(共66张PPT)
向量的概念
1.向量的定义与表示（1）定义：既有大小又有方向的量。
（2）表示方法：
①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作有向线段 。
②字母表示法：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c、…表示向量，在书写时，可写成带箭头的小写
字母如 ，…。
（3）向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a，
的模分别记作|a|，| |。
【思考】
（1）定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？提示：向量不仅有大小，而且有方向。大小是代数特征，方向是几何特征。看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可。
（2）由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点。
2.特殊向量
（1）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0。
（2）单位向量：长度（或模）为1的向量称为单位向量。
（3）相等向量：大小相等且方向相同的向量称为相等向
量。向量a与b相等，记作a=b。
（4）平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也称为共线向量。向量a平行于b，记作a∥b。规定零向量平行于任何向量。
【思考】（1）0与0相同吗？0是不是没有方向？
提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0。0有方向，其方向是任意的。
（2）若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？
提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同。
（3）“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？
提示：向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同。（ ）
（2）任意两个单位向量都相等。（ ）
（3）平行向量的方向相同或相反。（ ）
（4）若 ，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点。（ ）
提示：（1）×。两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，其终点也不一定相同。（2）×。任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故不一定相等。（3）√。由平行向量的定义可知。（4）×。若 ，则A，B，C，D也可能落在同一条直线上。
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度。其中不是向量的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C。②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量。
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
【解析】选B。易知 。
类型一 向量的概念、零向量与单位向量
【典例】1.（2019·兰州高一检测）以下选项中，都是向量的是（ ）
A.正弦线、海拔
B.质量、摩擦力
C.三角形的边长、体积
D.余弦线、速度
2.给出下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的模都相等，
其中正确的是________（填序号）。?
【思维·引】
1.紧扣向量的定义解答。
2.紧扣零向量、单位向量的定义解答。
【解析】1.选D。三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向，不是向量。2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确。
答案：②③④
【内化·悟】
（1）判定所给量是否为向量需要从哪几个方面考虑？
提示：大小与方向两个方面缺一不可。
（2）零向量的大小与方向是怎样的？
提示：零向量的长度为0，方向任意。
（3）所有的单位向量有何共同特征？
提示：所有的单位向量的长度相等，都是1。
【类题·通】
理解零向量和单位向量应注意的问题
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。
（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。
提醒：两个单位向量的长度相等，但这两个单位向量不一定相等。
【习练·破】
（2019·永州高一检测）在下列判断中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相
同的；③长度相等的向量都是单位向量；④单位向量都
是同方向；⑤向量 与向量 的长度相等。
A.①②③ B.①③⑤ C.①②⑤ D.①⑤
【解析】选D。由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确。长度相等的向量其模不一定为1，③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确，⑤正确。
【加练·固】
（2019·衡阳高一检测）下列说法正确的是（ ）
A.有向线段 与 表示同一向量
B.两个有公共终点的向量是平行向量
C.零向量与单位向量是平行向量
D.对任意向量a， 是一个单位向量
【解析】选C。向量 与 方向相反，不是同一向量，
A说法错误；有公共终点的向量的方向不一定相同或相
反，B说法错误；当a=0时， 无意义，D说法错误；零向量与任何向量都是平行向量，C说法正确。
类型二 相等向量与共线向量
【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形。
（1）找出与向量 相等的向量。
（2）找出与向量 共线的向量。
【思维·引】（1）找与向量 相等的向量，就是找与
长度相等且方向相同的向量。（2）找与向量 共线的向量，就是找与 方向相同或相反的向量。
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与 的长度相等且方向相同，所以与向量 相等的向量为 。
（2）由题图可知 ， 与 方向相同， 与 方向相反，所以与向量 共线的向量有
【素养·探】
本题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想象
的核心素养中，培养读图能力。
本例在找与 共线的向量时，易忽视与其本身方向相
反的向量，即易把 漏掉。
若本例改为，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是
正方形，请在图中找出与向量 模相等的向量。
【解析】由图可知，与向量 模相等的向量为
【类题·通】
1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的。
2.寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量。
3.共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反。
【发散·拓】
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c。
因为当b=0时，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有
当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥c，即平行可传递。因此在
今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定
看清题目中是“零向量”，还是“非零向量”。
【延伸·练】
（2019·秦皇岛高一检测）下列命题正确的是（ ）
A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线
B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线
C.向量 与 是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
【解析】选D。当b=0时，A不对；如图a= ，c= ，b= ，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，所以B错。
在?ABCD中， 与 共线，但A，B，C，D四点不共线，所以C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，所以a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确。
【习练·破】
在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
（1）写出与 共线的向量。
（2）写出与 方向相同的向量。
（3）写出与 的模相等的向量。
（4）写出与 相等的向量。
【解析】等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD=BC。
（1）题图中与 共线的向量有
（2）题图中与 方向相同的向量有
（3）题图中与 的模相等的向量为 ，与 的模相等
的向量为 。
（4）题图中与 相等的向量为 。
【加练·固】
1.如图在等腰梯形ABCD中。
① 与 是共线向量。
② = 。
③ > 。以上结论中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A。①因为 与 的方向不相同，也不相反，
所以 与 不共线，即①不正确；②由①可知不正确；
③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确。
2.四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为2 的向量个数有________个。?
【解析】如图所示，满足与 平行且长度为2 的向量有 共8个。
答案：8
类型三 向量的表示与应用
【典例】1.如图的方格由若干个边长为1的小正方形并
在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，
且| |= ，画出所有的向量 。
2.如图所示，在四边形ABCD中， = ，N，M分别是
AD，BC上的点，且 。求证： 。
【思维·引】
1.根据方向与大小确定终点即可。
2.利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM是平行四边形，
进而得到向量 。
【解析】1.画出所有的向量 ，如图：
2.因为 = ，所以| |=| |，且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形。所以| |=| |，且DA∥CB。又因为 与 的方向相同，所以 = 。同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以 因为
所以| |=| |，DN∥MB，即 与 的模相等且方向
相同，所以 = 。
【内化·悟】
1.用有向线段表示向量需要确定哪几个量？
提示：起点、方向、大小、终点。
2.（1）在四边形ABCD中，若 = ，四边形ABCD是什么图形，为什么？提示：向量 = 包含两层含义，AB∥CD，AB=CD，故四边形ABCD是平行四边形。
（2）要证明向量 必须满足什么条件？
提示：方向相同，长度相等。
【类题·通】
（1）用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。
（2）利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，但需说明两向量所在的基线无公共点。用平行向量可证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点。
【习练·破】
下列说法中，正确的序号是________。?
①若 与 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
④若四边形ABCD是平行四边形，则 = ；
⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同。
【解析】共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反
即可，并不要求两个向量 ， 在同一条直线上，所以
①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以
零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相
同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可
能相等，所以③错误；画出图形，可得 = ，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确。
答案：②④
类型四 向量在生活中的应用
【物理情境】
已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达
B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C
地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地。问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【转化模板】
1.建 ——由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题，故可以建立向量模型解决。
2.设 ——设飞机三次飞行位移分别为向量
3.译 ——已知向量 的方向为北偏东30°，长度为2000km，向量 的方向为南偏东30°，长度为2000 km，向量 的方向为西南方向，长度为1000 km，
求向量 的方向及长度。
4.解 ——（1）由题意，作出向量 ， 如图所示，
（2）依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC=2000
km。又因为∠ACD=45°，CD=1000 km，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD=1 000 km，∠CAD=45°。所以D地在A地的东南方向，距A地1000 km。
5.答 ——D地在A地东南方向，距A地1000 km。
谢 谢
(共58张PPT)
向量的加法
1.向量加法的定义及其运算法则
（1）向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，0为向量。
（2）向量求和的法则
（3）向量a，b的模与a+b的模之间的关系：
【思考】
（1）向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？
提示：求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量。
（2）利用向量求和的三角形法则时，若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？
提示：对于零向量与任一向量a，规定0+a=a+0=a。当两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和。
（3）向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？
提示：不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量。
（4）平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？
提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。
2.向量加法的运算律
交换律 结合律
a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c）
【思考】
（a+b）+（c+d）=（a+d）+（b+c）成立吗？
提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）a+0=a。 （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4）a+（b+c）=c+（a+b） （ ）
提示：（1）×。两个向量的和仍然是一个向量，所有a+0=a。
（2）×。由向量加法的三角形法则知， =0。
（3）√。
（4）√。由向量加法的交换律、结合律知，a+（b+c）=（a+b）+c=c+（a+b）。
2.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）
【解析】选C。因为 ，故C错误。
3.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a+b|=________，a+b的方向是________。?
【解析】如图所示，作 =a， =b，
则a+b= + = 。
所以|a+b|=| |= =8 （km），
因为∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北方向。
答案：8 km东北方向
类型一 向量的加法法则
【典例】1.（2019·济宁高一检测）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
① =________；② =________。?
2.下列说法正确的是________。?
①若|a|=3，|b|=2，则|a+b|≥1，
②若向量a，b共线，则|a+b|=|a|+|b|，
③若|a+b|=|a|+|b|，则向量a，b共线。
3.如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c。
【思维·引】
1.利用相等向量与向量加法的三角形法则求解。
2.利用向量a，b的模与a+b的模之间的关系作出判断。
3.利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图。
【解析】1.如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
答案：① ②
2.①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确。
答案：①③
3.利用三角形法则作a+b+c，如图①所示，作 =a，以A为起点，作 =b，再以B为起点，作 =c，则 =
=a+b+c。利用平行四边形法则作a+b+c，如图②所示，作 =a， =b， =c，以 ，
为邻边作?OADB，则 =a+b，再以 ， 为邻边作?ODEC，则 =a+b+c。
【内化·悟】
（1）应用三角形法则求向量的和时，求和的两个向量必须是“首尾连接”的吗？
提示：不一定。如果不是“首尾相接”的向量，可以用相等向量进行替换，或者利用运算律。
（2）如何用三角形法则与平行四边形法则作三个或以上向量的和？
提示：用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作图。
【类题·通】
1.向量求和的注意点：
（1）三角形法则对于两个向量共线时也适用。
（2）两个向量的和向量仍是一个向量。
（3）平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。
2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量。
【发散·拓】
向量求和的多边形法则
（1）已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则。即
（2）首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0。
【延伸·练】
若本例1的条件不变，则 =________。?
【解析】
答案：
【习练·破】
如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心， =a， =b，
求
【解析】由向量的平行四边形法则，得 =a+b，
在平行四边形ABCO中， =a+a+b=2a+b，而 =2 =2a+2b， 且=a+b，由向量的三角形法则，得 =b+a+b=a+2b。
类型二 向量加法运算律的应用
【典例】1.向量 化简后等于
（ ）
A. B. C. D.
2.化简：（1）
（2）
【思维·引】
利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和。
【解析】1.选C。
【内化·悟】
（1）解答本题的思路是什么？
提示：打破旧格局，重新组合。
（2）这种解题操作的理论依据是什么？
提示：向量加法的交换律与结合律。
【类题·通】
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
（2）应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。
【习练·破】
化简：
【解析】
类型三 利用向量加法解决几何问题
【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【思维·引】
将互相平分利用向量表达，以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立。
【解析】如图，设四边形ABCD的对角线
AC，BD相交于点O，
AC与BD互相平分， 因此AB∥CD，
且| |=| |，即四边形ABCD是平行四边形。
【素养·探】
在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及方法予以证明。
若将本例改为：
四边形ABCD中， 试求证四边形ABCD为矩形。
【证明】因为四边形ABCD中， ，所以AB∥DC，
且| |=| |，所以四边形ABCD为平行四边形，如图
所以
因为
所以 ，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形。
【类题·通】
向量是沟通“数”与“形”的桥梁。利用向量的加法可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解。
用向量法证明几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题。
【习练·破】
如。所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且 =0。
求证：
【证明】因为
所以
又因为 =0，所以
类型四 航行中的向量加法问题
【物理情境】
在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5km/h的速度向东流，“顺风号”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【转化模板】
1.建 ——由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船
的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量加
法模型。
2.设 ——设 表示水流速度， 表示渡船的速度， 表示渡船实际垂直过江的速度。
3.译 ——向量 方向为正东方向，长度为12.5，向量 的长度为25，若向量 ， 的和向量 与 垂直，求向量 的方向。
4.解 ——如图所示，以AB为一边，AC为对角线作平行四
边形，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，| |=| |=12.5，
| |=25，∠CAD=30°。
5.答 ——渡船的航向为北偏西30°。
谢 谢
(共64张PPT)
向量的减法
1.相反向量
定义：如果两个向量大小相等，方向相反，那么称这两个向量是相反向量。
性质：
（1）对于相反向量有：a+（-a）=0。
（2）若a，b互为相反向量，则a=-b，a+b=0。
（3）零向量的相反向量仍是零向量。
【思考】
有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？
提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等。
2.向量的减法
（1）定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足b+x=a，则称x为向量a，b的差，记作x=a-b。
（2）作法：在平面内任取一点O，作 =a， =b，则向量a-b= ，如图所示。
a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
（3）向量减法的三角形法则：当向量a，b不共线时，向量a，b，a-b正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则。
（4）a-b=a+（-b）。
【思考】
（1）由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？
提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量。
（2）由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？
提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算。利用相反
向量的定义， ，就可以把减法转化为加法。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点。（ ）
（2）向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量。（ ）
（3）相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反
向量。（ ）
（4）向量 与向量 是相反向量。（ ）
【提示】（1）√。由向量加法的三角形法则知正确。
（2）√。由向量减法法则知正确。
（3）×。由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量必为平行向量，平行向量不一定是相反向量。
（4）√。向量 与向量 长度相等，方向相反。
2.在△ABC中，若 =a， =b，则 等于（ ）
A.a B.a+b C.b-a D.a-b
【解析】选D。 =a-b。
3.设b是a的相反向量，则下列说法正确的有________。?
①a与b的长度必相等；②a∥b；
③a与b一定不相等；④a是b的相反向量。
【解析】因为0的相反向量是0，故③说法不正确。其他均正确。
答案：①②④
类型一 向量的减法
【典例】1.（2019·汕头高一检测）在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则 等于（ ）
2.如图，已知向量a，b，c，求作a-b-c。
【思维·引】
1.结合图形，利用向量减法的三角形法则求解。
2.先作a-b，再作（a-b）-c即可。
【解析】1.选D。如图所示，
2.如图，以A为起点分别作向量 ，使 =a， =b。
连接CB，得向量 ，再以点C为起点作向量 ，使 =c。
连接DB，得向量 。则向量 即为所求作的向量a-b-c。
【内化·悟】
（1）作向量减法时若所给向量不共起点，应如何解决？
提示：平移向量使它们共起点。
（2）在本例2中能否先作向量b+c，再作a-（b+c）呢？
提示：可以。
【类题·通】
1.作两向量的差的步骤
2.求两个向量的减法的注意点
①可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+（-b）即可。
②向量减法的三角形法则对共线向量也适用。
【习练·破】
下列计算正确的是（ ）
【解析】选B。根据向量减法的三角形法则，显然有
【加练·固】
如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向（用箭头表示），使a+b= ，c-d= ，并画出b-c和a+d。
【解析】因为a+b= ，c-d= ，所以a= ，b= ，c= ，d= 。如图所示， 作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA。根据平行四边形法则可得b-c= ，a+d= 。
类型二 向量的加减法运算
【典例】1.（2019·衡水高一检测）下列各式：
其中结果为零向量的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（2019·临沂高一检测）设点M是线段BC的中点，点A在
直线BC外， 则| |=（ ）
A.8 B.4 C.2 D.1
【思维·引】利用三角形法则或平行四边形法则求解。
【解析】1.选D。① =0；②
=0；③
=0；④ =0。
2.选C。由 可知， 垂直，故△ABC为直角三角形，| |即斜边BC的中线，所以
| |=2。
【内化·悟】
1.用起止点表示的几个向量的和差化简问题的常见形式有两种：首尾相连且求和，起点相同且求差。如果不满足以上形式时应怎样处理？
提示：（1）使用交换律、结合律。（2）用相反向量进行转化。（3）使用相等向量进行替换。
2.平行四边形ABCD中，| |与| |分别是指什么？
提示： 分别是指两条对角线的长。
【类题·通】
向量减法运算的常用方法
【发散·拓】
已知向量a，b，那么|a|-|b|与|a±b|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系？
【提示】它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
（1）当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立。
（2）当a，b不共线时，作 =a， =b，则a+b= ，如图
（1）所示，根据三角形的性质，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|。同理可证||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|。
（3）当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图（2）所示，此时|a+b|=|a|+|b|。
②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图（3）所示，此时|a+b|=|a|-|b|。
综上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
【延伸·练】
若| |=8，| |=5，则| |的取值范围是________。?
【解析】由 及三角不等式，得
又因为 =8，所以3≤| |=
| |≤13，即| |∈[3，13]。
答案：[3，13]
【习练·破】
化简下列各式：
【解析】（1）方法一：原式=
方法二：原式=
（2）方法一：原式=
方法二：原式=
【加练·固】
下列各式中不能化简为 的是（ ）
【解析】选D。选项A中，
选项B中， 选项C
中，
类型三 向量加减运算几何意义的应用
角度1 利用已知向量表示未知向量
【典例】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平
行四边形外一点，且 =a， =b， =c，试用向量a，b，c表示向量
【思维·引】由平行四边形的性质可知 =c，由向量的减法可知： 由向量的加法可知
【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，
所以 =c， =b-a，
故 =b-a+c。
【素养·探】
本例主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，突出考查直观想象的核心素养。
本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】如图，因为四边形ACDE是平行四边形，
所以 =c， =b-a，
=b-a+c。
角度2 求解或证明几何问题
【典例】（2019·临沂高一检测）已知非零向量a，b满足
|a|= +1，|b|= -1，且|a-b|=4，则|a+b|的值为________。?
【思维·引】作出图形，利用向量加减法的几何意义求解。
【解析】如图，令 =a， =b，则| |=|a-b|。以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则| |=|a+b|。由于（ +1）2+（ -1）2=42。 故 ，所以
△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形。根据矩形的对角线相等有
=4，即|a+b|=4。
答案：4
【内化·悟】
|a|，|b|，|a-b|，|a+b|表示什么几何图形中的哪些几何量？
提示：平行四边形的两条邻边及其两条对角线。
【类题·通】
1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道。
2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：
（1）由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量。
（2）利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算。
（3）构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题。
【习练·破】
1.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，| |=2，则| |
=________。?
【解析】因为
∠DAB=60°，AB=AD，所以△ABD为等边三角形。
又因为| |=2，所以OB=1。在Rt△AOB中，
所以
答案：2
2.如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知 =a， =b， =c， =e，用a，b，c，e表示向量 。
【解析】在△OBE中，有 =e-c，在△ABO中，
=e-c-a，在△ABD中， =a+b，所以在△OAD中， =e-c-a+a+b=e-c+b。
【加练·固】
如图所示，已知 =a， =b， =c， =d， =e， =f，试用a，b，c，d，e，f表示：
【解析】（1）因为 =b， =d，
所以 =d-b。
（2）因为 =a， =b， =c， =f，所以
=b+f-a-c。
（3）因为 =d， =f，所以 =f-d。
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(共38张PPT)
数乘向量
1.向量的数乘运算
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作λa。
规定：（1）当λ≠0且a≠0时，|λa|=|λ||a|，且
①当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
②当λ<0时，λa的方向与a的方向相反。（2）当λ=0或a=0时，λa=0。
【思考】
（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？
提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。
（2）若把|λa|=|λ||a|写成|λa|=λ|a|可以吗？为什么？
提示：不可以，当λ<0时不成立。
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则λ（μa）=（λμ）a；
特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a）。
【思考】
这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。
3.向量共线的条件
如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
【思考】
“若向量b∥a，则存在实数λ，使得b=λa。”成立吗？
提示：不成立，若a=0，b≠0，则λ不存在。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）3a的方向与a的方向相同，且-2a的方向与a的方向相反。（ ）
（2）4a与-4a的模相等。（ ）
（3）a与-λa的方向相反。（ ）
（4）若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（ ）
提示：（1）√。因为3>0，所以3a与a同向。因为-2<0，所以-2a与a反向。
（2）√。因为|4a|=|4||a|，|-4a|=|-4||a|=4|a|，故二者相等。
（3）×。当λ<0时，a与-λa的方向相同。
（4）×。若b=0时不成立。
2.点C在直线AB上，且 ，则 等于（ ）
【解析】选D。如图， ，所以
3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=________a。?
【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-3
类型一 数乘向量的定义
【典例】设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________。?
①|-λa|≥|a|；
②a与λ2a方向相同；③|-2λa|=2|λ|·|a|。
【思维·引】根据数乘向量的概念解决。
【解析】当0<λ<1时，|-λa|<|a|，①错误；②③正确。
答案：②③
【内化·悟】
解决数乘向量问题关键应注意哪几点？
提示：应注意两点：方向相同还是相反，模长放大还是缩小。
【类题·通】
数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小。
【习练·破】
若两个非零向量a与（2x-1）a方向相同，则x的取值范围为________。?
【解析】由向量数乘定义可知，2x-1>0，即x> 。
答案：x>
【加练·固】
存在两个非零向量a，b，满足b=-3a，则有（ ）
A.a与b方向相同 B.a与b方向相反
C.|a|=|3b| D.|a|=|b|
【解析】选B。因为-3<0，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。
类型二 数乘向量的运算
【典例】下列各式化简正确的是________。?
①-3×2a=-5a；
② a×3×（-2）= -3a；
③-2× = 2 ；
④0×b=0。
【思维·引】根据数乘向量的运算律解决。
【解析】因为-3×2a=-6a， a×3×（-2）=-3a，-2×
=-2 =2 ，0×b=0。所以，①④错误，②③正确。
答案：②③
【内化·悟】
数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？
提示：可类比数乘单项式运算。
【类题·通】
λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。
【习练·破】
化简下列各式。
（1）4× a。
（2）-2×
【解析】（1）4×
（2）-2× =3a。
类型三 数乘向量的应用
角度1 判断向量共线
【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求
的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。
【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以a∥b，且
，即 =1∶2。向量a，b反向。
【素养·探】
本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b=3e，”其他不变，试求解。
【解析】因为b=3e= a ，所以a∥b，且 即
= 2∶3。向量a，b同向。
角度2 判断三点共线
【典例】已知 =e， =-3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点。
【思维·引】利用数乘向量的定义解决。
【解析】因为 =-3e=-3 ，所以 ， 且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC=3AB，且向量
反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点。
【类题·通】
数乘向量的应用
（1）如果存在实数λ，使得b=λa，则b∥a。
（2）如果存在实数λ，使得 ，则 ， 且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。
【习练·破】
分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比。
【解析】（1）因为 ，所以 ，又有公共的
点C，所以A，B，C三点共线，且AB=2BC，即AB∶BC=2∶1。
（2）因为 ，所以 ，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB= BC，即AB∶BC=3∶4。
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(共42张PPT)
向量的线性运算
1.向量的加法与数乘向量的混合运算
规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法。
运算律：设对于实数λ，μ以及向量a，b，有
（1）λa+μa=（λ+μ）a。（2）λ（a+b）=λa+λb。
【思考】
（1）向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么？
提示：向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量。
（2）这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？
提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立。
2.向量的线性运算向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）实数λ与向量a，则λ+a与λ-a的和是向量。（ ）
（2）对于非零向量a，向量-3a与向量a方向相反。（ ）
（3）λ（a-b）=λa-λb。（ ）
（4）λa+μa与（λ+μ）a的方向都与a的方向相同。（ ）
提示：（1）×。λ+a与λ-a均无意义。
（2）√。因为-3<0，所以正确。
（3）√。
（4）×。只有当λ+μ是正数时，λa+μa与（λ+μ）a
的方向才都与a的方向相同。
2.下列计算正确的个数是 （ ）
①（-3）·2a=-6a；②2（a+b）-（2b-a）=3a；
③（a+2b）-（2b+a）=0。
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C。因为（-3）·2a=-6a，故①正确；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③错误。
3.已知e是单位向量，a=2e，b=-3e，则|a－2b|=________。?
【解析】由题意得a-2b=8e，故|a－2b|=8。
答案：8
类型一 向量的线性运算
【典例】1.（2019·临沂高一检测）化简 [ （2a+8b）-（4a-2b）]的结果是（ ）
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
2.已知向量a，b，x，且（x-a）-（b-x）=x-（a+b），
则x=________。?
【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简。
2.利用解方程的方法求解。
【解析】1.选B。原式= （a+4b-4a+2b）= （6b-3a）=2b-a。2.因为（x-a）-（b-x）=2x-（a+b），所以2x-a-b=x-a-b，即x=0。答案：0
【内化·悟】
（1）向量的线性运算的主要方法是什么？
提示：去括号，合并“同类项”。
（2）解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？
提示：可以。
【类题·通】
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看做是向量的系数。
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算。
【习练·破】
已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于（ ）
A.10d B.-10d C.20d D.-20d
【解析】选B。2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d。
【加练·固】
已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y。
【解析】将3x-y=b两边同乘2，
得6x-2y=2b。与5x+2y=a相加，
得11x=a+2b，即x= a+ b。
所以y=3x-b=3 -b= a- b。
类型二 用已知向量表示相关向量
【典例】1.（2019·长沙高一检测）设D，E分别是△ABC
的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC。若 =λ1
+λ2 （λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为________。?
2.如图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且 =e1， =e2，试用e1，e2表示
【思维·引】1.先用向量 表示向量 ，然后计算“系数”和。
2.先把 视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程（组），通过解方程（组）求出
【解析】1.由已知
所以λ1=- ，λ2= ，从而λ1+λ2= 。
答案：
2.设 =x，则 x， =e1- x， e1- x，又 =x，由 ，得x+ e1- x=e2， 解方程得x= e2- e1，即 = e2- e1，由 =e1-
x，得 =- e1+ e2。
【内化·悟】
（1）对于典例1，分析切入问题时，对条件
应怎样理解？
提示：看作是用向量 表示向量 的结果。
（2）当已知向量与要表示的向量无法直接构造三角形或平行四边形法则时，该怎么办？
提示：考虑建立方程（组），用解方程（组）的方法解决。
【类题·通】
用已知向量表示未知向量的技巧
（1）由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律。
（2）当直接表示较困难时，应考虑利用方程（组）求解。
【习练·破】
如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知 =a， =b，试用
a，b表示
【解析】方法一：连接CN，则AN DC，
所以四边形ANCD是平行四边形。 =-b，又因为
=0，所以 =b- a，所以
=-b+ a= a-b。
方法二：因为 =0，即：a+ +（- a）+（-b）=0，所以 =b- a，又因为在四边形ADMN中，有 =0，即：b+ a+ +（- a）=0，所以 = a-b。
【加练·固】
如图，以向量 =a， =b为边作?OADB，
用a，b表示
【解析】因为 =a-b， a- b，所以
又因为 =a+b，
= （a+b）= a+ b，
所以 = a+ b- a- b= a- b，即有 = a+ b， = a+ b， = a- b。
类型三 三点共线问题
【典例】设a，b是不共线的两个非零向量，若 =2a-b，
=3a+b， =a-3b，求证：A，B，C三点共线。
【思维·引】利用向量共线条件解答。
【证明】由题意，得 =（3a+b）-（2a-b）=a+2b，
=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2 ，所以 与
共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线。
【类题·通】
证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分。
【习练·破】
已知非零向量e1，e2不共线。如果 =e1+e2， =2e1+8e2，
=3（e1-e2），求证：A，B，D三点共线。
【证明】因为 =e1+e2， =2e1+8e2+3e1-3e2
=5（e1+e2）=5 。所以 ， 共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线。
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(共54张PPT)
向量基本定理
1.共线向量定理
如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa。
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得
【思考】
（1）定理中的条件“a≠0”能否省略，为什么？
提示：不能。如果a=0，b≠0，不存在实数λ，使得b=λa。如果a=0，b=0，则对任意实数λ，都有b=λa。
（2）这里的“唯一”的含义是什么？
提示：如果还有b=μa，则有λ=μ。
2.平面向量基本定理
（1）定理：如果平面内的两个向量a，b不共线，则对该
平面内的任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），
使得c=xa+yb。
（2）基底：平面内不共线的两个向量a，b组成的集合
{a，b}称为该平面上向量的一组基底。
【思考】
（1）定理中的“不共线”能否去掉？
提示：不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底。
（2）平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？
提示：是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底。（ ）
（2）若a，b是同一平面内两个不共线向量，则xa+yb（x，y为实数）可以表示该平面内所有向量。（ ）
（3）若ae1+be2=ce1+de2（a，b，c，d∈R），则a=c，
b=d。 （ ）
（4）基底向量可以是零向量。（ ）
提示：（1）×。根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底。
（2）√。根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量a，b线性表示。
（3）×。当e1与e2共线时，结论不一定成立。
（4）×。基底向量是不共线的，一定是非零向量。
2.已知AD是△ABC的BC边上的中线，若 =a， =b，
则 =（ ）
A. （a-b） B.- （a-b）
C.- （a+b） D. （a+b）
【解析】选D。如图所示，
因为 ，所以 （a+b）。
3.设向量a，b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ=________。?
【解析】因为向量λa+b与a+2b平行，
所以λa+b=k（a+2b），则 所以λ= 。
答案：
类型一 共线向量定理的应用
【典例】设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a=2e1-e2，
与向量b=e1+λe2（λ∈R）共线时，λ的值为（ ）
A.0 B.-1 C.-2 D.-
【思维·引】利用向量共线定理解答。
【解析】选D。因为向量a与b共线，所以存在唯一实
数u，使b=ua成立。即e1+λe2=u（2e1-e2）=2ue1-ue2，
所以 解得λ=- 。
【素养·探】
本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。
本例若把条件“向量b=e1+λe2（λ∈R）”改为“向量b=2me1+ne2（m，n∈R）”其他条件不变，试求m+n的值。
【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，
使b=ua成立。即2me1+ne2=u（2e1-e2）=2ue1-ue2。
所以 所以m+n=0。
【类题·通】
向量共线定理：b与a（a≠0）共线?b=λa是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值。
【习练·破】
已知非零向量e1，e2不共线。欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值。
【解析】因为ke1+e2与e1+ke2共线，
所以存在唯一实数λ，使ke1+e2=λ（e1+ke2），
即（k-λ）e1=（λk-1）e2，由于e1与e2不共线，
只能有 所以k=±1。
【加练·固】
设两个不共线的向量e1，e2，若向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d=λa+μb与向量c共线？
【解析】因为d=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1
+（3μ-3λ）e2，要使d与c共线，则存在唯一实数k使
d=k·c，
即：（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2=2ke1-9ke2。
由
得λ=-2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ=-2μ，就能使向量d与c共线。
类型二 平面向量基本定理的理解
【典例】1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的
是 （ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
2.（2019·泰安高一检测）如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是（ ）
A.若存在实数λ1，λ2，使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.对实数λ1，λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
【思维·引】1.根据基底的构成条件判断。
2.由平面向量基本定理内容理解判断。
【解析】1.选B。① 不共线；② ，则
共线；③ 不共线；④ ，则
共线。由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个
向量才能构成一组基底，故①③满足题意。
2.选A。选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式，故λ1e1+λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对。
【内化·悟】
两个向量能否作为一组基底的条件是什么？
提示：两个向量在同一平面内，且不共线。
【类题·通】
对平面向量基本定理的理解
（1）在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0=xa+yb，且x=y=0。
（2）对于固定的不共线向量a，b而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组。
【习练·破】
已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e1+3e2，则x-y=________。?
【解析】因为平面向量e1，e2是一组基底，所以向量
e1，e2不共线，所以 解得x-y=3。答案：3
类型三 用基底表示向量
角度1 线性运算法
【典例】（2019·洛阳高一检测）若D点在三角形ABC的
边BC上，且 ，则3r+s的值为（ ）
【思维·引】利用三角形或平行四边形法则。
【解析】选C。如图
因为
所以
所以r= ，s=- ，所以3r+s=
【素养·探】
本题考查平面向量基本定理与向量的线性运算，解答
时一般要结合图形分析，体现了直观想象的核心素养。
本例若改为“ ”，其他条件不变，
求r+s的值。
【解析】因为
所以
所以r= ，s=- ，所以r+s= - =0。
角度2 向量方程组法
【典例】已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，
a=3e1-2e2，b=-2e1+e2，c=7e1-4e2，试用向量a和b表示c。
【思维·引】利用向量方程组法，设c=xa+yb，用待定系数法求出x，y。
【解析】因为a，b不共线，所以可设c=xa+yb，
则xa+yb=x（3e1-2e2）+y（-2e1+e2）=（3x-2y）e1+
（-2x+y）e2=7e1-4e2。又因为e1，e2不共线，所以
解得 所以c=a-2b。
【类题·通】
平面向量基本定理的作用及注意点
（1）根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量。用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算。
（2）解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量。
【发散·拓】
平面向量基本定理的推广定理：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。
【延伸·练】如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若 =a， =b，用a，b
表示 =（ ）
A. a+ b B. a+ b
C. a- b D. a+ b
【解析】选D。易知 设 ，则由平行四边形法则可得 由于E，G，F三点共线，则2λ+2λ=1，即λ= ，从而 从而
（a+b）。
【习练·破】
如图，在△AOB中， =a， =b，设
而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量 。
【解析】
=a+ （b-a）= a+ b。因为 共线，令
又设 =（1-m） a·（1-m）+mb。
所以 所以
所以
谢 谢
(共37张PPT)
直线上向量的坐标及其运算
1.直线上向量的坐标
给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时x称为向量a的坐标。
在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标。
【思考】
向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？
提示：能。
（1）|a|=|xe|=|x||e|=|x|。
（2）当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x=0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反。
2.直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2。
（1）a=b的充要条件是x1=x2。
（2）a+b的坐标为x1+x2，a-b的坐标为x1-x2，λa的坐标为λx1。
（3）设A（x1），B（x2）是数轴上的两点，M（x）是线段AB的中点，则AB=|x2-x1|，x=
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）数轴上点A对应的数为-3，则向量 的坐标为3。（ ）
（2）数轴上点A对应的数为-3，则向量| |=3。（ ）
（3）直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等。（ ）
（4）两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差。（ ）
提示：（1）×。数轴上点A对应的数为-3，则向量 的坐标为-3。
（2）√。（3）√。（4）√。
2.已知直线上向量a的坐标为3，则b=-2a的坐标
为（ ）
A.-2 B.2 C.6 D.-6
【解析】选D。-2a的坐标为-2×3=-6。
3.已知数轴上两点A，B的坐标分别为-2，5，则向量 的坐标为________。?
【解析】由题意， 的坐标为-2， 的坐标为5，又因为 所以 的坐标为5-（-2）=7。答案：7
类型一 求直线上向量的坐标
【典例】1.若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是（ ）
A.|a|=x B.b=ye
C.a+b的坐标为x+y D.|e|=1
2.如图所示，写出直线上向量a，b的坐标。
【思维·引】根据直线上向量坐标的定义解决。
【解析】1.选A。由题意知，|e|=1，|a|=|x|，b=ye，a+b=xe+ye=（x+y）e，所以a+b的坐标为x+y，只有A错误。
2.如题图，因为a=-4e，b=3e，所以向量a，b的坐标分别是-4，3。
【类题·通】
求直线上向量的坐标的两种方法
（1）将向量用单位向量表示出来。
（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标。
【习练·破】
若e是直线l上的一个单位向量，向量a=- e是这条直线上的向量，则向量a的坐标为（ ）
A.- e B. E C.- D.
【解析】选C。由直线上向量的坐标的定义知，向量a的
坐标为- 。
类型二 直线上向量的坐标运算
【典例】已知直线上向量a，b的坐标分别为3，-4，求下列向量的坐标。
（1）2a+b。 （2） 5a- b。
【思维·引】利用直线上向量坐标运算的法则解决。
【解析】（1）2a+b的坐标为2×3+（-4）=2。
（2）5a- b的坐标为5×3- ×（-4）=17。
【类题·通】
直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题，解题时要特别注意符号，以防出错。
【习练·破】
若e是直线l上的一个单位向量，向量a= e，b=- e是这
条直线上的向量，则|a+2b|=________。?
【解析】由题意，向量a，b的坐标分别为 ，- ，所以
a+2b的坐标为 +2× =- ，故|a+2b|= 。
答案：
【加练·固】
已知直线上向量a，b的坐标分别为-3，2，c=a+b，d=a-b，判断向量c，d的方向是相同还是相反。
【解析】c=a+b的坐标为-3+2=-1；d=a-b的坐标为
-3-2=-5，故向量c，d的方向相同。
类型三 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
【典例】已知A，B是数轴上的点，B（-2） ，且 的坐标为4，求：
（1）点A的坐标。（2）线段BA的中点C的坐标。
【思维·引】利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解。
【解析】（1）由题意知， 的坐标为-2，又
且 的坐标为4，所以 的坐标为-6，即A（-6）。
（2）由（1）知，A（-6），B（-2），所以中点C的坐
标为=-4，即C（-4）。
【素养·探】
本题考查数轴上两点之间的关系与中点坐标公式，突出考查了数学运算的核心素养。
若把本例条件改为“已知A，B是数轴上的点，A（2），B（-3）”，求A与B的距离及线段AB的中点坐标。
【解析】因为 所以 的坐标为-3-2=-5，
故AB=| |=5，线段AB的中点坐标为
【类题·通】
要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式，并清楚它们之间的区别。
【习练·破】
设数轴上两点A，B的坐标分别为-1，4，求向量 的坐标及A与B的距离。
【解析】由题意得 的坐标为-1， 的坐标为4，又
因为 所以 的坐标为-1-4=-5，而且BA
=| |=|-5|=5。
谢 谢
(共75张PPT)
平面向量的坐标及其运算
1.平面向量的坐标
（1）向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b。规定零向量与任意向量都垂直。
（2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。
（3）向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1+ye2，则称（x，y）为向量a的坐标，记作a=（x，y）。
【思考】
（1）正交分解与平面向量基本定理有何联系？
提示：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底垂直时）。
（2）平面中，若以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，则e1，e2的坐标分别是什么？
提示：e1=（1，0），e2=（0，1）。
（3）向量的坐标就是其终点的坐标吗？
提示：不一定，以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标，如果向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不同，而对同一向量或相等向量（向量坐标相同），若选择不同的始点坐标，则终点坐标也不同。
2.平面上向量的运算与坐标的关系
若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：
（1）a+b=（x1+x2，y1+y2），
（2）a-b=（x1-x2，y1-y2），
（3）λa=（λx1，λy1）。
（4）向量相等的充要条件：a=b?x1=x2且y1=y2。
（5）模长公式：|a|=
【思考】
（1）平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（y1+y2，x1+x2）”可以吗？
提示：不可以，两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标，纵坐标之和作为和向量的纵坐标。
（2）如果μ，v是两个实数，那么μa+vb，μa-vb的坐标如何表示？
提示：μa+vb=（μx1+vx2，μy1+vy2），
μa-vb=（μx1-vx2，μy1-vy2）。
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式如图所示，在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则：
（1）向量 =（x1，y1）， =（x2，y2），向量 =（x2-x1，y2-y1）。
（2）它们之间的距离：AB=| |=
（3）设AB的中点M（x，y），则x=
【思考】
“若A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x1-x2，y1-y2）”对吗？提示：不对，应该用终点坐标减去始点坐标。
4.向量平行的坐标表示
设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b?x2y1=x1y2。
【思考】
把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗？怎样记忆此公式的表达式？
提示：写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）两个向量的终点不同，则这个向量的坐标一定不同。（ ）
（2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标。（ ）
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ）
（4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样。
（2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标。
（3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关。
（4）×。因为（-4，-6）=-2（2，3），所以向量（2，3）与向量（-4，-6）反向。
2.已知a=（2，1），b=（3，-2），则3a-2b的坐标是（ ）
A.（0，-7） B.（0，7）
C.（-1，3） D.（12，-1）
【解析】选B。3a-2b=3（2，1）-2（3，-2）=（6，3）-（6，-4）=（0，7）。
3.下列向量组中，不共线的向量组是（ ）
A.e1=（0，0），e2=（1，-2）
B.e1=（-1，2），e2=（5，7）
C.e1=（3，5），e2=（6，10）
D.e1=（2，-3），e2=
【解析】选B.A选项中，e1=0e2，C选项中，e2=2e1，D选项中，e2= e1，两向量都共线，只有B选项中不共线。
类型一 向量的坐标表示
【典例】1.已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a=4e1-3e2，则向量a的坐标为（ ）
A.（4e1，3e2） B.（4e1，-3e2）
C.（4，3） D.（4，-3）
2.已知O是坐标原点，点A在第二象限，| |=6，∠xOA= 150°，向量 的坐标为________。?
【思维·引】1.利用向量坐标的定义解决。2.画出图形，用解三角形的方法求点的坐标，进而求向量的坐标。
【解析】1.选D。由向量坐标的定义可知，向量a的坐标
为（4，-3）。2.设点A（x，y），则x=| |cos 150°=6co150°=-3 ，y=| |sin150°=6sin150°=3，即A（-3 ，3），所以= （-3 ，3）。
答案：（-3 ，3）
【内化·悟】
1.如果一个向量的始点为原点，那么怎样求该向量的坐标？提示：求出终点坐标，终点坐标即向量的坐标。
2.如果一个向量的始点不是原点，要求它的坐标，需要求哪些量？提示：需要求表示该向量的有向线段的始点和终点的坐标。
【类题·通】
求向量坐标的方法
（1）定义法：将向量用两个相互垂直的单位向量e1，e2表示出来。
（2）平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标。
（3）求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标。
【习练·破】
已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边
在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量
的坐标。
【解析】如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A（0，0），B（2，0），C（2cos60°，2sin60°），
所以
所以
【加练·固】
如图，已知边长为1的正方形ABCD中，顶点A在坐标原
点，AB与x轴正半轴成30°角。求点B及点D的坐标及
的坐标。
【解析】由题知B，D分别是30°，120°角的终边与以O为圆心的单位圆的交点。设B（x1，y1），D（x2，y2）。由三角函数的定义，得
x1=cos30°= ，y1=sin30°= ，所以B
x2=cos 120°=- ，y2=sin 120°= ，
所以D 所以
类型二 向量的坐标运算
【典例】1.（2019·邢台高一检测）已知点A（0，1），
B（3，2），向量 =（-3，-3），则向量 =（ ）
A.（3，2） B.（-3，-2）
C.（-1，-2） D.（1，2）
2.已知M（3，-2），N（-5，-1）， 则| |=
________，点P的坐标为________。?
【思维·引】1.由 计算。
2.先用模长公式求模，再设出点P的坐标，利用坐标运算及向量相等的条件构造方程组求解。
【解析】1.选B。因为A（0，1），B（3，2），所以 =（3，1），
所以
2.设P（x，y）， =（x-3，y+2）， =（-8，1），
所以
所以
所以
答案：
【内化·悟】
本例1中，可否先求出点C的坐标，进而再求向量 ？
提示：可以，设点C的坐标为（x，y）。
因为A（0，1）， =（-3，-3），
所以
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以 =（-6，-4）， =（-3，-2）。
【类题·通】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行。
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算。
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。
【习练·破】
若A，B，C三点的坐标分别为（2，-4），（0，6），（-8，10），求 的坐标。
【解析】因为 =（-2，10）， =（-8，4）， =（-10，14），所以 +2 =（-2，10）+2（-8，4）=（-2，10）+（-16，8）=（-18，18）， =（-8，4）- （-10，14） =（-8，4）-（-5，7）=（-3，-3）。
类型三 向量共线的坐标表示
角度1 向量共线的判定
【典例】已知两点A（4，1），B（7，-3），则与向量 共线的单位向量是（ ）
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。
【解析】选B。因为 =（7，-3）-（4，1）=（3，-4），由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与 共线，但A，C中向量不是单位向量。
【素养·探】
本题主要考查向量共线坐标表示的应用，突出考查数学运算的核心素养。
本例选项中有哪些向量与 共线，其中有反向的向量吗？
提示：因为 =（7，-3）-（4，1）=（3，-4），故A.（3，-4）， B. C.（-6，8）均与 共线，且B，C选项的向量与 反向。
角度2 利用向量共线的坐标表示求参数
【典例】若向量a=（1，1），b=（x，1），u=a+2b，v=2a-b。
（1）若u=3v，求x。
（2）若u∥v，求x，并判断u与v是同向还是反向。
【思维·引】（1）先求出u与v的坐标，再由向量相等可求x。
（2）由u∥v求出x，再将u用v表示出来，写成u=λv的形式，根据λ的值判断同向还是反向。
【解析】因为a=（1，1），b=（x，1），
所以u=（1，1）+2（x，1）=（1，1）+（2x，2）=（2x+1，3）；v=2（1，1）-（x，1）=（2-x，1）。
（1）u=3v?（2x+1，3）=3（2-x，1）?（2x+1，3）=（6-3x，3） ?2x+1=6-3x。解得x=1。（2）u∥v?（2x+1）×1-3（2-x）=0。解得x=1。所以u=（3，3），v=（1，1）。所以u与v同向。
【内化·悟】
1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？
提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。
（2）通过共线条件列出方程（组）。
（3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？
提示：写成u=λv的形式，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题
【典例】已知A（1，-3），B 且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1） D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线，写出向量 （或 ），由向量共线的条件结合选项求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
因为A，B，C三点共线，所以
因为= （x，y）-（1，-3）=（x-1，y+3），所以7（y+3）- （x-1）=0，整理得x-2y=7，经检验可知点（9，1）符合要求。
【发散·拓】求证：若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则A，B，C三点共线的条件为（x2-x1）（y3-y1）-（x3-x1）（y2-y1）=0。
证明：若三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线，则有 从而（x2-x1，y2-y1）=λ（x3-x2，y3-y2），即（x2-x1）（y3-y2）=（x3-x2）（y2-y1），显然由 ，也可得到（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1），或由 ，得到（x3-x2）（y3-y1）=（x3-x1）（y3-y2）。当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线。
【延伸·练】若A（3，-6），B（-5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ）
A.13 B.-13 C.9 D.-9
【解析】选D。因为A，B，C三点共线，
所以（-5-3）（y+6）-（6-3）（2+6）=0，
所以y=-9。
【类题·通】
1.利用向量共线的条件处理求值问题的思路
（1）利用共线向量定理a=λb（b≠0）列方程组求解。
（2）利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解。
2.三点共线问题的实质是向量共线问题，只要利用三点构造出两个向量，再使用向量共线的条件解决即可。
【习练·破】
（2018·全国卷Ⅲ）已知向量a=（1，2），b=（2，-2），c=（1，λ）。若c∥（2a+b），则λ=________。?
【解析】2a+b=2（1，2）+（2，-2）=（4，2），c=（1，λ），由c∥（2a+b），得4λ-2=0，得λ= 。答案：
【加练·固】
已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解析】方法一：ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），a-3b=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4），
当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，使ka+b=λ（a-3b）。
由（k-3，2k+2）=λ（10，-4），
所以 解得k=λ=- 。
当k=- 时，ka+b与a-3b平行，
这时ka+b=- a+b=- （a-3b），
因为λ=- <0，
所以ka+b与a-3b反向。
方法二：由题知ka+b=（k-3，2k+2），
a-3b=（10，-4），因为ka+b与a-3b平行，所以（k-3）×（-4）-10×（2k+2）=0，解得k=- 。
这时ka+b= =- （a-3b）。所以当k=- 时，ka+b与a-3b平行，并且反向。
谢 谢
(共49张PPT)
平面向量线性运算的应用
1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系。
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
【思考】
（1）这里的“平面几何问题”主要是哪些问题？
提示：平面几何中的全等、相似、平行等问题。
（2）这里的“向量运算”是指什么运算？
提示：向量的线性运算。
2.平面向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等。
（2）向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解。
（3）动量mv是向量的数乘运算。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）若点B是线段AC的中点，则有 （ ）
（2）若 ，则直线AB与CD平行。（ ）
（3）若 ∥ ，则A，B，C三点共线。（ ）
（4）物理学中的功是一个向量。（ ）
提示：（1）√。
（2）×。向量 时，直线AB∥CD或AB与CD重合。
（3）√。因为 ∥ ， 即 ，共线，且有公共点A，所以A，B，C三点共线。
（4）×。功是一个标量，没有方向，不是向量。
2.若向量 =（1，1）， =（-3，-2）分别表示两个力F1，F2，则|F1+F2|为（ ）
【解析】选C。由于F1+F2=（1，1）+（-3，-2）=（-2，-1），所以|F1+F2|=
3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（ ）
【解析】选B。BC中点为
所以
类型一 平面向量在几何证明中的应用
【典例】1.（2019·河东高一检测）已知点A（2，3），B（-2，6），C（6，6），D（10，3），则以A，B，C，D为顶点的四边形是（ ）
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
2.已知平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形
【思维·引】利用向量的线性运算，共线（或相等）的条件、模判断或证明。
【解析】1.选B。因为 =（8，0）， =（8，0），所以 因为 =（4，-3），所以| |=5，而
| |=8，故为邻边不相等的平行四边形。
2.由已知可设
所以 因此EH∥FG且EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形。
【素养·探】
本例考查利用平面向量证明几何问题，突出体现了逻辑推理、直观想象的核心素养。
若把本例2的条件改为：已知四边形ABCD的对角线交点为O，且AO=OC，BO=OD，试证明四边形ABCD是平行四边形。
【证明】由已知得
而 所以 ，因此AB∥DC且AB=DC，所以四边形ABCD是平行四边形。
【类题·通】
利用向量证明问题
（1）常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线。
②利用向量的模证明线段相等。
（2）常用的两个方法
①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明。
②坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明。
【习练·破】
若 =3e， =5e，且| |=| |，则四边形ABCD的形状为________。?
【解析】由 =3e， =5e，得 ∥ ，| |≠| |，
又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC。又| |=
| |，得AD=BC，所以四边形ABCD为等腰梯形。
答案：等腰梯形
类型二 平面向量在几何求值中的应用
【典例】1.已知A（-3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|=2 ，且∠AOC= 。
设 （λ∈R），则λ=____________。?
2.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，设AC=m，BC=n。
（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD= AB。
（2）若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度（用m，n表示）。
【思维·引】1.由题意画出图形，根据向量线性运算法则对条件“ ”适当转化，再应用向量坐标运算解决。
2.利用向量的线性运算及共线向量基本定理解决，也可以利用相似三角形的性质。
【解析】1.过点C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOC= 知，OE=CE=2，所以
即 所以（-2，0）=λ（-3，0），故λ= 。
答案：
2.（1）以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A（0，m），B（n，0）。
因为D为AB的中点，所以D
所以
所以
（2）因为E为CD的中点，所以E
设F（x，0），则
=（x，-m）。
因为A，E，F三点共线，所以
即（x，-m）=λ
则
故λ= ，即x= ，所以F ，
所以
即AF=
【类题·通】
1.向量相等的应用：由向量的坐标定义知，两向量相
等的充要条件是它们的坐标相等，即若a=（x1，y1），b=（x2，y2），a=b?x1=x2且y1=y2。利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解。
2.利用平面向量的线性运算及共线向量基本定理，可以解决平面几何的求值问题，当然也可以利用证明三角形全等或相似来解决。
【习练·破】
如图所示，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求 的坐标。
【解析】因为A（7，8），B（3，5），C（4，3），
所以 =（3-7，5-8）=（-4，-3），
=（4-7，3-8）=（-3，-5）。
又因为D是BC的中点，
所以
因为M，N分别为AB，AC的中点，
所以F为AD的中点，
类型三 平面向量在物理中的应用
【典例】已知三个力f1=（-2，-1），f2=（-3，2），f3=（4，-3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4的大小为________。?
【思维·引】可利用f1+f2+f3+f4=0求解。
【解析】由物理知识知f1+f2+f3+f4=0，故f4=-（f1+f2+f3）=（1，2），所以|f4|=
答案：
【内化·悟】
怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题？
提示：把其转化为平面向量问题，利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决。
【类题·通】
用向量方法解决物理问题的步骤
（1）把物理问题中的相关量用向量表示。
（2）转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决。
（3）结果还原为物理问题。
【习练·破】
1.甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂直线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是（ ）
【解析】选D。|F甲|∶|F乙|=cos 30°∶cos 60°= ∶1。
2.点P在平面上做匀速直线运动，速度v=（4，-3），设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后点P的坐标为（速度单位：m/s，长度单位：m）（ ）
A.（-2，4） B.（-30，25）
C.（10，-5） D.（5，-10）
【解析】选C。5秒后点P的坐标为（-10，10）+5（4，-3）=（10，-5）。
【加练·固】
用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________。?
【解析】如图，由题意，得∠AOC=∠COB=60°，| |=10，则| |=| |=10，即每根绳子的拉力大小为10N。
答案：10N
谢 谢
