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沪教新版 八年级第二学期 第二十二章 四边形 单元测试卷
一．选择题（共6小题）
1．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发共有多少条对角线？
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列说法错误的是
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．下列说法正确的是
A ． 对角线互相垂直的四边形是菱形
B ． 对角线相等的四边形是矩形
C ． 对角线相等的梯形是等腰梯形
D ． 对角线相等且互相平分的四边形是正方形
4．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图所示，平行四边形的对角线和交于点，设，则等于
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共12小题）
7．若正边形的每个内角都等于，则 ，其内角和为 ，外角和为 ．
8．如图，在平行四边形中，，，则向量为 ．（结果用和表示
9．如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是 ．
10．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ．
11．已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为 ．
12．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的长是 ．
13．如图，梯形中，，，为的中点，，梯形的面积为30，那么 ．
14．如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，如果，，那么菱形的边长为
15．如图，在梯形中，，，对角线，且，则梯形的中位线的长为 ．
16．如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则 ．
17．如图，已知菱形的边长是10，点是对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，将的边绕着点顺时针旋转得到，边绕着点逆时针旋转得到，联结，当时，我们称△是的“双旋三角形”，如果等边的边长为，那么它所得的“双旋三角形”中 （用含的代数式表示）．
三．解答题（共7小题）
19．已知在一个十边形中，其中九个内角的和是，求这个十边形另一个内角的度数．
20．如图，已知点在的边上，设，，
（1）用向量、、表示下列向量： ， ；
（2）求作：，．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
21．如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使．连接、、．求证：四边形是平行四边形．
22．已知：如图，是的中线，是线段的中点，，．
求证：四边形是等腰梯形．
23．如图，已知是的角平分线，交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
24．如图，在四边形中，，，，点为的中点
（1）求证：四边形是菱形；
（2）联结，如果平分，，求的长．
25．如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，．
（1）当是等边三角形时，求的长；
（2）求与的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：△能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点出发共有多少条对角线？
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为，由题意得：
，
解得；，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：，
故选：．
2．下列说法错误的是
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：
由平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故、、说法正确，
当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故是说法错误的，
故选：．
3．下列说法正确的是
A ． 对角线互相垂直的四边形是菱形
B ． 对角线相等的四边形是矩形
C ． 对角线相等的梯形是等腰梯形
D ． 对角线相等且互相平分的四边形是正方形
【分析】根据菱形和矩形的判定即可判断、；根据等腰梯形的判定即可判断；根据矩形和正方形的判定即可判断．
【解答】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故本选项错误；
、对角线相等的平行四边形是矩形， 故本选项错误；
、对角线相等的梯形是等腰梯形， 故本选项正确；
、对角线互相平分且相等的四边形是矩形， 但不一定是菱形， 故本选项错误 ．
故选：．
4．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故选：．
5．如图所示，平行四边形的对角线和交于点，设，则等于
A． B． C． D．
【分析】由三角形法则求得，然后由平行四边形的两条对角线相互平分来求．
【解答】解：，
．
又平行四边形的对角线和交于点，
．
故选：．
6．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②正确，通过证四边形是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由可判断⑤错误．
【解答】解：四边形是平行四边形
，，，，
又，
，且点 是中点，
，
故①正确，
、分别是、的中点，
，，
点是斜边上的中点，
，
故②正确，
，
四边形是平行四边形，
，且，，
故③正确
，
，
，
，
，
平分，
故④正确，
若四边形是菱形
，
与题意不符合
故⑤错误
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．若正边形的每个内角都等于，则 12 ，其内角和为 ，外角和为 ．
【分析】先根据多边形的内角和定理求出，再根据多边形的内角和求出多边形的内角和即可，最后根据多边形外角和定理可得答案．
【解答】解：正边形的每个内角都等于，
，
解得，；
其内角和为；
由多边形外角和定理可得外角和是．
故答案为：12；，．
8．如图，在平行四边形中，，，则向量为 ．（结果用和表示
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分和三角形法则解答．
【解答】解：在平行四边形中，．
，，
，
．
故答案是：．
9．如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是 ．
【分析】由四边形是正方形，即可求得，又由，根据等边对等角与三角形内角和等于，即可求得的度数，又由，即可求得答案．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
10．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 1 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，计算即可．
【解答】解：是的中位线，
，，
，为的中点，
，
，
故答案为：1．
11．已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为 1 ．
【分析】利用三角形法则直接求得答案．
【解答】解：且，
．
故答案是：1．
12．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的长是 6 ．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即可得出的长．
【解答】解：在矩形中，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
故答案为：6
13．如图，梯形中，，，为的中点，，梯形的面积为30，那么 17 ．
【分析】首先延长与，交于点，设，，，易得，然后可得，，继而求得的值，即可求得答案．
【解答】解：延长与，交于点，
设，，，
梯形中，，，为的中点，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
梯形的面积为30，
，
，
．
故．
故答案为17．
14．如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，如果，，那么菱形的边长为
【分析】由菱形的性质得出，，，，证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出，由勾股定理求出即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，
，
、分别是、边上的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：
15．如图，在梯形中，，，对角线，且，则梯形的中位线的长为 5 ．
【分析】首先求出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边的长求得斜边的长，从而利用中位线定义求得答案．
【解答】解：过作交的延长线于，
，，
四边形是平行四边形，
，
等腰梯形中，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
梯形的中位线，
故答案为：5．
16．如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则 3 ．
【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质解答．
【解答】解：连接，
，是的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
，又，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：3．
17．如图，已知菱形的边长是10，点是对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为 48 ．
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【解答】解：是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
，四边形四边形四边形，四边形四边形，
菱形的边长是10，菱形一条对角线长为12，
可得菱形的另一对角线长为：16，
阴影部分的面积．
故答案为：48．
18．如图，将的边绕着点顺时针旋转得到，边绕着点逆时针旋转得到，联结，当时，我们称△是的“双旋三角形”，如果等边的边长为，那么它所得的“双旋三角形”中 （用含的代数式表示）．
【分析】利用为等边三角形得到，，再利用“双旋三角形”的定义得到，，，所以，作于，如图，则，然后计算出即可得到的长．
【解答】解：为等边三角形，
，，
△是的“双旋三角形”，
，，，
，
，
作于，如图，则，
在△中，，
，
．
故答案为．
三．解答题（共7小题）
19．已知在一个十边形中，其中九个内角的和是，求这个十边形另一个内角的度数．
【分析】根据多边形的内角和的计算公式计算即可．
【解答】解：由题意得，
，
答：这个十边形另一个内角的度数为．
20．如图，已知点在的边上，设，，
（1）用向量、、表示下列向量： ， ；
（2）求作：，．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
【分析】（1）根据三角形法则计算即可．
（2）利用三角形法则画出图形即可．
【解答】解：（1），．
故答案为：，．
（2）如图，延长到，使得，连接．
，
向量即为所求．
，
向量即为所求．
21．如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使．连接、、．求证：四边形是平行四边形．
【分析】根据等腰梯形性质求出，根据，，得出是等腰三角形，推出，，推出，根据平行四边形的判定定理推出即可．
【解答】证明：等腰梯形中，，
，
，，
是等腰三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
22．已知：如图，是的中线，是线段的中点，，．
求证：四边形是等腰梯形．
【分析】先证明得出，证出，得出四边形是平行四边形，证出，而，与不平行，即可得出结论．
【解答】证明：，
，
是线段的中点，
，
在和中，，
，
，
是的中线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，与不平行，
四边形是梯形，
梯形是等腰梯形．
23．如图，已知是的角平分线，交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
【分析】（1）根据交于点，交于点，可以判断四边形是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
【解答】（1）证明：交于点，交于点，
四边形是平行四边形，，
是的角平分线，
，
，
，
四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当是直角三角形，，时，四边形是正方形，
理由：是直角三角形，，
由（1）知四边形是菱形，
四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
24．如图，在四边形中，，，，点为的中点
（1）求证：四边形是菱形；
（2）联结，如果平分，，求的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得，且，可证四边形是平行四边形，即可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可证四边形是等腰梯形，可得，由勾股定理可求的长，即可得的长．
【解答】证明：（1），点为的中点，
，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形
（2）如图，
，
四边形是梯形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形是等腰梯形，
．
25．如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，．
（1）当是等边三角形时，求的长；
（2）求与的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：△能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）当是等边三角形时，有，则可解，求得即的长．
（2）作，垂足为点，则四边形是矩形，在中，由勾股定理知，．即．故可求得与的关系．
（3）当把沿着直线翻折，点落在点处，应有，若△成为等腰三角形，必须使，有，故可由（1）得到的与的关系式建立方程组求得的值．
【解答】解：（1）当是等边三角形时，．
，
，
．
（2）作，垂足为点，
根据题意，得，，，
，
所求的函数解析式为．
（3），
点落在上，
，，
要使△成为等腰三角形，必须使．
而，，
．
．
整理得，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，舍去，
当时，△为等腰三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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沪教新版 八年级第二学期 第二十二章 四边形 单元测试卷
一．选择题（共 6 小题）
1．如果一个多边形的内角和为1260?，那么从这个多边形的一个顶点出发共有多少条对角线？ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列说法错误的是 ( )
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．下列说法正确的是 ( )
A ． 对角线互相垂直的四边形是菱形
B ． 对角线相等的四边形是矩形
C ． 对角线相等的梯形是等腰梯形
D ． 对角线相等且互相平分的四边形是正方形
4．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是 ( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图所示，平行四边形 ABCD的对角线 AC 和 BD交于点M ，设 ,AB a AD b? ?
???? ???? ??
，则MB
????
等于 ( )
A． 1 1
2 2
a b?
?? B． 1 1
2 2
a b? ?
?? C． 1 1
2 2
a b? ?
?? D． 1 1
2 2
a b?
??
6．如图，平行四边形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O， 2BD AD? ，E、F 、G分别是OC 、
OD、 AB的中点，下列结论：① BE AC? ；② EG EF? ；③ EFG GBE? ? ? ；④ EA平分 GEF? ；
⑤四边形 BEFG是菱形．其中正确的个数是 ( )
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A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共 12 小题）
7．若正 n边形的每个内角都等于150?，则 n ? ，其内角和为 ，外角和为 ．
8．如图，在平行四边形 ABCD中， AB a?
???? ?
， BC b?
???? ?
，则向量 AO
????
为 ．（结果用 a?和 b
?
表示
9．如图，四边形 ABCD是正方形，延长 AB到 E，使 AE AC? ，则 BCE? 的度数是 ．
10．如图所示，DE为 ABC? 的中位线，点 F 在DE上，且 90AFB? ? ?，若 5AB ? ， 7BC ? ，则 EF
的长为 ．
11．已知正方形 ABCD的边长为 1，如果将向量 AD AC?
???? ????
的运算结果记为向量m? ，那么向量m? 的长
度为 ．
12．如图，矩形 ABCD的对角线 AC 与 BD相交于点O， 120AOB? ? ?， 3AD ? ，则 AC 的长是 ．
13．如图，梯形 ABCD中， / /AD BC ， 90A? ? ?， E为CD的中点， 6.5BE ? ，梯形 ABCD的面积
为 30，那么 AB BC DA? ? ? ．
14．如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，E、F 分别是 AB、AD边上的中点，如果 6EF ? ，
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8AC ? ，那么菱形 ABCD的边长为
15．如图，在梯形 ABCD中， / /AB CD，AD BC? ，对角线 AC BD? ，且 5 2AC ? ，则梯形 ABCD
的中位线的长为 ．
16．如图，在 ABC? 中， 90ACB? ? ?，M 、N分别是 AB、AC 的中点，延长 BC至点D，使 2BC CD? ，
连接DM 、 DN 、MN ．若 6AB ? ，则DN ? ．
17．如图，已知菱形 ABCD的边长是 10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影
和空白部分，若菱形一条对角线长为 12，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，将 ABC? 的边 AB绕着点 A顺时针旋转 (0 90 )? ?? ? ? ? 得到 AB?，边 AC 绕着点 A逆时针
旋转 (0 90 )? ?? ? ? ? 得到 AC?，联结 B C? ?，当 60? ?? ? ?时，我们称△ AB C? ?是 ABC? 的“双旋三角
形”，如果等边 ABC? 的边长为 a，那么它所得的“双旋三角形”中 B C? ? ? （用含 a的代数式表
示）．
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三．解答题（共 7 小题）
19．已知在一个十边形中，其中九个内角的和是1320?，求这个十边形另一个内角的度数．
20．如图，已知点 E在 ABCD? 的边 AB上，设 AE a?
???? ?
， AD b?
???? ?
，CD c?
???? ?
（1）用向量 a?、 b
?
、 c?表示下列向量： BE ?
????
，CE ?
????
；
（2）求作： ED EA?
???? ????
， AE CD?
???? ????
．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
21．如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， AB DC? ，过点D作DE BC? ，垂足为 E，并延长DE至
F ，使 EF DE? ．连接 BF 、CF 、 AC ．求证：四边形 ABFC是平行四边形．
22．已知：如图， AM 是 ABC? 的中线， D是线段 AM 的中点， AM AC? ， / /AE BC．
求证：四边形 EBCA是等腰梯形．
23．如图，已知 AD是 ABC? 的角平分线， / /DE AC交 AB于点 E， / /DF AB交 AC 于点 F ．
（1）求证：四边形 AEDF是菱形；
（2）当 ABC? 满足什么条件时，四边形 AEDF是正方形？并说明理由．
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24．如图，在四边形 ABCD中， / /AD BC ， 2BC AD? ， 90BAC? ? ?，点 E为 BC的中点
（1）求证：四边形 AECD是菱形；
（2）联结 BD，如果 BD平分 ABC? ， 2AD ? ，求 BD的长．
25．如图，E是正方形 ABCD的边 AD上的动点，F 是边 BC延长线上的一点，且 BF EF? ， 12AB ? ，
设 AE x? ， BF y? ．
（1）当 BEF? 是等边三角形时，求 BF 的长；
（2）求 y与 x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把 ABE? 沿着直线 BE 翻折，点 A落在点 A?处，试探索：△ A BF? 能否为等腰三角形？如果能，
请求出 AE的长；如果不能，请说明理由．
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参考答案
一．选择题（共 6 小题）
1．如果一个多边形的内角和为1260?，那么从这个多边形的一个顶点出发共有多少条对角线？ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为 x，由题意得：
( 2) 180 1260x ? ? ? ，
解得； 9x ? ，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数： 9 3 6? ? ，
故选： B．
2．下列说法错误的是 ( )
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：
由平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形，故 A、 B、D说法正确，
当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故C是说法错误的，
故选：C．
3．下列说法正确的是 ( )
A ． 对角线互相垂直的四边形是菱形
B ． 对角线相等的四边形是矩形
C ． 对角线相等的梯形是等腰梯形
D ． 对角线相等且互相平分的四边形是正方形
【分析】根据菱形和矩形的判定即可判断 A、 B；根据等腰梯形的判定即可判断C；根据矩形和正
方形的判定即可判断D．
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【解答】解： A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故本选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形， 故本选项错误；
C、对角线相等的梯形是等腰梯形， 故本选项正确；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形， 但不一定是菱形， 故本选项错误 ．
故选：C．
4．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是 ( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成
角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故选： B．
5．如图所示，平行四边形 ABCD的对角线 AC 和 BD交于点M ，设 ,AB a AD b? ?
???? ???? ??
，则MB
????
等于 ( )
A． 1 1
2 2
a b?
?? B． 1 1
2 2
a b? ?
?? C． 1 1
2 2
a b? ?
?? D． 1 1
2 2
a b?
??
【分析】由三角形法则求得 DB AB AD? ?
???? ???? ????
，然后由平行四边形的两条对角线相互平分来求MB
????
．
【解答】解：? ,AB a AD b? ?
???? ???? ??
，
? DB AB AD a b? ? ? ?
???? ???? ???? ??
．
又?平行四边形 ABCD的对角线 AC 和 BD交于点M ，
?
1 1
2 2
MB DB a b? ? ?
???? ???? ??
．
故选：D．
6．如图，平行四边形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O， 2BD AD? ，E、F 、G分别是OC 、
OD、 AB的中点，下列结论：① BE AC? ；② EG EF? ；③ EFG GBE? ? ? ；④ EA平分 GEF? ；
⑤四边形 BEFG是菱形．其中正确的个数是 ( )
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A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由平行四边形的性质可得OB BC? ，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性
质和三角形中位线定理可判断②正确，通过证四边形 BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线
的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由 30BAC? ? ?可判断⑤错误．
【解答】解：?四边形 ABCD是平行四边形
1
2
BO DO BD? ? ? ， AD BC? ， AB CD? ， / /AB CD，
又 2BD AD?? ，
OB BC OD DA? ? ? ? ，且点 E 是OC 中点，
BE AC? ? ，
故①正确，
E? 、 F 分别是OC 、OD的中点，
/ /EF CD? ， 1
2
EF CD? ，
?点G是Rt ABE? 斜边 AB上的中点，
1
2
GE AB AG BG? ? ? ?
EG EF AG BG? ? ? ? ，
故②正确，
BG EF?? ， / / / /AB CD EF
?四边形 BGFE是平行四边形，
GF BE? ? ，且 BG EF? ，GE GE? ，
( )BGE FEG SSS?? ? ?
故③正确
/ / / /EF CD AB? ，
BAC ACD AEF?? ? ? ? ? ，
AG GE?? ，
GAE AEG?? ? ? ，
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AEG AEF?? ? ? ，
AE? 平分 GEF? ，
故④正确，
若四边形 BEFG是菱形
1
2
BE BG AB? ? ? ，
30BAC?? ? ?
与题意不符合
故⑤错误
故选：C．
二．填空题（共 12 小题）
7．若正 n边形的每个内角都等于150?，则 n ? 12 ，其内角和为 ，外角和为 ．
【分析】先根据多边形的内角和定理求出 n，再根据多边形的内角和求出多边形的内角和即可，最后
根据多边形外角和定理可得答案．
【解答】解：?正 n边形的每个内角都等于150?，
?
( 2) 180 150n
n
? ?
? ?
?
，
解得， 12n ? ；
其内角和为 (12 2) 180 1800? ? ? ? ? ；
由多边形外角和定理可得外角和是 360?．
故答案为：12；1800?， 360?．
8．如图，在平行四边形 ABCD中， AB a?
???? ?
， BC b?
???? ?
，则向量 AO
????
为
1 1
2 2
a b?
??
．（结果用 a?和b
?
表示
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分和三角形法则解答．
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【解答】解：在平行四边形 ABCD中， 1
2
AO AC? ．
? AB a?
???? ?
， BC b?
???? ?
，
? AC AB BC a b? ? ? ?
???? ???? ???? ??
，
?
1 1 1
2 2 2
AO AC a b? ? ?
???? ???? ??
．
故答案是：
1 1
2 2
a b?
??
．
9．如图，四边形 ABCD是正方形，延长 AB到 E，使 AE AC? ，则 BCE? 的度数是 22.5? ．
【分析】由四边形 ABCD是正方形，即可求得 45BAC ACB? ? ? ? ?，又由 AE AC? ，根据等边对等
角与三角形内角和等于180?，即可求得 ACE? 的度数，又由 BCE ACE ACB? ? ? ?? ，即可求得答案．
【解答】解：?四边形 ABCD是正方形，
45BAC ACB?? ? ? ? ?，
AE AC?? ，
180 45 67.5
2
ACE E ? ? ??? ? ? ? ? ?，
67.5 45 22.5BCE ACE ACB?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?．
故答案为： 22.5?．
10．如图所示，DE为 ABC? 的中位线，点 F 在DE上，且 90AFB? ? ?，若 5AB ? ， 7BC ? ，则 EF
的长为 1 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到
1 3.5
2
DE BC? ? ，根据直角三角形的性质得到 1 2.5
2
DF AB? ? ，
计算即可．
【解答】解： DE? 是 ABC? 的中位线，
1 3.5
2
DE BC? ? ? ， / /DE BC，
90AFB? ? ?? ，D为 AB的中点，
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1 2.5
2
DF AB? ? ? ，
1EF DE DF? ? ? ? ，
故答案为：1．
11．已知正方形 ABCD的边长为 1，如果将向量 AD AC?
???? ????
的运算结果记为向量m? ，那么向量m? 的长
度为 1 ．
【分析】利用三角形法则直接求得答案．
【解答】解：? AD AC CD m? ? ?
???? ???? ???? ?
且 | | 1CD ?
????
，
| | 1m? ?? ．
故答案是：1．
12．如图，矩形 ABCD的对角线 AC 与 BD相交于点 O ， 120AOB? ? ? ， 3AD ? ，则 AC 的长是
6 ．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA OD? ，再求出 60AOD? ? ?，然后判断出 AOD?
是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OA，即可得出 AC 的长．
【解答】解：在矩形 ABCD中， 1
2
OA OC AC? ? ， 1
2
OB OD BD? ? ， AC BD? ，
OA OD? ? ，
120AOB? ? ?? ，
180 120 60AOD?? ? ? ? ? ? ?，
AOD?? 是等边三角形，
3OA AD? ? ? ，
2 6AC OA? ? ? ；
故答案为：6
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13．如图，梯形 ABCD中， / /AD BC ， 90A? ? ?， E为CD的中点， 6.5BE ? ，梯形 ABCD的面积
为 30，那么 AB BC DA? ? ? 17 ．
【分析】首先延长 BE 与 AD，交于 F 点，设 AB h? ， AD a? ，BC b? ，易得 BCE FDE? ? ? ，然后
可得 2 2 2( ) 13h a b? ? ? ， 1 ( ) 30
2
a b h? ?? ，继而求得 a b h? ? 的值，即可求得答案．
【解答】解：延长 BE 与 AD，交于 F 点，
设 AB h? ， AD a? ， BC b? ，
?梯形 ABCD中， / /AD BC ， 90A? ? ?， E为CD的中点，
F CBE?? ? ? ，DE CE? ，
在 BCE? 和 FDE? 中，
F CBE
DEF CEB
DE CE
? ? ??
?? ? ??
? ??
，
( )BCE FDE AAS?? ? ? ，
DF BC b? ? ? ， 6.5EF BE? ? ，
13BF? ? ， AF AD BF a b? ? ? ? ，
2 2 2AB AF BF? ?? ，
2 2 2( ) 13h a b? ? ? ? ，
?梯形 ABCD的面积为 30，
?
1 ( ) 30
2
a b h? ?? ，
2 2 2[ ( )] ( ) 2( ) 169 120 289h a b h a b a b h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ，
17h a b? ? ? ? ．
故 17AB BC DA? ? ? ．
故答案为 17．
14．如图，菱形 ABCD的对角线 AC 、BD相交于点O，E、F 分别是 AB、AD边上的中点，如果 6EF ? ，
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8AC ? ，那么菱形 ABCD的边长为 2 13
【分析】由菱形的性质得出 AB BC CD AD? ? ? ，AC BD? ， 1 4
2
OA AC? ? ， 1
2
OB BD? ，证出 EF
是 ABD? 的中位线，由三角形中位线定理得出 2 12BD EF? ? ，得出 6OB ? ，由勾股定理求出 AB即
可．
【解答】解：?四边形 ABCD是菱形，
AB BC CD AD? ? ? ? ， AC BD? ， 1 4
2
OA AC? ? ， 1
2
OB BD? ，
90AOB?? ? ?，
E? 、 F 分别是 AB、 AD边上的中点，
EF? 是 ABD? 的中位线，
2 12BD EF? ? ? ，
6OB? ? ，
2 2 16 36 2 13AB OA OB? ? ? ? ? ? ，
故答案为： 2 13
15．如图，在梯形 ABCD中， / /AB CD，AD BC? ，对角线 AC BD? ，且 5 2AC ? ，则梯形 ABCD
的中位线的长为 5 ．
【分析】首先求出 ACE? 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边的长求得斜边的长，
从而利用中位线定义求得答案．
【解答】解：过C作 / /CE BD交 AB的延长线于 E，
/ /AB CD? ， / /CE BD，
?四边形DBEC是平行四边形，
CE BD? ? ， BE CD?
?等腰梯形 ABCD中， AC BD CE AC? ? ?
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AC BD?? ， / /CE BD，
CE AC? ?
ACE?? 是等腰直角三角形，
5 2AC ?? ，
2 10AE AB BE AB CD AC? ? ? ? ? ? ? ，
?梯形的中位线
1 5
2
AE? ? ，
故答案为：5．
16．如图，在 ABC? 中， 90ACB? ? ?，M 、N分别是 AB、AC 的中点，延长 BC至点D，使 2BC CD? ，
连接DM 、 DN 、MN ．若 6AB ? ，则DN ? 3 ．
【分析】连接CM ，根据直角三角形的性质求出CM ，证明四边形 DCMN 是平行四边形，根据平行
四边形的性质解答．
【解答】解：连接CM ，
90ACB? ? ?? ，M 是 AB的中点，
1 3
2
CM AB? ? ? ，
M? 、 N分别是 AB、 AC 的中点，
1
2
MN BC? ? ， / /MN BC ，
2BC CD?? ，
MN CD? ? ，又 / /MN BC ，
?四边形DCMN 是平行四边形，
3DN CM? ? ? ，
故答案为：3．
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17．如图，已知菱形 ABCD的边长是 10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影
和空白部分，若菱形一条对角线长为 12，则图中阴影部分的面积为 48 ．
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【解答】解： O? 是菱形两条对角线的交点，菱形 ABCD是中心对称图形，
OEG OFH?? ? ? ，四边形OMAH ?四边形 ?四边形ONCG，四边形OEDM ?四边形OFBN ，
?菱形 ABCD的边长是 10，菱形一条对角线长为 12，
?可得菱形的另一对角线长为：16，
?阴影部分的面积
1 1 1 12 16 48
2 2 2ABCD
S? ? ? ? ? ?
菱形
．
故答案为：48．
18．如图，将 ABC? 的边 AB绕着点 A顺时针旋转 (0 90 )? ?? ? ? ? 得到 AB?，边 AC 绕着点 A逆时针
旋转 (0 90 )? ?? ? ? ? 得到 AC?，联结 B C? ?，当 60? ?? ? ?时，我们称△ AB C? ?是 ABC? 的“双旋三角
形”，如果等边 ABC? 的边长为 a，那么它所得的“双旋三角形”中 B C? ? ? 3a （用含 a的代数
式表示）．
【分析】利用 ABC? 为等边三角形得到 AB AC a? ? ， 60BAC? ? ?，再利用“双旋三角形”的定义得
到 60? ?? ? ?， AB AB a? ? ? ， AC AC a? ? ? ，所以 120B AC? ? ? ?，作 AH B C? ? ?于 H ，如图，则
B H C H? ? ? ，然后计算出 B H? 即可得到 B C? ?的长．
【解答】解： ABC?? 为等边三角形，
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AB AC a? ? ? ， 60BAC? ? ?，
?△ AB C? ?是 ABC? 的“双旋三角形”，
60? ?? ? ? ? ， AB AB a? ? ? ， AC AC a? ? ? ，
120B AC?? ? ? ?，
30B C?? ? ? ? ? ? ?，
作 AH B C? ? ?于H ，如图，则 B H C H? ? ? ，
在 Rt△ AB H? 中， 1 1
2 2
AH AB a? ? ? ，
33
2
B H AH a? ? ? ? ，
2 3B C A H a? ? ? ? ? ? ．
故答案为 3a．
三．解答题（共 7 小题）
19．已知在一个十边形中，其中九个内角的和是1320?，求这个十边形另一个内角的度数．
【分析】根据多边形的内角和的计算公式计算即可．
【解答】解：由题意得， (10 2) 180 1320? ? ? ? ?
120? ?，
答：这个十边形另一个内角的度数为120?．
20．如图，已知点 E在 ABCD? 的边 AB上，设 AE a?
???? ?
， AD b?
???? ?
，CD c?
???? ?
（1）用向量 a?、 b
?
、 c?表示下列向量： BE ?
????
c a?? ? ，CE ?
????
；
（2）求作： ED EA?
???? ????
， AE CD?
???? ????
．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
【分析】（1）根据三角形法则计算即可．
（2）利用三角形法则画出图形即可．
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【解答】解：（1） BE CD EA c a? ? ? ?
???? ???? ???? ? ?
，CE CB BE b a c? ? ? ? ? ?
???? ???? ???? ? ? ?
．
故答案为： c a?? ?， b a c? ? ?
? ? ?
．
（2）如图，延长CD到H ，使得DH AE? ，连接 EH ．
? ED EA ED DH EH? ? ? ?
???? ???? ???? ????? ????
，
?向量 EH
????
即为所求．
? AE CD AE DC HD DC HC? ? ? ? ? ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
，
?向量HC
????
即为所求．
21．如图，在梯形 ABCD中， / /AD BC ， AB DC? ，过点D作DE BC? ，垂足为 E，并延长DE至
F ，使 EF DE? ．连接 BF 、CF 、 AC ．求证：四边形 ABFC是平行四边形．
【分析】根据等腰梯形性质求出 ABC DCB? ? ? ，根据 DE BC? ， DE EF? ，得出 DFC? 是等腰三
角形，推出 ABC DCB FCE? ? ? ? ? ， AB CD CF? ? ，推出 / /AB CF ，根据平行四边形的判定定
理推出即可．
【解答】证明：等腰梯形 ABCD中， AB DC? ，
ABC DCB?? ? ? ，
DE BC?? ， DE EF? ，
DFC?? 是等腰三角形，
DCB FCE?? ? ? ， DC CF? ，
ABC FCE?? ? ? ，
/ /AB CF? ，
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AB CD CF? ?? ，
?四边形 ABFC是平行四边形．
22．已知：如图， AM 是 ABC? 的中线， D是线段 AM 的中点， AM AC? ， / /AE BC．
求证：四边形 EBCA是等腰梯形．
【分析】先证明 ADE MDC? ? ? 得出 AE MC? ，证出 AE MB? ，得出四边形 AEBM 是平行四边形，
证出 BE AC? ，而 / /AE BC， BE 与 AC 不平行，即可得出结论．
【解答】证明： / /AE BC? ，
AED MCD?? ? ? ，
D? 是线段 AM 的中点，
AD MD? ? ，
在 ADE? 和 MDC? 中，
AED MCD
ADE MDC
AD MD
? ? ??
?? ? ??
? ??
，
( )ADE MDC AAS?? ? ? ，
AE MC? ? ，
AM? 是 ABC? 的中线，
MB MC? ? ，
AE MB? ? ，
/ /AE MB? ，
?四边形 AEBM 是平行四边形，
BE AM? ? ，
AM AC?? ，
BE AC? ? ，
/ /AE BC? ， BE 与 AC 不平行，
?四边形 EBCA是梯形，
?梯形 EBCA是等腰梯形．
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23．如图，已知 AD是 ABC? 的角平分线， / /DE AC交 AB于点 E， / /DF AB交 AC 于点 F ．
（1）求证：四边形 AEDF是菱形；
（2）当 ABC? 满足什么条件时，四边形 AEDF是正方形？并说明理由．
【分析】（1）根据 / /DE AC交 AB于点 E， / /DF AB交 AC 于点 F ，可以判断四边形 AEDF是平行
四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．
【解答】（1）证明： / /DE AC? 交 AB于点 E， / /DF AB交 AC 于点 F ，
?四边形 AEDF是平行四边形， EAD ADF? ? ? ，
AD? 是 ABC? 的角平分线，
EAD FAD?? ? ? ，
ADF FAD?? ? ? ，
FA FD? ? ，
?四边形 AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当 ABC? 是直角三角形， 90BAC? ? ?，时，四边形 AEDF是正方形，
理由： ABC?? 是直角三角形， 90BAC? ? ?，
由（1）知四边形 AEDF是菱形，
?四边形 AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
24．如图，在四边形 ABCD中， / /AD BC ， 2BC AD? ， 90BAC? ? ?，点 E为 BC的中点
（1）求证：四边形 AECD是菱形；
（2）联结 BD，如果 BD平分 ABC? ， 2AD ? ，求 BD的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得 AE AD EC? ? ，且 / /AD BC ，可证四边形 AECD是平行四
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边形，即可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可得 AD AB CD? ? ，可证四边形 ABCD是等腰梯形，可得
BD AC? ，由勾股定理可求 AC 的长，即可得 BD的长．
【解答】证明：（1） 90BAC? ? ?? ，点 E为 BC的中点，
1
2
AE EC BC? ? ?
2BC AD?? ，
1
2
AD BC? ?
AD EC? ? ，且 / /AD BC ，
?四边形 AECD是平行四边形，且 AE EC? ，
?四边形 AECD是菱形
（2）如图，
/ /AD BC? ， AD BC?
?四边形 ABCD是梯形，
BD? 平分 ABD? ，
1
2
ABD DBC ABC?? ? ? ? ?
/ /AD BC? ，
ADB DBC?? ? ? ，
ABD ADB?? ? ? ，
AB AD? ?
?四边形 AECD是菱形，
2AD DC? ? ?
2AB DC? ? ?
?四边形 ABCD是等腰梯形，
AC BD? ?
2 4BC AD? ?? ．
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2 2 2 3BD AC BC AB? ? ? ? ?
25．如图，E是正方形 ABCD的边 AD上的动点，F 是边 BC延长线上的一点，且 BF EF? ， 12AB ? ，
设 AE x? ， BF y? ．
（1）当 BEF? 是等边三角形时，求 BF 的长；
（2）求 y与 x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把 ABE? 沿着直线 BE 翻折，点 A落在点 A?处，试探索：△ A BF? 能否为等腰三角形？如果能，
请求出 AE的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）当 BEF? 是等边三角形时，有 90 60 30ABE ABC EBC? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，则可解Rt ABE? ，
求得 BF 即 BE 的长．
（2）作 EG BF? ，垂足为点 G ，则四边形 AEGB 是矩形，在 Rt EGF? 中，由勾股定理知，
2 2 2( )EF BF BG EG? ? ? ．即 2 2 2( ) 12y y x? ? ? ．故可求得 y与 x的关系．
（3）当把 ABE? 沿着直线 BE 翻折，点 A落在点 A?处，应有 90BA F BA E A? ?? ? ? ? ? ? ?，若△ A BF?
成为等腰三角形，必须使 12A B A F AB? ?? ? ? ，有 12FA EF A E y x? ? ? ? ? ? ? ，故可由（1）得到
的 y与 x的关系式建立方程组求得 AE的值．
【解答】解：（1）当 BEF? 是等边三角形时， 30ABE? ? ?．
12AB ?? ，
4 3AE? ? ，
8 3BF BE? ? ? ．
（2）作 EG BF? ，垂足为点G，
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根据题意，得 12EG AB? ? ， FG y x? ? ， EF y? ，
2 2 2( ) 12y y x? ? ? ? ，
?所求的函数解析式为
2 144 (0 12)
2
xy x
x
?
? ? ? ．
（3） AEB FBE FEB? ? ? ? ?? ，
?点 A?落在 EF 上，
A E AE?? ? ， 90BA F BA E A? ?? ? ? ? ? ? ，
?要使△ A BF? 成为等腰三角形，必须使 A B A F? ?? ．
而 12A B AB? ? ? ， A F EF A E BF A E? ? ?? ? ? ? ，
12y x? ? ? ．
?
2 144 12
2
x x
x
?
? ? ．
整理得 2 24 144 0x x? ? ? ，
解得 12 12 2x ? ? ? ，
经检验： 12 12 2x ? ? ? 都原方程的根，
但 12 12 2x ? ? ? 不符合题意，舍去，
当 12 2 12AE ? ? 时，△ A BF? 为等腰三角形．
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