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数据的收集
第1课时 总体与样本及简单随机抽样
1.统计的相关概念
总体 所考察问题涉及的对象全体是总体
个体 总体中每个对象都是个体。
样本 抽取的部分对象组成总体的一个样本
样本
容量 一个样本中包含的个体数目是样本容量
2.普查与抽样调查
一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查（也称全面调查），只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查。
3.简单随机抽样
（1）定义：一般地，简单随机抽样（也称纯随机抽样）就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体。
（2）两种常见方法：①抽签法；②随机数表法。
【思考】
抽签法与随机数表法的异同点是什么？
提示：
抽签法 随机数表法
不同点 ①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 ①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点 ①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取
4.随机数表法进行简单随机抽样的步骤
【思考】
用随机数表进行简单随机抽样的规则是什么？
提示：（1）定方向：读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）。
（2）读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）要想准确知道全班同学的平均年龄，应进行普查。（ ）
（2）简单随机抽样也可以是有放回抽样。（ ）
（3）简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等。（ ）
（4）当总体容量很大时，不宜采用抽签法。（ ）
提示：（1）√。抽样调查无法获得准确的平均年龄。
（2）×。简单随机抽样是不放回抽样。
（3）√。简单随机抽样是等可能的抽样。
（4）√。总体容量很大时，抽签法费时费力，且抽取的样本代表性较差。
2.下面问题可以用普查的方式进行调查的是（ ）
A.检验一批钢材的抗拉强度
B.检验海水中微生物的含量
C.检验10件产品的质量
D.检验一批汽车的使用寿命
【解析】选C。A不能用普查的方式进行调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；D试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用。
3.参加运动会的800名运动员的体重情况，从中抽查了80名运动员的体重，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A.800名运动员是总体 B.每个运动员是个体
C.抽取的80名运动员是样本 D.样本容量是80
【解析】选D。此问题研究的是运动员的体重情况，不是运动员，故A，B，C错误。
4.抽签法中确保样本代表性的关键是（ ）
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取不放回
【解析】选B。只有搅拌均匀才能保证抽样的公平。
5.从10个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数表法抽取样本，则编号应为（ ）
A.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
B.-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
C.10，20，30，40，50，60，70，80，90，100
D.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
【解析】选D。用随机数表法抽取样本，则编号位数应相同，且不能为负数。
类型一 简单随机抽样的有关概念
【典例】1.若对某校1200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）
A.120名学生
B.1200名学生
C.120名学生1500米跑的成绩
D.1200名学生1500米跑的成绩
2.用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________。?
3.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本。
（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查。
（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加抗震救灾工作。
（4）一彩民选号，从装有33个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签。
【思维·引】
1.依据样本的定义解答。
2.依据简单随机抽样是等可能地抽取解答，即在整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等，均为样本容量与总体容量之比。
3.依据简单随机抽样的定义判断。
【解析】
1.选C。本题抽取的是120名学生1500米跑的成绩，因此每个学生1500米跑的成绩是个体，这120名学生1500米跑的成绩构成样本。
2.因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为 =0.2。
答案：0.2
3.（1）不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数是有限的。
（2）不是简单随机抽样。虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”。
（3）不是简单随机抽样。因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求。
（4）是简单随机抽样。因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样。
【内化·悟】
在抽样调查中，确定总体、个体、样本要注意什么？
提示：要注意说明研究的是哪些指标。如本例1中，研究的是学生1500米跑的成绩。
【类题·通】
简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
（2）被抽取的样本数n小于或等于样本总体中的个体数N；
（3）抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
（4）简单随机抽样是一种不放回抽样；
（5）简单随机抽样是一种等可能的抽样。每次从总体中抽取一个个体时，每个个体被抽取的可能性相等，均为样本容量与总体容量之比。
（4）简单随机抽样是一种不放回抽样；
（5）简单随机抽样是一种等可能的抽样。每次从总体中抽取一个个体时，每个个体被抽取的可能性相等，均为样本容量与总体容量之比。
【习练·破】
下面抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某饮料公司从仓库中的10000瓶饮料中一次性抽取50瓶进行质量检查
C.某学校从100名学生中，选出10名数学好的学生去参加数学竞赛
D.从10个笔记本电脑中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个笔记本电脑已编好号，对编号随机抽取）
C.某学校从100名学生中，选出10名数学好的学生去参加数学竞赛
D.从10个笔记本电脑中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个笔记本电脑已编好号，对编号随机抽取）
【解析】选D。A中平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中选出10名数学好的学生，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误。
【加练·固】
1.为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况。在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（ ）
A.总体 B.个体
C.总体的一个样本 D.样本容量
【解析】选C。100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本。
2.一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是________。?
【解析】简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，所以从200个个体中抽取一个容量为20的样本，每个个体被抽到的可能性都是 。
答案：
类型二 抽签法
【典例】要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试。请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程。
【思维·引】已知N=30，n=3。抽签法抽样时编号1，2，…，30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本。
【解析】应使用抽签法，步骤如下：
①将30辆汽车编号，号码是1，2，3，…，30；
②将1～30这30个编号分别写到大小、形状都相同的纸片上；
③将写好的纸片放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
④从容器中每次抽取一个纸片，连续抽取3次，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象。
【内化·悟】
抽签法是如何保证所取样本具有代表性的？
提示：写编号用的纸片或小球，大小、形状、颜色等完全一致，放到容器中，搅拌均匀，随机抽取编号。
【类题·通】
抽签法的5个步骤
【习练·破】
学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目。某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学。
【解析】第一步，将32名男生从1到32进行编号；
第二步，用大小形状都相同的纸做成32个纸片，在每个纸片上分别写上这些编号；
第三步，将写好的纸片放在一个容器内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个纸片；
第四步，相应编号的男生参加合唱；
第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名女生参加合唱。
【加练·固】
现要从20名学生中抽取5名进行问卷调查，写出抽取样本的过程。
【解析】①先将20名学生进行编号，从1编到20；
②把号码写在形状、大小均相同的号签上；
③将号签放在某个不透明的箱子中进行充分搅拌，力求均匀，然后依次从箱子中抽取5个号签，按这5个号签上的号码找出对应的学生，即得样本。
类型三 用随机数表进行简单随机抽样
【典例】现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00，01，02，…，79，在随机数表中任选一个数，例如，选出第6行第1组第5个数7（下面摘取了一个随机数表的第6行至第10行）。
16227 79439 49544 35482 17379 32378 87352 09643 84263 49164
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676
63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879
33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954
57608 63244 09472 79654 49174 60962 90528 47727 08027 34328
规定从选定的数7开始向右读，依次得到的样本为________。
【思维·引】从选定的数7开始向右读，每次读取两位，不在编号范围内或重复的号码舍弃，直到取满6个数为止。
【解析】找到第6行第1组第5个数7开始向右读，
第一个符合条件的是77，
第二个数是94，因为它大于79，舍去。
第三个数是39，第四个数是49，
第五个数是54，第六个数是43。
第七个数是54，重复，舍去。
第八个数是82，因为它大于79，舍去。
第九个数是17。
答案：77，39，49，54，43，17
【素养·探】
在与用随机数表进行简单随机抽样有关的问题中，经常利用核心素养中的数据分析，通过研究用随机数表进行简单随机抽样，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生处理、分析数据的能力。
将本例的条件改为“90瓶水中抽取8瓶进行检验”，选号的起始点不变，应如何编号？抽样结果又如何？
【解析】先将90瓶水编号，可以编为00，01，02，……，89，从第6行第1组第5个数7开始，依次取77，94（舍），39，49，54，43，54（舍），82，17，37。
【类题·通】
在利用随机数表法抽样的过程中需注意的问题
（1）编号要求位数相同。
（2）第一个数字的抽取是随机的。
（3）读数的方向是任意的，且事先定好的。
【习练·破】
总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（ ）
附：第6行至第9行的随机数表
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A.3 B.16 C.38 D.20
【解析】选D。按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，则选出的第3个个体的编号为20。
【加练·固】
福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用如图的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个红色球的编号为（ ）
71913 86754 13581 83476 35542 59552 42378 63932
34855 52612 59565 68923 49376 39673 12035 84310
A.13 B.32 C.25 D.18
【解析】选B。选取方法是从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为13，18，25，32，26，12。所以选出来的第4个红色球的编号为32。
第2课时
分层抽样
分层抽样
（1）定义
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样（简称为分层抽样）
【思考】
如何理解“层在总体中所占比例”？
提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么
（2）应用的广泛性
①分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时。
②分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法。
③想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样。
【思考】
简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么？
提示：
类别 简单随机抽样 分层抽样
各自
特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层，分层进行抽取
相互
联系 在各层抽样时采用简单随机抽样
适用
范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成
共同点 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）分层抽样实际上是按比例抽样。（ ）
（2）分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样。（ ）
（3）分层抽样中不能用简单随机抽样。（ ）
提示：（1）√。由分层抽样的定义知此说法正确。
（2）×。分层抽样是等可能抽样。
（3）×。分层抽样在各层抽样时，可以灵活选用不同的抽样方法。
2.下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是（ ）
A.从一箱3000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲、乙两厂生产的300个零件中抽取6个入样
【解析】选D。A总体容量较大，样本容量较小，适合用随机数表法；B总体容量较大，且无明显差异，不适合用分层抽样；C总体容量较小，样本容量较小，适合用抽签法；D总体有明显的层次，适合用分层抽样法。
3.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【解析】选B。设在高二年级的学生中抽取x人，
则有 ，解得x=8。
4.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A.7，5，8 B.9，5，6
C.7，5，9 D.8，5，7
【解析】选B。由于样本容量与总体中的个体数之比为 ，故各年龄段抽取的人数依次为45× =9（人），25× =5（人），20-9-5=6（人）。
类型一 分层抽样的基本概念
【典例】1.分层抽样是将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能被抽取，必须进行（ ）
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽个体数量相同
2.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
（1）从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查。
（2）某社区有400个家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭230户，低收入家庭70户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本。
（3）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
【思维·引】1.依据分层抽样在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样解答。
2.抓住分层抽样的特点，即适用于有差异较大的几个部分组成的总体的抽样，根据这个特点来确定分层抽样的应用范围，再由分层抽样的定义，可以判断出所给的抽样方法是否属于分层抽样。
【解析】1.选C。保证每个个体等可能地被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样。
2.（1）总体的个体数较少，用简单随机抽样中的抽签法。
（2）因购买力与收入有关，总体中的个体差异明显，采用分层抽样法。
（3）为了体现学校各类人员对这一问题的不同的意见，采用分层抽样法。
【内化·悟】
分层抽样中分多少层？如何分层？
提示：要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠。
【类题·通】
1.分层抽样的判断方法
（1）看总体：看总体中个体是否具有明显差异。
（2）看过程：看各部分的样本是否是按各部分在总体中所占的比例实施抽样。
2.分层抽样的分层标准
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
【习练·破】
1.下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是（ ）
A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40。有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D.从50个零件中抽取5个做质量检验
【解析】选C。A的总体容量较大，若对总体分层，层与层之间没有明显区别。B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似。
2.某学院有四个饲养房，分别养有18，54，24，48只白鼠供试验用。某项试验需抽取24只，你认为最合适的抽样方法为。
（1）在每个饲养房各抽取6只。
（2）把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机抽样法确定24只。
（3）在四个饲养房分别随手提出3，9，4，8只。
（4）先确定在这四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样法确定各自抽取的对象。
【解析】（1）中对四个饲养房抽取的白鼠平均分，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了每个个体入选的可能性不相等，是错误的方法。
（2）中保证了每个个体入选的可能性相等，但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采用分层抽样可靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量。
（3）中总体采用了分层抽样，但在每个层次中抽取时有一定的主观性，貌似随机，实则每个个体被抽到的可能性无法保证相等。
答案：（4）
类型二 分层抽样中的计算问题
【典例】1.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人。为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人。
2.某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上（含35岁）的人数 100 100 400
（1）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值。
（2）从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
【思维·引】1.根据
列方程求解。
2.（1）根据 列方程求n。
（2）35岁以下（含35岁）的人数× 即可；另外要注意35岁以上（含35岁）的人数与35岁以下的人数和为5。
【解析】1.设该校其他教师有x人，
则
解得x=52，经检验，x=52是原方程的根，故全校教师共有26+104+52=182人。
答案：182
2.（1）由题意得
解得n=40。
（2）35岁以下的人数为 ×400=4人，
35岁以上（含35岁）的人数为5-4=1人。
【素养·探】
在与分层抽样中的计算有关的问题中，经常利用核心素养中的数学运算，通过总体和样本中各层个体数量的比例关系，求出有关量，培养学生计算能力。
将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n。
【解析】由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则 ，解得n=80。
【类题·通】
分层抽样中的求解技巧
（1）
（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比。
【习练·破】
交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个
社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 （ ）
A.101 B.808 C.1212 D.2012
【解析】选B。由题意知抽样比为 ，而四个社区一共
抽取的驾驶员人数为12+21+25+43=101，故有 = ，解得N=808。
【加练·固】
某校共有3200名学生，其中高一、高二、高三学生人数的比例为5∶3∶2，从所有学生中抽取一个容量为400的样本，采用哪种抽样方法更合理？高一、高二、高三学生应分别抽取多少？
【解析】由于高一，高二，高三学生人数的比例不同，用分层抽样的方法更合理；
高一学生抽取的人数为400× =200（人）。
高二学生抽取的人数为400× =120（人）。
高三学生抽取的人数为400× =80（人）。
类型三 抽样方法的综合应用
【典例】为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表。（单位：人）
高校 相关人数 抽取人数
A x 1
B 36 y
C 54 3
（1）求x，y。
（2）若从高校B相关的人中选2人进行专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程。
【思维·引】观察特征，确定抽样方法，求出比例，确定各层样本数。
【解析】（1）分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有 ?x=18， ?y=2，故x=18，y=2。
（2）总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步 将36人随机分号，号码为1，2，3，…，36；
第二步 将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步 将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的号码。
第四步 把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本。
【类题·通】
抽样方法的综合应用
（1）抽样方法的选取原则
若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样。若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样。当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法。
（2）抽样方法的应用原则
分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似。在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用。
【习练·破】
（2019·驻马店高一检测）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A.9 B.18 C.27 D.36
【解析】选B。设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x人，
因为x+2x+160=430，
所以x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，
因为在抽取的样本中有青年职工32人，所以每个个体被抽到的概率是 ，用分层抽样的比例应抽取 ×90=18（人）。
【加练·固】
一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人。为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤如下：
（1）分层。按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工。
（2）确定每层抽取个体的个数.抽样比为 ，则在不到35岁的职工中抽取125× =25（人）；在35岁至49岁的职工中抽取280× =56（人）；在50岁及50岁以上的职工中抽取95× =19（人）。
（3）在各层分别按随机数表法抽取样本。
（4）汇总每层抽样，组成样本。
谢 谢
(共78张PPT)
数据的数字特征
1.最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。
2.平均数
（1）定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的 平均数为（x1+x2+…+xn）。
这一公式在数学中常简记为 。
（2）求和符号∑具有的性质
（3）如果x1，x2，…，xn，的平均数为 ，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数是a +b。
【思考】
（1）x5+x6+…+x15如何用符号∑表示？
提示：x5+x6+…+x15= 。
（2）如何证明
提示： =kx1+kx2+…+kxn
=k（x1+x2+…+xn）= 。
3.中位数
（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n+1，则称xn+1为这组数的中位数；
（2）如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称 为这组数的中位数。
4.百分位数
（1）定义：一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有 %的数据不小于该值。
（2）计算方法：
设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i=np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取 为p%分位数；如果i是整数，取 为p%分位数。规定：0分位数是x1（即最小值），100%分位数是xn（即最大值）
【思考】
中位数和百分位数的关系是什么？
提示：中位数是50%分位数。
5.众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
6.极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差。
7.方差与标准差
①如果x1，x2，…，xn，的平均数为 ，则方差s2= ，方差的算术平方根称为标准差。
②如果x1，x2，…，xn，的方差为s2，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差是a2s2。
【思考】
（1）方差和标准差的取值范围是什么？
方差、标准差为0的含义是什么？
提示：标准差、方差的取值范围：[0，+∞）。
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度。
（2）方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？
提示：标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）对于一组数据来说，众数是唯一的。（ ）
（2）中位数在一组数据中是唯一的，且一定是这组数据中的一个数据。（ ）
（3）x1，x2，x3的平均数为 ，方差为s2，则2x1-1，2x2-1，2x3-1的平均数为2 -1，方差为4s2-1。（ ）
（4）方差、标准差是反映样本波动大小的特征数。（ ）
提示：（1）×。众数可能不唯一。
（2）×。中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组数据中的数据。
（3）×。2x1-1，2x2-1，2x3-1的平均数为2 -1，方差为4s2，故错误。
（4）√。
2.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80。其中平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）
A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数
【解析】选D。平均数、中位数、众数皆为50。
3.1，3，5，7，9，11，13，15，17，19的25%分位数是（ ）
A.3 B.5 C.6 D.7
【解析】选B。因为数据个数为10，而且10×25%=2.5，因此这组数据的25%分位数为5。
4.样本101，98，102，100，99的标准差为（ ）
A. B.0 C.1 D.2
【解析】选A。样本平均数 =100，方差s2=2，
所以标准差s= 。
类型一 最值、平均数、众数
【典例】某公司员工的月工资情况如表所示：
（1）分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数。
（2）你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？
月工资/元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700
员工/人 1 2 5 8 20 12 2
【思维·引】（1）依据最值、众数的定义及平均数的计算公式求值。
（2）根据第（1）问的计算结果和实际意义作答。
【解析】（1）该公司员工月工资的最大值为8000元，最小值为700元，众数为1000元。平均数为
（8000×1+5000×2+4000×5+2000×8+1000×20+800
×12+700×2）=1700（元）。
（2）用众数，因为最大值为8000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理。
【内化·悟】
众数和平均数各有什么优缺点？
提示：
数字特征 优点与缺点
众数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数。但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
平均数 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的最值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
【类题·通】
1.最值和众数的求法
在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值。
2.求平均数的步骤
（1）求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1+x2+…+xn。
（2）求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，xn的平均数为 （x1+x2+…+xn）。
【习练·破】
某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：
选用平均数与众数评估这两个班的成绩。
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲班 1 6 12 11 15 5
乙班 3 5 15 3 13 11
【解析】甲班平均数为 （50×1+60×6+70×12
+80×11+90×15+100×5）=79。6（分），乙班平均数为 （50×3+60×5+70×15+80×3+90×13+
100×11）=80.2（分），从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班。
【加练·固】
1.已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】选A。因为x1，x2，x3的平均数为a，所以x1，x2，x3的和为3a，因为x4，x5，…，x10的平均数为b，所以x4， x5，…，x10的和为7b，则样本数据的和为3a+7b，样本数据的平均数 。
2.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下（单位：岁）：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56。
（1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
（2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
【解析】（1）甲群市民年龄的平均数为
=15（岁）。中位数为15岁，众数为15岁。
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征。
（2）乙群市民年龄的平均数为
=15（岁），中位数为6岁，众数为6岁。
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差。
类型二 中位数、百分位数的计算
【典例】1.已知一组数据8，6，4，7，11，6，8，9，10，5，则该组数据的中位数是________。?
2.甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49。乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51。求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数。
【思维·引】
1.排序并数出数据总数，依据中位数的定义计算；
2.依据百分位数的定义计算。
【解析】1.已知数据从小到大排列为：4，5，6，6，7，8，8，9，10，11，共10个数，所以中位数是 =7.5。
答案：7.5
2.两组数据都是12个数，而且12×25%=3，12×75%=9，12×90%=10.8，因此，甲运动员得分的25%分位数为
=22.5，甲运动员得分的75%分位数为
=38，甲运动员得分的90%分位数为x11=44。
乙运动员得分的25%分位数为 =15，
乙运动员得分的75%分位数为 =34.5，
乙运动员得分的90%分位数为x11=39。
【内化·悟】
一组数据的中位数和百分位数一定在数据中出现吗？
提示：当数据个数是偶数个时，中位数是中间两数的平均数，不一定在这些数据中出现。求p%分位数时，若i=np%是整数，也是如此。
【类题·通】
1.求中位数的一般步骤
（1）把数据按大小顺序排列。
（2）找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数。若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数。
2.求百分位数的一般步骤
（1）排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn。
（2）计算：求i=np%的值。
（3）求值：
【习练·破】
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩
（单位：
m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的中位数，25%分位数，75%分位数。
【解析】这组数据有17个数，
17×25%=4.25，17×75%=12.75，
这组数据的中位数是x9=1.70，
25%分位数是x5=1.60，75%分位数是x13=1.75。
【加练·固】
某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则（1）命中环数的中位数为________。?
（2）命中环数的25%分位数为________。?
（3）命中环数的75%分位数为________。?
【解析】这组数据按照从小到大排列后为4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，所以命中环数的中位数为
=7。
因为这组数据的个数为10，而且10×25%=2.5，
10×75%=7.5，
因此命中环数的25%分位数为x3=5，命中环数的75%分位数为x8=9。
答案：（1）7 （2）5 （3）9
类型三 极差、方差与标准差的计算和应用
角度1 计算问题
【典例】1.设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，则其方差s2= [ ]。若数据a1，a2，a3，a4的方差为3，则数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的方差是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
2.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）。
则甲、乙两种水稻产量的极差分别为________、________。?
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
3.（2019·江苏高考）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________。?
【思维·引】1.若变量x的方差为s2，y=ax+b，则变量y的方差为a2s2。
2.依据极差的定义求值；
3.首先求得平均数，然后求解方差即可。
【解析】1.选D。因为数据a1，a2，a3，a4的方差s2=3，所以数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的方差是22·s2=22×3=12。
2.甲种水稻产量的极差为10.2-9.8=0.4，
乙种水稻产量的极差为10.8-9.4=1.4。
答案：0.4 1.4
3.该组数据的平均数为 =8，所以该组数据的方差是 [（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]= 。
答案：
【素养·探】
在与极差、方差与标准差计算有关的问题中，经常利用核心素养中的数学运算，通过对数据极差、方差和标准差的计算，提高运算能力。
将本例3的数据中增加一个数“8”，方差是多少？与原数据的方差相比有什么变化？
【解析】由题意，该组数据的平均数为
=8，
所以该组数据的方差是 [（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2+（8-8）2]=
角度2 应用问题
【典例】某厂准备在甲、乙两位工人中派一名工人参加省活动技能大赛，为此安排甲、乙两位工人在厂实习基地现场进行加工直径为30mm的零件测试，他俩各加工10个零件，甲、乙两个人加工这10个零件的数据（单位：mm）用如下的数表所示：
注：表格中第一列表示的意义是：甲、乙现场加工第一个零件的数据分别是30.0和30.2，第二列表示的意义是：甲、乙现场加工第二个零件的数据分别是30.0和29.8，…，其他列，以此类推。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 30.0 30.0 30.0 29.9 30.0 30.0 29.9 29.9 30.1 30.2
乙 30.2 29.8 30.2 30.2 29.8 29.8 30.1 29.9 30.0 30.0
（1）若考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
（2）计算甲、乙两个人的方差，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好一些？
【思维·引】（1）根据表中数据可求出甲、乙的平均数，分别确定甲、乙的完全符合要求的个数。
（2）分别求出甲和乙的方差，较小的成绩好些。
【解析】（1）根据表中数据可得：
所以两人的平均数相等，但甲的完全符合要求的个数为5个，而乙为2个，所以甲的成绩好些。
（2）因为 =
且 =
所以 > ，即在平均数相同的情况下，甲的波动性小，所以甲的成绩好些。
【类题·通】
1.计算标准差的五个步骤
（1）算出样本数据的平均数 。
（2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
xi- （i=1，2，3，…，n）。
（3）算出（2）中xi- （i=1，2，3，…，n）的平方。
（4）算出（3）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（5）算出（4）中方差的算术平方根，即为样本标准差。
2.标准差（方差）的两个作用
（1）标准差（方差）较大，数据的离散程度较大；标准差（方差）较小，数据的离散程度较小。
（2）在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策。在平均值相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性。
【习练·破】
1.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy=________。?
【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50，
所以x+y=20，又由（9-10）2+（10-10）2+（11-10）2+（x-10）2+（y-10）2=（ ）2×5=10，
得x2+y2-20（x+y）=-192，
（x+y）2-2xy-20（x+y）=-192，
把x+y=20代入，得xy=96。
答案：96
2.某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试成绩确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如表：
甲 127 138 130 137 135 131
乙 133 129 138 134 128 136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛。
【解析】设甲、乙两人成绩的平均数分别为 ， ，
则 =130+ （-3+8+0+7+5+1）=133，
=130+ （3-1+8+4-2+6）=133，
= [（-6）2+52+（-3）2+42+22+（-2）2]= ，
= [02+（-4）2+52+12+（-5）2+32]= 。
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，选乙参加竞赛比较合适。
【加练·固】甲、乙两台机床同时加工直径为100mm
的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
（1）分别计算两组数据的平均数及方差。
（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定。
【解析】（1） = ×（99+100+98+100+100+103）=100，
= ×（99+100+102+99+100+100）=100。
= ×[（99-100）2+（100-100）2+（98-100）2+
（100-100）2+（100-100）2+（103-100）2]= ，
= ×[（99-100）2+（100-100）2+（102-100）2+
（99-100）2+（100-100）2+（100-100）2]=1。
（2）两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又 > ，所以乙机床加工零件的质量更稳定。
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(共96张PPT)
数据的直观表示
1.柱形图（也称为条形图）
作用 形象地比较各种数据之间的数量关系
特征 （1）一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例。
（2）每一矩形都是等宽的
2.折线图
作用 形象地表示数据的变化趋势
特征 一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据
3.扇形图（也称为饼图、饼形图）
作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例
特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比
4.茎叶图
作用 （1）如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征
（2）可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息
（3）比较两组数据的集中或分散程度
特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列
【思考】
（1）重复的数据在茎叶图中是如何表示的？
提示：应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏。
（2）茎叶图的优点是什么？
提示：茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据。
5.画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤
（1）找出最值，计算极差
（2）合理分组，确定区间
（3）整理数据
（4）作出有关图示
频数分布直方图 纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比
频率分布直方图 纵坐标是____，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1
【思考】
频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？
提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律。
6.频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）扇形图表示的是比例，柱形图不表示比例。（ ）
（2）茎叶图只能用于表示两组数据。（ ）
（3）频率分布直方图中矩形的高是这一组的频率。（ ）
（4）频数分布折线图和频率分布折线图与横轴的左右两个交点有实际意义。（ ）
提示：（1）×。扇形图和柱形图都可以表示比例。
（2）×。茎叶图也可以只表示一组数据。
（3）×。频率分布直方图中矩形的面积是这一组的频率。
（4）×。画成与横轴相交，只是为了方便看图。
2.如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是（ ）
A.条形图 B.折线图
C.扇形图 D.其他图形
【解析】选B。能反映各数据的变化趋势的统计图是折线图。
3.观察如图所示的统计图，下列结论正确的是（ ）
A.甲校女生比乙校女生多
B.乙校男生比甲校男生少
C.乙校女生比甲校男生少
D.甲、乙两校女生人数无法比较
【解析】选D。图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知。
4.某市2018年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（ ）
A.19 B.20 C.21.5 D.23
【解析】选B。由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20。
类型一 柱形图、扇形图及其应用
【典例】1.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的
影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，
其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，
绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育
二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示
倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误
的是（ ）
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
2.（2018·全国卷I）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍。实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 （ ）
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【思维·引】1.根据柱形图的构成特点读取图中信息，逐个判断，对于C，D要注意计算。
2.根据饼图的构成特点读取图中信息，逐个计算作出判断。
【解析】1.选C。由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、与性别无关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为60×60%=36（人），女性人数为40×60%=24（人），不相同。
2.选A。设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的
收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种
植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项符合题
意；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他
收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项不符合题意；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项不符合题意；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入为30%+28%=58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D项不符合题意。
【内化·悟】
柱形图和扇形图的优点是什么？
提示：便于看出和比较各种数量的多少，能清楚地表示出每个项目占总体的比例。
【类题·通】
1.画柱形图的步骤和注意问题
（1）步骤：第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制柱形图。
（2）注意问题：在柱形图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小。
2.画扇形图的步骤和注意问题
（1）步骤：第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注。
（2）注意问题：扇形图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据。
【习练·破】
某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示。为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）
A.12 B.15 C.20 D.21
【解析】选A。由扇形图得：中学有高中生3000人，其中男生3000×30%=900，女生3000×70%=2100，初中生2000人，其中男生2000×60%=1200，女生2000×40%=800，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，
则 解得n=50，所以从初中生中抽取的男生人数是：50× =12。
类型二 折线图及其应用
【典例】1.（2017·全国卷Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
2.如图是民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
【思维·引】1.读取折线图的信息，逐项判断。
2.读取条形图和折线图的信息，逐项判断。
【解析】1.选A。由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A。
2.选D。由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误。
【内化·悟】
从折线图中可以获取哪些方面的信息？
提示：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清晰地表示数量增减变化的情况，能直观、形象地反映数据的变化趋势。
【类题·通】
绘制折线图的步骤和注意问题
（1）步骤：先整理和观察数据统计表，建立直角坐标系，用两坐标轴上的点分别表示数据，再描出数据的相应点，顺次连接相邻的点，得到一条折线。
（2）注意问题：画折线统计图时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确。
【习练·破】
“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标。搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高。如图是2018年9月到2019年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图。
根据该统计图判断，下列结论正确的是 （ ）
A.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C.从该关键词的搜索指数来看，2018年10月的方差小于11月的方差
D.从该关键词的搜索指数来看，2018年12月的平均值大于2019年1月的平均值
【解析】选D。由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2018年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2018年
10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2018年12月该关键词的搜索指数大多高于10000，该月平均值大于10000，2019年1月该关键词的搜索指数大多低于10000，该月平均值小于10000。
类型三 茎叶图及其应用
【典例】1.（2019·郑州高一检测）在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x+y=（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39。乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25， 36，39。试制作茎叶图来对比描述这些数据。
【思维·引】1.根据甲组数据的众数为11，乙组数据中间的两个数分别为6和10+y，中位数是9，列方程求出x+y。
2.十位数作茎，个位数作叶，作茎叶图表示两组数据。
【解析】1.选D。由甲组数据的众数为11，得到x=1，
乙组数据中间的两个数分别为6和10+y，
所以中位数是： =9，
解得y=2，所以x+y=3。
2.以十位数为茎，个位数为叶，制作茎叶图如图：
【内化·悟】
用茎叶图表示数据的优缺点是什么？
提示：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以随时记录，方便记录与表示。但茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，虽然可以表示两个以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。
【类题·通】
茎叶图中的三个关注点
（1）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一。
（2）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏。
（3）给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小。
【习练·破】
如图是一个班的语文成绩的茎叶图（单位：分），则优秀率（90分以上）是________，最低分是________。?
【解析】由茎叶图知，样本容量为25，90分以上的有1人，故优秀率为 =4%，最低分为51分。
答案：4% 51分
【加练·固】
某兄弟俩都推销某一小家电，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如图所示，已知弟弟的销售量的平均数为34，哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大2，则x+y的值为（ ）
A.5 B.13 C.15 D.20
【解析】选B。根据茎叶图中的数据知，弟弟的众数是34，则哥哥的中位数是34+2=36，
所以 =36-30，解得x=5，
又 ×（27+20+y+32+34+34+34+42+41）=34，
解得y=8，所以x+y=5+8=13。
类型四 频率分布直方图和频率分布折线图
【典例】1.下面给出的是某校高三（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（ ）
A.成绩是50分或100分的人数是0
B.成绩为75分的人数为20
C.成绩为60分的频率为0.18
D.成绩落在60～80分的人数为29
2.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数。
【思维·引】1.根据频率分布折线图的意义，同时注意频率分布折线图与横轴的左右两个交点没有实际意义.
2.（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1。
（2）求出第一个和第二个小矩形的面积（即频率），再计算学生人数。
【解析】1.选D。由折线图得：数学成绩的频率分布直方图的组距为10，在A中，成绩是50分或100分的人数不一定是0，故A错误；在B中，成绩落在70～80分的人数为50×0.040×10=20人，但成绩为75分的人数不一定为20人，故B错误；
在C中，成绩落在60～70分的频率为0.018×10=0.18，
但成绩为60分的频率不一定为0.18，故C错误；
在D中，成绩落在60～70分的人数为50×0.018×10
=9（人），成绩落在60～80分的人数为29，故D正确。
2.（1）据直方图知组距为10，由
（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a= =0.005。
（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2人。
成绩落在[60，70）中的学生人数为
3×0.005×10×20=3人。
【素养·探】
在与频率分布直方图（或折线图）有关的问题中，经常利用核心素养中的数据分析，通过研究频率分布直方图（或折线图）获取样本数据的有关信息，进行恰当的运算给出合理的结论。
将本例2的条件“20名学生”改为“某班级”，增加条件“高于80分的人数为18”，其他条件不变，求该班的学生的人数。
【解析】因为[80，90），[90，100]的频率为（6×0.005
+2×0.005）×10=0.4，所以该班的学生人数是 =45（人）。
【类题·通】
绘制频率分布直方图的注意事项
（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若 为整数，则 =组数；
②若 不为整数，则 的整数部分+1=组数。
（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多。
【习练·破】
今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康造成了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色
出行方式，为预防雾霾出一份力。为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区民众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄
（岁） [15，
25） [25，
35） [35，
45） [45，
55） [55，
65） [65，
75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成
人数 4 6 9 6 3 4
完成被调查人员的频率分布直方图。
【解析】各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，组距为10，所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，所以被调查人员的频率分布直方图如下图：
【加练·固】
从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12，[90，100]，8。
（1）列出样本的频率分布表。
（2）画出频率分布直方图。
（3）估计成绩在[70，80）的学生占总体的百分比。
【解析】（1）频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率
[40，50） 2 0.04
[50，60） 3 0.06
[60，70） 10 0.2
[70，80） 15 0.3
[80，90） 12 0.24
[90，100] 8 0.16
合计 50 1.00
（2）绘制频率分布直方图如图，由题意知组距为10，取小矩形的高为 ，计算得到如下的数据表：
成绩分组 频率 小矩形的高
[40，50） 0.04 0.004
[50，60） 0.06 0.006
[60，70） 0.2 0.02
[70，80） 0.3 0.03
[80，90） 0.24 0.024
[90，100] 0.16 0.016
合计 1.00
根据表格画出如下的频率分布直方图：
（3）由频率分布直方图可知成绩在[70，80）的学生所占总体的百分比是0.03×10=0.3=30%。
谢 谢
(共69张PPT)
用样本估计总体
1.用样本估计总体
（1）前提
样本的容量恰当，抽样方法合理。
（2）必要性
①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力。
②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体。
（3）误差
估计一般是有误差的。但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大。
【思考】
用样本估计总体出现误差的原因有哪些？
提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样本容量偏少等。
2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征
（1）一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可。
（2）样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征。以分两层抽样的情况为例。
3.用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说， 不等于零。当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）样本的数字特征有随机性。（ ）
（2）只要样本抽取合理，样本平均数与总体平均数相等。（ ）
（3）一般地，样本容量越大，用样本去估计总体就越准确。（ ）
提示：（1）√。在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性。
（2）×。一般地，样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的。
（3）√。大数定律保证，样本容量越大，用样本去估计总体就越准确。
2.已知样本10，8，10，8，6，13，11，10，12，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，10，那么频率为0.2的范围是（ ）
A.5.5～7.5 B.7.5～9.5
C.9.5～11.5 D.11.5～13.5
【解析】选D。共20个数据，频率为0.2，在此范围内的数据有4个，只有在11.5～13.5范围内有4个数据：13，12，12，12。
3.如图所示是容量为100的样本的频率分布直方图，
则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数
为（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
【解析】选B。样本数据落在[15，20]内的频数为100×[1-5×（0.04+0.1）]=30。
4.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15，25）内的人数为________。?
【解析】在抽取的20名教师中，在[15，25）内的人数为6，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15，25）内的人数为60。
答案：60
类型一 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【典例】1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则可估计该商店每天的顾客人数的中位数、众数、极差分别是（ ）
A.46，45，56 B.46，45，53
C.47，45，56 D.45，47，53
2.下表是某超市5月份一周的利润情况记录：
日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日
当日利润（万元） 0.20 0.17 0.23 0.21 0.23 0.18 0.25
根据上表你估计该超市今年五月份的总利润是（ ）
A.6.51万元 B.6.4万元
C.1.47万元 D.5.88万元
3.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差。其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【思维·引】1.弄清茎叶图中数据的个数和从小到大的排列顺序，确定中位数、众数、极差。
2.先计算一天的平均利润的估计值，再估算五月份的总利润；
3.根据相关公式求平均数和标准差，进行判断；也可根据茎叶图中数据的分布规律直接判断数据的波动大小。
【解析】1.选A。由题意知各数为12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68-12=56。
2.选A。从表中一周的利润可得一天的平均利润为
=0.21。又五月份共有31天，所以五月份的总利润约是0.21×31=6.51（万元）。
3.选B。方法一：因为
所以
又
所以s甲>s乙。故可判断结论①④正确。
方法二：甲地该月14时的气温数据分布在26℃和31℃之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28℃和32℃之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确。
【内化·悟】
用样本的数字特征来描述总体的数字特征时，通常从哪两个方面分析？
提示：（1）分析数据的集中趋势或取值的平均水平，如平均数、众数、中位数、百分位数；
（2）分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小，如极差、方差和标准差。标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定。
【类题·通】
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征的可行性
（1）如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，这些偏差是由样本的随机性引起的。
（2）虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征，而是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，样本的数字特征稳定于总体的数字特征。
2.样本数字特征所反映的样本的特征
一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等。因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题。
【习练·破】
（2019·中山高一检测）若八个学生参加合唱比赛的得分分别为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是________。?
【解析】 （87+88+90+91+92+93+93+94）=91，
s2= [（87-91）2+（88-91）2+（90-91）2+（91-91）2+（92-91）2+（93-91）2+（93-91）2+（94-91）2]=5.5。
答案：5.5
【加练·固】
林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图，下列描述正确的是（ ）
A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐。
B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐。
C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐。
D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐。
【解析】选D。由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：
甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37
乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47
由已知易得：
=（19+20+21+23+25+29+31+32+33+37）÷10=27，
=（10+10+14+26+27+30+44+46+46+47）÷10=30， 故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐。
类型二 用样本的分布估计总体的分布
【典例】1.如图是一容量为100的样本的
重量的频率分布直方图，则由图可估计样
本的众数与中位数分别为（ ）
A.13，12 B.12.5，12
C.12.5，11 D.12，11
2.（2019·全国卷Ⅱ）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。
y [-0.20，0） [0，0.20） [0.20，
0.40） [0.40，
0.60） [0.60，
0.80）
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例。
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到0.01）
附： ≈8.602。
【思维·引】1.众数是最高的矩形的底边的中点，中位数左边和右边的直方图的面积相等，都是0.5。
2.（1）用样本中[0.40，0.60）和[0.60，0.80）内的比例估计产值增长率不低于40%的企业比例，[-0.20，0）内的比例估计产值负增长的企业比例；
（2）根据公式求平均数。
【解析】1.选B。观察频率分布直方图可知众数为
=12.5，设中位数为x，则0.06×5+（x-10）×0.1=0.5，解得x=12
2.（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 =0.21。
产值负增长的企业频率为 =0.02。
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%。
（2） （-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×
14+0.70×7）=0.30，
s2= [（-0.40）2×2+（-0.20）2× 24+02×53+0.202×14+0.402×7]
=0.029 6，所以s= =0.02× ≈0.17，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%。
【素养·探】
在与用样本的分布估计总体的分布的问题中，经常利用核心素养中的数据分析，通过研究样本的频数、频率分布，估计总体的频数、频率分布，培养学生用样本估计总体的统计思想。
在本例1的条件下，求平均重量。
【解析】平均重量为7.5×5×0.06+12.5×5
×0.1+17.5×（1-5×0.06-5×0.1）=12。
【类题·通】
1.总体的分布分两种情况
（1）当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；
（2）当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
2.利用频率分布直方图求数字特征
（1）在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的底边的中点。
（2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。
（3）平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
【习练·破】
已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与
中国金鱼。为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员
从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000条，给每条
鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定
时间，再每次从池塘中随机捕出1000条鱼，分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中。这样的记录作了10次，将记录获取的数据作成如下所示的茎叶图。
根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量。
【解析】由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是x，则有 即x= =50000，所以，可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000条。
【加练·固】
1.党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩。2013年至2016年4年间，累计脱贫5564万人，2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务。某地区对当地3000户家庭的2017年所得年收入情况调查统计，
年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为 （ ）
A.900户 B.600户 C.300户 D.150户
【解析】选A。由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：（0.005+0.010）×20=0.3，所以年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3000=900（户）。
2.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12。
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解析】（1）频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为 =0.08。
又因为第二小组的频率= ，所以样本容量= =150。
（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 ×100%=88%。
谢 谢
(共13张PPT)
数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
课标要求 素养要求
能利用连续编号总体中的一些样本，估计连续编号总体的容量. 通过本节探究活动，进一步提升学生的数据分析素养.
教材知识探究
第二次世界大战期间，德军生产的坦克是连续编号的，盟军从战场上缴获了一些德军坦克，因此获得了一些坦克编号，盟军希望能根据这些样本数据估计出德军所生产的坦克数量.后来统计学家们圆满地解决了这一问题，而且，如下表所示，当时统计学家们的估计比情报部门的估计误差小很多！
时间 统计估计 情报估计 实际数量
1940年6月 169 1 000 122
1941年6月 244 1 550 271
1942年8月 327 1 550 342
问题1 统计学家们能估计比较准确的前提是什么？
问题2 统计学家们之所以估计比较准确除了因为获取了适当容量的样本，还与什么因素有关？
提示1 适当容量的样本.
提示2 科学、合理的统计方法.
由编号样本估计总数活动记录表
活动开始时间：2019年5月5日
(1)成员与分工
姓名 分工
王华 (2)(3)
李倩 (4)
郑明 (5)(6)
(2)待估计总数的、有连续编号的实例
某实验中学2009年购置了一批新课桌，学校财产办公室统一进行了连续编号，由于长期使用，损坏较为严重，学校2018年统一更换，并把一些能继续使用的旧课桌赠送给了某镇中心学校.
(3)获取的编号样本
赠送给某镇中心学校旧课桌的部分编号为
64，87，58，254，212，95
活动结束时间：________________
课下作业
请与其他同学分工合作，寻找生活中有连续编号的实例，获取适当容量的编号样本，在此基础上讨论估计总数的多种办法，并用模拟的办法验证估计方法的准确度，将活动过程记录在下表中.
由编号样本估计总数活动记录表
活动开始时间：____________
(1)成员与分工
姓名 分工
? ?
? ?
? ?
(2)待估计总数的、有连续编号的实例
?
(3)获取的编号样本
?
(4)估计总数的方法以及计算过程
?
(5)采用模拟的方法以及估计结果的验证
?
(6)活动总结(包括活动感受等)
?
活动结束时间：____________
谢 谢
(共48张PPT)
样本空间与事件
1.样本点和样本空间
样本点：把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点。
样本空间：把由所有样本点组成的集合称为样本空间（通常用大写希腊字母Ω表示）。
【思考】
样本点是杂乱无章出现的吗？
提示：不是杂乱无章出现的，是有一定规律可循的。
2.随机事件
（1）不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果。
（2）必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果。
（3）随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果。
【思考】
事件的分类是确定的吗？
提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化。
3.随机事件的概率
不可能事件?的概率为0，必然事件Ω的概率为1；
任意事件A的概率为：0≤P（A）≤1。
【思考】
事件A的概率可能大于1吗？
提示：根据随机事件的概率知道，任意事件A的概率为：0≤P（A）≤1，不可能出现概率大于1的事件。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）三角形的内角和为180°是必然事件。（ ）
（2）“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件。（ ）
（3）“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件。（ ）
提示：（1）√。因为三角形的内角和为180°，所以三角形的内角和为180°是必然事件。
（2）×。“抛掷硬币三次，三次正面向上”是可能发生的，所以是随机事件。
（3）√。数学总分150分，李欢同学考130分以上是随机事件。
2.下列事件中，是随机事件的有 （ ）
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a+1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C。当a为整数时，a+1一定为整数，是必然事件，其余3个均为随机事件。
3.下列事件是确定事件的是（ ）
A.2022年世界杯足球赛期间不下雨
B.没有水，种子发芽
C.对任意x∈R，有x+1>2x
D.抛掷一枚硬币，正面向上
【解析】选B。选项A，C，D均是随机事件，选项B是不可能事件，所以也是确定事件。
4.“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记录正面向上的枚数”，该试验的结果样本点共有________个。?
【解析】正面向上的枚数可能为0，1，2，共3个样本点。
答案：3
类型一 样本点和样本空间
【典例】1.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
2.连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上。
（1）写出这个试验的所有样本点。
（2）求这个试验的样本点的总数。
（3）记“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件为集合A，请写出集合A的样本空间？
【思维·引】
1.根据题目给出的条件，一一列举样本点，求出样本点的个数。
2.样本空间必须用集合表示。
【解析】1.选C。用列举法列举出“数字之和为奇数”的样本点为：（1，2），（1，4），（2，3），（3，4），共4个。
2.（1）这个试验包含的样本点有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）。
（2）这个试验包含的样本点的总数是8。
（3）“恰有两枚硬币正面朝上”的样本空间为：
Ω={（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}。
【内化·悟】
列举样本点时要注意哪些问题？
提示：列举样本点时一定要按一定的规律列举，必须做到不重不漏。
【类题·通】
基本事件的两个探求方法
（1）列举法：把试验的全部结果一一列举出来。此方法适合于较为简单的试验问题。
（2）树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目。
【习练·破】
有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数。试写出该试验的样本空间。
【解析】这个试验的样本空间为：
类型二 随机事件
【典例】1.下列事件中的随机事件为（ ）
A.若a，b，c都是实数，则a（bc）=（ab）c
B.没有水和空气，人也可以生存下去
C.抛掷一枚硬币，反面向上
D.在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾
2.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情（ ）
A.可能发生 B.不可能发生
C.很可能发生 D.必然发生
【思维·引】
1.依据在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，进行判断。
2.可分以下三种情况：
（1）红桃、梅花全部抽出。
（2）梅花、黑桃全部抽出。
（3）红桃、黑桃全部抽出。
【解析】1.选C。A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件。在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件。抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件。在
标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件。
2.选D。因为若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张，一定还有1张黑桃；若抽出了全部的梅花与黑桃共7张，则还会有3张红桃；若抽出了全部的红桃与黑桃共8张，则还会有2张梅花，所以这个事件一定发生，是必然事件。
【内化·悟】
判断一个事件是不是随机事件的关键是什么？
提示：关键是看在同样条件下重复进行试验结果能否预知。
【类题·通】
要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的。其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生。一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件。
【习练·破】
给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡（有10个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件。其中正确命题的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B。③“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；①②④的判断均正确。
类型三 随机事件的概率
【典例】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球。
（1）写出该试验的样本空间。
（2）用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球；B：至少摸出1个黑球。
（3）从直观上判断P（A）和P（B）的大小。
【思维·引】
（1）可以利用初中学过的树状图写出；（2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的样本空间；找出至少摸出1个黑球的样本空间；（3）根据两个集合包含样本点的个数直观判断两个事件概率的大小。
【解析】（1）用树状图表示所有的结果为：
所以该试验的样本空间为Ω={ab，ac，ad，ae，bc，bd，
be，cd，ce，de}。
（2）A={ac，ad，ae，bc，bd，be}；
B={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}。
（3）因为集合A中包含6个样本点，集合B中包含7个样本点，所以从直观上看，P（A）
【素养·探】
根据题目要求写出样本空间是常见题型，常常涉及核心素养中的逻辑推理。要求在做题时一定按规律一一列举，尽量做到不重不漏。若将该例中的第二小题改为用集合表示C：一定抽到c小球，则集合C怎么表示呢，并判断P（A）和P（C）的大小？
【解析】C={ac，bc，cd，ce}；
因为集合A中包含6个样本点，集合C中包含4个样本点，所以从直观上看，P（A）>P（C）。
【类题·通】
概率意义的理解
（1）概率是事件固有的属性，可以通过大量重复的试验得到其近似值。但在一次试验中事件发生与否都是有可能的。
（2）概率反映了事件发生的可能性，可以看作是频率在理论上的期望值。
【习练·破】
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________。?
【解析】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数。
答案：4
谢 谢
(共55张PPT)
事件之间的关系与运算
1.事件的包含与相等
（1）包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B一定发
生，则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作A?B （或B?A）。用图形表示为：
（2）相等关系
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A=B。
【思考】
如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？
提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同。
即：A=B?A?B且B?A?A与B有相同的样本点。
2.和事件与积事件
（1）事件的和（并）
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。
事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示：
（2）事件的积（交）
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作AB（或A∩B）。
事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示：
【思考】
“A∩B=?”的含义是什么？
提示：在一次试验中，事件A、B不可能同时发生。
3.事件的互斥与对立
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB= ?（或A∩B= ?）。
互斥事件的概率加法公式：若A与B 互斥（即A∩B= ?），则：P（A+B）=P（A）+P（B）。
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与
事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一
次试验中有且仅有一个发生。事件A的对立事件记为： 。
则：P（A）+P（ ）=1。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率。 （ ）
（2） 事件A与B互斥，则有P（A）=1-P（B）。 （ ）
【解析】（1）×。当A∪B=A时，P（A∪B）=P（A）。
（2）×。只有A与B为对立事件，才有P（A）=1-P（B）。
2.同时掷两枚硬币，向上的一面都是正面为事件A，向上的一面至少有一枚是正面为事件B，则有（ ）
A.A?B B.A?B C.A=B D.A【解析】选A。由事件的包含关系知A?B。
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现3点朝上”与“出现4点朝上”是（ ）
A.对立事件 B.互斥事件
C.包含关系 D.概率不相等的事件
【解析】选B。事件“出现3点朝上”与“出现4点朝上”不可能同时发生，所以是互斥事件。
4.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________。 ?
【解析】中奖的概率为0.1+0.25=0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1-0.35=0.65。
答案：0.65
类型一 事件关系的判断
【典例】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件。例如，
事件C1={出现1点}，事件C2={出现2点}，事件C3={出现3
点}，事件C4={出现4点}，事件C5={出现5点}，事件C6={出现6点}，事件D1={出现的点数不大于1}，事件D2={出现
的点数大于3}，事件D3={出现的点数小于5}，事件E={出
现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答
下列问题：
（1）请列举出符合包含关系、相等关系的事件；
（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件。
【思维·引】
抓住事件运算的定义进行验证。
【解析】（1）因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3。
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2， D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5。
且易知事件C1与事件D1相等，即C1=D1。
（2）因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2=C4∪C5∪C6（或D2=C4+C5+C6）。
同理可得，D3=C1+C2+C3+C4，E=C1+C2+C3+C4+C5+C6，F=C2+C4+C6，G=C1+C3+C5，E=F+G。
【内化·悟】
在进行事件运算时，判断的关键是什么？
提示：关键是搞清事件包括的样本点有哪些。
【类题·通】
事件间运算方法
1.利用事件间运算的定义。列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算。
2.利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算。
【习练·破】
某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A={选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B={选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C={选出的3人中至少有1名男生}，事件D={选出的3人中既有男生又有女生}。
问：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
【解析】（1）对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D=A∪B。
（2）对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A=A。
类型二 互斥事件与对立事件的判定
【典例】（1）抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（ ）
A.至多两件次品 B.至多一件次品
C.至多两件正品 D.至少两件正品
（2）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对
【思维·引】
【解析】（1）选B。“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”。
（2）选C。“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件。
【内化·悟】
互斥事件与对立事件有何区别与联系？
提示：区别：互斥事件是事件A，B在任何一次试验中不会同时发生，对立事件则是有且仅有一个发生。
联系：对立事件属于特殊的互斥事件，它们的区别可以
通过定义看出来，一个事件本身与其对立事件的并集等
于总的样本空间；而若两个事件为互斥事件，表明一者
发生，则另一者必然不发生，但不强调它们的并集是整
个样本空间，即对立必然互斥，互斥不一定对立。通俗地
说互斥事件，有你没我，有我没你，咱俩可以同时没有。
【类题·通】
判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断。当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件。
【习练·破】
一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6。则 （ ）
A.A与D是互斥事件 B.C与D是对立事件
C.B与D是互斥事件 D.以上都不对
【解析】选A。由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确。
类型三 概率公式的应用
【典例】在数学考试中，小明的成绩在90分（含90分）以上的概率是0.18，在80分～89分（包括89分，下同）的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
（1）小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率。
（2）小明数学考试及格的概率。
【思维·引】
小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件。
【解析】分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥。
（1）小明的成绩在80分以上的概率是
P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.18+0.51=0.69。
（2）记小明考试及格为事件A，则不及格为事件 ；
方法一：小明数学考试及格的概率是
P（A）=P（B∪C∪D∪E）=P（B）+P（C）+P（D）+P（E）=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93。
方法二：小明数学考试不及格的概率是P（ ）=0.07，所
以小明数学考试及格的概率是P（A）=1-P（ ）=1-0.07
=0.93。
【素养·探】
概率公式的应用问题常涉及核心素养中的数学运算。
1。（变结论）本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率。
【解析】分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，则这五个事件彼此互斥。
所以小明成绩在80分以下的概率是：
P（C∪D∪E）=0.15+0.09+0.07=0.31。
2.（变条件）一盒中装有各种颜色的球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球。从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率。
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
【解析】记事件A1={任取1球为红球}，
A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，
A4={任取1球为绿球}，则P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= ，P（A4）= 。
方法一：（利用互斥事件求概率）
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）
+P（A3）=
方法二：（利用对立事件求概率）
（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）=1-P（A3∪A4）=1-P（A3）-P（A4）
=
（2）A1∪A2∪A3的对立事件为A4。
所以P（A1∪A2∪A3）=1-P（A4）=1-
【类题·通】
应用概率的思想来解释日常生活中的现象
（1）规律性：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中蕴含着规律性，而概率恰是这种规律性在数量上的反映。
（2）频率与概率不同：对一定数量的试验来说，事件发生的频率并不一定与概率完全相等。概率是频率的科学抽象，要通过大量重复试验来求得其近似值，因而概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
【习练·破】
某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查。100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项。调查结果如表所示：
随机选取一个被调查者，他对这次调查表示反对或不发表看法的概率是多少？
男 女 总计
赞成 18 9 27
反对 12 25 37
不发表看法 20 16 36
总计 50 50 100
【解析】用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示
事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，
并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表
看法”，由互斥事件的概率加法公式得
P（A∪B）=P（A）+P（B）= =0.73。
因此，随机选取的一个被调查者，对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73。
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(共46张PPT)
古典概型
1.古典概型：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件发生的可能性大小都相等，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称古典概型。
2.古典概型的计算公式：试验的样本空间包含n个样本
点，事件C包含有m个样本点，则事件C发生的概率为：
P（C）= 。
【思考】
若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件。（ ）
（2）求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件。（ ）
（3）从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率。（ ）
（4）抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止。（ ）
提示：（1）中由于点数的和出现的可能性不相等，故（1）错误；（2）中的基本事件是无限的，故（2）错误；（3）中满足古典概型的有限性和等可能性，故（3）正确；（4）中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故（4）错误。
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.下列关于古典概型的说法正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个
事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性
相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本
事件，则P（A）= 。
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
【解析】选B。根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B。
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为 （ ）
【解析】选C。从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲、
乙）、（甲、丙）、（乙、丙）共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P= 。
类型一 古典概型的判断
【典例】下列试验中，属于古典概型的是（ ）
A.种下一粒种子，观察它是否发芽
B.从直径规格为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
【思维·引】
结合基本事件及古典概型的定义进行判断。
【解析】选C。依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同。
【内化·悟】
基本事件有什么特点？
提示：（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
【类题·通】
判断随机试验是否为古典概型的两个关键点，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可。
（1）有限性，试验中所有可能出现的样本点只有有限个。
（2）等可能性，每个样本点出现的可能性相等。
【习练·破】
下列概率模型是古典概型吗？为什么？
（1）从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
（3）从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。
【解析】（1）不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，任意取出一个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾。
（2）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾。
（3）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等。
类型二 简单的古典概型的计算
【典例】1.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 （ ）
2.盒子中有5个大小相同的球，其中编号为a，b的是2个黑球，编号为c，d，e的是3个红球，从中任意摸出2个球。
（1）写出所有不同的结果。
（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率。
（3）求至少摸出1个黑球的概率。
【思维·引】
1.写出样本空间，根据古典概型的概率公式计算。
2.（1）列举事件不同的结果，可以采用列举法或树状图
法。（2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的样本点，利用
古典概型的概率计算公式求出；（3）找出至少摸出1个黑
球的样本空间，利用古典概型的概率计算公式求出。
【解析】1.选C。样本空间为：Ω={甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲}共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P=
2.（1）用树状图表示所有的结果为：
所以样本空间为Ω={ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}。
（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个样本点，
所以P（A）= =0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6。
（3）记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的样本点为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，
所以P（B）= =0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7。
【内化·悟】
使用古典概型概率公式计算时需要注意哪些问题？
提示：①确定是否为古典概型；②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些。
【类题·通】
求古典概型概率的计算步骤
（1）确定样本点的总数n。
（2）确定事件A包含的样本点的个数m。
（3）计算事件A的概率P（A）= 。
【习练·破】
一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（ ）
【解析】选A.样本空间为Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共3个，则所求概率为。
类型三 复杂的古典概型问题
【典例】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；现从袋中任取两张卡片。
（1）若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
（2）若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
（3）求所取卡片标号之和小于4的概率。
【思维·引】
先列举出基本事件，紧扣古典概型的特点加以判断，再用古典概型概率公式求相应概率。
【解析】（1）样本空间为Ω={（红1，红2），（红1，红3），（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红2，红3），（红2，蓝1），（红2，蓝2），（红3，蓝1），（红3，蓝2），（蓝1，蓝2）}共10种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相等，所以是古典概型。
（2）由（1）知，基本事件为2，3，4，5共4种，且他们出现的频数依次为1，4，3，2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型。
（3）设A={所取两张卡片标号之和小于4}，由（1）知，A事件包含（红1，红2），（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红2，蓝1），（蓝1，蓝2）共5种，由古典概型概率公式得：P（A）=
【类题·通】
解决古典概型综合问题的两个关键点
（1）审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键。
（2）编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧。
【习练·破】
有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐。
（1）求这四人恰好都坐在自己席位上的概率。
（2）求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率。
（3）求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率。
【解析】将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如图所示，本题中的等可能样本点共有24个。
（1）设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则
事件A只包含1个样本点，所以P（A）= 。
（2）设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则
事件B包含9个样本点，所以P（B）=
（3）设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P（C）=
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(共52张PPT)
频率与概率
1.频率与概率：在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大。
【思考】
同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的。
2.概率和频率之间的联系
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
【思考】
怎样根据频率求事件发生的概率？
提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。（ ）
（2）小概率事件就是不可能发生的事件。（ ）
（3）某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化。
（ ）
【解析】（1）√。不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1。所以（1）正确。
（2）×。小概率事件也是随机事件，也是可能发生的事件。所以（2）错误。
（3）×。事件发生的概率是固定值，是不随试验次数的变化而变化的。所以（3）错误。
2.某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为（ ）
A.1 B. C. D.0
【解析】选B。每个病人能不能治愈，与其他病人能不能
治愈没有关系，每个人被治愈的概率均为 。
3.在一次掷硬币试验中，掷30000次，其中有14984次正面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________。?
【解析】设“出现正面朝上”为事件A，则n=30000，
m=14984， ≈0.4995，P（A）=0.5。
答案：0.4995 0.5
类型一 概率概念的理解
【典例】1.下列说法正确的是 （ ）
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
2.任取一个由50名同学组成的班级（称为一个标准班），至少有两位同学的生日在同一天（记为事件A）的概率是0.97。据此我们知道（ ）
A.取定一个标准班，A发生的可能性是97%
B.取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97
C.任意取定10000个标准班，其中大约9700个班A发生
D.随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动。
【思维·引】
抓住事件的概率是在大量试验基础上得到，它只反映事件发生的可能性大小来判断。
【解析】1.选D。一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确。
2.选D。对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对，请注意，本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”。
【内化·悟】
怎样正确理解概率？
提示：概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的。
【类题·通】
1.概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值。
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映。
3.正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系。对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件。
【习练·破】
某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（ ）
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【解析】选D。合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率。
类型二 概率与频率的关系及求法
【典例】1.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的
（ ）
A.概率为 B.频率为
C.频率为8 D.概率接近于8
2.下面是某批乒乓球质量检查结果表：
抽取球数 50 100 200 500 1000 2000
优等品数 45 92 194 470 954 1902
优等品出
现的频率
（1）在上表中填上优等品出现的频率。
（2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少？
【思维·引】1.正确认识频率与概率的关系。
2.由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率。
【解析】1.选B。做n次随机试验，事件A发生了m次，则事
件A发生的频率为 。如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数是事件A的概率。故 为事件A的频率。
2.（1）如表所示：
抽取球数 50 100 200 500 1000 2000
优等品数 45 92 194 470 954 1902
优等品出
现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
（2）从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的频率稳定在0.95附近，所以该批乒乓球优等品的概率是0.95。
【内化·悟】
怎样根据事件发生的频率求该事件发生的概率？提示：根据题目给出的条件，求出事件发生的频率，根据频率的“稳定值”求事件发生的概率。
【类题·通】
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率。频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率。
2.解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率。
【习练·破】
某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据。
转动转盘的
次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区域的频率
（1）计算并完成表格。
（2）请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
【解析】（1）
转动转盘的
次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7。
（3）获得铅笔的概率约是0.7。
类型三 概率的应用
【典例】为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2000条鱼，给每条鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库。经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500条，查看其中有记号的鱼，有40条，试根据上述数据，估计水库中鱼的条数。
【思维·引】
按有记号的鱼所占的比例进行求解。
【解析】设水库中鱼的条数是n，现在要估计n的值，假定每条鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一条鱼，设事件A={带记号的鱼}，则P（A）= 。
第二次从水库中捕出500条鱼，其中带记号的有40条，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P（A）≈ 即 解得n≈25 000。所以估计水库中的鱼有25000条。
【内化·悟】
水库中鱼的数量一定是25000条吗？
提示：该题是一个估算问题，我们根据题目提供的数据，大约估计水库中鱼的数量。概率型问题，一定要注意它的实际意义。
【类题·通】
1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率。
2.实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等。
【习练·破】某中学为了了解高中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字。结果，150名学生中有60名佩戴胸卡。第二次检查，调查了高中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡。据此估计该中学高中部一共有多少名学生。
【解析】设高中部有n名学生，依题意得 ，解得n=1250。所以该中学高中部共有学生大约1250名。
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(共56张PPT)
随机事件的独立性
1.事件的相互独立性定义
设A，B为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
【思考】
互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
提示：
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B（或A+B）
计算
公式 P（AB）=P（A）P（B） P（A∪B）=P（A）+P（B）
2.相互独立事件性质及计算公式
当事件A，B相互独立时，A与 ， 与B， 与 也相互独立。
若事件A，B相互独立，则P（AB）=P（A）×P（B）；
若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An）。
【思考】
怎样用语言描述相互独立事件同时发生的概率？
提示：相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）若事件A，B相互独立，则
（ ）
（2）若事件A与 相互独立，则B与 相互独立。
（ ）
【解析】（1）√。若事件A，B相互独立，则 也相互独立，故（1）正确。
（2）√。由相互独立事件的概念可判。
2.坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是 （ ）
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
【解析】选A。由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件。
3.若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）= ，则P（EF）的值等于（ ）
A.0 B.
C. D.
【解析】选B。P（EF）=P（E）×P（F）=
4.甲、乙两人投篮命中率分别为 则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________。?
【解析】事件“甲投篮一次命中”记为A，“乙投篮一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C= 且 互斥，P（C）=P（ ）=P（A）P（ ）+P（ ）P（B）=
答案：
类型一 相互独立事件的判断
【典例】1.下列事件中，A，B是相互独立事件的是（ ）
A.一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面”，B=“第二次为反面”
B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”
2.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事=件B（ ）
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
【思维·引】
1.利用独立性概念的直观解释进行判断。
2.判断事件“甲击中目标”与事件“乙击中目标”发生与否是否相互影响。
【解析】1.选A。把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A选项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响。故选A。
2.选A。对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件。故选A。
【内化·悟】
怎样判断两个事件是否相互独立？
提示：判断两个事件是否相互独立，可以利用运算P（AB）=P（A）·P（B）或从实际理解两个事件发生与否是否相互影响。
【类题·通】
1.利用相互独立事件的定义（即P（AB）=P（A）·P（B））可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握。
2.判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响。没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件。
【习练·破】下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
（1）1000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖。
（2）甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖。
（3）甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”。
（4）容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”。
【解析】（1）一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件。
（2）由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件。
（3）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件。
（4）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率
为 ，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意
取出1个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件
没有发生，则后一事件发生的概率为 。可见，前一事
件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者
不是相互独立事件，也不是互斥事件。
类型二 相互独立事件发生的概率
【典例】甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译
出密码的概率分别为 ，求：
（1）2个人都译出密码的概率。
（2）2个人都译不出密码的概率。
（3）至多1个人译出密码的概率。
【思维·引】明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值
【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且
P（A）= ，P（B）= 。
（1）“2个人都译出密码”的概率为：
P（AB）=P（A）·P（B）=
（2）“2个人都译不出密码”的概率为：
=[1-P（A）]×[1-P（B）]=（1- ）
×（1- ）= 。
（3）“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1-P（AB）=1-P（A）P（B）=1-
【类题·通】
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的。
（2）确定这些事件可以同时发生。
（3）求出每个事件的概率，再求积。
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生。
【习练·破】
面对H7N9流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是
求：（1）他们都研制出疫苗的概率。
（2）他们都失败的概率。
（3）他们能够研制出疫苗的概率。
【解析】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事 件A，B，C相互独立，且
（1）他们都研制出疫苗，即事件ABC发生，故P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=
（2）他们都失败即事件 发生。
故
=（1-P（A））（1-P（B））（1-P（C））
（3）“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P=1-
类型三 相互独立事件概率的实际应用
【典例】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5。假设各盘比赛结果相互独立。求：
（1）红队中有且只有一名队员获胜的概率。
（2）求红队至少两名队员获胜的概率。
【思维·引】
弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值。
【解析】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则 分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件。
因为P（D）=0.6，P（E）=0.5，P（F）=0.5，
由对立事件的概率公式知P（ ）=0.4，P（ ）=0.5，P（ ）=0.5.
（1）红队有且只有一名队员获胜的事件有
以上3个事件彼此互斥且独立。所以红队有且只
有一名队员获胜的概率为
P1=
=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35。
（2）方法一：红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55。
方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件 ，且P（ ）=0.4×0.5×0.5=0.1。所以红队至少两人获胜的概率为P2=1-P1-P（ ）=1-0.35-0.1=0.55。
【内化·悟】
求复杂事件的概率通常有哪些思路？
提示：（1）划分为几个互斥事件相加。（2）转化为求其对立事件的概率。
【类题·通】
求复杂事件的概率一般可分三步进行
（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们。
（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件。
（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算。
【习练·破】
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为
将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率。
【解析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= 。不发生故障的事件为（A2∪A3）A1，所以不发生故障的概率为P=P[（A2∪A3）A1]=P（A2∪A3）·P（A1）
谢 谢
(共43张PPT)
统计与概率的应用
概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性。小概率事件（概率接近0）很少发生，而大概率事件（概率接近1）则经常发生。
【思考】
用概率描述事物发生的可能性准确吗？
提示：概率是对未发生事件的估计，单独对一个事件来说不一定准确；但对大量事件来说，概率是有很强的说服力的。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件。（ ）
（2）某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈。（ ）
（3）平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华高，所以这次比赛应选小明参加。（ ）
【解析】（1）×。概率很小的事件，也是随机事件，不可能事件的概率为0。
（2）×。概率为0.8，是对每个病人来说，治愈的可能均为0.8，而不是10个人中有8个人被治愈。
（3）√。概率能为我们的决策提供很好的参考，小明获胜的次数多，就应该派小明参加。
2.已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是（ ）
A.若他投100次，一定有50次投中
B.若他投一次，一定投中
C.他投一次投中的可能性大小为50%
D.以上说法均错
【解析】选C。概率是指一件事情发生的可能性大小。
3.若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8000件产品中的次品件数为（ ）
A.7840 B.160 C.16 D.784
【解析】选B。在8000件产品中，合格品约有8000×98%=7840件，故次品约有8000-7840=160（件）。
4.电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________。?
【解析】由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率
为
答案：
类型一 游戏的公平性
【典例】某校高一年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游
戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目。（1）
班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜。该方案对双方是否公平？为什么？
【思维·引】
分别计算各种情况下概率发生的大小，若概率相等，则游戏公平，否则不公平。
【解析】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字
之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表
获胜的概率P1= ，（2）班代表获胜的概率P2=
即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的。
【内化·悟】
怎样判断游戏是否公平？
提示：分别计算游戏参与各方获胜的概率，若相等，则公平，否则就不公平。
【类题·通】
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同。若相同，则规则公平，否则就是不公平的。
（2）具体判断时，可以先求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较。
【习练·破】玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？
答：__________。?
【解析】两枚硬币落地共有四种结果：正，正；正，反；反，正；反，反。由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平。答案：公平
类型二 概率在决策中的应用
【典例】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球。问这球是从哪一个箱子中取出的。
【思维·引】根据每个箱子中抽到白球的概率作出判断。
【解析】甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出
一球，得白球的可能性是 ；乙箱中有1个白球和99个
黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是 ，由此看
出，这一白球从甲箱中抽取的概率比从乙箱中抽取的概
率大得多。由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白
球，可以认为是从概率大的箱子中抽取的。所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽取的。
【内化·悟】
怎样根据概率为实际生活中的决策问题提供参考？提示：在实际生活中，我们经常利用概率的计算，对决策问题提供参考。
【类题·通】
在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据。因此，在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策。
【习练·破】同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况（ ）
A.这100个铜板两面是一样的
B.这100个铜板两面是不同的
C.这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D.这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
【解析】选A。落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大。
类型三 统计与概率的综合应用
【典例】为迎接2020年奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成如下的频率分布表：
序号 分组（分数段） 频数（人数） 频率
1 [0，60） a 0.1
2 [60，75） 15 0.3
3 [75，90） 25 b
4 [90，100] c d
合计 50 1
（1）求a，b，c，d的值。
（2）若得分在[90，100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率。
【思维·引】
（1）根据频率= 求出a，b，c，d的值。
（2）列出所有可能获奖的学生组合，求出概率即可。
【解析】（1）a=50×0.1=5，b= =0.5，c=50-5-15-25=5，d=1-0.1-0.3-0.5=0.1。（2）由（1）知c=5，则得分在[90，100]之间的有五名学生，分别记为男1，男2，女1，女2，女3。
事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男1，女3），（男2女1），（男2，女2），（男2，女3），（女1，女2），（女1，女3），（女2，女3），共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含（女1，女2），（女1，女3），（女2，女3），共3个基本事件。所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P= 。
【素养·探】
统计概率问题是高考中常见的题目，常常涉及核心素养中的数学运算。解题时要求学生综合应用统计、概率知识灵活解题。例如将本例中问题改为求本次竞赛学生的平均分？
【解析】 =0.1×30+0.3×67.5+0.5×82.5+0.1×95
=3+20.25+41.25+9.5=74。
【类题·通】概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生。从而对某些事情作出决策。当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率。
【习练·破】
如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
【解析】选C。记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5
次综合测评的平均成绩是 （80×2+90×3+8+9+2+1+0）=90，乙的5次综合测评的平均成绩是 （80×3+90×2
+3+3+7+x+9）= （442+x），令90> （442+x），解得x<8，
所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的
平均成绩的概率为
谢 谢
