(共45张PPT)
实数指数幂及其运算
1.n次方根
（1）定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x叫做a的n次方根.
（2）表示：
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
______ _____ 0 不存在
【思考】
对于式子 中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？
提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.
2.根式
（1）当 有意义时， 称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
（2）性质：
① ②
【思考】
与 中的字母a的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同.式子 中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子 中，a∈R.
3.分数指数幂的意义
正分
数指
数幂 n为正整数， 有意义，且a≠0时，规定
正分数___，
负分数
指数幂 s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a-s=
【思考】
分数指数幂中的 有什么规定？
提示： 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数.
4.无理数指数幂
当a>0且t是无理数时，at是一个确定的实数.
【思考】
当a>0时，式子ax中的x的范围是什么？
提示：x∈R.
5.实数指数幂的运算法则（a>0，b>0，r，s∈R）
（1）=+s.（2）()s=s.（3）(ab)r=.
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）n是大于1的正整数，若=a，则x=± .（ ）
（2） （ ）
（3） 是一个确定的实数.（ ）
提示：（1）×.当n是奇数时，x=
（2）×.
（3）√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. =________.?
【解析】 =32=9.
答案：9
3.若x<0，则|x|+ =________.?
【解析】因为x<0，所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案：1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
【典例】1.化简 等于 （ ）
A.-2π B.6 C.2π D.-6
2. 等于（ ）
A.2 B. C. D.2
3.若 +（a-3）0有意义，则a的取值范围是
________.?
【思维·引】1.根据根指数的奇偶、π和3的大小化简.
2.将被开方数配成完全平方后化简.
3.根据偶次方根的被开方数非负，0次幂的底数不等于0，求a的范围.
【解析】1.选D.
=π-3-π-3=-6.
2.选A.
3.由 得a≥2，且a≠3.
答案：[2，3）∪（3，+∞）
【内化·悟】
1.对于根式 化简需要注意哪些？
提示：注意n的奇偶和a的符号.
2.怎样求根式中变量的范围？
提示：根指数是正的偶数时，被开方数非负，根指数为奇
数时，被开方数为任意实数.
【类题·通】
根式化简与求值的思路及注意点
（1）思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.
（2）注意点：
①正确区分（ ）n与 两式；
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和
完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.
【习练·破】
1.已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：
其中无意义的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【解析】选A.①中-22n<0，所以 无意义，②中根指数为3，有意义，③中（-2）2n>0，有意义，④中根指数为3，有意义.
2.计算
【解析】
= =0.
【加练·固】
的值为（ ）
A.-6 B.2 -2 C.2 D.6
【解析】选A. =-6，
所以原式=-6+4- -4=-6.
类型二 分数指数幂的求值问题
【典例】求下列各式的值.
（1） （2） （3）
【思维·引】（1）将底数化为真分数后求值.
（2）将根式化为分数指数后求值.
（3）先化为同底，再利用指数运算法则求值.
【解析】（1）原式=
（2）原式= =21=2.
（3）原式=
【内化·悟】
如果式子中含有多层根号，应怎样化简求值？
提示：先由内向外分别化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算法则计算.
【类题·通】
1.根式与分数指数幂互化的方法及思路
（1）方法：根指数 分数指数的分母，
被开方数（式）的指数 分数指数的分子.
（2）思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
2.关于分数指数幂的求值
若式子中含有根式，先化为分数指数，若式子中分数指数幂底数不同，则先化同一底数，最后利用分数指数幂的运算法则先化简后求值.
【习练·破】
求下列各式的值
（1） （2） （3）
【解析】（1）原式=
（2）原式= =31=3.
（3）原式=
【加练·固】
计算 =________.?
【解析】原式= =36×22=2916.
类型三 分数指数幂的化简问题
角度1 式子化简
【典例】（2019·衡阳高一检测）
=________. ?
【思维·引】先将分母的根式化为分数指数，再利用分数指数幂的运算法则化简.
【解析】
答案：
【素养·探】
在利用分数指数幂运算法则化简时，常常用到核心素养
中的数学运算，化简式子或求值.
本例中将式子变为 ，试化简该式.
【解析】原式=
角度2 条件求值
【典例】已知 ，求 的值.
【思维·引】将已知的式子反复利用完全平方公式，将x的指数升高，再代入求值.
【解析】由已知可得：x+x-1=（ ）2-2=（ ）2-2=3. +x-2=（x+x-1）2-2=32-2=7.
原式=
【类题·通】
1.关于分数指数幂运算法则的应用
首先要分析式子的特点，确定化简的层次和顺序，一般从里到外依次化为分数指数幂，其次先进行乘方运算，再进行同底数幂的运算.
2.解决条件求值问题的步骤
【习练·破】
1.化简 =________.?
【解析】
答案：
2.已知x+x-1=4，（0
【解析】因为x+x-1=4，
所以（x+x-1）2=（x+x-1）2-4=12，
因为0所以 -x-2=（x+x-1）（x-x-1）=-8 .
又因为 =x+x-1+2=6，
所以
所以
【加练·固】
已知x+x-1=3，则 的值为________.?
【解析】由题意（ ） =x+2+x-1=5，所以
所以 （x-1+x-1）
= （3-1）= .
答案：
谢 谢
(共104张PPT)
指数函数的性质与图像
第1课时 指数函数的性质与图像
1.指数函数
函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
【思考】
(1)为什么指数函数的底数a>0，且a≠1？
提示：①如果a=0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.
②如果a<0，例如f(x)=(-4)x，这时对于x= ， ，…，
该函数无意义.
③如果a=1，则y=1x是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
2.指数函数的图像和性质
01
图 像
定义域 实数集R
01
值 域 (0，+∞)
性 质 过定点(0，1)____
是减函数 是增函数
【思考】
(1)对于指数函数y=2x，y=3x，y= ，y= …，为什么一定过点(0，1)？
提示：当x=0时，=1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0，1).
(2)对于指数函数y=ax(a>0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？
底数 x的范围 y的范围
a>1 x>0 ？
x<0 ？
00 ？
x<0 ？
提示：
底数 x的范围 y的范围
a>1 x>0 y>1
x<0 000 0 x<0 y>1
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y=是指数函数. ( )
(2)指数函数的图像都在x轴的上方. ( )
(3)若指数函数y=ax是减函数，则0提示：(1)×.y=不是指数函数，指数函数的底数是常数.
(2)√.由指数函数的图像可知正确.
(3)√.由指数函数的单调性可知正确.
2.若0A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
【解析】选A.当03.若函数f(x)是指数函数，且f(2)=2，则f(x)=
________.?
【解析】由题意，设f(x)=ax(a>0且a≠1)，则由
f(2)=a2=2，得a= ，所以f(x)=( )x.
答案：( )x
类型一 指数函数的概念
【典例】1.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值为________.?
2.指数函数y=f(x)的图像经过点(π，e)，则f(-π)
=________.?
【思维·引】1.根据指数函数的解析式的特征列方程求解.
2.设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(-π).
【解析】1.由题意得a2-3a+3=1，即(a-2)(a-1)=0，解得a=2或a=1(舍).
答案：2
2.设指数函数为y=ax(a>0且a≠1)，则e=aπ，所以
f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1= .
答案：
【内化·悟】
怎样设指数函数的解析式？
提示：设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1).
【类题·通】
1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a>0，且a≠1；
②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y= 是
指数函数.
2.求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式f(x)=ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式.
【习练·破】
1.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，则f(1)=( )
A.8 B. C.4 D.2
【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，
所以2a-3=1，解得a=2，所以f(x)=2x，所以f(1)=2.
2.指数函数y=f(x)的图像经过点 ，那么f(4)·
f(2)=________.?
【解析】设指数函数的解析式为y=ax(a>0且a≠1)，
因为函数的图像经过点 ，所以 =a-2，所以a=2，所以指数函数的解析式为y=2x，
所以f(4)·f(2)=24×22=26=64.
答案：64
【加练·固】
若指数函数y=f(x)的图像经过点 ，则f
=________. ?
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1)，因为f(x)过点 ，
所以 =a-2，所以a=4，
所以f(x)=4x，
所以
答案：
类型二 指数函数性质的简单应用
角度 比较大小
【典例】1.(2019·聊城高一检测)已知a=1.50.5，
b=0.51.5，c=0.50.5，则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
2.使不等式92x-1< 成立的x的集合是( )
【思维·引】1.同底数的利用单调性比较，不同底的与1比较.
2.化同底后利用单调性解不等式.
【解析】1.选B.a=1.50.5>1，0<0.51.5<0.50.5<1，所以a>c>b.
2.选A.不等式即34x-2< ，可得4x-2< ，
解得x< .
【素养·探】
在解与指数相关的不等式时，常常利用核心素养中的逻辑推理，通过对底数单调性的分类讨论来解不等式.
将典例2的不等式底数都改为a(a>0，且a≠1)，
即a2x-1< ，试解此不等式.
【解析】当a>1时，指数函数y=ax是增函数，
由2x-1< ，解得x< .
当0 ，解得
x> .
【类题·通】
利用单调性比较大小
(1)底数相同的直接利用单调性.
(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较.
(3)底数不同指数相同的借助图像间的关系比较.
【习练·破】
1.(2019·厦门高一检测)已知a=0.40.3，b=0.30.4，
c=0.3-0.2，则( )
A.bC.c【解析】选A.因为1>a=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4，c=
0.3-0.2>1，所以b2.(2019·凯里高一检测)已知a=0.52.1，b=20.5，
c=0.22.1，则a，b，c的大小关系是( )
A.aa>c
C.ba>b
【解析】选B.a=0.52.1∈(0，1)，b=20.5>1，c=0.22.1，
0.52.1>0.22.1，所以a>c，所以b>a>c.
【加练·固】
已知 则a，b，c的大小关系是
( )
A.cC.b【解析】选D.对于指数函数y=ax，若x<0，
则当01；当a>1时，有0所以0<
又因为函数y= 在R上是减函数，
且 ，所以 .
综上知， ，即c类型三 与指数函数有关的定义域、值域
【典例】1.函数y= 的定义域是________.?
2.函数y=3-x(-2≤x≤1)的值域是 ( )
A.[3，9] B.
C. D.
3.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则实数a的值为________.?
【思维·引】1.根据被开方数大于等于0求定义域.
2.先确定函数的单调性，再求最值.
3.分情况表示出最大值、最小值，列方程求a的值.
【解析】1.因为函数有意义的充要条件是x2-x-6≥0，
即x≤-2或x≥3，
所以所求的定义域为(－∞，－2]∪[3，+∞).
答案： (－∞，－2]∪[3，+∞).
2.选B.函数y=3-x= 在[-2，1]递减，
故=3-(-2)=9，=3-1=
3.当a>1时，y=ax在[-1，1]上单调递增，
所以当x=-1时，y取到最小值a-1，
当x=1时，y取到最大值a，
所以a-a-1=1，解得a= ；
当0所以当x=-1时，y取到最大值a-1，
当x=1时，y取到最小值a，所以a-1-a=1，解得a= .
答案：
【内化·悟】
求值域主要应用了指数函数的哪个性质？
提示：主要应用了指数函数的单调性.
【类题·通】
1.与指数函数相关的定义域问题
(1)函数y=af(x)的定义域与函数f（x）的定义域相同.
(2)涉及不等关系求定义域时，先化同底，再利用图像、单调性求范围.
2.关于指数函数值域的求法
当指数函数的单调性可以确定时，分别求出其最大值、最小值得到函数的值域，若函数的单调性不确定时，则分情况讨论单调性，分别求出其最值，从而确定值域.
【习练·破】
(2019·通州高一检测)函数y= 的定义域为
________.?
【解析】依题意得，2x-8≥0，
所以2x≥8=23，又y=2x为增函数，所以x≥3.
所以函数y= 的定义域为{x|x≥3}.
答案：[3，+∞)
【加练·固】
函数y= 的定义域为________.?
【解析】因为函数有意义的充要条件是1- ≥0，则
≤1，即x≥0，
所以函数的定义域为[0，+∞).
第2课时
指数函数的性质与图像的应用
类型一 指数函数的图像及应用
【典例】1.(2019·重庆高一检测)函数y= 的大致
图像是( )
2.函数f(x)=ax-2018+2019(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________.?
【思维·引】1.去掉解析式中的绝对值号，分情况作图.
2.令x-2018=0，求出x，再求f(x).
【解析】1.选C.函数y=
因为y=2-|x|是偶函数，所以图像关于y轴对称，
所以函数图像在y轴右侧为减函数，0左侧为增函数，02.由题意，根据指数函数的性质，令x-2018=0，
可得x=2018，代入求解f(x)=2020，
所以函数f(x)过的定点坐标为(2018，2020).
答案：(2018，2020)
【内化·悟】
1.怎么样作带绝对值号的函数的图像？
提示：去掉绝对值号，分情况作图.
2.形如y=makx+b+n的函数所过的定点坐标是什么？
提示：令kx+b=0，x= ，y=m+n，
所以函数过定点
【类题·通】
与指数函数相关的图像问题
1.定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可；
2.平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”；
3.底数大小：对于 如图
0【习练·破】
指数函数①f(x)=mx，②g(x)=nx满足不等式0【解析】选C.由0【加练·固】
函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图像如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数： 中的一个，则对应的a，b，c，d的值是( )
【解析】选C.方法一：从第一象限看指数函数的图像，
逆时针方向底数依次从小变大.
方法二：直线x=1与函数图像的交点的纵坐标从上到下
依次为c，d，a，b，而
类型二 形如y= 的函数的单调性、值域
【典例】求函数y= 的单调递增区间、值域.
【思维·引】1.结合y= 的单调性，求二次函数t=-x2+x+2的减区间.
2.利用换元法求值域.
【解析】令t=-x2+x+2，则y= ，
因为t= ，可得t的减区间为 ，因为函
数y= 在R上是减函数，
所以函数y= 的单调递增区间 ；
又t≤ ，所以
所以函数y= 值域为
【类题·通】
复合函数的单调性、值域
(1)分层：一般分为外层y=at，内层t=f(x).
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数.
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y=at的值域.
【发散·拓】
求函数y=9x-2·3x+3的单调区间，并求出其值域.
【解析】设u=3x，则原函数可分解为u=3x，y=u2-2u+3，
而二次函数y=u2-2u+3单调性的分界点为u=1，
因此当x∈(-∞，0)时，u=3x单调递增，u∈(0，1)，而y=u2-2u+3在(0，1)上单调递减，
所以原函数在(-∞，0)上单调递减；当x∈[0，+∞)时，u=3x单调递增，u∈[1，+∞)，而二次函数y=u2-2u+3在[1，+∞)上单调递增，所以原函数在[0，+∞)上单调递增.
综上可知，原函数在(-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调递增.
函数y=9x-2·3x+3的值域，即y=-2u+3，u∈(0，+∞)的值域，易知值域为[2，+∞).
【延伸·练】
求函数y=22x+1-2x+2-6的单调区间及值域.
【解析】y=22x+1-2x+2-6=2·22x-4·2x-6，
令t=2x(t>0)，则y=2t2-4t-6=2(t－1)2-8，
所以在区间[0，1]上递减，在区间[1， +∞)上递增，
因为函数t=2x是增函数，
所以原函数的增区间是[0，+∞)，减区间是(－∞，0]，
值域是[－8，+∞).
【习练·破】
函数f(x)= 的单调递减区间是________，值域是
________.?
【解析】令t=x2-2x=(x-1)2-1，则f(x)= ，利用二次
函数的性质可得函数t的增区间为[1，+∞)，所以函数
f(x)= 的减区间是[1，+∞)；
因为t≥-1，所以
所以函数f(x)= 的值域为
答案：[1，+∞)
【加练·固】
已知函数y= 的递减区间为________.?
【解析】u=x2+2x-3，开口向上，对称轴为x=-1，x∈
(-∞，-1)时函数是减函数；
y=2u，是增函数，由复合函数的单调性可知函数
y= 的递减区间为(-∞，-1).
答案：(-∞，-1)
类型三 指数函数性质的综合应用
角度1 分段函数的单调性
【典例】已知若函数f(x)= 对任意
x1≠x2，都有 >0成立，则实数a的取值范围
是( )
(4，8) B. [4，8)
C. (1，+∞) D. (1，8)
【思维·引】根据函数的单调性，分别从每一段、分界点处函数值的关系列出不等式求范围.
【解析】选B.因为分段函数为增函数，
所以需满足 解得4≤a<8.
【素养·探】
在由分段函数的单调性求参数范围的过程中，常常用到
核心素养中的逻辑推理，根据函数的单调性列出参数满
足的不等式组求出范围.
若将本例中的函数改为f(x)= 其他条
件不变，试求a的范围.
【解析】因为函数f(x)满足对任意x1f(x1)所以函数f(x)在定义域上是增函数，
则满足 即 得 ≤a<2.
角度2 函数性质的综合应用
【典例】(2019·赤峰高一检测)已知函数f(x)=
是R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性.
(2)若对任意实数，不等式f[f(x)]+f(3-m)>0恒成立，求
m的取值范围.
【思维·引】先求出a的值，再根据定义判断、证明单调性；
利用函数的性质转化不等式，分离出m后求范围.
【解析】(1)因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)=0，即 =0，由此得a=1，
所以f(x)= ，所以f(x)为R上的增函数.
证明：设x1f(x1)-f(x2)=1-
因为x1所以f(x1)所以f(x)为R上的增函数.
(2)因为f(x)为R上的奇函数.
所以原不等式可化为f[f(x)]>-f(3-m)，
即f[f(x)]>f(m-3)，
又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)>m-3，
由此可得不等式m立，由2x>0?2x+1>1?0< <2?-2<- <0?
2<4- <4，所以m≤2.
【类题·通】
1.关于分段函数y= 的单调性(1)增函数：
均为增函数，且
(2)减函数： 均为减函数，且 .
2.含参数恒成立问题的一种处理方法
将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围.
特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小.
【习练·破】
(2019·开封高一检测)已知函数f(x)= -2x，则f(x)
( )
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是减函数
C.是偶函数，且在R上是增函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
【解析】选B.f(x)= -2x，
f(-x)=2x- =-f(x)，所以f(x)为奇函数，
又因为函数y= 与y=-2x都是减函数，
所以两个减函数之和仍为减函数.
【加练·固】
若函数f(x)= 为R上的增函数，则实数a
的取值范围是( )
A.3≤a<4 B.1C.1【解析】选A.因为函数f(x)在R上为增函数，
所以
解得3≤a<4.
所以实数a的取值范围是3≤a<4.
谢 谢
(共42张PPT)
对数运算法则
1.积、商、幂的对数
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则有
(1)积的对数：(MN)=M+N.
(2)商的对数：_____=M-N.
(3)幂的对数：Mn=nM.
【思考】
在积的对数运算性质中，三项的乘积式(MNQ)是否
适用？你可以得到一个什么样的结论？
提示：适用，(MNQ)=M+N+Q，积的对数运算性质可以推广到n项的乘积.
2.换底公式
若a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则有b=_____.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么
形式？
提示：b= ，b= .
(2)你能用换底公式推导出结论 M吗？
提示： M.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)lg(x+y)=lg x+lg y. ( )
(2) (16-8)=16-8. ( )
(3) =log48. ( )
提示：(1)×.令x=y=1，则lg(x+y)=lg 2>lg 1=0，而
lg x+lg y=0，不成立.
(2)×.等式的左边=log2(16-8)=log28=3，
右边=log216-log28=4-3=1.
(3)√.由换底公式知正确.
2.以下运算正确的是( )
A.lg 2×lg 3=lg 6 B.(lg 2)2=lg 4
C.lg 2+lg 3=lg 5 D.lg 4-lg 2=lg 2
【解析】选D.lg 2+lg 3=lg 6，lg 2+lg 2=lg 4，lg 4-lg 2=lg 2.
3.log69+log64=( )
A.log62 B.2 C.log63 D.3
【解析】选B.log69+log64=log636=2.
类型一 利用对数运算法则化简
【典例】用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz).(2)lg .(3)lg .(4)lg .
【思维·引】利用积、商、幂的对数展开.
【解析】(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.
(2)lg =lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
(3)lg =lg(xy3)-lg =lg x+3lg y- lg z.
(4)lg =lg -lg(y2z)= lg x-2lg y-lg z.
【内化·悟】
利用对数运算法则化简的一般顺序是什么？
提示：先商，再积，最后幂.
【类题·通】
关于对数式的化简
首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开.
【习练·破】
1.如果lg 2=m，lg 3=n，则 等于( )
【解析】选C.因为lg 2=m，lg 3=n，
所以
2.化简 .
【解析】因为 >0且>0， >0，所以y>0，z>0.
=( )-
=+ -
=2|x|+ y- z.
【加练·固】
已知y>0，化简 .
【解析】因为 >0，y>0，所以x>0，z>0.
所以 = -(yz)= x-y-
z.
类型二 利用对数运算法则求值
【典例】1.(2019·昌吉高一检测)计算lg 2+lg 5+
2log510-log520的值为 ( )
A.21 B.20 C.2 D.1
2.计算lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +
lg 0.06.
【思维·引】1.逆用对数的运算法则合并求值.
2.综合利用对数的运算性质求值.
【解析】1.选C.lg 2+lg 5+2log510-log520
=1+log5 =1+1=2.
2.原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.
【内化·悟】
1.lg 2与lg 5之间有何关系？
提示：lg 2+lg 5=1，lg 2=1-lg 5，lg 5=1-lg 2.
2.应用对数运算性质求值时关键是什么？
提示：关键是对数的底数应该相同，才能利用性质合并计算.
【类题·通】
利用对数运算求值的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【习练·破】
1.(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=________.?
【解析】原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=
lg 10=1.
答案：1
2.计算： +lg 4+lg 25.
【解析】原式= ( )6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2
+lg 5)=8.
【加练·固】
求下列各式的值
(1) +2lg 2+lg 25.
(2)log2 +log212- log242.
(3)
【解析】(1)原式= +lg 4+lg 25= +lg 100=
(2)原式= (log27-log248)+log23+2log22-
(log22+log23+log27)
= log27- log23- log216+ log23+2-
log27-
(3)原式=
=2.
类型三 换底公式的应用
角度1 化简求值
【典例】设log34·log48·log8m=log416，则m的值是
( )
A. B.9 C.18 D.27
【思维·引】利用换底公式，换成常用对数求值.
【解析】选B.因为log34·log48·log8m
所以lg m= ·lg 3=lg 32，解得m=9.
【素养·探】
在应用换底公式化简求值的过程中，常常用到核心素养
中的数学运算，先根据条件恰当换底，再化简运算.
将本例变为：化简log34·log48·log816·log1627.
【解析】原式= =3.
角度2 证明等式
【典例】(2019·大连高二检测)若4m=9n=6，
求证： =2.
【思维·引】用对数式表示出m，n，再利用对数换底公
式证明.
【证明】由4m=9n=6，得m=log46，n=log96，
即 =log64， =log69，
所以 =log64+log69=log636=2.
【类题·通】
换底公式的应用
(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值.
(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用.
(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式
=a.
【习练·破】
1.计算：(log32+log35)·lg 9=( )
A.1 B.2 C.lg 3 D.2lg 7
【解析】选B.(log32+log35)·lg 9=log310·lg 9
= ·2lg 3=2.
2.已知2x=5y=t， =2，则t=( )
A. B. C. D.100
【解析】选C.因为2x=5y=t>0，t≠1，
所以x= ，y= ，代入 =2，所以 =2，
所以ln 10=ln t2，所以t2=10，则t= .
【加练·固】
若实数a，b满足3a=4b=12，则 =( )
A. B. C. D.1
【解析】选D.3a=4b=12，即有a=log312，b=log412，
则 =log123+log124=log1212=1.
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(共41张PPT)
对数运算
1.对数的概念
（1）定义：在代数式=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞)中，幂指数b称为以a为底N的对数.
（2）记法：b=N，a称为对数的底数，N称为对数的真数.
（3）范围：N>0，即负数和零没有对数.
【思考】
（1）为什么负数和零没有对数？
提示：因为b=N的充要条件是ab=N，当a>0且a≠1时，由指数函数的值域可知N>0，故负数和零没有对数.
（2）对数式N是不是与N的乘积？
提示：不是，N是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数.
2.对数恒等式
（1） =N. （2）ab=b.
3.常用对数与自然对数
（1）常用对数：log10N，简写为log N.
（2）自然对数：N， 简写为ln N，e=2.71828….
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
（1）因为(－3)2=9，所以log-39=2. ( )
（2）因为2x=3，所以log32=x. ( )
（3）log35=log53. ( )
提示：（1）×.对数的底数不能为负值.
（2）×.应为log23=x.
（3）×.log35≠log53，两个是不同的对数值.
2.若log3x=3，则x=( )
A.1 B.3 C.9 D.27
【解析】选D.因为log3x=3，所以x=33=27.
3.把对数式x=log527改写为指数式为________.?
【解析】对数式x=log527改写为指数式为5x=27.
答案：5x=27
类型一 对数的概念
【典例】1.若=b(a>0，且a≠1)，则( )
A.b=2019 B.a=2019
C. a=b D. b=a
2.对数式loga-2(5-a)中实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞，5) B.(2，5)
C.(2，3)∪(3，5) D.(2，+∞)
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.=1与ln 1=0
B.log39=2与 =3
C. 与log8
D.log77=1与71=7
【思维·引】1.根据对数的定义式转化.
2.对数式中底数大于0，且不等于1，真数大于0.
3.根据对数的定义式判断.
【解析】1.选A.若=b(a>0且a≠1)，则b=2019.
2.选C.要使对数式loga-2(5-a)有意义，
则 解得a∈(2，3)∪(3，5).
3.选B.对于A：=1可化为：0=1=ln 1，所以A正确；
对于B：log39=2可化为：32=9，所以B不正确；
对于C： 可化为log8 ，所以C正确；
对于D：log77=1可化为：71=7，所以D正确.
【内化·悟】
指数式、对数式中的底数、幂指数、幂、真数的对应关系是什么？
提示：
【类题·通】
指数式与对数式互化的思路
（1）指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
（2）对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【习练·破】
1.如果=b(a>0且a≠1，b>0)，则 ( )
A.b=5 B.5=b
C.log5a=b D.log5b=a
【解析】选A.如果=b(a>0且a≠1，b>0)，则b=5.
2.若对数式有意义，则实数t的取值范围是
( )
A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞)
C.(-∞，2) D.(2，+∞)
【解析】选B.要使对数式有意义，
则 解得t>2且t≠3，
所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞).
【加练·固】
将下列指数式与对数式进行互化.
（1） （2） =4.
【解析】(1)由
可得log5
(2)由 4=4，可得( )4=4.
类型二 指数式与对数式的互化与求值
角度1 利用指数式与对数式的互化求值
【典例】1.求下列各式的值
(1)log381.(2)log4 .(3) 8.(4) lg 0.1.
【思维·引】化为指数式，利用指数运算求值.
【解析】(1)因为34=81，所以log381=4.
(2)因为4-2= ，所以log4 =-2.
(3)因为 =8，所以 8=-3.
(4)因为10-1=0.1，所以lg 0.1=-1.
【素养·探】
在利用指数式与对数式互化求值时，经常用到核心素养中的数学运算，主要体现在指数运算的应用.
本例(4)中，若改为lg x=-3，试求x的值.
【解析】因为lg x=-3，所以10-3=x，所以x=0.001.
角度2 两个特殊对数值的应用
【典例】已知log2(log3(log4x))
=log3(log4(log2y))
=0，求x+y的值.
【思维·引】利用1=0，a=1求出x，y.
【解析】因为log2(log3(log4x))=0，
所以log3(log4x)=1，所以log4x=3，
所以x=43=64，同理求得y=16，所以x+y=80.
【类题·通】
对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层，解题方法是利用1=0，
a=1从外向里逐层求值.
【习练·破】
1.log5[log3(log2x)]=0，则 等于( )
【解析】选C.因为log5[log3(log2x)]=0，
所以log3(log2x)=1，所以log2x=3，所以x=23=8，
所以
2.log3 =________；log5625=________.?
【解析】因为3-3= ，所以log3 =-3；因为54=625，
所以log5625=4.
答案：-3 4
【加练·固】
若lg[log2(lg x)]=0，则x=________.?
【解析】因为lg[log2(lg x)]=0，所以log2(lg x)=1，
所以lg x=2，所以x=102=100.
答案：100
类型三 对数恒等式的应用
【典例】1.设 =25，则x的值等于 ( )
A.10 B.12 C.100 D.±100
2.求下列各式的值
(1) (2)lg 0.012.(3)lne-2.(4)log283.
【思维·引】1.利用对数恒等式列出关于x的方程求解.
2.利用指数的运算性质转化为对数恒等式的形式求值.
【解析】1.选B.由 =25，得2x+1=25，
所以x=12.
2.(1) =4×52=100.
(2)因为=1，所以lg 0.012=lg 10-4=-4.
(3)因为a=1，所以lne-2=-2.
(4)因为a=1，所以log283=log229=9.
【内化·悟】
形如 的式子能直接用对数恒等式吗？
提示：不能，可以化为am· 或 后再利用对数恒等式求值.
【类题·通】
应用对数恒等式求解的步骤
提醒：应用对数恒等式的前提是底数相同.
【习练·破】
=________.?
【解析】 =100÷ =125.
答案：125
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(共98张PPT)
对数函数的性质与图像
第1课时 对数函数的性质与图像
1.对数函数
函数y=x_____________称为对数函数，其中a是常
数，a>0且a≠1.
【思考】
(1)对数函数的定义域是什么？为什么？
提示:定义域为x>0，因为负数和零没有对数.
(2)对数函数的解析式有何特征？
提示:①a>0，且a≠1；②x的系数为1；
③自变量x的系数为1.
2.对数函数的性质与图像
01
图 像
定义域 _________
01
值 域 实数集R
性 质 过定点（1，0）
是减函数 是增函数
【思考】
(1)对于对数函数y=x，y=x，y= ，
y= …，为什么一定过点(1，0) ？
提示:当x=1时，1=0恒成立，即对数函数的图像
一定过点(1，0).
(2)对于对数函数y=x(a>0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？
底数 x的范围 y的范围
a>1 x>1 ？
001 ？
0提示:
底数 x的范围 y的范围
a>1 x>1 y>0
001 y<0
00
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y=5是对数函数. ( )
(2)对数函数的图像都过定点(0，1). ( )
(3)对数函数的图像都在y轴的右侧. ( )
提示:(1)×.y=5不是对数函数，对数函数的底数是常数，真数为自变量.
(2)×.对数函数的图像都过定点(0，1).
(3)√.由对数函数的图像可知正确.
2.函数y=log2x在区间(0，2]上的最大值是 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选B.函数y=log2x在(0，2]上递增，故x=2时，y
的值最大，最大值是1.
3.函数y=x与y= 的图像关于________对称.?
【解析】函数y=x与y= 的图像关于x轴对称.
答案:x轴
类型一 利用对数函数的单调性比较大小
【典例】1.若a=log32，b=log34，c= ，则a，
b，c的大小关系正确的是( )
A.aC.c2.设a=log32，b=log2 ，c=2log32，则a，b，c的大小
关系是( )
A.aC.b【思维·引】1.同底数的利用单调性比较大小，不同底数的化同底后比较.
2.借助中间值比较大小.
【解析】1.选C.因为函数y=log3x是增函数，
所以log34>log32>log31=0，
c= =-log36<0，所以c2.选B.因为0=log31b=log2 1，
所以a，b，c的大小关系为b【内化·悟】
1.对数函数底数不同时，用哪个公式化为同底？
提示:可以利用公式
2.对数式比较大小一般用什么方法？
提示:利用单调性、中间值比较.
【类题·通】
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
提醒:比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.
【习练·破】
1.(2019·烟台高一检测)若a=2-0.3，b=log23，c=log47，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.aC.c【解析】选D.因为0b=log23=log49>c=log47>log44=1，
所以a，b，c的大小关系为a2.(2019·重庆高一检测)设a=log2e，b=ln 3e，c=e-2(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>c>a D.b>a>c
【解析】选D.因为log22=12，c=e-2a>c.
【加练·固】
已知 ，则 ( )
A.2a>2b>2c B.2b>2a>2c
C.2c>2b>2a D.2c>2a>2b
【解析】选B.由于函数y= 为减函数，因此由
，可得b>a>c，又由于函数y=2x为增函
数，所以2b>2a>2c.
类型二 解对数不等式
【典例】1.(2019·南平高一检测)已知函数f(x)=ln x，若f(x-1)<1，则实数x的取值范围是 ( )
A.(-∞，e+1) B.(0，+∞)
C.(1，e+1) D.(e+1，+∞)
2. 已知(3x+1)<(7-5x)，求x的取值范围.
【思维·引】1.列出相应的不等式，利用单调性求解.
2.利用单调性、定义域转化为不等式组求解.
【解析】1.选C.因为函数f(x)=ln x，f(x-1)<1，
所以ln(x-1)<1，
因为函数f(x)=ln x是增函数，而且定义域为(0，+∞ )，
所以0所以实数x的取值范围是(1，e+1).
2.(1)当a>1时，函数y=x是增函数，而且定义域为
(0，+∞ )，
所以0<3x+1<7-5x，即
解得
(2)当0(0，+∞ )，3x+1>7-5x>0，
即 解得
【内化·悟】
解含对数的不等式时容易忽视什么问题？
提示:容易忽视定义域.
【类题·通】
关于对数不等式的解法
(1)整理不等式，考查对数式的底数，确定单调性，不确定的分情况讨论.
(2)根据单调性、定义域列出不等式(组)，解不等式(组)求范围.
【习练·破】
已知(2+2m-1)>(m-1)，求m的取值范围.
【解析】函数y=x是增函数，而且定义域为(0，+∞)，所以2m2+2m-1>m-1>0，
即 解得m>1.
【加练·固】
已知(3a-1)恒为正，则a的取值范围是________.?
【解析】由题意知(3a-1)>0=1.
当a>1时，y=x是增函数且定义域为(0，+∞)，
所以 解得a> ，所以a>1；
当0所以 解得 .所以 .
综上所述，a的取值范围是 或a>1.
答案: 或a>1
类型三 对数型函数的定义域
角度1 简单的对数型函数的定义域
【典例】函数y=(x2+5x+6)的定义域为________.?
【思维·引】利用真数大于0解不等式求范围.
【解析】令+5x+6>0，解得x<-3或x>-2，
所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－2，+∞).
答案: (－∞，－3)∪(－2，+∞).
【素养·探】
在求对数型函数的定义域时，常常用到核心素养中的数学运算，通过解不等式或不等式组求定义域.
将本例中的函数变为y=log(x-1)(x2+5x+6)，试求函数的定义域.
【解析】由题意
解得
所以x>1，且x≠2，
所以函数的定义域为(1，2)∪(2，+∞).
角度2 综合的对数型函数的定义域
【典例】1.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是
________.?
2.函数y= +ln(3-2x)的定义域为________.?
【思维·引】1.利用分母不为零、被开方数不小于零、真数大于零求定义域.
2.利用被开方数不小于零，真数大于零列不等式组求解.
【解析】1.由 解得 所以函数的定义域是 .
答案:
2.由 解得 所以0≤x< ，
所以函数的定义域为 .
答案:
【类题·通】
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【习练·破】
1.(2019·抚顺高一检测)函数y= +lg(1+x)的定
义域为________.?
2.函数y= (16-4x)的定义域为________.?
【解析】1.由题意得 解得-1所以原函数的定义域为{x|-1答案:{x|-12.由 得
所以函数的定义域为(-1，0)∪(0，2).
答案:(-1，0)∪(0，2)
【加练·固】
(2019·长沙高一检测)函数f(x)= +lg(1+x)的定
义域是( )
A.(-∞，-1) B.(1，+∞)
C.(-1，1)∪(1，+∞) D.(-∞，+∞)
【解析】选C.由题意知
解得x>-1，且x≠1，
所以定义域为(-1，1)∪(1，+∞).
第2课时
对数函数的性质与图像的应用
类型一 对数函数的图像及应用
【典例】1.(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函
数y= ，y= (a>0且a≠1)的图像可能是
( )
2.函数f(x)=(3x-2)+2的图像恒过点________.?
【思维·引】1.分情况验证各个图像是否符合.
2.利用1=0确定定点坐标.
【解析】1.选D.y= 的图像过 点，排除A，
C.y= 与y= 的单调性相异，可排除B.
2.根据题意，令3x-2=1，
解得x=1，此时y=0+2=2，
所以函数f(x)的图像过定点(1，2).
答案:(1，2)
【类题·通】
对数函数图像过定点问题
求函数y=m+f(x)(a>0，且a≠1)的图像过定点时，只需令f(x)=1求出x，即得定点为(x，m).
【发散·拓】
如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y=x，
y=x，y=x，y=x的图像，则a，b，c，d，1的大小关系是什么？
提示:作直线y=1，观察与对数函数的图像交点，交点的横坐标即为底数，从左向右，图像对应的底数逐渐变大，即c【延伸·练】
小华同学作出的a=2，3， 时的对数函数y=x的图
像如图所示，则对应于C1，C2，C3的a的值分别为( )
A.2，3， B.3，2，
C. ，2，3 D. ，3，2
【解析】选C.根据对数函数的性质，显然对应于C1，C2，
C3的a的值分别为 ，2，3.
【习练·破】
1.已知a>0，a≠1，则f(x)= 的图像恒过点
( )
A.(1，0) B.(-2，0)
C.(-1，0) D.(1，4)
【解析】选B.令 =1，解得:x=-2，
故f(-2)=1=0恒成立，
即f(x)= 的图像恒过点(-2，0).
2.(2019·赤峰高一检测)函数y=-lg|x|的图像大致是
( )
【解析】选B.因为f(-x)=f(x)是偶函数，所以排除C，D，当x>0时，函数y=-lg x为减函数，排除A.
【加练·固】
关于函数f(x)= |x|，下列结论正确的是( )
A.值域为(0，+∞)
B.图像关于x轴对称
C.定义域为R
D.在区间(-∞，0)上单调递增
【解析】选D.因为f(x)= |x|，
所以f(x)的值域是R，A错误，
函数的图像关于y轴对称，B错误，
函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，C错误，
函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，D正确.
类型二 含对数式的函数的定义域、值域
【典例】已知函数f(x)=(1-x)+(x+3)(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域和值域.
(2)若函数f(x)有最小值为-2，求a的值.
【思维·引】(1)利用每一个对数式真数大于0求定义域，换元法求值域；(2)借助(1)中的最小值求a的值.
【解析】(1)由 得-3所以函数的定义域为{x|-3f(x)=[(1-x)(x+3)]，
设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2，
所以t≤4，又t>0，则0当a>1时，y≤4，值域为{y|y≤4}.
当0(2)由题设及(1)知，
当0所以4=-2，解得a= .
【内化·悟】
怎样求函数y=f(x)的值域？
提示:先求f(x)的值域，再求y=f(x)的值域.
【类题·通】
求函数值域的常用方法
(1)单调性法:
根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.
(2)换元法:
求形如y=f(x)型函数值域的步骤:①换元，令u=f(x)，利用函数图像和性质求出u的范围；②利用y=u的单调性、图像求出y的取值范围.
【习练·破】
若函数g(x)=(a+2x-1)有最大值1，则实数a的值
等于( )
A. B. C. D.4
【解析】选C.因为函数g(x)=(a+2x-1)有最大值
1，故a+2x-1有最大值3，
即 ，解得:a= .
类型三 对数函数性质的综合应用
角度1 对数型函数的奇偶性问题
【典例】函数f(x)= 是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【思维·引】利用定义，结合对数的运算判断.
【解析】选B.已知函数的定义域是R，关于原点对称，
因为f =
=-f(x).所以f(x)是奇函数.
【习练·破】
函数f(x)=lg( -2x)是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，也是偶函数
D.既不是奇函数，也不是偶函数
【解析】选A.因为 >|2x|，
所以 -2x>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，关于
原点对称.
又f(-x)=lg( +2x)=lg =-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
【素养·探】
在判断含对数式的函数的奇偶性时，常常用到核心素养
中的数学运算、逻辑推理，利用对数运算性质化简、变
形，利用奇偶性的定义进行判断.
本例中将函数变为fx=ln(1+x)－ln(1－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.
【解析】由 解得-1所以函数的定义域为(-1，1)，关于原点对称，
所以f(－x)=ln(1－x)-ln(1+x)
= =-f(x)，所以函数f(x)是奇函数.
角度2 对数型函数的单调性问题
【典例】1.(2019·重庆高一检测)若函数f(x)=ln(x2-
ax+1)在区间(2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围
是( )
A.(-∞，4] B.
C. D.
2.函数f(x)=(ax-3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________. ?
【思维·引】1.分层分析单调性，再复合.
2.首先根据函数的单调性确定a与1的关系，再限定真数大于0.
【解析】1. 选C.设g(x)=-ax+1，
则要使f(x)=ln(-ax+1)在区间(2，+∞)上单调递增，
由复合函数单调性可得:
满足
即 得a≤ ，
即实数a的取值范围是 .
2.因为函数f(x)=(ax-3)在[1，3]上单调递增，而函数t=ax-3在[1，3]上单调递增，
根据复合函数的单调性可得a>1，且a-3>0，
解得a>3.
答案:a>3
【类题·通】
1.与对数有关的奇偶问题
判断与对数函数有关的奇偶性时，依据是奇偶性的定义，
关键是利用对数的运算性质对f(－x)进行变形，注意运
算b-1=-b、分子分母有理化等的应用.
2.形如函数y=f(x)的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y=f(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.
【习练·破】
1.(2019·济宁高一检测)若函数f(x)=(2+x)(a
>0，a≠1)，在区间 内恒有f(x)>0，则f(x)的单调
递增区间为________.?
【解析】令y=2+x，x∈ ，
则y∈(0，1)，因为f(x)>0，所以0令2+x>0，解得x< 或x>0，
因为y=2+x在 上是减函数，
所以f(x)的单调递增区间为 .
答案:
2.已知y=(2-ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(0，2) D.(2，+∞)
【解析】选B.因为f(x)=(2-ax)在[0，1]上单调递
减，所以f(0)>f(1)，即2>(2-a)，
所以 所以1【加练·固】
函数f(x)= (-4)的单调递增区间是________.?
【解析】由-4>0，得x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，
令t=-4，由于函数t=-4的对称轴为y轴，
开口向上，所以t=-4在(-∞，0)上递减，在(0，+∞)上
递增，又由函数y= t是定义域内的减函数，所以原函
数在(-∞，-2)上递增.
答案:(-∞，-2)
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(共53张PPT)
指数函数与对数函数的关系
1.反函数的定义
(1)定义：如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.
(2)记法：y=f-1(x).
【思考】
函数f(x)=有反函数吗？为什么？
提示：没有.若令y=f(x)=1，则x=±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义.
2.反函数的求法
对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y得到.
【思考】
什么样的函数一定有反函数？
提示：单调函数.
3.函数与其反函数的性质的关系
(1)图像：关于直线y=x对称；
(2)定义域、值域：原函数的定义域与其反函数的值域相同；原函数的值域与其反函数的定义域相同.
(3)单调性：原函数与其反函数的单调性相同.
【思考】
在不求反函数解析式的情况下，怎样求反函数的定义域、值域？
提示：分别求原函数的值域、定义域.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)一定有反函数. ( )
(2)反比例函数y= (x≠0)一定有反函数. ( )
(3)点(1，0)一定在指数函数y=ax反函数的图像上. ( )
提示：(1)√.一次函数y=kx+b(k≠0)一定是单调函数，因此一定有反函数.
(2)√.对应值域中的任意一个y，x= 是唯一的，符合反函数的定义.
(3)√. 指数函数y=ax的反函数是对数函数，对数函数一定过点(1，0).
2.函数y=x的反函数是( )
A.y=-x B.y=3-x
C.y=3x D.y=-3x
【解析】选C.因为函数y=x，x>0，所以x=3y；
交换x，y的位置，得y=3x，
所以函数y=x的反函数是y=3x.
3.若函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)，则f-1(1)
=________.?
【解析】令2x=1，则x=0，所以f-1(1)=0.
答案：0
类型一 判断函数是否有反函数
【典例】1.下列函数中，存在反函数的是( )
2.判断下列函数是否有反函数.
(1)f(x)= ；(2)g(x)=-2x.
【思维·引】根据反函数的定义判断.
【解析】1.选D.因为f(x)=1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；
因为g(x)=1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，
因此g(x)的反函数不存在；
因为h(x)=2时，x=2或x=5，即对应的x不唯一，
因此h(x)的反函数不存在；
因为l(x)的值域{-2，-1，0，3，4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在.
2.(1)令y=f(x)，因为y= ，是由反比例函数
y= 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在
(-∞，1)，(1，+∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.(2)令g(x)=3，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在.
【内化·悟】
怎样说明函数的反函数不存在？
提示：选取值域中的一个值y，求出对应的自变量的值x，当自变量的值不唯一时，函数的反函数不存在.
【类题·通】
判定函数存在反函数的方法
(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在.
(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在.
(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在.
【习练·破】
判断下列函数是否存在反函数.
(1)y= -2.
(2)y=-2+4x，x∈(1，+∞).
【解析】(1)y= -2是由函数y= 向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(-∞，-1)，(-1，+∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数.
(2)y=-2+4x=-+2，对称轴为x=1，在(1，+∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数.
【加练·固】
判断函数y=|x|的反函数是否存在.
【解析】y=1，即|x|=1，解得x=±1，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
类型二 求函数的反函数
【典例】1.函数y= +1(x≥1)的反函数是( )
A.y=-2x+2(x<1) B.y=-2x+2(x≥1)
C.y=-2x(x<1) D.y=-2x(x≥1)
2.函数f(x)= 的反函数是( )
【思维·引】按照求反函数的步骤求反函数.
【解析】1.选B.因为y= +1(x≥1)，所以y≥1，
对调其中的x和y，得x= +1，
解得y=-2x+2(x≥1).
2.选B.令y=f(x)=
当x≥0时，y=2x≥0，对调其中的x和y，
得x=2y，解得y= ，所以f-1(x)= ，x≥0；
当x<0时，y=-<0，对调其中的x和y，
得x=-，解得y=- ，
所以f-1(x)=- ，x<0.
综上，其反函数f-1(x)=
【内化·悟】
对调x，y后，求x时应注意什么？
提示：要注意x的范围.
【类题·通】
反函数的求法
(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域.
(2)对调原函数解析式中的x和y，解出y.
(3)写出反函数.
【习练·破】
函数f(x)= 的反函数f-1(x)=________.?
【解析】令y= ，对调其中的x和y，
得x= ，解得y=+1，
函数f(x)的反函数为f-1(x)=+1.
答案：+1
【加练·固】
函数f(x)=(x≤-1)的反函数是f-1(x)=________.?
【解析】令f(x)=y=(x≤-1)，则x=- ，y≥1，
x，y互换，得反函数f-1(x)=- ，x≥1.
答案：- ，x≥1
类型三 原函数与其反函数性质的应用
角度1 求值
【典例】若函数f(x)= ，则f-1(2)的值为 ( )
A.5 B.-5 C. D. 4
【思维·引】反函数的自变量值即原函数的函数值.
【解析】选B.令 =2，所以x=-5，所以f-1(2)=-5.
【素养·探】
在利用反函数求值的过程中，常常用到核心素养中的逻辑推理，需要根据原函数与反函数定义域、值域之间的关系灵活求值，不用求出反函数.
本例的条件不变，试求f(f-1(2))，你能得出一个一般的结论吗？类比过程，你能直接求出f-1(f(2))吗？
【解析】f(f-1(2))=f(-5)= =2，
因为f(x)=1- ≠1，
可以得出f(f-1(x))=x，x≠1.
类比过程，f-1(f(2))=2.
角度2 求点
【典例】函数f(x)=(x-1)(a>0，a≠1)的反函数的图像过定点( )
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，3) D.(3，0)
【思维·引】利用原函数与反函数的图像关于y=x对称求点.
【解析】选A.函数f(x)=(x-1)恒过(2，0)，函数和它的反函数关于y=x对称，
那么(2，0)关于y=x的对称点是(0，2)，
即(0，2)为反函数图像上的定点.
【类题·通】
1.定义域、值域关系的应用
原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数.
2.图像的应用
原函数的图像与反函数的图像关于直线y=x对称，点P(x，y)关于y=x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值.
【习练·破】
1.设函数f(x)=2lg(2x-1)，则f-1(0)的值为 ( )
A.0 B.1
C.10 D.不存在
【解析】选B.令f(x)=0得：
2lg(2x-1)=0?x=1，所以f-1(0)=1.
2.设函数f(x)=(x+b)(a>0，a≠1)的图像过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，则a+b等于 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选C.函数f(x)=(x+b)(a>0，a≠1)的
图像过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，
则
所以 a=3或a=-2(舍)，b=1，所以a+b=4.
【加练·固】
设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数
f-1(x)，若f(4)=0，则f-1(4)=( )
A.0 B.4 C.-2 D.2
【解析】选C.根据题意可知点(4，0)在函数f(x)的图像上，结合图像的对称性，可知点(-2，4)在函数的图像上，所以有f(-2)=4，所以有f-1(4)=-2.
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(共58张PPT)
幂函数
1.幂函数的概念
形如y=的函数称为幂函数，其中α是常数.
【思考】
(1)幂函数的解析式有什么特征？
提示：①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数.
(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？
提示：①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数.
②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数.
2.幂函数共同的性质
(1)所有幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过(1，1).
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数.
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于+∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
【思考】
当α<0时，幂函数的图像是否过原点？
提示：α<0时，y=在x=0时无意义，图像不过原点.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)幂函数的图像在四个象限均有可能出现. ( )
(2)当α<0时，幂函数在R上是减函数.( )
(3)当α=0时，幂函数的图像是一条直线.( )
提示：(1)×.幂函数的图像不能出现在第四象限.
(2)×.当α=-1时，函数y= 在(-∞，0)，(0，+∞)
上是减函数，在R上不是减函数.
(3)×.函数y=的定义域为{x|x≠0}，图像是去除了一个点的直线.
2.下列函数为幂函数的是( )
A.y= B.y=- C.y=2x D.y=2
【解析】选A.根据幂函数的定义知，y=是幂函数，
y=-不是幂函数，y=2x是指数函数，不是幂函数，y=2不是幂函数.
3.如果幂函数f(x)=的图像经过点 ，则α=( )
A.-2 B.2 C.- D.
【解析】选A.幂函数f(x)=的图像经过点 ，
则3α= ，解得α=-2.
类型一 幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=的图像过点 ，
则式子4α的值为 ( )
A.1 B.2 C. D.
2.(2019·南平高一检测)已知函数f(x)=(3-m)-5
是幂函数，则f =________.?
【思维·引】1.代入点的坐标，求出α后代入求值.
2.根据幂函数解析式的特征求出m，确定解析式后求值.
【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=的图像过点 ，
所以 ，解得：α= ，故4α=2.
2.函数f(x)=(3-m)-5是幂函数，
则3-m=1，解得m=2，所以f(x)=x-1，
所以f(x)= ，所以
答案：2
【内化·悟】
若一个函数是幂函数，应怎样设函数的解析式？
提示：设函数f(x)=(α为常数).
【类题·通】
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)=，依据条件求出α.
【习练·破】
1.若幂函数f(x)=(-3m-3)在(0，+∞)上为增函数，则实数m=( )
A.4 B.-1 C.2 D.-1或4
【解析】选A.幂函数f(x)=(-3m-3)在(0，+∞)上为增函数，所以-3m-3=1，并且m>0，解得m=4.
2.已知幂函数f(x)=(a为常数)的图像经过点(2， )，
则f(9)=______.?
【解析】由题意f(2)=2a= ，
所以a= ，所以f(x)= ，所以f(9)= =3.
答案：3
类型二 幂函数的图像及应用
【典例】1.如图的曲线是幂函数y=在第一象限内
的图像，已知n分别取±1， ，2四个值，相应的曲线
c1，c2，c3，c4的n依次为( )
A.-1， ，1，2 B.2，1， ，-1
C. ，-1，2，1 D.2， ，-1，1
2.已知函数f(x)=(k为常数)，在下列函数图像中，不是函数y=f(x)的图像的是( )
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取.
2.根据幂函数图像所在的象限判断.
【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减，对
应的图像为c4；y=x对应的图像为一条过原点的直线，对
应的图像为c2；y=对应的图像为抛物线，对应的图像
应为c1；y= 在第一象限内的图像是c3，所以曲线
c1，c2，c3，c4的n依次为2，1， ，-1.
2.选C.函数f(x)=(k为常数)为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数y=f(x)的图像.
【内化·悟】
在第一象限内，幂函数的图像有什么特征？
提示：当α>0时，图像从左向右逐渐上升，随着指数增大，图像上升越快，当α<0时，图像从左向右逐渐下降.
【类题·通】
解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂
函数在第一象限内的图像(类似于y=x-1或y= 或y=)
来判断.
【习练·破】
在同一坐标系中，函数f(x)=(x>0)，g(x)=x
(a>0且a≠1)的图像可能是( )
【解析】选D.对A，没有幂函数的图像；对B，
f(x)=(x>0)中a>1，g(x)=x中00)中01，不符合题意；对D，f(x)=(x>0)中0【加练·固】
如图是①y=；②y=；③y=，在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.aC.b【解析】选D.由幂函数图像和单调性可知：
a<0，b>1，0类型三 幂函数性质的应用
角度1 利用幂函数的单调性比较大小
【典例】(2019·娄底高一检测)已知a= ，b= ，
c= ，则( )
A.bC.b【思维·引】先对式子变形，再选取恰当的函数利用单调性比较大小.
【解析】选A.因为a= ，c= ，
由幂函数y= 的单调性，所以a由a=
根据指数函数y=16x的单调性，所以a>b，可得b【素养·探】
利用幂函数的单调性比较大小时，常用到核心素养中的数学建模，根据要比较的式子的特征，选取指数函数、幂函数模型进行比较.
将本例中的b改为 ，试比较三个数的大小？
【解析】因为a=
由幂函数y= 的单调性，知a角度2 探究幂函数的图像及性质
【典例】讨论函数y=x-2的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
【思维·引】求出定义域，证明奇偶性，再根据奇偶性描点作图，最后得出单调性.
【解析】因为y=x-2= ，
所以定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，记f(x)=x-2，
则f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x)，
因此函数y=x-2是偶函数.因此函数图像关于y轴对称.通过列表描点，可以先画出y=x-2在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-2在区间(0，+∞)上是单调递减函数，在(-∞，0)上是单调递增函数.
【类题·通】
1.关于指数式比较大小
(1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小.
(2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小.
2.关于函数图像、性质的探究
(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.
(2)几点说明：
①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；
②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；
③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.
【习练·破】
1.(2019·伊犁高一检测)已知点(m，8)在幂函数
f(x)=(m-1)的图像上，设a=f ，b=f(lnπ)，
c=f ，则a，b，c的大小关系为( )
A.aC.b【解析】选A.点(m，8)在幂函数f(x)=(m-1)
的图像上，
可得m-1=1，即m=2，2n=8，可得n=3，
则f(x)=，且f(x)在R上单调递增，
由a=f ，b=f(lnπ)，c=f ，
且0< < <1，lnπ>1，可得a2.讨论函数y=x-3的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
【解析】因为y=x-3= ，所以定义域为(-∞，0)∪
(0，+∞)，
记f(x)=x-3，则f(-x)=(-x)-3= =-x-3=-f(x)，
因此函数y=x-3是奇函数.因此函数图像关于原点对称.
通过列表描点，可以先画出y=x-3在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-3在区间(0，+∞)，(-∞，0)上都是单调递减函数.
【加练·固】
已知幂函数f(x)=的图像经过函数g(x)=ax-2- (a>0且a≠1)的图像所过的定点，则幂函数f(x)
不具有的特性是( )
A.在定义域内有单调递减区间
B.图像过定点(1，1)
C.是奇函数
D.其定义域是R
【解析】选D.由x-2=0，即x=2，
可得g(2)=1- = ，
函数g(x)=ax-2- (a>0且a≠1)的图像所过的定点为
(2， )，
则2α= ，解得α=-1，则f(x)= ，
定义域为{x|x≠0}，则减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，
图像经过定点(1，1)，且为奇函数，D不正确.
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(共54张PPT)
增长速度的比较
1.用平均变化率比较函数值变化的快慢
(1)定义：函数y=f(x)在区间[，](<时)或
[，](<时)上的平均变化率为
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值将增加___
个单位.
(4)应用：比较函数值变化的快慢.
【思考】
对于函数f(x)=x+1，g(x)=4x-3，当Δx足够大时，对于x∈R，f(+Δx)，g(+Δx)的大小关系能确定吗？
提示：当Δx足够大时，f(+Δx)2.两种重要的函数增长
(1)指数增长：
①性质：当a>1时，指数函数f(x)=ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)=ax的函数值增长的越来越快；
②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长).
(2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).
【思考】
指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？
提示：指数增长.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若f(x)=2x+1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位. ( )
(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.( )
(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.( )
提示：(1)×.自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位.
(2)√.线性增长的增长速度是不变的.
(3)×.当a>1时，指数增长速度比线性增长速度大.
2.四个人赛跑，假设他们跑过的路程(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是(x)=，(x)=4x，(x)=log2x，(x)=2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.(x)=x2 B.(x)=4x
C.(x)=log2x D.(x)=2x
【解析】选D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的.故最终跑在最前面的人具有的函数关系是(x)=2x.
3.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度
增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；
④5 min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.(填序号)?
【解析】因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，即
5 min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来
越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确.
答案：②④
类型一 比较函数值增加的快慢
【典例】已知函数y=4x，分别计算函数在区间[1，2]与
[3，4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单
位时，函数值的变化规律.
【思维·引】按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律.
【解析】因为 所以y=4x在区
间[1，2]上的平均变化率为 =12，在区间[3，4]
上的平均变化率为 =192，所以当自变量每增加
1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快.
【内化·悟】
当区间左端点越大，函数值增加越快时，函数的图像有什么特征？
提示：图像上升，图像越来越陡.
【类题·通】
平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用
(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢，
(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响.
【习练·破】
已知函数y=-2x-3.
(1)分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，
分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；
(2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，
D(4，f(4))，判定直线AB与直线BC斜率的相对大小.
【解析】(1) =+x1-2，所以
在区间[1，2]上的平均变化率为1，在区间[3，4]上的平
均变化率为5，所以自变量每增加1个单位，区间长不变
的条件下，端点之和越大，函数值增加越快.
(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率
小于直线CD的斜率.
【加练·固】
已知函数y=-+2x+1，计算在区间[1，2]，[2，3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律.
【解析】 =-(+x1)+2，
所以在区间[1，2]上的平均变化率为-1，在区间[2，3]
上的平均变化率为-3，所以自变量每增加1个单位，
区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值减小越快.
类型二 比较函数平均变化率的大小
类型二 比较函数平均变化率的大小
【典例】已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，h(x)=log3x，比较这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率的
大小.
【思维·引】计算出平均变化率，再利用指数函数、
对数函数的性质比较大小.
【解析】因为 =2×3a，
又因为a>1，所以2×3a>2×31=6，
log3 因此在区间[a，a+1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小.
【内化·悟】
指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的顺序是什么？
提示：由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数.
【类题·通】
不同函数平均变化率大小的比较
计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小.
【习练·破】
已知函数f(x)=4x，g(x)=5x，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小.
【解析】
所以在区间[2，3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小.
类型三 函数增长速度的应用
角度1 增长曲线的选择
【典例】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V=f(h)的大致图像是( )
【思维·引】根据鱼缸的形状，判断h变化时水的体积V变化的快慢，选择变化曲线.
【解析】选B.当h=H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，综合分析可知选B.
【素养·探】
在增长曲线的选择过程中，常常用到核心素养中的直观想象，根据变量增长的快慢，想象函数曲线的变化，从而选择恰当的曲线描述实际问题.
本例中，若将鱼缸的形状变为如图的形状，则应选择哪一个曲线？
【解析】选D.当h=H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，最后增长速度快，类似于指数函数的图像，故综合分析可知选D.
角度2 函数变化率大小的应用
【典例】函数f(x)=2x和g(x)=的图像如图所示.设两函数的图像交于点A(，)，B(，)，且<.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数.
(2)结合函数图像示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，
g(2 019)的大小.
【思维·引】(1)根据两类函数图形的特征判断.
(2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=，
C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)，
所以1<<2，9<<10，所以<6<，2 019>，
从图像上可以看出，
当当x>时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019)；
又因为g(2 019)>g(6)，
所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
【类题·通】
由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升快慢，即随着自变量的增长，图像最“陡”的函数是指数函数，图像趋于平缓的函数是对数函数.
【习练·破】
函数f(x)=lgx，g(x)=0.3x-1的图像，如图所示：
(1)试根据函数增长差异找出曲线，对应的函数；
(2)比较函数增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
【解析】 (1) 对应的函数为g(x)=0.3x-1，对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x<时，g(x)>f(x)；当g(x)；当x>时，g(x)>f(x).
【加练·固】
函数f(x)=1.1x，g(x)=ln x+1，h(x)= 的图像如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之
间，可明显得出曲线对应的函数是f(x)=1.1x，
曲线对应的函数是h(x)= ，曲线对应的函数是
g(x)=ln x+1.
由图像可得：当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).
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(共55张PPT)
函数的应用（二）
1.指数函数型模型
(1)表达形式：f(x)=abx+c.
(2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1.
2.对数函数型模型
(1)表达形式：f(x)=mx+n.
(2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1.
3.幂函数型模型
(1)解析式：y=a+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)
(2)单调性：其增长情况由中的α的取值而定.
【思考】
指数型、对数型函数模型都是递增的吗？
提示：不一定，也可能是递减的，根据底数的大小判断.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.( )
(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好.( )
(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好. ( )
提示：(1)×.对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别.
(2)√.数据越多，模拟效果越好.
(3)√.根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型模拟效果较好.
2.计算机成本不断降低，若每隔2年计算机价格降低 ，
现在价格为8 100元的计算机6年后价格可降为( )
A.3 600元 B.2 400元
C.900元 D.300元
【解析】选B.由题意，计算机6年后的价格为：
8 100× =2 400(元).
3.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=a(x+1)，设这种动物第1年有100只，则第7年
它们繁殖到______只.?
【解析】由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系
为y=a(x+1)，这种动物第1年有100只，所以100=a(1+1)，所以a=100，所以y=100(x+1)，
所以当x=7时，y=100(7+1)=100×3=300.
答案：300
类型一 函数模型中的参数
【典例】将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲
桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent，假设过5秒后
甲桶和乙桶的水量相等，则n=________，若再过m秒甲桶
中的水只有 升，则m的值为________.?
【思维·引】利用两桶水量相等求n值，再代入关系式求m.
【解析】5秒后甲桶和乙桶的水量相等，
所以函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n= a，
即5n=ln ，得n= ln ，
当k秒后甲桶中的水只有 升，即f(k)= ，
即 ln ·k=ln =2ln ，即k=10，
经过了k-5=10-5=5秒，即m=5.
答案： ln 5
【内化·悟】
本题中用来求参数隐含的条件是什么？
提示：假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等.
【类题·通】
怎样求应用性问题解析式中的参数？
应用性问题变量间的关系式中往往含有参数，需要先确定参数值，解题中要认真审题，条件中会给出特殊情况下的一对参数的对应值，用来确定参数的值，这是解题的前提.
【习练·破】
某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑
到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油
耗(所需要的汽油量)为 ，其中k为常数.
若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k=________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________.?
【解析】设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y L，
由题意可得y=
当x=120时，y=11.5，
所以11.5= ，解得k=100，
所以y=
因为每小时的油耗不超过9 L，
所以 ≤9，即-145x+4 500≤0，
解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，
所以欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为
[60，100].
答案：100 [60，100]
【加练·固】
工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a·0.5x+b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件.?
【解析】由题意有
解得 所以y=-2×0.5x+2，
所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案：1.75
类型二 指数型函数模型的应用
【典例】习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和
发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自
然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”.
目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色
金属、炼化等)的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x(0
(1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a，n表示x.
(2)若x=10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017的25%？
参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.
【思维·引】(1)利用初始值、“增长率”、增长次数的关系式.
(2)列出不等式，利用对数知识、参考数据运算.
【解析】(1)依题意得：(1-x)n=a，
所以1-x= ，即x=1- .
(2)设n年后年产能不超过2017年的25%，
则(1-10%)n≤25%，即
即 ，即n(2lg 3-1)≤-2lg 2，
所以n≥ ，即n≥ ，因为13< <14，
且n∈N*，所以n的最小值为14，
所以，至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
【内化·悟】
初始值为a，增长率为x，增长n次后的表达式是什么？
提示：a(1+x)n.
【类题·通】
有关增长(衰减)率问题
(1)熟练应用公式a(1+x)n，特别是增长(衰减)次数，审清如年初、年底等字眼.
(2)对于比较复杂的问题，可以通过写出前三、四次的表达式，找出规律后再写第n次的.
【习练·破】
有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年
约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如
果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从
________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000
万吨.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)?
【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示
从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得
y=400×(1+50%)n=400× ，由于第n年快递行业产生
的包装垃圾超过4 000万吨，所以4 000=400× ，
所以 =10，两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1，
所以n(0.477 1-0.301 0)=1，解得0.176 1n=1，解得
n≈6，所以从2 015+6=2 021年开始，快递行业产生
的包装垃圾超过4 000万吨.
答案：2 021
类型三 幂函数、对数型函数模型的应用
角度1 幂函数模型的应用
【典例】已知A，B两地的距离是120 km，按交通法规规
定，A，B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h，
假设汽油的价格是6元/L，以x km/h速度行驶时，汽车
的耗油率为 L/h，支付司机每小时的工资36元.
(1)此次行车最经济的车速是________.?
(2)如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为________.?
【思维·引】表示出行车的时间、总费用后利用基本不等式求最小值及取最小值时的车速.
【解析】(1)总费用为y=36×
当且仅当 =2x，即x=60 km/h时，取等号，
所以此次行车最经济的车速是60 km/h.
(2)由(1)知如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为240元.
答案：(1)60 km/h (2)240元
【素养·探】
在解决实际问题中的最值问题时，常常用到核心素养中的数学运算，需要用配方、基本不等式等求最值.
本例的条件不变，若要求费用控制在260元以内，则行车车速应控制在什么范围之内？
【解析】由题意令y=36×
+2x≤260，即-130x+3 600≤0，解得40≤x≤90，因为A，B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h，所以行车车速应控制在50～90 km/h.
角度2 对数型函数模型的应用
【典例】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徒，飞往繁
殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表
示为函数v= ，单位是km/min，其中x表
示候鸟每分钟耗氧量的单位数，代表测量过程中某类
候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2=0.30，
31.2=3.74，31.4=4.66).
(1)当=2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min？
(2)当=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
【思维·引】(1)将，x代入解析式求速度.
(2)利用候鸟休息的速度为0解题.
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商.
【解析】(1)由题意，=2，x=8 100，
得v=
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，
可得，
即log3 =2lg 5，解得：x=466，故候鸟停下休息时，
它每分钟的耗氧量为466个单位.
(3)设雄鸟的耗氧量为，雌鸟的耗氧量为，
由题意得
两式相减可得1= ，解得： =9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量
的9倍.
【类题·通】
对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型.
(2)依实际情况确定解析式中的参数.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
【习练·破】
(变式练)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的
速度，假设函数t=-144lg 中，t表示达到某一英文
打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.
则当N=40时，t=________.(已知lg 5≈0.699，lg 3
≈0.477)?
【解析】当N=40时，则t=-144lg
=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
答案：36.72
【加练·固】
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑
鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单
位数Q之间的关系可以表示为函数v=klog3 +b，其中
k，b为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单
位；而当它的游速为1.5 m/s时，其耗氧量为2 700个单位.
(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位？
【解析】(1)由题意可得
解得k= ，b=0，所以游速v与其耗氧量单位数Q之间
的函数解析式v=
(2)由题意，有 log3 ≤2.5，即log3 ≤5，
所以log3 ≤log335，由对数函数的单调性，
得0< ≤35，解得0故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要24 300个单位.
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(共16张PPT)
数学建模活动：生长规律的描述
课标要求 素养要求
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义. 通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
教材知识探究
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
问题 你知道什么是数学建模吗？
提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.
1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤
(1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；
(2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；
(3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；
(4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；
(6)检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
2.数学建模活动的要求
(1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示.
教材拓展补遗
[微判断]
1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.( )
2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.( )
3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.( )
√
√
√
[微思考]
数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？
提示 科学研究通常需要经历四个基本步骤
(1)选题；
(2)开题；
(3)做题；
(4)结题.
生长规律的描述
1.发现问题，提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.例如，香港特别行政区卫生署2010年发布的《香港特别行政区7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，香港7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
以上数据可用下图表示
从数据和图都可以看出，香港地区7岁以下女童身高的增长速度越来越慢，能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？
2.分析问题、建立模型
要描述生长规律，实际上是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化？
不难想到，我们可以借助函数y＝f(x)来描述生长规律.
因为从生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y＝f(x)在指定的范围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y＝f(x)不能是一次函数.
年龄/岁 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
g(x) 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9
年龄/岁 3.5 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
g(x) 99.7 106.3 109.4 112.3 115.1 117.8
谢 谢
