第十六章 二次根式
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 二次根式的有关概念和性质
二次根式概念：一般地，我们把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
1.二次根式a中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式a是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，a（??≥0）就表示a的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的性质：
a2=aa≥0
a2与a2的区别
a2与a2的联系
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，a2=a2
【典例分析】
1．（2019·龙海市期中）把根号外的因式移到根号内，得（??? ）
A． B．- C．- D．
2．（2019·巴中市三期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
3．（2019·洛阳市期中）下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·南阳市期中）已知x<1，则化简的结果是(?? )
A．x-1? B．1-x? C．-x-1 D．1+x
5．（2019·大英县实验学校初一期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
6．（2019·翁牛特旗乌丹第一中学初二期中）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·芜湖市期中）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（? ）
A． B． C． D．
8．（2019·枣庄市第十五中学初二期中）如果，且，则的值是（ ）
A．6 B． C．6或 D．无法确定
知识点二 二次根式的运算
二次根式的乘法法则: a?b=aba≥0，b≥0
【注意】
1、要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
2、a?b=aba≥0，b≥0还可以推广为:
a?b?c?d=abcd…a≥0，b≥0,c≥0，d≥0…
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：ab?=a?ba≥0，b≥0
化简二次根式的步骤（易错点）：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√??)^2=??（??≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式的除法法则：ab=aba≥0，b>0
【注意】
1、要注意a≥0，b>0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得ab=ab是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：ab=aba≥0，b>0
二次根式的特点：
1.被开方数不含分母，例： 35；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 273 。
【二次根式运算中的注意事项】
一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
二次根式比较大小：
1、若，则有；
2、若，则有．
3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
【典例分析】
9．（2018·西安市期中）已知，，则
A．2a B．ab C． D．
10．（2019·武汉市期中）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·江苏省无锡市天一实验学校初二期中）化简二次根式的结果为( )
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
12．（2018·无锡市期中）下列计算结果正确的是( )
A．2＋5＝7 B．32－2＝3
C．2×5＝10 D．25＝510
13．（2019·广域市期中）若＋2＋x＝10，则x的值等于( )
A．2 B．±2 C．4 D．±4
14．（2017·淄博市临淄区皇城镇第一中学初三期中）若，则的值等于( )
A． B． C． D．或
15．（2019·乌鲁木齐市第四中学初二期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
16．（2019·重庆市期中）下列计算错误的是( )
A． B．
C． D．＝3
17．（2019·浙江杭州外国语学校初二期中）计算的值为( )
A．1 B．
C． D．
18．（2019·百色市期中）下列根式中，不能与3合并的是( )
A．13 B．13 C．23 D．12
19．（2016·杭州市期中）计算：
（1） （2）
20．（2018·商丘市期中）计算题：
（1）
（2）（）﹣（）
（3）（2）（2）
（4）（4）÷2
第十六章 二次根式
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 二次根式的有关概念和性质
二次根式概念：一般地，我们把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
1.二次根式a中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式a是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，a（??≥0）就表示a的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的性质：
a2=aa≥0
a2与a2的区别
a2与a2的联系
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，a2=a2
【典例分析】
1．（2019·龙海市期中）把根号外的因式移到根号内，得（??? ）
A． B．- C．- D．
【答案】C
【解析】
解：∵m＜0，∴ ==．故选C．
2．（2019·巴中市三期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
【答案】B
【详解】
解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥，
故选：B．
3．（2019·洛阳市期中）下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：A、当x=0时，-x-2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x=-1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x=±1时，x2-2=-1＜0，无意义；故本选项错误；
故选C．
4．（2018·南阳市期中）已知x<1，则化简的结果是(?? )
A．x-1? B．1-x? C．-x-1 D．1+x
【答案】B
【详解】
∵x＜1，
∴x-1＜0，
∴=|x-1|=1-x．
故选B．
5．（2019·大英县实验学校初一期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
6．（2019·翁牛特旗乌丹第一中学初二期中）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：
．
故选A．
7．（2019·芜湖市期中）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知： ,
解得：,
故选：．
8．（2019·枣庄市第十五中学初二期中）如果，且，则的值是（ ）
A．6 B． C．6或 D．无法确定
【答案】B
【解析】
=-a-(-b)=b-a=-6.故选B
知识点二 二次根式的运算
二次根式的乘法法则: a?b=aba≥0，b≥0
【注意】
1、要注意a≥0，b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
2、a?b=aba≥0，b≥0还可以推广为:
a?b?c?d=abcd…a≥0，b≥0,c≥0，d≥0…
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：ab?=a?ba≥0，b≥0
化简二次根式的步骤（易错点）：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√??)^2=??（??≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
二次根式的除法法则：ab=aba≥0，b>0
【注意】
1、要注意a≥0，b>0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得ab=ab是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：ab=aba≥0，b>0
二次根式的特点：
1.被开方数不含分母，例： 35；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 273 。
【二次根式运算中的注意事项】
一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
二次根式比较大小：
1、若，则有；
2、若，则有．
3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
【典例分析】
9．（2018·西安市期中）已知，，则
A．2a B．ab C． D．
【答案】D
【详解】
解：．
故选D．
10．（2019·武汉市期中）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
A. ，被开方数是分数，不是最简二次根式；
B. ，被开方数是小数，不是最简二次根式；
C. ，符合条件，是最简二次根式；
D. ，被开方数可以开方，不是最简二次根式.
故选C
11．（2019·江苏省无锡市天一实验学校初二期中）化简二次根式的结果为( )
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【答案】A
【详解】
解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
12．（2018·无锡市期中）下列计算结果正确的是( )
A．2＋5＝7 B．32－2＝3
C．2×5＝10 D．25＝510
【答案】C
【解析】
选项A. 2+5不能计算.A错误.
选项B. 32-2=22,B错误.
选项C. 2×5=10,正确.
选项 D. 25=105,D错误.
故选C.
13．（2019·广域市期中）若＋2＋x＝10，则x的值等于( )
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】A
【详解】
原方程化为，
合并，得，
，即，.
故选.
14．（2017·淄博市临淄区皇城镇第一中学初三期中）若，则的值等于( )
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∴原式=.
故选A.
15．（2019·乌鲁木齐市第四中学初二期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】
因为，所以的整数部分为1，小数部分为，即x＝1，，所以．
16．（2019·重庆市期中）下列计算错误的是( )
A． B．
C． D．＝3
【答案】D
【详解】
A. ；正确；
B. ，正确；
C. ，正确；
D. ，原式错误.
故选D.
17．（2019·浙江杭州外国语学校初二期中）计算的值为( )
A．1 B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：
故选B.
18．（2019·百色市期中）下列根式中，不能与3合并的是( )
A．13 B．13 C．23 D．12
【答案】C
【解析】
试题解析：A、13=33，本选项不合题意；
B、13=33，本选项不合题意；
C、23=63，本选项合题意；
D、12=23，本选项不合题意；
故选C．
19．（2016·杭州市期中）计算：
（1） （2）
【答案】(1) ;(2)
【解析】
（1）原式=
=
（2）原式=
=
20．（2018·商丘市期中）计算题：
（1）
（2）（）﹣（）
（3）（2）（2）
（4）（4）÷2
【答案】（1）0；（2）3+；（3）6；（4）2﹣．
【解析】
（1）原式=3﹣4+=0；
（2）原式=2+﹣+=3+；
（3）原式=12﹣6=6；
（4）原式=2﹣．
