高中数学人教新课标A版选修3-1第三讲　中国古代数学瑰宝三 大衍求一术(共30张PPT)

(共30张PPT)
中国古代数学瑰宝
《孙子算经》
《九章算术》成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也极大地促进了世界数学的发展.
南宋数学家秦九韶（1202—1261）在《数书九章》中第一次详细地完整阐述了求解一次同余方程组的算法，他称作“大衍总数术”.
1、完整保存了中国数码字计数法 2、首创连环求等，求几个数的最小公倍数 3、更进一步认识比例，比例项数达到5项之多　4、一次同余式组的程序化解法，创大衍求一术 5、三斜求积公式，使“海伦公式”不专美于前 6、线性方程组的直除法（即加减消元法），将系数矩阵化为单位矩阵 7、用正负开方术数值解多项式
秦九韶著作的主要成就：
三、大衍求一术
南北朝时期的著作《孙子算经》中，有一驰名中外的问题“物不知数”：
今有物不知其数，
三三数之剩二，
五五数之剩三，
七七数之剩二，
问物几何？
答曰，二十三.
《孙子算经》书影
素养目标
熟悉“大衍求一术”的算法；
熟悉我国古代数学家秦九韶及其杰出贡献；
了解“中国剩余定理”的现实应用和历史意义.
知识与能力
过程与方法
情感态度与价值观
通过学习“物不知数”解法，了解“大衍求一术”算法，了解其不可动摇的影响.
“大衍求一术” 比欧美国家早500年，代表中世纪数学发展的主流，并将中国古代数学推向了顶峰，秦九韶是世界最伟大的数学家之一.
重点
难点
“物不知数”的古代以及现代解题方法.
了解并学会“大衍求一术”又称“中国剩余定理”的现实应用.
《数书九章》(1247)
《数书九章》是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对“大衍求一术”和“正负开方术”等有十分深入的研究.
“大衍求一术”中“求一”指求一个数，被某数除余1之意，而“大衍”一次来自《易经》，是演变的意思.秦九韶将它们合二为一.
“物不知数”问题属于数论的一次同余方程组问题，用现代数学符号可表示为求同余方程组的整数解：
物不知数算法
凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五.一百六以上，以一百五减之，即得.
《孙子算经》中给出的算法：术曰，三三数之剩二置一百四十，五五数之剩置六十三，七七数置三十，并之得二百三十三，以二百十减之，即得.
《孙子算经》求得此问题的最小整数解N=23的解题步骤：选定5×7的一个倍数，被3除余1，即70；选定3×7的一个倍数，被5除余1，即21；选定3×5的一个倍数，被7除余1，即15.然后按下式计算：

式中105为3、5、7的最小公倍数，p为适当选取的整数，使得0 明朝数学家程大位在《算法统宗》中把上式总结为一首通俗易懂的歌决：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知.
其中正半月是指15，这个口诀把3，5，7；70，21，15及105这几个关键的数都总结在内了.详细说，歌诀的含义是：用3除的余数乘70，5除的余数乘21，7除的余数乘15，相加后再减去（“除”当“减”讲）105的适当倍数，就是需要求的（最小）解了.
由孙子的“物不知其数”解法得到如下定理：
孙子的“物不知其数”问题颇有猜谜的意味，并且其解法巧妙、奇特，流传到后世，又衍生出很多其他的叫法，如“秦王暗点兵”、“剪管术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等等，成为一种娱乐活动.
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）.
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数.
“韩信点兵”的故事
《孙子算经》
《孙子算经》全书共三卷：
上卷较详细地记述了算筹记数法和用算筹进行乘、除、开方以及分数等运算的步骤和法则.后两卷记录的大都是生活的实际问题.下卷的第26题就是著名的“物不知其数”问题，又称“孙子问题”.
秦九韶在750多年前创造的大衍求一术，开创了系统的一般一次同余方程组解法的先河.
“物不知数”题流传到国外，意大利数学家斐波那契在其著作《算盘书》中引用了该题.到了18世纪初，欧拉，拉格朗日等都对一次同余式组进行研究，最后“数学王子”高斯在其著作《算术研究》中给出了一般性解法，并命名为“高斯定理”.
中国剩余定理
1852年英国传教士伟烈亚力将“物不知数”的解法和秦九韶的“大衍求一术”算法介绍到欧洲.1874年德国科学史家马蒂生在其著作中公开指出高斯解法符合“大衍求一术”，并赞扬中国数学家是“最幸运的天才”.在数学史中，欧洲人把“高斯定理”改为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）.
斐波那契
欧拉
“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理.1970年，年轻的苏联数学家尤里.马季亚谢维奇（28岁）解决了希尔伯特提出的23个问题中的第10个问题，轰动了世界数学界.他在解决这个问题时，用到的知识十分广泛，而在一个关键的地方，就用到了我们的祖先一千多年前发现的这个“中国剩余定理”.
希尔伯特的第10个问题：
能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解.希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？
1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在.
希尔伯特
秦九韶在其著作《数书九章》中由起源于《孙子算经》的“物不知数”推理出的定理—“大衍求一术”，解决了一次同余方程组的一般解法.在数学史上有占有不可动摇的领先地位.比西方早500多年，在欧洲曾被称作“高斯定理”，后改为“中国剩余定理”.
某单位有100把锁，分别编号为1，2，3，…，100.现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙.
利用中国剩余定理，把锁的号码被3，5，7去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0时，也不能省略）.
这样每把钥匙都有一个三位数编号.
例如23号锁的钥匙编号是232号，52号锁的钥匙编号是123号.
8号锁——231 19号锁——145
45号锁——003 52号锁——123
因为只有100把锁，不超过105，所以锁的号与钥匙的号是一一对应的.
如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统.甚至可以每过一个月更换一次这个常数.这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道了.