从而得出，，的度数．
【解答】解：四边形的相对的两个内角互补，，
，
，
，
．
故答案为：，，，．
20．如图，在等腰梯形中，，，平分．，求对角线的长和梯形的面积．
【分析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得的度数，根据三角形的内角和定理证明是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点、分别作，，垂足为点、，在直角中求得和的长，则即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．
【解答】解：，，
．
平分，，
．
．
，
．
．
过点、分别作，，垂足为点、．
，平分，
．
，
．
在和中，，
．
．
，
．
，．
，
．
梯形的面积．
21．已知：如图，中，、分别是和的角平分线，分别交边、于点、，求证：．
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明即可判断．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，．
、分别是和的角平分线，
．
．
．
22．如图，在梯形中，，，，，
（1）求对角线的长度；
（2）求梯形的面积．
【分析】（1）如图，过作交延长线于，，，，，，即为直角三角形，根据勾股定理即可求解；
（2）记梯形的面积为，过作于，则为直角三角形，求出梯形的高，根据梯形面积公式即可求解；
【解答】解：（1）如图，过作交延长线于，
，，
，，
，即为直角三角形，
，
，
且，
四边形为平行四边形．
；
（2）记梯形的面积为，过作于，则为直角三角形．
，即梯形的高，
四边形为平行四边形，
．
．
23．已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，且，求证：四边形是正方形．
【分析】（1）首先证得，由全等三角形的性质可得，由可得，易得，可得，易得，利用平行线的判定定理可得四边形为平行四边形，由可得四边形是菱形；
（2）由可得为等腰三角形，可得，利用三角形的内角和定理可得，易得，可得，由正方形的判定定理可得四边形是正方形．
【解答】证明：（1）在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
24．如图，在矩形中，点是边的中点，沿直线翻折，使点落在矩形内部的点处，联结并延长交于点，联结交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）由折叠的性质得到，与垂直，根据为中点，得到，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到为，进而得到与平行，再由与平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）根据三角形为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由，利用即可得证．
【解答】证明：（1）由折叠得到垂直平分，
设与交于，
为的中点，
，
为的中位线，
，
，
四边形为平行四边形；
（2），
，
由翻折性质，，
为直角斜边的中点，且，
为等边三角形，，
，
在和中，
，
．
25．已知：在矩形中，，，四边形的三个顶点、、分别在矩形边、、上，．
（1）如图1，当四边形为正方形时，求的面积；
（2）如图2，当四边形为菱形时，设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域．
【分析】（1）只要证明．推出，由，推出，求出、即可解决问题．
（2）如图2，过点作，垂足为，连接，根据，计算即可．
【解答】解：（1）如图1，过点作，垂足为．
由矩形可知：，
由正方形可知：
，，
，
又，
，
．
，
同理可证：，
，
，
又，
．
（2）如图2，过点作，垂足为，连接．
由矩形得：，
，
由菱形得：，，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
即：，
定义域：．
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沪教新版 八年级第二学期 第二十二章 四边形 单元测试卷
一．选择题（共 6 小题）
1．从正多边形的一个顶点可以引出 5条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为 ( )
A．135? B． 45? C． 60? D．120?
2．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是 ( )
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
3．在梯形 ABCD中， / /AD BC ，下列条件中，不能判断梯形 ABCD是等腰梯形的是 ( )
A． ABC DCB? ? ? B． DBC ACB? ? ? C． DAC DBC? ? ? D． ACD DAC? ? ?
4．已知平行四边形 ABCD，AC 、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形
为矩形的是 ( )
A． BAC DCA? ? ? B． BAC DAC? ? ? C． BAC ABD? ? ? D． BAC ADB? ? ?
5．已知在四边形 ABCD中， / /AD BC ，对角线 AC 与 BD相交于点O， AO CO? ，如果添加下列一
个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是 ( )
A． BO DO? B． AB BC? C． AB CD? D． / /AB CD
6．如图，已知在 ABCD? 中，对角线 AC 、BD相交于点O，下列向量计算结果等于 AD
????
的是 ( )
A． AB AC?
???? ????
B． AB AC?
???? ????
C． AO DO?
???? ????
D． BO CO?
???? ????
二．填空题（共 12 小题）
7．如果一个多边形的内角和是 2160?，那么这个多边形的边数是 ．
8．如图，五边形 ABCDE的每一个内角都相等，则外角 CBF? ? ．
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9．与向量DE DF EF? ?
? ? ?
相等的向量是
10．如图，菱形 ABCD的对角线相交于点O，若 5AB ? ， 4OA ? ，则菱形 ABCD的面积是 ．
11．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC BD? ， 10AC ? ， 24BD ? ，则 AD ? ．
12．在四边形 ABCD中， 6AD ? ， 4BC ? ，E、F 分别是 AB、CD的中点，则线段 EF 的取值范围
是 ．
13．一个矩形的一条对角线与一条边的夹角是 60?，若这条对角线长8cm，则这个矩形的较小的一条
边长 cm．
14．如图，四边形 ABCD是平行四边形，适当选取它的边或对角线作向量，记 AB m?
???? ?
；BC n?
???? ?
，那
么图中等于m n?? ?的向量是 ．
15．如图，正方形 ABCD的面积为 5，正方形 BEFG面积为 4，那么 GCE? 的面积是 ．
16．如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， 3AD ? ， 7BC ? ，如果点 E、F 分别是 AC 、BD的中点，
那么 EF 的长为 ．
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17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1: 2两部分，那么称这样的平行四边形为
“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为 6时，它的周长为 ．
18．如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC ， BD交于O， EF 过点O与 AD， BC分别交于 E， F ，
若 4AB ? ， 5BC ? ， 1.5OE ? ，则四边形 EFCD的周长 ．
三．解答题（共 7 小题）
19．在四边形 ABCD中，相对的两个内角互补，且满足 : : 5 : 6 : 7A B C? ? ? ? ，求四个内角的度数分
别是多少？
20．如图，在等腰梯形 ABCD中， / /DC AB， 2AD BC? ? ，BD平分 ABC? ． 60A? ? ?，求对角线
BD的长和梯形 ABCD的面积．
21．已知：如图， ABCD? 中， AE、CF 分别是 BAD? 和 BCD? 的角平分线，分别交边DC、 AB于
点 E、 F ，求证： AE CF? ．
22．如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， AC DB? ， 5AC ? ， 30DBC? ? ?，
（1）求对角线 BD的长度；
（2）求梯形 ABCD的面积．
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23．已知：如图，四边形 ABCD中， / /AD BC ， AD CD? ， E是对角线 BD上一点，且 EA EC? ．
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）如果 BE BC? ，且 : 2 : 3CBE BCE? ? ? ，求证：四边形 ABCD是正方形．
24．如图，在矩形 ABCD中，点 E是边 AB的中点， EBC? 沿直线 EC翻折，使 B点落在矩形 ABCD
内部的点 P处，联结 AP并延长 AP交CD于点 F ，联结 BP交CE 于点Q．
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2）如果 PA PE? ，求证： APB EPC? ? ? ．
25．已知：在矩形 ABCD中， 8AB ? ， 12BC ? ，四边形 EFGH的三个顶点 E、F 、H 分别在矩形 ABCD
边 AB、 BC、DA上， 2AE ? ．
（1）如图 1，当四边形 EFGH为正方形时，求 GFC? 的面积；
（2）如图 2，当四边形 EFGH 为菱形时，设 BF x? ， GFC? 的面积为 S，求 S关于 x的函数关系式，
并写出函数的定义域．
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参考答案
一．选择题（共 6 小题）
1．从正多边形的一个顶点可以引出 5条对角线，则这个正多边形每个外角的度数为 ( )
A．135? B． 45? C． 60? D．120?
【分析】先由 n边形从一个顶点出发可引出 ( 3)n ? 条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形
的每个外角相等且外角和为 360?．
【解答】解：?经过多边形的一个顶点有 5条对角线，
?这个多边形有 5 3 8? ? 条边，
?此正多边形的每个外角度数为360 8 45? ? ? ?，
故选： B．
2．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是 ( )
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边相等，一组对角相等
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解： A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．
B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．
D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
故选：C．
3．在梯形 ABCD中， / /AD BC ，下列条件中，不能判断梯形 ABCD是等腰梯形的是 ( )
A． ABC DCB? ? ? B． DBC ACB? ? ? C． DAC DBC? ? ? D． ACD DAC? ? ?
【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，
③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解答】解： A、 ABC DCB? ? ?? ，
BD BC? ? ，
?四边形 ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、 DAC DBC? ? ?? ， / /AD BC ，
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ADB DBC?? ? ? ， DAC ACB? ? ? ，
OBC OCB?? ? ? ， OAD ODA? ? ?
OB OC? ? ，OD OA? ，
AC BD? ? ，
?四边形 ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、 ADB DAC? ? ?? ， / /AD BC ，
ADB DAC DBC ACB?? ? ? ? ? ? ? ，
OA OD? ? ，OB OC? ，
AC BD? ? ，
/ /AD BC? ，
?四边形 ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
D、根据 ACD DAC? ? ? ，不能推出四边形 ABCD是等腰梯形，故本选项正确．
故选：D．
4．已知平行四边形 ABCD，AC 、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形
为矩形的是 ( )
A． BAC DCA? ? ? B． BAC DAC? ? ? C． BAC ABD? ? ? D． BAC ADB? ? ?
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解： A、 BAC DCA? ? ? ，不能判断四边形 ABCD是矩形；
B、 BAC DAC? ? ? ，能判定四边形 ABCD是菱形；不能判断四边形 ABCD是矩形；
C、 BAC ABD? ? ? ，能得出对角线相等，能判断四边形 ABCD是矩形；
D、 BAC ADB? ? ? ，不能判断四边形 ABCD是矩形；
故选：C．
5．已知在四边形 ABCD中， / /AD BC ，对角线 AC 与 BD相交于点O， AO CO? ，如果添加下列一
个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是 ( )
A． BO DO? B． AB BC? C． AB CD? D． / /AB CD
【分析】根据平行线的性质得到 ADB CBD? ? ? ，根据全等三角形的性质得到 AD BC? ，于是得到四
边形 ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可．
【解答】解： / /AD BC? ，
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ADB CBD?? ? ? ，
在 ADO? 与 CBO? 中，
ADB CBD
AOD COB
OA CO
? ? ??
?? ? ??
? ??
，
( )ADO CBO AAS?? ? ? ，
AD CB? ? ，
?四边形 ABCD是平行四边形，
AB BC??
?四边形 ABCD是菱形；故 B正确；
故选： B．
6．如图，已知在 ABCD? 中，对角线 AC 、BD相交于点O，下列向量计算结果等于 AD
????
的是 ( )
A． AB AC?
???? ????
B． AB AC?
???? ????
C． AO DO?
???? ????
D． BO CO?
???? ????
【分析】利用平行四边形的性质和三角形法则解答．
【解答】解：在平行四边形 ABCD中，
/ /
AB CD? ，
/ /
AD BC? ， AO OC? ， BO OD? ．
A、 AB AC AD? ?
???? ???? ????
，故本选项错误．
B、 AB AC CB DA? ? ?
???? ???? ???? ????
，故本选项错误．
C、 AO DO OC DO DC AD? ? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ????
，故本选项错误．
D、 BO CO OD OA AD? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ????
，故本选项正确．
故选：D．
二．填空题（共 12 小题）
7．如果一个多边形的内角和是 2160?，那么这个多边形的边数是 14 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成 ( 2) 180n ? ?? ，设这个正多边形的边数是 n，就得到方程，从而求
出边数．
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【解答】解：设这个正多边形的边数是 n，
则 ( 2) 180 2160n ? ? ? ?? ，
解得： 14n ? ．
则这个正多边形的边数是 14．
故答案为：14．
8．如图，五边形 ABCDE的每一个内角都相等，则外角 CBF? ? 72? ．
【分析】多边形的外角和等于 360度，依此列出算式计算即可求解．
【解答】解： 360 5 72? ? ? ?．
故外角 CBF? 等于 72?．
故答案为： 72?．
9．与向量DE DF EF? ?
? ? ?
相等的向量是 0
?
【分析】根据平面向量的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式 0FE EF? ? ?
???? ???? ?
，
故答案为： 0
?
10．如图，菱形 ABCD的对角线相交于点O，若 5AB ? ， 4OA ? ，则菱形 ABCD的面积是 24 ．
【分析】先求出菱形对角线 AC 和 BD的长度，利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【解答】解：因为四边形 ABCD是菱形，
所以 AC BD? ．
在Rt AOB? 中，利用勾股定理求得 3BO ? ．
6BD? ? ， 8AC ? ．
?菱形 ABCD面积为 1 24
2
AC BD? ? ? ．
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故答案为 24．
11．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC BD? ， 10AC ? ， 24BD ? ，则 AD ? 13 ．
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求 AO的长．
【解答】解： ABCD?? 的对角线 AC 与 BD相交于点O，
1 12
2
BO DO BD? ? ? ? ， 1 5
2
AO CO AC? ? ? ，
AB AC?? ，
2 25 12 13AD? ? ? ? ，
故答案为：13．
12．在四边形 ABCD中， 6AD ? ， 4BC ? ，E、F 分别是 AB、CD的中点，则线段 EF 的取值范围
是 1 7EF? ? ．
【分析】连接 BD，取 BD的中点G，连接 EG 、 FG ，根据三角形中位线定理分别求出 EG 、 FG ，
根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：连接 BD，取 BD的中点G，连接 EG 、 FG ，
E? 是 AD的中点，G是 BD的中点，
/ /EG AB? ， 1 3
2
EG AD? ? ，
F? 是 BC的中点，G是 BD的中点，
/ /FG CD? ， 1 2
2
FG BC? ? ，
4 3 1FG EG? ? ? ?? ， 4 3 7FG EG? ? ? ? ，
当 / /AB DC 时， 7EF ? ．
?线段 EF 长的取值范围是：1 7EF? ? ，
故答案为：1 7EF? ? ．
13．一个矩形的一条对角线与一条边的夹角是 60?，若这条对角线长8cm，则这个矩形的较小的一条
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边长 4 cm．
【分析】根据矩形的性质推出OA OB? ，证出等边 OAB? ，求出 BA．
【解答】解：
?四边形 ABCD是矩形，
90ABC?? ? ?， AC BD? ，OA OC? ，OD OB? ，
OA OB? ? ，
60AOB? ? ?? ，
AOB?? 是等边三角形，
60BAC?? ? ?， 1 4
2
OA OB AB AC cm? ? ? ? ，
即：这个矩形的较小的一条边长 4AB cm? ．
故答案为：4．
14．如图，四边形 ABCD是平行四边形，适当选取它的边或对角线作向量，记 AB m?
???? ?
；BC n?
???? ?
，那
么图中等于m n?? ?的向量是 DB
????
．
【分析】由向量的性质和平行四边形的性质 BC AD?
???? ????
，所以问题转化为 AB AD?
???? ????
的问题．
【解答】解：?四边形 ABCD是平行四边形，
/ /AD BC? ， AD BC? ，
? BC AD?
???? ????
，
? AB m?
???? ?
； BC n?
???? ?
，
? m n BC AD DB? ? ? ?
???? ???? ????? ?
．
故答案是：DB
????
．
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15．如图，正方形 ABCD的面积为 5，正方形 BEFG面积为 4，那么 GCE? 的面积是 5 2? ．
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，然后求出CE ，再利用三角形的面积公式列式计
算即可得解．
【解答】解：?正方形 ABCD的面积为 5，正方形 BEFG面积为 4，
?正方形 ABCD的边长为 5 ，正方形 BEFG的边长为 2，
5 2CE? ? ? ，
GCE? 的面积 1 1 ( 5 2) 2 5 2
2 2
CE BG? ? ? ? ? ? ?? ．
故答案为： 5 2? ．
16．如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， 3AD ? ， 7BC ? ，如果点 E、F 分别是 AC 、BD的中点，
那么 EF 的长为 2 ．
【分析】连接 AE并延长，交 BC于点G ，根据全等三角形的判定和性质易证明 EF 是构造的三角形
的中位线，根据三角形的中位线定理就可求解．
【解答】解：如图所示，连接 AE并延长，交 BC于点G．
/ /AD BC? ，
ADE GBE?? ? ? ， EAD EGB? ? ? ，
又 E? 为 BD中点，
AED GEB?? ? ? ．
BG AD? ? ， AE EG? ．
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在 AGC? 中， EF 为中位线，
1 1 1( ) ( )
2 2 2
EF GC BC BG BC AD? ? ? ? ? ? ，
又 3AD ?? ， 7BC ? ，
1 (7 3) 2
2
EF? ? ? ? ．
故答案为：2．
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1: 2两部分，那么称这样的平行四边形为
“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为 6时，它的周长为 16或 20 ．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出 AB AE? ；分两种情况：①当 2AE ? ， 4DE ?
时；②当 4AE ? ， 2DE ? 时；即可求出平行四边形 ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：①当 2AE ? ， 4DE ? 时，
?四边形 ABCD是平行四边形，
6BC AD? ? ? ， AB CD? ， / /AD BC ，
AEB CBE?? ? ? ，
BE? 平分 ABC? ，
ABE CBE?? ? ? ，
ABE AEB?? ? ? ，
2AB AE? ? ? ，
?平行四边形 ABCD的周长 2( ) 16AB AD? ? ? ；
②当 4AE ? ， 2DE ? 时，
同理得： 4AB AE? ? ，
?平行四边形 ABCD的周长 2( ) 20AB AD? ? ? ；
故答案为：16或 20．
18．如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC ， BD交于O， EF 过点O与 AD， BC分别交于 E， F ，
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若 4AB ? ， 5BC ? ， 1.5OE ? ，则四边形 EFCD的周长 12 ．
【分析】根据平行四边形的性质知， 4AB CD? ? ， 5AD BC? ? ，AO OC? ， OAD OCF? ? ? ， AOE?
和 COF? 是对顶角相等，所以 OAE OCF? ? ? ，所以 1.5OF OE? ? ，CF AE? ，所以四边形 EFCD
的周长 ED CD CF OF OE ED AE CD OE OF AD CD OE OF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，由此就可以
求出周长．
【解答】解：?四边形 ABCD平行四边形，
4AB CD? ? ? ， 5AD BC? ? ， AO OC? ， OAD OCF? ? ? ， AOE COF? ? ? ，
OAE OCF?? ? ? ，
1.5OF OE? ? ? ，CF AE? ，
?四边形 EFCD的周长 ED CD CF OF OE? ? ? ? ?
ED AE CD OE OF? ? ? ? ?
AD CD OE OF? ? ? ?
4 5 1.5 1.5? ? ? ?
12? ．
故填空答案：12．
三．解答题（共 7 小题）
19．在四边形 ABCD中，相对的两个内角互补，且满足 : : 5 : 6 : 7A B C? ? ? ? ，求四个内角的度数分
别是多少
【分析】先根据四边形 ABCD的相对的两个内角互补，及已知求出 A? ，从而得出 C? ， B? ， D? 的
度数．
【解答】解：?四边形 ABCD的相对的两个内角互补， : : 5 : 6 : 7A B C? ? ? ? ，
5180 75
5 7
A?? ? ?? ? ?
?
，
180 75 105C?? ? ? ? ? ? ?，
6 90
5
B A?? ? ? ? ?，
180 90 90D?? ? ? ? ? ? ?．
故答案为： 75?， 90?，105?，90?．
20．如图，在等腰梯形 ABCD中， / /DC AB， 2AD BC? ? ，BD平分 ABC? ． 60A? ? ?，求对角线
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BD的长和梯形 ABCD的面积．
【分析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得 B? 的度数，根据三角形的内角和定理
证明 ABD? 是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点 D、C 分别作
DH AB? ，CG AB? ，垂足为点H 、G，在直角 ADB? 中求得DH 和 AH 的长，则 AB即可求得，
然后利用梯形的面积公式求解．
【解答】解： / /DC AB? ， AD BC? ，
A ABC?? ? ? ．
BD? 平分 ABC? ， 60A? ? ?，
1 30
2
ABD ABC?? ? ? ? ?．
90ADB?? ? ?．
2AD ?? ，
2 4AB AD? ? ? ．
2 2 2 24 2 2 3BD AB AD? ? ? ? ? ? ．
过点 D、C分别作DH AB? ，CG AB? ，垂足为点H 、G．
/ /DC AB? ， BD平分 ABC? ，
CDB ABD CBD?? ? ? ? ? ．
2BC ?? ，
2DC BC? ? ? ．
在Rt ADH? 和Rt BCG? 中，
DH CG
AD BC
??
? ??
，
Rt ADH Rt BCG? ? ? ? ．
AH BG? ? ．
60A? ? ?? ，
30ADH?? ? ?．
1 1
2
AH AD? ? ? ， 3DH ? ．
2DC HG? ?? ，
4AB? ? ．
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?梯形 ABCD的面积 1 (2 4) 3 3 3
2
? ? ? ? ? ．
21．已知：如图， ABCD? 中， AE、CF 分别是 BAD? 和 BCD? 的角平分线，分别交边DC、 AB于
点 E、 F ，求证： AE CF? ．
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明 ADE CBF? ? ? 即可判断 AE CF? ．
【解答】解：?四边形 ABCD是平行四边形，
DAB DCB?? ? ? ， D B? ? ? ， AD BC? ．
AE? 、CF 分别是 BAD? 和 BCD? 的角平分线，
DAE BCF?? ? ? ．
( )ADE CBF ASA?? ? ? ．
AE CF? ? ．
22．如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， AC DB? ， 5AC ? ， 30DBC? ? ?，
（1）求对角线 BD的长度；
（2）求梯形 ABCD的面积．
【分析】（1）如图，过 A作 AEDB 交 CB延长线于 E ， AC DB?? ， / /AE DB ， AC AE? ? ，
30AEC DBC? ? ? ? ?， 90EAC?? ? ?，即 EAC? 为直角三角形，根据勾股定理即可求解；
（2）记梯形 ABCD的面积为 S，过 A作 AF BC? 于 F ，则 AFE? 为直角三角形，求出梯形的高 AF ，
根据梯形面积公式即可求解；
【解答】解：（1）如图，过 A作 / /AE DB交CB延长线于 E，
AC DB?? ， / /AE DB，
AC AE? ? ， 30AEC DBC? ? ? ? ?，
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90EAC?? ? ?，即 EAC? 为直角三角形，
2 10EC AC? ? ? ，
2 2 2 210 5 5 3AE EC AC? ? ? ? ? ? ，
/ /AD BC? 且 / /AE DB，
?四边形 AEBD为平行四边形．
5 3DB AE? ? ? ；
（2）记梯形 ABCD的面积为 S，过 A作 AF BC? 于 F ，则 AFE? 为直角三角形．
30AEF? ? ??
1 5 3
2 2
AF AE? ? ? ，即梯形 ABCD的高 5 3
2
AF ? ，
?四边形 AEBD为平行四边形，
AD EB? ? ．
1 1 1 5 3 25 3( ) 10
2 2 2 2 2
S AD BC AF EC AF? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
23．已知：如图，四边形 ABCD中， / /AD BC ， AD CD? ， E是对角线 BD上一点，且 EA EC? ．
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）如果 BE BC? ，且 : 2 : 3CBE BCE? ? ? ，求证：四边形 ABCD是正方形．
【分析】（1）首先证得 ADE CDE? ? ? ，由全等三角形的性质可得 ADE CDE? ? ? ，由 / /AD BC 可
得 ADE CBD? ? ? ，易得 CDB CBD? ? ? ，可得 BC CD? ，易得 AD BC? ，利用平行线的判定定
理可得四边形 ABCD为平行四边形，由 AD CD? 可得四边形 ABCD是菱形；
（2）由 BE BC? 可得 BEC? 为等腰三角形，可得 BCE BEC? ? ? ，利用三角形的内角和定理可得
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1180 45
4
CBE? ? ? ? ?，易得 45ABE? ? ? ，可得 90ABC? ? ?，由正方形的判定定理可得四边形
ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）在 ADE? 与 CDE? 中，
AD CD
DE DE
EA EC
??
? ??
? ??
，
ADE CDE?? ? ? ，
ADE CDE?? ? ? ，
/ /AD BC? ，
ADE CBD?? ? ? ，
CDE CBD?? ? ? ，
BC CD? ? ，
AD CD?? ，
BC AD? ? ，
?四边形 ABCD为平行四边形，
AD CD?? ，
?四边形 ABCD是菱形；
（2） BE BC??
BCE BEC?? ? ? ，
: 2 : 3CBE BCE? ? ?? ，
2180 45
2 3 3
CBE?? ? ? ? ?
? ?
，
?四边形 ABCD是菱形，
45ABE?? ? ?，
90ABC?? ? ?，
?四边形 ABCD是正方形．
24．如图，在矩形 ABCD中，点 E是边 AB的中点， EBC? 沿直线 EC翻折，使 B点落在矩形 ABCD
内部的点 P处，联结 AP并延长 AP交CD于点 F ，联结 BP交CE 于点Q．
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
（2）如果 PA PE? ，求证： APB EPC? ? ? ．
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【分析】（1）由折叠的性质得到 BE PE? ，EC与 PB垂直，根据 E为 AB中点，得到 AE EB PE? ? ，
利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到 APB? 为 90?，进而得到
AF 与 EC平行，再由 AE与 FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）根据三角形 AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义
得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由 AP EB? ，利用 AAS 即可得证．
【解答】证明：（1）由折叠得到 EC垂直平分 BP，
设 EC与 BP交于Q，
BQ EQ? ?
E? 为 AB的中点，
AE EB? ? ，
EQ? 为 ABP? 的中位线，
/ /AF EC? ，
/ /AE FC? ，
?四边形 AECF 为平行四边形；
（2） / /AF EC? ，
90APB EQB?? ? ? ? ? ，
由翻折性质 90EPC EBC? ? ? ? ?， PEC BEC? ? ? ，
E? 为直角 APB? 斜边 AB的中点，且 AP EP? ，
AEP?? 为等边三角形， 60BAP AEP? ? ? ? ?，
180 60 60
2
CEP CEB ? ? ?? ? ? ? ? ?，
在 ABP? 和 EPC? 中，
BAP CEP
APB EPC
AP EP
? ? ??
?? ? ??
? ??
，
( )ABP EPC AAS?? ? ? ．
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25．已知：在矩形 ABCD中， 8AB ? ， 12BC ? ，四边形 EFGH的三个顶点 E、F 、H 分别在矩形 ABCD
边 AB、 BC、DA上， 2AE ? ．
（1）如图 1，当四边形 EFGH为正方形时，求 GFC? 的面积；
（2）如图 2，当四边形 EFGH 为菱形时，设 BF x? ， GFC? 的面积为 S，求 S关于 x的函数关系式，
并写出函数的定义域．
【分析】（1）只要证明 AEH BFE? ? ? ．推出 2BF AE? ? ，由 MGF BFE? ? ? ，推出 MGF AEH? ? ? ，
求出 FC、GM 即可解决问题．
（2）如图 2，过点G作GM BC? ，垂足为M ，连接HF，根据 1
2GFC
S FC GM? ? ? ，计算即可．
【解答】解：（1）如图 1，过点G作GM BC? ，垂足为M ．
由矩形 ABCD可知： 90A B? ? ? ? ?，
由正方形 EFGH可知：
90HEF? ? ?， EH EF? ，
1 2 90?? ?? ? ?，
又 1 3 90? ?? ? ?，
3 2?? ? ? ，
AEH BFE?? ? ? ．
2BF AE? ? ? ，
同理可证： MGF BFE? ? ? ，
MGF AEH?? ? ? ，
2GM AE? ? ? ，
又 12 2 10FC BC BF? ? ? ? ? ，
1 1 10 2 10
2 2GFC
S FC GM?? ? ? ? ? ?? ．
（2）如图 2，过点G作GM BC? ，垂足为M ，连接HF．
由矩形 ABCD得： / /AD BC ，
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AHF HFM?? ? ? ，
由菱形 EFGH得： / /EH FG ， EH FG? ，
1 2?? ? ? ，
3 4?? ? ? ，
又 90A M? ? ? ? ?， EH FG? ，
MGF AEH?? ? ? ，
2GM AE? ? ? ，
又 BF x? ， 12FC x? ? ? ，
1 1 (12 ) 2 12
2 2GFC
S FC GM x x?? ? ? ? ? ?? ? ，
即： 12S x? ? ，
定义域： 0 4 7x? ? ．
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