2020年陕西中考数学解答题专题训练试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2020年陕西中考数学解答题专题训练试卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-29 08:21:56 | ||
图片预览
文档简介
第15题实数运算
1．(6分)计算：?÷ ?- （-1）2018 +.
2．(6分)计算：（-）-2-?× ?- |-2|.
3．(6分)计算：|-3| - ?× ?+ （-）-1.
4．(6分)计算：?× -|1-| +cos45°.
5．(3分)计算：?÷ ?-（）0 - 6.
6．(6分)计算：（-2）2 + |4-2| - 2sin60°.
7．(6分)计算：?+（π-3.14）0 + 2cos30°.
8．(6分)计算：-?× ?+ （）-2 - |-3|.
9．(6分)计算：（-1）0 - （-）-2 + tan30°.
10．(6分)计算：（3 - π）0 + 4sin45° - ?+ |1-|.
11．(6分)计算：?+（-）-1 - |2cos45° -1|.
12．(6分)计算：?× （-cos45°） + （-）-3 + |-2tan60°|.
第16题分式
1．(6分)化简:.
2．(6分)化简:.
3．(5分)化简:.
4．(6分)化简:.
5．(6分)化简:.
6．(6分)先化简,再求值：（） ? （x2-4）,其中x=.
7．(8分)先化简,再求值: ,其中x=.
8．(8分)先化简：,再从-1,0,1,2中选择你喜欢的数代入求值.
9．(6分)先化简,再求值: ,其中x2-2x-8=0.
10．(8分)先化简,再求值：,其中x=2, y=.
11．(5分)解方程: =1-.
12．(4分)解方程: =1.
13．(5分)解分式方程: =1.
14．(5分)解分式方程: =1.
15．(5分)解分式方程: +3=.
16．(5分)解分式方程: =1.
17．(5分)解分式方程: =1.
18．(5分)解方程: ?=1.
第17题尺规作图
1．(5分)如图,在?ABC中,请用尺规作图求作一点P,使点P到∠A尺规作图的两边的距离相等,且PA=PB.（保留作图痕迹,不写作法）
2．(5分)如图,在扇形AOB中,用尺规在弧AB上求作一点P,使点P平分（保留作图痕迹,不写作法）
3．(5分)如图,已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC = PD, 且P到∠AOB两边的距离相等.（保留作图痕迹,不写作法）
4．(5分)如图,已知,∠BOC=2∠ABO,请用尺规在∠BOC内作一点P,使得OP∥AB（保留作图痕迹,不写作法）
5．(5分)如图,已知?ABC,请用尺规画出?ABC的内切圆,圆心为点O.（保留作图痕迹,不写作法）
6．(5分)如图,点P为⊙O外一点,请用尺规过点P作⊙O的切线PA,切点为A.（保留作图痕迹,不写作法）
7．(5分)如图,在Rt?ABC中,∠ACB = 90°,请用尺规过点C作直线l,使其将Rt?ABC分割成两个等腰三角形.（保留作图痕迹,不写作法）
8．(5分)如图,已知直线l及点A、B,求作⊙O,使得⊙O经过点A、B ,且圆心O在直线l上.（保留作图痕迹,不写作法）
9．(5分)如图,已知矩形ABCD,请用尺规分别在边AD、BC上找点E、F,使四边形BEDF是菱形.（保留作图痕迹,不写作法）
10．(5分)为进一步打造“宜居西安”,某小区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉M,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A,B的距离相等,且到广场管理处C 的距离等于AB之间距离的一半,A、B、C的位置如图所示,请利用尺规作出音乐喷泉M的位置.（保留作图痕迹,不写作法）
11．(5分)如图,已知?ABC, AB=AC,请用尺规过点A作一条直线,使其将?ABC分成两个全等的三角形.（保留作图痕迹,不写作法）
12．(5分)如图,点P是⊙O上一点,请用尺规过点P作⊙O的切线.（保留作图痕迹,不写作法）
13．(5分)如图,请你作出一个以线段a和线段b为对角线的菱形ABCD.（保留作图痕迹,不写作法）
14．(5分)如图,已知线段c,直线l及l外一点A,请用尺规作Rt?ABC,使直角边为AC（AC⊥l,垂足为C）,斜边AB=c（保留作图痕迹,不写作法）
15．(5分)在Rt?ABC中,∠ABC=90°,D为AB上一点,在AC边上确定一点E,使?AED∽?ABC.（不写作法,保留作图痕迹）
16．(5分)如图,已知线段AB,请用尺规以线段AB为边作一个菱形ABCD,使得∠A=60°.（保留作图痕迹,不写作法）
17．(5分)如图,已知?ABC,用尺规过点A作MN,使得MN∥BC.（保留作图痕迹,不写作法）
18．(5分)如图,已知?ABC,用尺规作?A'B'C',使?A'B'C'≌ ?ABC.（保留作图痕迹,不写作法）
19．(5分)如图,请用尺规在矩形ABCD的边BC上找一点E,使∠BAE =60°.（保留作图痕迹,不写作法）
20．(5分)如图,已知线段a、b, ∠α,用尺规作?ABC,使BC =a, AC = b, ∠ABC=∠α.（保留作图痕迹,不写作法）
第19题全等三角形有关证明
1．(6分)如图,AC、BD相交于点O, ∠A=∠D, AB=CD.
求证：∠ACB= ∠DBC.
2．(6分)如图,∠A= ∠B, AE= BE,点D在AC 边上,∠1 =∠2, AE和BD相交于点O.
求证：AC=BD.
3．(6分)如图,点A、F、C、D在同一条直线上,已知AF=DC, ∠A=∠D, BC∥EF.
求证:AB=DE.
4．(6分)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC ,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
求证：∠ABE=∠ACD.
5．(6分)如图,点A、B、C、D在同一直线上,BE∥DF,∠A = ∠F, AB = FD.
求证:AE=FC.
6．(6分)如图,在Rt?ABC中,∠B=90°, 点E是AC的中点,AC=2AB, ∠BAC的平分线AD交BC 于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形.
7．(6分)已知：如图,在中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.
求证：OE=OF.
8．(6分)在中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=AD.
求证：?ABE≌?DCF.
9．(8分)如图,点C是AB的中点,AD = CE, CD = BE.
（1）求证:?ACD≌?CBE
（2）连接DE,求证：四边形CBED是平行四边形.
10．(6分)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,点F在边BC上,且BF= CE, EF⊥AF.
求证:AB = CF.
11．(6分)如图,四边形ABCD是正方形,?EBC是等边三角形.
求证:AE=DE.
12．(8分)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE= ∠ACD=90°, ∠BAC= ∠D, BC = CE.
（1）求证:AC =CD;
（2）若AC=AE,求∠DEC的度数.
第20题几何测量问题
1．(8分)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B地.已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520 km , C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）.
（参考数据:sin67°≈, cos67°≈, tan67°≈, ≈1.73）
2．(8分)如图,港口B位于港口A的南偏东37° 方向,灯塔C恰好在AB的中点处,一艘海轮位于港口A 的正南方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5 km到达E处,测得灯塔C在北偏东45°方向上, 这时, E处距离港口A有多远？
（参考数据：sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37° ≈0.75）
3．(8分)如图,在航线的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4 km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20 km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处.求这艘轮船的航行路程CE的长度.（结果精确到0.1 km）（参考数据: ≈1.73, sin74°≈0.96, cos74°≈0.28, tan74°≈3.49）
4．(8分)图①,②分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F 点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈0.2588, sin75°≈0.9659, tan75°≈ 3.732, ≈1.732, ≈1.414）
5．(8分)小军学校门前有座山,山顶上有一观景台,他很想知道这座山比他们学校的旗杆能高出多少米.于是,有一天,他和同学小亮带着测倾器和皮尺来到观景台进行测量.测量方案如下：如图,首先,小军站在观景台的C点处,测得旗杆顶端M点的俯角为35°,此时测得小军眼睛距C点的距离BC为1.8米；然后,小军在C点处蹲下,测得旗杆顶端M点的俯角为34.5°,此时测得小军的眼睛距C点的距离为1米.请根据以上所测得的数据,计算山CD比旗杆MN高出多少米（结果精确到1米）？
（参考数据：sin35°≈0.5736, cos35°≈0.8192, tan35°≈0.7002, sin34.5°≈0.5664, cos34.5°≈0.8241, tan34.5°≈0.6873）
6．(8分)如图,某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度, 他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是68°,求信号塔PQ的高度.（结果精确到0.1米,参考数据：sin68°≈0.93, cos68°≈0.37, tan68°≈2.48, tan31°≈0.60, sin31°=0.52, cos31°≈0.86）
7．(8分)如图,旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处,某校数学课外兴趣小组的同学正在测量该旗杆的高度,在旗杆的底部A 处测得点D的仰角为15°, AC=10米,又测得, ∠BDA = 45°.已知斜坡CD的坡度为i =1:,求旗杆AB的高度（≈1.7,结果精确到个位）.
8．(8分)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米（即CD =2米）,背水坡DE的坡度i =1:1（即DB: EB=1:1）,如图所示,已知AE=4米, ∠EAC= 130°,求水坝原来的高度BC.
（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.2）
9．(8分)如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE 方向走30米,到E处,使A（目标物）,C（标杆）与E在同一条直线上,那么可测得A、B间的距离是多少？
10．(8分)如图,要在宽为22米的大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳,求路灯的灯柱BC的高度.
11．(8分)工人师傅为测量油桶内装有多少油,拿了一根直棍从油桶的入口A处插入油桶,并将直棍的一端接触到油桶底面边沿处点D的位置,然后将直棍取出进行测量,得出直棍从油桶孔进入的点A距离直棍顶端D处为1.5米, 直棍接触桶内油的部分BD=1米,油桶的高AE为1.2 米,DE是油桶底面圆的直径,点A、B、D、E在同一平面内,请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装油的高度为多少米？
12．(8分)小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度.如图,相邻的两盏路灯AC、BD高度相等,某天晚上,小颖站在E点处,此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处,此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.这时,小林测得EF =10.2米.已知AB=20米,小颖身高ME=1.6米,小华身高NF =1.75米,AC、BD、ME、NF均与地面垂直. 请根据以上数据计算路灯的高度.（结果精确到0.1米）
13．(8分)如图,在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB,甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙,根据实际情况画出平面图形（CD⊥DF, AB⊥DF, EF⊥DF）,甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处,点B是DF的中点,墙AB高5.5米,DF=120米,BG=10.5米,求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.（结果精确到0.1米）
14．(8分)学习投影后,小刚同学利用标杆和灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图, 在同一时间,身高为1.6 m的小刚（AB）的影子（BC）长是3 m,而标杆（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
（1）请在图中画出确定路灯灯泡所在的位置G;
（2）如果小刚同学沿线段BH向标杆（点H)走去,当小刚走到BH的中点B1处对,求其影子B1C1,的长.
第21题一次函数应用
1．(8分)某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾,甲种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8 元.相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90% 和95%.
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元,求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且购买鱼苗的总费用最低,应如何选购鱼苗？
2．(8分)小李是某服装厂的一名工人,负责加工A,B两种型号服装,他每月的工作时间为22天,月收入由底薪和计件工资两部分组成,其中底薪1200 元,加工A型服装1件可得20元,加工B型服装1件可得12元.已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件,设他每月加工A型服装的时间为x天,月收入为y 元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据服装厂要求,小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的,那么他的月收入最高能达到多少元？
3．(8分)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费；超过1千克的,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示, 按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x 千克.
（1）请写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元） 与x （千克）之间的函数关系式；
（2）小明应选择哪家快递公司更省钱？（请直接写出结果）
4．(8分)某蔬菜基地加工厂有工人100人,现对100人进行工作分工,或采摘蔬菜,或对当日采摘的蔬菜进行精加工,每人每天只能做一项工作.若采摘蔬菜,每人每天平均采摘48 kg;若对当日采摘的蔬菜进行精加工,每人每天可精加工32 kg（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）.巳知每千克蔬菜直接出售可获利润1元,精加工后再出售,每千克可获利润3元.设每天安排x名工人进行蔬菜精加工.
（1）求每天蔬菜精加工后再出售所得利润y（元）与x （人）的函数关系式；
（2）如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大, 最大利润是多少？
5．(8分)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40 m3 （二月份用水量不超过25 m3）,缴纳水费79.8元,则该用户二、三月份的用水量各是多少m3?
6．(8分)某工厂生产一种产品,当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,每吨的成本：y（万元/ 吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围；
（2）当生产这种产品的成本为每吨7万元时,求该产品的生产数量.
7．(8分)暑假期间,小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游,他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示.
（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
8．(8分)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发.甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地.设甲、乙两车距A地的路程为y（千米）,甲车行驶的时间为x（时）,y与x之间的函数图象如图所示.
（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程.
9．(8分)已知某山区的平均气温与该山区的海拔高度的关系如下表：
（1）若海拔高度用x（米）表示,平均气温用y（℃）表示, 试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若某种植物适宜生长在18℃~20℃（包含18℃,也包含20℃）的山区,则该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
10．(8分)某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种节能台灯的进价和售价如下表所示：
设购进A型台灯x盏,销售完这100盏台灯共获利润y 元.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若商场预计进货款为3500元,求销售完这两种台灯的利润.
11．(8分)某年级380名师生秋游,计划租用7辆客车,现有甲、乙两种型号客车,它们的载客量和租金如表.
（1）设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元,求y（元） 与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时,能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少,最少费用是多少元？
12．(8分)甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A地需70吨,B地需110吨水泥,两库到A,B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨?千米”表示每吨水泥运送1千米所需费用）.
设甲库运往A地水泥x吨,总运费W元.
（1）写出W关于x的函数关系式,并求x为何值时总运费最小？
（2）如果要求运送水泥数是10吨的整数倍,且运费不能超过38000元,则总共有几种运送方案？
第23题 圆的综合题
1．(8分)如图,在?ABC中,以AB为直径作半圆O,半圆O与BC相交于点D,半圆O与AC相交于点E,且点D为弧BE的中点,半圆O的切线BF与AC 的延长线相交于点F.
（1）求证:AC=AB；
（2）若EF:AE=9:16,求sin∠CBF.
2．(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交⊙O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E.
（1）求证:直线CE是⊙O的切线；
（2）若BC=3, CD=3,求弦AD的长.
3．(8分)如图,Rt?ABC中,∠C=90°, tanB =,点D、E分别在边AC、BC上,且CD?CB = CA?CE.
（1）求证:DE∥AB；
（2）若CD=, BE=5,求证:AB与?CDE的外接圆相切.
4．(8分)如图,在?ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接OD,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点E,与AC交于点F.
（1）求证：OD∥AC;
（2）若AB=10, BC =4,求BE的长.
5．(8分)如图,已知△ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足?,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.
（1）求证:AE⊥DE;
（2）若∠CBA=60°, AE=3,求AF的长.
6．(8分)如图,四边形ABCD内接于圆O,∠BAD=90°, AC为直径,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E.
求证：（1）AB= CD;
（2）CD2 =BE?BC.
7．(8分)如图,在?ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE,交AC 于点E, AC的反向延长线交⊙O于点F.
（1）求证:DE⊥AC;
（2）若DE+EA=8 ,⊙O的半径为10 ,求AF的长度.
8．(8分)如图,在Rt?ABC中,∠A= 90°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,点E在⊙O上, CE=CA ,AB和CE的延长线交于点F.
（1）求证:CE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为3, EF=4,求BD的长.
9．(8分)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过点B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
（1）求证:PA是⊙O的切线；
（2）若tanD=?, DE= 16,求PD的长.
10．(8分)如图,在Rt?ABC中,∠C=90° ,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16, DE=10,求BC的长.
11．(8分)如图,?ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径,过点A的切线与CB的延长线交于点E.
（1）求证：EA2 =EB ?EC;
（2）若EA =AC, cos∠EAB =, AE=12,求⊙O的半径.
12．(8分)如图,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G, EF⊥OG于点F.
（1）求证：∠FEB=∠ECF;
（2）若BC=6, DE=4, 求EF的长.
13．(8分)如图,点A为⊙O外一点,过A点作⊙O的切线与⊙O 相切于点P,连接PO并延长至圆上一点B,连接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D,连接DP,且AD = PD.
（1）求证：?ODP为等边三角形；
（2）若AC=,求⊙O的半径.
14．(8分)如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点E,且OB⊥OC.
（1）求证：∠CAD=∠CDA;
（2）若AC=6, CE =2且sin15°=, cos15°=,求图中阴影部分的面积.
第24题二次函数和几何图形综合
1．(10分)如图,在平面直角坐标系中,?ABC是直角三角形,且∠ABC=90°, ∠ACB=30°,点B的坐标为（0,3）.
（1）求点A、C的坐标;
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
（3）设点M是（2）中抛物线的顶点,P、Q是抛物线上的两点,要使?MPQ为等边三角形,求P、Q两点的坐标.
2．(10分)如图,已知抛物线C:y= -x2 +bx+c经过A（3,0）和B（0,3）两点,将这条抛物线的顶点记为P,它的对称轴与x轴的交点记为Q.
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线C沿x轴向右平移d（d>0）个单位,得到抛物线C ',抛物线C '与抛物线C交于点M,如果以点P、Q、M为顶点的三角形是直角三角形,求抛物线C '的表达式.
3．(10分)已知抛物线c1的顶点为A（-1,4）, 与y轴的交点为D（0,3）.
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2,平行于x 轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答：当n为何值时, l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P, 使?PAB为等腰三角形.
4．(10分)如图,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上,E点是BC的中点,F是AB延长线上一点,且FB=1.
（1）求经过O、A、E三点的抛物线的表达式；
（2）点P在抛物线上运动,当点P运动到什么位置时, ?OAP的面积为2,请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q,使?AFQ是等腰直角三角形？若存在,写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
5．(10分)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A（2,-3）,与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上,且∠BDO= ∠BAC,求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由.
6．(10分)已知抛物线C:y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点O 及点（4,0）,抛物线C的顶点M的纵坐标为2,对称轴与x轴的交点为N.
（1）求抛物线C的对称轴和表达式；
（2）将抛物线C绕其与x轴的交点旋转180°,并记旋转后的抛物线为C',且抛物线C'的顶点为M',对称轴与x 轴的交点为N',则是否存在以点M、N、M’、N’为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出抛物线C'的表达式;若不存在,请说明理由.
7．(10分)如图,拋物线y =x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB =OC=6.
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD, F为抛物线上一动点,当∠FAB=∠EDB 时,求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点,以线段MN为对角线作菱形MPNQ,当点P在x轴上,且PQ= MN时,求菱形对角线MN的长.
8．(10分)如图,已知与x轴交于点A（1, 0）和B（5,0）的抛物线l的顶点为C（3,4）,抛物线l'和l 关于x轴对称.
（1）求抛物线l'的函数表达式；
（2）将抛物线l'向右平移m（m>0）个单位长度,平移后新抛物线与x轴交点从左向右依次为D、E,其顶点为F,在平移过程中,是否存在以点A、C、E、F为顶点的四边形是矩形的情形？若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由；
（3）设l上的点M、N（M在N的左侧）分别与l'上的点M’、N’始终关于x轴对称.若四边形MNN'M'是正方形,求点M的坐标.
9．(10分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且点A的坐标为（-3,0）,顶点D的坐标为（-1,4）.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）连接AD、AC、CD、BC.在y轴上是否存在点M.使得以M、B、C为顶点的三角形与?ACD相似？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
10．(10分)如图,已知点A（-1,0）、B（4,0）是抛物线y=ax2+bx-4 与x轴的两个交点,点C是抛物线与y轴的交点,连接AC,抛物线的对称轴与x轴交于点M.
（1）求抛物线的表达式及点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N,使得以点M、N、B为顶点的三角形与?AOC相似？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.
11．(13分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
（1）求点A,B,C的坐标;
（2）将?ABC绕AB中点M旋转180°,得到?BAD.
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P,使?BMP与?BAD相似,若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在,请说明理由.
12．(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1：y=ax2+bx+2过B（-2,6）、C（2,2）两点.
（1）试求抛物线C1的表达式；
（2）记抛物线C1的顶点为D,求?BCD的面积；
（3）把抛物线C1先向下平移m个单位,得抛物线C2 ,再以x轴为对称轴作抛物线C2的轴对称图形C3,如果抛物线C3与原抛物线C1只有一个交点,求m的值及抛物线C3的表达式.
13．(10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,菱形ABCD的三个顶点A、B、D在坐标轴上,且已知点A（-3,0）、点B（0,4）,现有抛物线m经过点B、C和OD 的中点E.
（1）点C、D的坐标是C（? ）,D（? ）；
（2）求抛物线m的表达式,并在图中画出抛物线示意图；
（3）在抛物线m上是否存在一点P,使得S?PBC=S?PDC,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
14．(10分)如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0,3）, B（-1,0）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得?MBC的面积是4,若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
15．(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y =ax2+bx+c经过A（0,3）,B（1,0）两点,顶点为M.
（1）求b、c的值；
（2）将?OAB绕点B顺时针旋转90°后,点A落到点C的位置,该抛物线沿y轴上下平移后经过点C,求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移所得的抛物线与y轴的交点为A1,顶点为M1,若点P在平移后的抛物线上,且满足?PMM1的面积是?PAA1面积的3倍,求点P的坐标.
16．(10分)如图,已知抛物线y =x2+bx+6与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标为（2,0）,抛物线的顶点为P.
（1）求b的值,求出点P、B的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使?AMP≌?AMB?如果存在,请直接写出点M的坐标；如果不存在,试说明理由.
17．(10分)如图,抛物线y =ax2+bx-8交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线l经过坐标原点O, 与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E, 连接CE,点A、D的坐标分别为（-2,0）、（6,-8）.
（1）求抛物线的解析式,并分别求出点B和点E的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点F,使?FOE≌?FCE,若存在,求出点F的坐标；若不存在,请说明理由.
18．(10分)如图,二次函数y =ax2+bx+c （a≠0）的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为（3,0）,顶点C的坐标为（1,4）.
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM 长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使?BDQ中BD边上的高为2,若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由.
19．(12分)如图,已知二次函数y =ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2,0）,点C（8,0）,与y轴交于点A.
（1）求二次函数y =ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC、AB,若点N在线段BC上运动（不与点B,C 重合）,过点N作NM∥AC,交AB于点M,当?AMN面积最大时,求N点的坐标；
（3）连接OM,在（2）的结论下,求OM与AC的数量关系.
20．(13分)如图①,抛物线C1:y=x2+ax与C2:y = -x2+bx相交于点O、C, C1、C2分别交x轴于点B、A, 且点B为OA的中点.
（1）求的值；
（2）若OC∥AC,求?OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l,顶点为M,在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点,当?PAC的周长最小时,求点P的坐标；
②如图②,点E在抛物线C2上点O与点M之间运动,四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在,请说明理由.
? ??
第25题 综合与实践
1．(4分)请在图中过点A作一条直线,使它平分?ABC的面积.
自主解答：
2．(4分)如图,点D是?ABC边AC上的一定点,取BC的中点M,连接DM,过点A作AE ∥DE交BC于点E,作直线DE.求证:直线DE平分?ABC的面积.
自主解答：
3．(4分)如图,四边形ABCD是某商业用地示意图.现准备过点A修一条笔直的道路（其占地面积不计）,使其平分四边形ABCD的面积.请你在图中作出这条路所在的直线,写出作法,并说明理由.
自主解答：
4．(4分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD, AB+CD= BC,点P是AD的中点.如果AB=a, CD=b,且b >a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在,求出BQ的长;若不存在,请说明理由.
自主解答：
5．(4分)请你在图①中作一条直线,使它将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分;在图②中作出两条直线,使它们将圆O四等分;在图③中作一条直线,使它平分以BC为底的等腰三角形ABC的面积；在图④中作两条直线,使它们将正方形ABCD四等分.
自主解答：
? ?? ? ? ?? ? ? ?
6．(4分)请你在图①中过点P作一条直线平分矩形ABCD的面积;在图②中过点M 作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）四等分正方形ABCD的面积;如图④,在矩形中剪去一个小正方形,得到一个六边形ABCDEF,请你作一条直线平分六边形ABCDEF 的面积.
自主解答：
? ? ?? ? ? ?? ? ? ??
7．(4分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB, DC⊥BC, OB⊥BC, OB=6, BC=4, CD=4,开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位,准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计）,并且使这条路所在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在？若存在,求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由.
自主解答：
8．(10分)提出问题在一个图形上画一条直线,若这条直线既平分该图形的面积,又平分该图形的周长,我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.
探究问题
（1）如图①,在Rt?ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=45°, AB=4,请你过点C画出?ABC的一条“等分积周线”,与AB交于点D,并求出CD的长；
（2）如图②,在?ABC中,AB=BC,且BC≠AC,过点C画一条直线CE,其中点E为AB上一点,你觉得CE可能是?ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；
解决问题
（3）西安市区的环境越来越美,随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处.在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD,其中,∠A=∠B=90°, AB=4, BC=6, CD=5 ,现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计）,使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长,又平分四边形ABCD的面积,且要求这条水渠必须经过BC边.请你画出所有满足条件的水渠,说明理由,并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离.
? ? ? ?? ? ? ??
9．(10分)问题探究：
（1）如图①所示,已知直线m∥n, A、B为直线n上的两点,C、D为直线m上的两点,AD与BC交于点O,请你写出图中面积相等的任意2对三角形：__________；
（2）如图②所示,正方形ABCD的边长为4, G是边CD上一点,以CG为边作正方形GCEF.求?BDF的面积；
问题解决
（3）某小区是一块矩形土地如图③所示,AB=1200米, AD=600米,由于修建高速公路,该小区右下方停车场右下方区域将被作为公共区域,便于加装隔音墙,现决定在DC下侧补给小区一块土地,补偿后,小区变成四边形ABMD,且补偿后四边形ABMD的面积与原来矩形ABCD 的面积相等,若小区围墙折线DMB加装隔音墙.请在图③中确定M点的位置,使得隔音墙的长度最短,说明理由,并求出最短的长度.
? ? ? ??? ? ? ? ?
10．(10分)定义:如果一条线段将一个图形分成面积相等的两部分, 那么称这条线段是这个图形的梦想线段.问题探究：
（1）已知?ABC,它是否存在梦想线段,如果存在,梦想线段有多少条？并在图①中过点A作出一条梦想线段（保留作图痕迹）；如果不存在,请说明理由；
（2）在图②的?ABC中,AB=10, BC=6, AC=8,若在边AB, AC上取两点P,Q,使线段PQ是?ABC的梦想线段, 且PQ∥BC.这样的线段PQ存在吗？若存在,请在图② 中画出PQ并计算PQ的长;若不存在,请说明理由；
问题解决
（3）在（2）中的?ABC中,若分别在边AB , AC上取P,Q 两点,使PQ是?ABC的梦想线段,求线段PQ的最小值.
? ? ? ? ??
11．(10分)我们知道,沿轴对称图形的对称轴折叠这个图形,对称轴两侧的部分可以完全重合,也就是说,轴对称图形的对称轴可以将这个图形的面积平分,而任意一个中心对称图形,经过其中心的直线必然平分这个图形的面积.
（1）如图①,在正五边形ABCDE中,请作出一条直线,使得这条直线将正五边形的面积平分；
（2）如图②,在多边形ABCDEF中,∠A=∠B=90°, AB∥ ED, EF∥CD, EF=CD.请作出一条直线l,使得l经过AB 和DE,且恰好平分这个多边形的面积；
（3）如图③是马爷爷家的一块菜地,其中∠A=∠B=∠C =∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=∠R=∠O=90°, OA = OR =20米,GF =30米, AB=BC=CD=DE=EF=GH= RH=10米.为了便于管理,马爷爷计划沿点O修一条笔直的小路OP（路的宽度不计）,并且OP把这块菜地恰好分为面积相等的两部分,是否存在这样的点P,若存在, 求出OP的长;若不存在,请说明理由.
? ? ??? ? ? ? ? ?
12．(3分)已知?ABC两边a=8 , b=12,且夹角为60°,则此三角形的面积为_____.
13．(3分)已知三角形两边长分别为4、7,则此三角形的最大面积为_____.
14．(3分)如图,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC =AP,以AC为对角线作,若AB=,则面积的最大值为_____.
15．(3分)如图,矩形ABCD的四个顶点分别在同心圆的两圆的圆周上,大圆的半径为4,小圆的半径为3,则矩形ABCD的面积最大值为_____.
16．(4分)如图,请你利用作位似图形的方法,在Rt?ABC中,作出两边分别落在两直角边上的与正方形CNPM位似的最大正方形CNP'M'.
自主解答：
17．(4分)如图,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在边长为（3+）的正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N', 且使正方形E'F'P'N'的面积最大,并求此时正方形的边长.
自主解答：
18．(4分)如图,在边长为（3+）的正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.
自主解答：
19．(4分)如图,在半径为R的半圆O内（含弧）,画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形,并求出这个三角形的面积.
自主解答：
20．(4分)如图,在半径为R的半圆O内（含弧）,画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形,并求出这个正方形的面积.
自主解答：
21．(4分)如图,现有一块半径R=6的半圆形钢板,是否可以裁出一边落在直径MN上的面积最大的矩形？若存在,求出这个矩形的面积;若不存在,说明理由.
自主解答：
22．(10分)我们可以定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
问题探究
（1）如图①,已知矩形ABCD中,AB > BC,试在矩形ABCD 上确定一点P,使?BCP为等腰三角形.
（2）如图②,在菱形ABCD中,∠ABC=120°, AB=4,点M、N分别在AD、CD上（不含端点）,若∠MBN=60°,判断四边形DMBN是否一定为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”,说明理由并求出其周长最小值；如果不是,请说明理由.
尝试应用
（3）现有一个平行四边形材料ABCD,工作人员需要将其制作成一个“等邻边四边形”面板.如图③,在中,AB=, BC=7, tanB=4,点E在BC上,且BE=4,在内或者边上,确定一点F,使四边形ABEF为面积最大的“等邻边四边形”,若能实现,求出最大面积, 若不能实现,试说明理由.
? ? ? ? ?? ? ? ??
23．(10分)（1）如图①,点C为直线m上一点,A、B在m的同侧,AE⊥m于点E, BF⊥m于点F, AC⊥BC.求证：?AEC∽?CDB；
（2）如图②,在锐角?ABC中,∠ACB=45°, AB=2,分别以A、B为直角顶点向?ABC外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足分别为M、N.
①求EM+EN的值；
②求?ABC面积的最大值；
③如图③,连接EF则?EFC面积的最大值为_____（直接写出答案）.
? ? ? ??? ? ? ??
24．(10分)将面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG 按图①的位置放置,A、D、E在同一条直线上,A、B、G在同一条直线上.
（1）试判断DG、BE的数量和位置关系,并说明理由；
（2）如图②,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B 恰好落在线段DG上时,求此时BE的长；
（3）如图③,将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE相交,交点为H,求出?GHE与?BHD 面积之和的最大值.
? ? ?? ? ??
25．(10分)问题发展：
（1）如图①,Rt?ABC中,∠C=90°, AC=3, BC=4,点D 是AB边上任意一点,则CD的最小值为_____.
问题解决：
（2）如图②,矩形ABCD中,AB=3, BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值.
（3）如图③,矩形ABCD中,AB=3, BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是BC边上的任意一点,把?BEF 沿EF翻折,点B的对应点为点G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度；若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
26．(3分)如图,在?ABC中,AB=AC=5, BC=6.若点P在AC上移动,则PB 的最小值是_____.
27．(3分)如图,在?ABC中,AC=BC=2, ∠ACB=90°, D是BC边中点,E 是AB上一动点,则EC + ED的最小值为_____.
28．(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2, ∠BAD=60°, E是AB的中点,P 是对角线AC上的一个动点,则PE + PB的最小值为_____.
29．(3分)如图,半径为1的半圆弧上有两点C、D,其中∠AOC=30°, ∠BOD=60°,在直径AB上存在一点到C、D两点的距离和最短,这个最短距离为_____.
30．(3分)如图,在锐角?ABC中,AB=, ∠BAC=45°, ∠BAC的平分线交BC于D, M、N分别是AD和AB上的动点,则BM + MN的最小值是_____.
31．(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小？若存在,求出它周长的最小值；若不存在,请说明理由.
32．(4分)如图,菱形ABCD中,AB=2, ∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,求PK + QK的最小值.
33．(4分)如图,已知点P为?ABC内一点,AB=3, BC=4, ∠ABC=30°,求PA+PB+PC的最小值.
34．(10分)问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P, 使PA +PC最小；
（2）如图②,点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点, AB=2, BC=2,点E为BC边的中点,请作一点P,使PE+PC最小,并求这个最小值；
问题解决
（3）如图③,李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD, AC = 1200米,BD为小路,BC的中点E为一水池,李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P,为了节省土地,使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短,那么是否存在符合条件的点P?若存在,请作出点P的位置,并求出这个最短距离；若不存在,请说明理由.
? ? ? ??? ? ? ??
35．(10分)理解运用
（1）如图①,在四边形ARBC中,AR∥BC, BR⊥BC, RB= 5, BC=12,则点B到RC的最短距离是_____；
（2）如图②,在四边形ARBC中,AR∥BC, BR⊥BC,矩形DEFG为?ABC的一个内接矩形,CR交DG于点H,过H 作HI⊥BC于点I,延长GD交BR于点P,则四边形PBIH 的面积与矩形DEFG的面积有什么关系？请说明理由；
综合实践
（3）如图③,某小区有一块三角空地,已知?ABC空地的边AB=400米,BC=600米,∠ABC=45°.准备在?ABC 内建设一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上,点D、G分别在边AB、AC上）,其余部分进行植被绿化,请在图③中画出对角线EG最短的矩形DEFG,并求出对角线EG的最小值（不要求证明）.
? ? ? ? ?? ? ??
36．(10分)小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图①,在矩形ABCD中,AB=6, AD= 8, E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上, 则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究,请你帮助她完成下面的探究过程.
探究（1）如图②,在AF=2, DH=5的条件下,请在图②中画出周长最小的四边形EFGH,并求出周长的最小值；
探究（2）在探究1的启发下,小敏画出了图③:作F关于AD的对称点F1,作F关于BC的对称点F2,作F1关于CD的对称点F3,连接F2F3交CD于点H,交BC于点G, 连接F1H交AD于点E,连接EF、FG,借助图③,她发现四边形EFGH的周长有最小值,并顺利解决了遇到的这个问题,请求出四边形EFGH的周长的最小值；
拓广探究（3）解决了上述问题后,小敏又想到了新的问题,当四边形EFGH的周长最小时,四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题,若存在,请求出此时面积的最大值;若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??
37．(10分)小明与小颖在做关于两个边长和为定值的动态等边三角形的研究.已知线段AB=12, M是线段AB上的任意一点.分别以AM、BM为边在AB 的上方作出等边三角形AMC和等边三角形BMD,连接CD.
（1）如图①,若M为AB的中点时,则四边形ABDC的面积为_____；
（2）如图②,试确定一点M,使线段CD取最小值,并求出这个最小值；
（3）如图③,设CD的中点为O,在M从点A运动到点B 的过程中,?OAB的周长是否存在最小值？如果存在,请求出最小周长和点O从最初位置运动到此时所经过的路径长;若不存在,请说明理由.
? ? ??? ? ? ? ? ?
38．(4分)请在图①的正方形ABCD、图②的长方形ABCD、图③的三角形ABC内, 分别画出所有使∠APB=90°的点P.
自主解答：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
39．(3分)如图,?ABC是等边三角形,AB=12.若点O是?ABC的内心,则OA的长为_____.
自主解答：
40．(4分)如图,在?ABC中,∠ABC=60°, BC=12, AD是BC边上的高,点E、F分别为边AB、AC的中点.当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF = 90°,求此时BQ的长.
自主解答：
41．(4分)如图,现有一块矩形钢板ABCD, AB=4, BC=3.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的?APB和?CP'D钢板,且∠APB=∠CP'D=60°.请你在图中画出符合要求的点P和点P',并求出?APB的面积（结果保留根号）.
自主解答：
42．(4分)某城市街角有一草坪,草坪是由?ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌）,同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图,已测出AB=24 m, MB=10 m, ?AMB的面积为96 m2 ；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8 m.
请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
自主解答：
43．(4分)如图,有一矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°, EF=FG=米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF
44．(10分)问题发现：
（1）如图①,点A和点B均在⊙O上,且∠AOB=90°,点P和点Q均在射线AM上,若∠APB=45°,则点P与⊙O 的位置关系是__________；若∠AQB<45°,则点Q与⊙O的位置关系是__________；
问题解决：
如图②、图③所示,四边形ABCD中,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠DAB=135°,且AB=1, AD=2,点P是BC边上任意一点.
（2）当∠APD=45°时,求BP的长度；
（3）是否存在点P,使得∠APD最大？若存在,请说明理由,并求出BP的长度；若不存在,也请说明理由.
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
45．(10分)问题探究
（1）如图①,线段AB的长为4,请你作出一个以AB为斜边且面积最大的Rt?ABC;
（2）如图②,在四边形ABCD中,AD=CD, ∠ABC=120°, ∠ADC=60°, AB=4, BC=2,请你求出四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板,这种材料板的形状如图③所示,并且满足在四边形ABCD中,AD=CD, ∠ABC=75°, ∠ADC=60°, DB=4,你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能,请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能,请说明理由.
（tan22.5°=-1）
? ? ? ? ?? ? ? ? ??
46．(10分)问题提出
（1）如图①,正方形ABCD的对角线交于点O, ?CDE是边长为6的等边三角形,则O、E之间的距离为__________；
问题探究
（2）如图②,在边长为6的正方形ABCD中,以CD为直径作半圆O,点P为弧CD上一动点,求A、P之间的最大距离；
问题解决
（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑,窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线,是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外,还具有冬暖夏凉的天然优点.家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟,发现自家的窑洞（如图③所示）的门窗是由矩形ABCD及弓形AMD组成,AB=2 m, BC=3.2 m,弓高MN=1.2 m（N 为AD的中点,MN⊥AD）.小宝说,门角B到门窗弓形弧AD的最大距离是B、M之间的距离.小贝说这不是最大的距离,你认为谁的说法正确？请通过计算说明.
? ? ?? ? ? ?
47．(10分)问题探究
（1）如图①,在矩形ABCD中,AB=2, BC=4,在BC边上（不含B、C两点）找一点P,使得?APD为直角三角形,请画出符合条件的一个P点,并求出此时AP的长；
（2）如图②,在四边形ABCD中, AB∥CD, ∠B=90°, AD= 10, AB=7, CD=1,点P在边BC上,且∠APD=90°,求BP 的长；
问题解决
（3）如图③,矩形ABCD是某小广场平面示意图,点E、F 为进口,AB=40米,BC=50米,点E、F在AB上,AE=BF =10米,广场管理办公室想在广场（矩形ABCD）的边上找一点P安装摄像头,使得∠EPF最大,则是否存在这样的点P,若存在,求出点P的位置及此时∠EPF的余弦值;若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ? ? ? ? ???
48．(10分)（1）如图①,点A是⊙O外一点,点P是⊙O上一动点.若⊙O的半径为3, OA=5, 则点P到点A的最短距离为__________；
（2）如图②,已知正方形ABCD的边长为4,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离为__________；
（3）如图③,在等边?ABC中,AB=6,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CA方向向终点C和A运动,连接AM和BN交于点P,求?APB面积的最大值,并说明理由.
? ? ?? ? ? ? ?
49．(10分)问题提出
（1）如图①,已知?ABC为边长为2的等边三角形,则?ABC的面积为__________；
问题探究
（2）如图②,在?ABC中,点A为动点,且∠BAC=120°, BC=6,求?ABC的最大面积；
问题解决
（3）如图③,某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼堂内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°,请你通过所学知识进行分析,在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在,求出MC的长度;若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ??? ? ? ??
第15题实数运算
答案与解析
1．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
4-1
2．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
11 -3
3．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
1 -3
4．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
8+2
5．(3分)
【考点】 实数的运算
【答案】
--1
6．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
8-3
7．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
2+4
8．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-1
【解析】
9．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-2
10．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
11．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-2
12．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-9+
第16题分式
答案与解析
1．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
-2y-x
2．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
3．(5分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
4．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
1
5．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
6．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=2x.当x=时，原式=2.
7．(8分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=.当x=时，原式=.
8．(8分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=1-a.
由于分式中分母不能为0 ，即a，a+1，1-a都不能为0，故a不能为0，-1和1.取a=2时，原式=-1.
9．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=，把x =4代入原式得原式=.
10．(8分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
11．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
原分式方程的解为x= -1.
12．(4分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=2是原方程的解.
13．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x =15是原方程的解.
14．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=0是原方程的解.
15．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=5是原方程的解.
16．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=-是原方程的解.
17．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=17是原方程的解.
18．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=-1是原方程的解.
第17题尺规作图
答案与解析
1．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，点P即为所求.
第1题解图
【解析】
2．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，点P即为所求点.
【解析】
3．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，P点即为所求.
【解析】
4．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，P点为射线上除点O外任一点.
【解析】
5．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，⊙O即为所求.
【解析】
6．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线PA或直线PA'为所求作的切线.
【解析】
7．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线l即为所求.
【解析】
8．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，⊙O为所作的圆.
【解析】
9．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图E、F点即为所求点.
【解析】
10．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:作出音乐喷泉M的位置如解图.
【解析】
11．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直AD即为所求.
图①
图②
【解析】
12．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线MN即为所求.
【解析】
13．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，菱形ABCD即为所求.
【解析】
14．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:作出的Rt△ABC如解图所示（作出一个直角三角形即可）.
【解析】
15．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，点E即为所求作的点.
【解析】
16．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，菱形ABCD即为所求.
【解析】
17．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线MN即为所求.
【解析】
18．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，△A'B'C'即为所求作的三角形.
【解析】
19．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图所示，点E即为所求.
【解析】
20．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，△ABC和△A'BC为所作的三角形.
【解析】
第19题全等三角形有关证明
答案与解析
1．(6分)
【考点】
【答案】
证明：在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌DOC（AAS）.
∴OB=OC，
∴∠ACB= ∠DBC.
【解析】
2．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE，
在△AOD和△BOE中，∠A =∠B，
∴∠BEO=∠2，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC =∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）.
∴AC=BD.
【解析】
3．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵BC//EF，
∴∠ACB=∠DFE，
又∵AF = DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF.
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE.
【解析】
4．(6分)
【考点】
【答案】
证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴∠ABE=∠ACD.
【解析】
5．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵BE//DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
，
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE = FC.
【解析】
6．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵AF//BC，
∴∠AFE =∠CDE，
∵点E是AC的中点，
∴AE =CE，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AFE≌△CDE（AAS），
∴AF =CD，
∵AF//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（SAS），
∴∠AED=∠B=90。，即DF丄AC.
∴四边形ADCF是菱形.
【解析】
7．(6分)
【考点】
【答案】
证明：如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB = CD.
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF.
∵AB//CD，
∴AE//CF.
∴∠E=∠F，∠1=∠2.
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴OE = OF.
【解析】
8．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，AB//CD，
∴∠ABE= ∠DCF，
又∵EF=AD，
∴BC = EF，
∴BE = CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）
【解析】
9．(8分)
【考点】
【答案】
证明：（1）∵点C是AB的中点，
∴AC=BC，
在△ACD与△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（SSS）；
（2）如解图，连接DE，
∵△ACD≌△CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD//BE，
又∵CD = BE，
∴四边形CBED是平行四边形.
【解析】
10．(6分)
【考点】
【答案】
证明：在矩形ABCD中，∠ABF = ∠FCE =90°，
∴∠BAF +∠AFB =90°，
∵EF丄AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB +∠CFE=90°，
则∠BAF=∠CFE，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（AAS），
∴AB =CF.
【解析】
11．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形， △EBC是等边三角形，
∴BA=BC=CD，BE = CE， ∠ABC =∠BCD =90°，∠EBC = ∠ECB =60°，
∴∠ABE =∠DCE = 30°，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE.
【解析】
12．(8分)
【考点】
【答案】
（1）证明：∵∠BCE = ∠ACD=90°，
∠BCE =∠ACB +∠ACE，∠ACD= ∠ACE+∠DCE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC=CD；
（2）∠DEC = 112.5°.
【解析】
第20题几何测量问题
答案与解析
1．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
A地到C地之间高铁线路的长约为595km.
【解析】
2．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
E处距离港口A大约35km.
【解析】
3．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
这艘轮船的航行路程CE的长度约为20.9km.
【解析】
4．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
篮框D到地面的距离约为3.05米.
【解析】
5．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
山CD比旗杆MV高出约42米.
【解析】
6．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
信号塔PQ的高度约为67.0米.
【解析】
7．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
旗杆AB的高度约为16米.
【解析】
8．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
水坝原来的高度BC约为12米.
【解析】
9．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
测得A、B间的距离是48米.
【解析】
10．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
路灯的灯柱BC的高度为（11-4）米.
【解析】
11．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
桶内所装油的高度为0.8米.
【解析】
12．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
路灯的高度约为6.8米.
【解析】
13．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
甲、乙两人的观测点到地面的距离的差约为25.9米.
【解析】
14．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
（1）如解图，点G即为所求灯泡的位置；
（2）小刚的影子B1C1的长是1.5m.
【解析】
第21题一次函数应用
答案与解析
1．(8分)
【考点】 一次函数应用
【答案】
（1）甲种鱼苗购买了4000尾，乙种鱼苗购买了2000尾；
（2）购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低为4080元.
【解析】
2．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=-16x+3312；
（2）他的月收入最高能达到3120元.
【解析】
3．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
解：（1）当0当x>1时，y甲=15x+7；
y乙=16x+3；
（2）当4时，选甲快递公司省钱.
【解析】
4．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=96x；
（2）每天安排60名工人进行蔬菜精加工才能使一天所获利润最大，最大利润是5760元.
【解析】
5．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=；
（2）二月份的用水量为12m3，三月份的用水量为28m3.
【解析】
6．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=-x+11（10≤x≤50）；
（2）成本为每吨7万元时，该产品的生产数量为40吨.
【解析】
7．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）小刚家到该景区乘车一共用了4小时；
（2） 线段AB对应的函数解析式为y=120x-40（1≤x≤3）；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地120km.
【解析】
8．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）甲车从A地到B地的行驶时间为2.5小时；
（2） 甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=-100x+550（2.5≤x≤5.5）；
（3） 乙车到达A地时，甲车距A地路程为175km.
【解析】
9．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y= -0.005x+22；
（2）该植物适宜种植的海拔高度的范围是400米~800米.
【解析】
10．(8分)
【考点】 一次函数应用
【答案】
（1）y=-5x+2000；
（2）销售完这两种台灯的利润为1625元.
【解析】
11．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y=100x+3150；
（2）当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650元.
【解析】
12．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
解：（1）总运费W（元）关于x（吨）的函数关系式为W=-30x+39200（0≤x≤70），从甲库运往A地70吨水泥，运往地30吨水泥，从乙库运往B地80吨水泥时，总运费最小为37100元；
（2）共有4种方案.
【解析】
第23题 圆的综合题
答案与解析
1．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接AD.
∵AB是半圆O的直径，
∴AD丄BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵，
∴∠CAD=∠BAD.
∵AD=AD，
∴△CAD≌△BAD（ASA），
∴AC=AB；
（2）sin∠CBF =.
【解析】
2．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OD，
∵OA =OD.
∴∠DAO=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠DAO，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD//AE.
∵AE丄CD，
∴OD丄CE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）AD=.
【解析】
3．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
证明：（1）∵CD ? CB = CA ? CE，
∴ =，
又∵∠C共用，∴△CDE~△CAB，
∴∠CED=∠B，
∴DE//AB；
（2）由（1）得∠CED=∠B，
∴tan∠CED = tanB = ，
在Rt△CDE中，CD=，
∴ CE==，
∴DE= =8，
如解图，取DE的中点O，点O即为△CDE外接圆圆心，过点O，E分别作OM丄AB，EN丄AB，则OM =EN，在
Rt△BEN中，tanB==，
设EN = 4k， BN = 3k，则 EN2 + BN2 =BE2，
又∵BE=5，
解得k=1，则EN=4，ON=4，
∵OM=DE，
∴OM是△CDE的外接圆半径，
∴AB与△CDE的外接圆相切.
【解析】
4．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB =OD，∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC；
（2）BE=.
【解析】
5．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC//AE，
∵DE切⊙O于点C，OC为⊙O的半径，
∴OC丄DE，
∴AE丄DE；
（2）AF=2.
【解析】
6．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
证明：（1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC =90°，
∵∠BAD =90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD；
（2）∵AE为⊙O的切线，
∴AE丄AC，
∴∠EAB+∠BAC =90°，
∵∠BAC+ ∠ACB =90°，
∴∠EAB= ∠ACB，
∵∠ABC =∠ABE=90°，
∴△ABE~△CBA，
∴，
∴AB2 = BE ? BC.
由（1）知AB=CD，
∴CD2 =BE ? BC.
【解析】
7．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
证明：（1）如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD丄BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OB=OA，
∴OD//AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD丄DE，
∴DE丄AC；
（2）AF=16.
【解析】
8．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OE，OC，
∵OA=OE，CE = CA，OC共用，
∴△OEC≌△OAC（SSS），
∴∠OEC=∠A=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
（2）BD=3.
【解析】
9．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OB，
∵OP丄BA，OA=OB，
∴∠OBA =∠OAB，∠PAB=∠PBA，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBA+∠OBA=∠PBO=90°，
则∠PAB +∠OAB= 90°，即∠PAO = 90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）PD=39.
【解析】
10．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO =90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
又∵OD= OB，
∴∠B=∠BDO.
∴∠ADE= ∠A；
（2）BC=15.
【解析】
11．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接BD，
∵AE为⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠DAE=∠ABD=90°，
∴∠EAB=∠D，
又∵∠C=∠D，
∴∠EAB=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE~△ACE，
∴EA:EC = EB:EA，'
∴EA2 =EB ? EC；
（2）⊙O的半径为.
【解析】
12．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵EF丄OG，BC为切线，
∴∠B=∠EFC =90°，
∴∠EOF +∠FEB =90°，∠BOC+ ∠BCO =90°，
∵∠EOF=∠BOC，
∴∠FEB=∠BCO，
∵CB、CD切⊙O于点B、D，
∴∠ECF=∠BCO，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）EF=2.
【解析】
13．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵AD=PD，
∴∠PAD=∠APD，
∴∠ODP=2∠APD，
∵OP=OD，
∴∠OPD=∠ODP，
∴∠OPD=2∠APD，
∵AP与⊙O相切于点P，
∴∠OPD+∠APD =90°，
∴3∠APD =90°，解得∠APD=30°，
∴∠OPD =60°，
∴△OPD是等边三角形；
（2）⊙O的半径为3.
【解析】
14．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵OB丄OC，
∴∠BOD=90°，
∴∠CDA +∠OBD =90°.
又∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAD+∠OAD=90°.
∵OB = OA，
∴∠OBD=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA；
（2）S阴影=5π-3.
【解析】
第24题二次函数和几何图形综合
答案与解析
1．(10分)
【考点】 等边三角形 直角三角形
【答案】
（1）A（-，0），C（3，0）；
（2） y=-x2+x+3；
（3）如解图，设PQ交y轴于点D，过点M作MN丄PQ垂足为N，
由（2）可得点M的坐标为（，4），设PD=n，则PN=n+，
∵△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ=60°，
∴MN=n+3,
∴点N的坐标为（，1-n），
∴点P的坐标为（-n，1-n），
将P点坐标代入抛物线的表达式，得1-n=-（-n）2-n+3，
整理得n2>n-6=0，
解得n=2或n=-（舍去），
∴点P的坐标为（-2，-5），
又∵点P与点Q关于直线MN对称，
∴点Q的坐标为（4，-5），
∴P（-2，-5），Q（4，-5）或P（4，-5），Q（-2，-5）.
【解析】
2．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）y=；
（2）P（1，4）；
（3）∵P（1，4），A（3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），
① 当∠PQM=90°时，可知点M与点A 重合，则d=4，
∴抛物线的表达式为y=-（x-1 -4）2+4=-（x-5）2+4；
② 当∠PMQ=90°时，如解图，作MD丄PQ于点D，则△PMD~△MQD，
∴=，则DM2=PD·QD，
设点M（x，-x2 + 2x+3），则QD=-x2 +2x+3，DM=x-1，PD=4-DQ=（x-1）2
代入DM2=PD ? QD，
得（x-1）2=（x-1）2 ?（-x2 +2x+3），
解得x1=1（不合题意，舍去），x2=1+，=1-（不合题意，舍去）；
∴M（1+，1），
把点M（1+，1）代入y=-（x-1-d）2 +4，
得d1=2，d2=0（不合题意，舍去），
∴此时抛物线的表达式为y=-（x-1-2）2+4；
③ 不存在∠QPM=90°的情况.
综上所述，抛物线的表达式为y= -（x-5）2+4或y=-（x-1-2）2+4
【解析】
3．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 等腰三角形
【答案】
（1）y= -x2-2x+3；
（2）m=；
（3）根据题意可得抛物线c1:y=-（x +1）2+4关于y轴对称的抛物线c2 的解析式为y=-（x-1）2 +4.
① 由图象可得当n =4时，直线y =4 经过两抛物线顶点（-1，4），（1，4）， 此时直线y=4与抛物线c1，c2共有两个交点；
② 当n=3时，直线y= 3经过两抛物线的交点D（0，3），
此时直线y=3与抛物线c1，c2共有三个交点；
③ 当3（4） 根据题意可得点A（-1，4），点B （3，0），
则AB ===4.
设点P，（x，0）.
① 当PA=PB时，有（x+1）2 +42 =（3 -x）2，解得x1=-1，
∴点P坐标为（-1，0）；
② 当AB=PB时，（4 ）2=（3-x）2，
解得x2=3+4，x3=3-4，
∴点P坐标为（3+4，0）或（3-4，0）；
③ 当AB=AP时，（4）2= （x+1）2+42，解得x4=3（舍去），x5=-5，
∴点P坐标为（-5，0）.
综上所述，使△PAB为等腰三角形的点P坐标为（-1，0）或（3+4，0）或（3-4，0）或（-5，0）；
【解析】
4．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 等腰三角形
【答案】
（1）抛物线的表达式为y=-2x2 + 4x；
（2）∵△OAP的面积是2，OA=2，
∴点P到x轴的距离为2，即点P的纵坐标是2或-2.
当-2x2 +4x=2时，
解得x=1，
则点P的坐标是（1，2）；
当-2x2+4x=-2时，
解得x=1±，
此时P的坐标是（1+，-2）或（1-，-2）.
综上所述，点P的坐标为（1，2）或（1+ ，-2）或（1-，-2）；
（3）存在.
理由如下：由题意知AF=AB+BF=2+1=3，OA=2，
当点A是直角顶点时，
要使△AFQ是等腰直角三角形，Q不可能在抛物线上；
当点F是直角顶点时，
要使△AFQ是等腰直角三角形，Q不可能在抛物线上；
当点Q是直角顶点时，
要使△AFQ是等腰直角三角形，则点Q到AF的距离是AF=.
将y=代入抛物线表达式y=-2x2 +4x中，得-2x2 +4x =，
解得x1=，x2=（舍去），
∴点Q的坐标是（ ， ?）
【解析】
5．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 平行四边形的性质与判定
【答案】
（1）抛物线的解析式为y = x2 -2x-3；
（2）D（0，1）或（0，-1）；
（3）存在.理由如下：
当AB//MN时，由MN=AB=3，可知点M与对称轴的距离为3 ，由y =x2-2x-3可得对称轴为直线x=1，
∴点M的横坐标为4或-2，
把x= -2代入y=x2-2x-3得y=4+4-3=5，
∴M（-2，5）；
把x =4代入y=x2-2x-3得y=16-8-3=5，
∴M（4，5）；
当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC=BN=2， 可知点M与点C重合，
∴点M坐标为（0，-3）.
∴M的坐标为（0，-3）、（-2，5）、（4，5）.
【解析】
6．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）抛物线C的表达式为y= -x2 +2x，对称轴为x=2；
（2）存在.理由如下：
由题意可知抛物线C的顶点M到x轴的距离MN=2，要使以点M、N、M '、N '为顶点的四边形为平行四边形，则必有MN//M 'N '，MN = M 'N '，
如解图：①当抛物线C绕原点O旋转180°时，M 'N '=2，由于MN、M 'N '分别垂直于x轴，故MN/M'N '，
第2题解图
又∵M 'N ' =MN，故存在平行四边形M 'N 'MN，
∴点M '的坐标为（-2，-2），
旋转后抛物线的对称轴为直线x=-2， 又∵抛物线C '过原点O，故与x轴另一交点为（-4，0），
∴设抛物线C '的表达式为y = a1x（x +4）（a1≠0），
将M '（-2，-2）代入可得a1=，
故抛物线C'的表达式为y=x2+2x；
②当抛物线C绕点（4，0）旋转180° 时，同①方法可知存在平行四边形MNM 'N '，则M '的坐标为（6，-2），旋转后抛物线的对称轴为直线x=6，
∵此时抛物线C'过点（4，0），
∴根据抛物线的对称性可知抛物线C ' 过另一点（8，0），
设拋物线C '的表达式为y=a2（x-4） ? （x-8）（a2≠0），
将M '（6，-2）代入可得a2=，
∴抛物线C '的表达式为y=（x-4） ? （x-8）=x2-6x+16.
综上所述，存在满足以点M、N、M '、N ' 为顶点的四边形是平行四边形的抛物线C '，其表达式为y=x2+2x或y=x2-6x+16.
【解析】
7．(10分)
【考点】 菱形的性质与判定 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
1）抛物线的解析式为y =x2-2x-6，点D的坐标为（2，-8）；
（2）如解图①，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为（x，x2-2x-6）.过点F作FG丄x轴于点G，易求OA=2，则AG=x+2，FG=x2-2x-6.
∵∠FAB= ∠EDB，
∴tan∠FAG = tan∠BDE.
即= ，
解得x1=7，x2=-2（舍去）.
当x=7时，y=，
∴点F的坐标为（7，）；
当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为（5，-）.
综上所述，点F的坐标为（7，）或（5，-）；
（3）∵点P在x轴上，根据菱形的对称性可知点P的坐标为（2，0）.如解图②，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.
∵PQ=MN，
∴MT=2PT.
设TP=n，则MT= 2n，
∴M（2+2n，n）
∵M在抛物线上，
∴n =（2+2n）2-2（2+2n）-6，
化简得2n2-n-8=0，
解得n1=，n2=（舍去）.
∴MN=2MT=4n = +1；
当MN在x轴下方时，设TP=n，得M （2+2n，-n）.
∴-n=（2+2n）2-2（2+2n） -6，
化简得2n2+n-8=0，
解得n1=，n2=（舍去）.
∴MN = 2MT = 4n =-1.
综上所述，菱形对角线MN的长为+1或-1.
【解析】
8．(10分)
【考点】 正方形的性质与判定 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）抛物线l '的表达式为y=x2-6x+5；
（2）存在.
如解图①，由题意得D（1 +m，0），E（5 +m，0），F（3+m，-4）.
∵A（1，0），C（3，4），
∴AE =5+m-1=4+m，
CF =
=，
由已知条件可得，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，要使以A、C、E、F为顶点的四边形是矩形，则AE=CF，
∴4+m=，解得m =6.
即当m=6时，以A、C、E、F为顶点的四边形是矩形；
（3）如解图②，∵抛物线l '的表达式为y = x2 - 6x+5 ，
∴由对称性可得l的表达式为y= -x2 + 6x- 5，
设点M（x，-x2+6x-5），则点M '（x， x2-6x+5），
∵C（3，4），
∴3=，则xN=6-x，
∴N（6-x，-x2+6x-5），点N '（6-x，x2 -6x+5），
∴MN=6-2x，
① 若点M在x轴上方时，则MM '= -x2 +6x-5-（x2-6x+5）=-2x2 +12x-10，
要使四边形MNN 'M '是正方形，则MN =MM '，且点M在点N的左侧，
∴6-2x=-2x2+12x-10，
解得x1=（不合题意，舍去），
x2=，
∴.M1（，）；
② 若点M在x轴下方时，则MM '=x2 -6x+5-（-x2+6x-5） =2x2-12x +10，
要使四边形MNN 'M '是正方形，则MN =MM '，
∴6-2x=2x2-12x+10，
解得x1=（不合题意，舍去），
x2=，
∴M2（，）.
综合①②，可得M1（，），M2（，）.
【解析】
9．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 直角三角形
【答案】
（1）∵顶点D（-1，4），则设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4.
将点A（-3，0）代入抛物线中可得，0 =a（-3+1）2+4，解得a=-1，
∴y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3；
（2）当y=0时，-x2 -2x+3=0，
解得x=1或x=-3，
即点B的坐标为（1，0），
当x=0时，y=3，
即点C的坐标为（0，3）；
（3）存在.理由如下：
∵B（1，0），A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴OB=1，OC = 3，BC= ，CD =，
AC =3，AD =2，
∵AD2=AC2+CD2=20，
∴△ACD是以∠ACD为直角的直角三角形，且 =，
①当Rt△CMB~Rt△ACD时，如解图，
∵==，且∠CMB=∠ACD，=90°，
∴此时点M与点O重合，
即M（0，0）；
②当Rt△CBM~Rt△ACD时，
如解图，过点B作BM '丄BC，交y轴于点M '
∴= ，解得CM '=，
又∵OC=3，∴OM '=，
∴M '（0，-）.
∴在y轴上存在点M，使得以M、B、C为顶点的三角形与△ACD相似，点M的坐标为（0，0）或（0，-）.
【解析】
10．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 三角形的中位线
【答案】
（1）抛物线表达式为y=x2-3x-4，M（，0）；
（2）存在.理由如下：
∵拋物线的表达式为y=x2-3x-4与y轴相交于点C，
∴C（0，-4），OC=4，
∵OA=1，OB =4，∴MB=，
设在x轴上方的抛物线的对称轴上存在点N（，n），∴MN=n，
①当△AOC~△BMN时，
有=，即=，
解得n=10，
∴N（，10），
根据对称性可知，在x轴下方的抛物线的对称轴上存在点N（，-10），
也能使得以点M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似；
②当△AOC~△NMB时，
有=，即=，解得n=，
∴N（，），
根据对称性可知，在x轴下方的抛物线的对称轴上存在点N（，-），也能使得以点M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似.
综上所述，符合条件的N点共有4个， 分别为（，10）、（，-10）、 （，）、（，-）.
【解析】
11．(13分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 矩形的性质与判定
【答案】
（1）令y=-x2+x+2=0，
解得x1=-1，x2=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
当x=0时，y=-x2+x+2=2，
∴C（0，2）；
（2）①如解图，过点D作DE丄x轴于点E
∵C（0，2），△ABC绕AB中点M旋转180°得到△BAD，
∴DE=OC=2，
∵A（-1，0），
∴BE=OA=1，
∴OE=OB-BE=4-1=3，
∴D（3，-2）；
②四边形ADBC是矩形.
理由如下：∵△BAD是由△ABC绕AB的中点M旋转180°得到的，
∴∠ABC=∠BAD，∠CAB=∠ABD，
∴BC//AD，AC//BD，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AO =1，BO=4，CO=2，
∴AC2 =AO2+CO2=5， BC2= BO2+CO2=20，AB2=25，
∴AC2 +BC2 =AB2，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ADBC是矩形；
（3）存在.点P的坐标为（，5）或（，-5）或（，）或（，-）.
【解析】
12．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）∵抛物线C1:y=ax2+bx+2 过点B（-2，6），C（2，2），
∴，解得，
∴抛物线C1的表达式为y=x2-x+2；
（2）如解图，连接BD、BC、CD，过点D 作对称轴交BC于点H，
∵y+x2-x+2=（x-1）2 +，
∴顶点坐标D（1，），
∵B（-2，6）、C（2，2），
∴可得直线BC的解析式为y=-x+4，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点H的坐标为（1，3），
∴DH =3-=，
∴S△BDC=S△BDH +S△DHC=××（1+2）+ ?××（2-1）=3；
（3）抛物线C1:y=（x-1）2+向下平移m个单位，得抛物线C2:y=（x-1）2+-m，
∵抛物线C3与抛物线C2关于x轴对称，
∴抛物线C3的表达式为y=-（x-1）2-+m，
将抛物线C1与抛物线C3联立有
（x-1）2+=-（x-1）2-+m，
即（x-1）2=m-3，
∵抛物线C3与原拋物线C1只有一个交点，
∴m-3=0，
∴m=3，
∴抛物线C3的表达式为y=-（x-1）2+，
即y=-x2+x+1.
【解析】
13．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）C（5，4），D（2，0）；
（2）∵E是OD的中点，O（0，0），D（2，0），∴E（1，0）.
设抛物线表达式为y =ax2+bx+c，把点B（0，4），C（5，4），E（1，0）分别代入，得
解得
∴y=x2-5x+4，
则抛物线m的图象如解图：
（3）存在.设点P坐标为（x，x2-5x+4），
① 当点P在BC下方时，如解图，作PN⊥x轴于点N延长NP交BC于点M，则PM丄BC，作CG丄x轴于点G，连接CP，PD.
由S△pBc=S△pDc=S梯形pNGC-S△pDN-S△DCG，得
BC·PM=（PN+CG）·NG-ND ? PN-DG ? CG，
即×5（4-x2+5x-4）=（x2-5x+4+4）（5-x）-（2-x）（x2-5x+4） -×3×4，
整理得2x2-11x+5=0，
解得x1=，x2=5（舍去），
∴y=（）2-5×+4=，
∴P（，）；
② 当点P在BC上方时，
BC·PM=（PN + CG）·NG-ND ? PN-DG ? CG，
即×5（x2-5x+4-4）=（x2-5x+4+4）（5-x）-（2-x）（x2-5x+4）-×3×4，
整理得x2-3x-10=0，
解得x1=-2，x2=5（舍去），
∴y=（-2）2-5×（-2）+4=18，
∴P（-2，18）.
综上所述，P点的坐标为（，）或（-2，18）
【解析】
14．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 三角形面积
【答案】
（1）抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2） BD的长是2；
（3） 在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4.
设点M的坐标为（1，m），
令-x2+2x+3=0得x=-1或3，
∴点C的坐标为（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵△MBC的面积是4，
∴S△DcM===4，
解得m=±2，
∴点M的坐标为（1，2）或（1，-2）.
【解析】
15．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 三角形面积
【答案】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A （0，3），B（1，0）两点，
∴，解得；
（2） 由（1）知，抛物线的表达式为y= x2-4x+3.
∵A（0，3），B（1，0）
∴OA=3，OB=1，
∴C点坐标为（4，1），
当x=4时，由y=x2-4x+3得y=3， 则抛物线y=x2-4x+3经过点（4，3），
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，
∴平移后的抛物线的表达式为y=x2-4x+1；
（3）∵点P在y=x2-4x+1上，可设P点的坐标为（x0，x-4x0+1），
将y=x2-4x+1配方得y=（x-2）2-3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵S△PMM1=|x0-2| ?MM1，
S△PAA1=|x0|?AA1，
S△PMM1=3S△PAA1，MM1=AA1=2，
∴x0<2，|x0-2|=3|x0|.
分情况讨论：
① 当0则有2-x0=3x0，解得x0=，则x-4x0+1=-，
∴点P的坐标为（，-）
② 当x0<0时，
则有2-x0=-3x0，解得x0=-1，则x-4x0+1=6，
∴点P的坐标为（-1，6）.
故满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍时，点P的坐标为（，-）或（-1，6）.
【解析】
16．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）∵抛物线y=x2+bx+6经过点A（2，0），
∴0=×22+2b+6，
解得b=-4，
∴抛物线的表达式为y=x2-4x+6，
∵y=x2-4x+6=（x-4）2-2，
∴点P的坐标为（4，-2），
令y=0，则x2-4+6=0，
解得x1=2，x2=6，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点B的坐标为（6，0）；
（2）存在，点M（，-）.
【解析】
17．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 线段垂直平分线
【答案】
（1）∵拋物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0）、D（6，-8），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-3x-8.
∵y=x2-3x-8=（x-3）2-，
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
又∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0），
∴点B的坐标为（8，0）.
设直线l的函数解析式为y=kx.
∵点D（6，-8）在直线l上，
∴6k=-8，解得k=-，
∴直线l的函数解析式为y=-x，
∵点E为直线l和抛物线对称轴直线x=3的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，
∴点E的坐标为（3，-4）；
（2）抛物线上存在点F，使△FOE ≌△FCE.
理由如下:
∵E（3，-4）、C（0，-8），O（0，0）
∴OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，将其代入抛物线解析式得: x2-3x-8=-4，
解得x=3±，
∴点F的坐标为（3+，-4）或（3-，-4）.
【解析】
18．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 直角三角形
【答案】
（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4，
∵点B（3，0）在该二次函数的图象上，
∴0=a（3-1）2+4，
解得a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-（x-1）2+4 =-x2+2x+3，
∵点D在y轴上，
∴可令x=0，解得y=3，
∴点D的坐标为（0，3），
设直线BD的解析式为y=kx+3，
把（3，0）代入得3k+3=0，解得k=-1，
∴直线的解析式为y=-x+3；
（2） 设P点的横坐标为m（m>0），
则 P（m，-m+3），M（m，-m2 + 2m + 3），
∴PM = -m2 + 2m + 3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2 +，
∴PM最大值为；
（3） 存在.理由如下：
如解图，过点Q作QG//y轴交BD于点G，作QH丄BD于点H，
设Q（x，x2+2x+3），则G（x，-x+3），
∴QG = |-x2 +2x+3-（-x+3）|
=| -x2 +3x|，
∵D（0，3），B（3，0），
∴OD =OB=3，
∴△DOB是等腰直角三角形，
∴∠3=45°，
∴∠2 = ∠1=45°，
在Rt△QHG中，QH=2，
sin∠1==，
∴QG=4，
即|-x2+3x|=4，
当-x2+3x=4时，b2-4ac=9-16<0，方程无实数根，
当-x2+3x=-4时，
解得x1=-1，x2=4，
∴Q1，（4，-5），Q2（-1，0），
综上所述，存在满足条件的点Q，点Q 的坐标为（4，-5）或（-1，0）.
【解析】
19．(12分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 线段垂直平分线
【答案】
（1）y=-x2+x+4；
（2）设点N的坐标为（n，0）（ -2∵B（-2，0）， C（8，0），∴BC =10.
令x=0，解得y=4，
∴点A（0，4），OA=4.
∵MN//AC，∴==.
∵OA=4，BC = 10，
∴S△ABC=BC ? OA = ?× 4 × 10=20.
S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2），
又∵===，
∴S△AMN=S△ABN=（8-n）（n+2）=-（n-3）2+5.
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；
（3）当N的坐标为（3，0）时，N为BC边中点.
∴M为AB边中点，M（-1，2），
∴OM=
∵AC===4，
∴OM =AC.
【解析】
20．(13分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 线段垂直平分线
【答案】
（1）=-；
（2）∵点C是C1、C2两抛物线的交点，
∴联立C1、C2并将b=-2a代入得，
解得x1=0（舍），x2=-a，
当x=-a时，y=a2，
∴C（-a，a2）.
如解图①，过点C作OD丄x轴于点D，
∴D（-a，0），
第3题解图①
∵∠OCA=90°，
∴△OCD~△CAD，
∴=，
∴CD2=AD ? OD，
即（a2）2=-a·（-a），
解得a=-或或0，
∵0和均不符合题意，故舍去.
∴OA=-2a=，CD=a2=1.
∴S△OAC=OA ? CD=；
（3）①由（2）知，C2:y=-x2+x，对称轴l：x=，C（，1），
如解图②，点A关于l的对称点为O（0，0），
令P为直线OC与l的交点，则此时△PAC的周长最小.
设OC的解析式为y=kx，
∴1=k，得k=，
则OC的解析式为y=x，
当x=时，y=，
∴P （，）；
②存在.理由如下：
如解图③，连接BE，E（m，-m2 + m），（0≤m≤），
则S△OBE= ×·（-m2+m）=-m2+m，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由解得.
∴直线BC的解析式为y = x-2.
如解图③，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，
则-m2+m=x-2，
即x=-m2+m+，
∴EN=-m2+m+，
∴S△EBC=·1·（--m2 +m+）=-m2+m+，
第3题解图③
∴S四边形Obce=S△Obe +S△EBC
=（-m2+m）+（-m2+m+）=-m2+m+=-（m-）2+，
∵0≤m≤，
∴当m=时，S最大=，
当m=时，y=-（）2+×=，
∴S最大=，E（，）
【解析】
第25题 综合与实践
答案与解析
1．(4分)
【考点】
【答案】
如解图，取BC的中点M，连接AM，并延长，则直线AM平分△ABC的面积.
【解析】
2．(4分)
【考点】
【答案】
证明：如解图，连接AM，
∵M是BC中点，则S△ABM=S△AcM=S△ABC，
∵AE//DM，∴S△DAE=S△MAE，
∴S△DEC =S△ACE -S△DAE =S△ACE-S△AME=S△AMC=S△ABc，
∴直线DE平分△ABC的面积.
【解析】
3．(4分)
【考点】
【答案】
如解图①，连接AC，过点D作DE //AC，交BC的延长线于点E，连接AE，交DC于点F ，取BE的中点P作直线AP，则直线AP即为所求.理由如下：
∵DE//AC，则S△ACD=S△ACE，
∴S△ABE= S四边形ABCD，
∵直线AP平分△ABE的面积，
∴直线AP平分四边形ABCD的面积.
图①
图②
【一题多解】如解图②，连接BD、AC，取BD的中点M，过点M作ME//AC交BC于点E，作直线AE，则直线AE即为所求.
理由如下：连接AM、CM.
∵点M是BD的中点，
∴S△ABM =S△ABD，
S△BCM=S△BDC.
∵ME//AC，∴S△AMC=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC-S△AEC
=S△ABC - S△AMC
=S△ABM +S△BCM
=S△ABD+S△BDC
=（S△ABD+S△BDC）
=S△四边形ABCD.
【解析】
4．(4分)
【考点】
【答案】
理由如下：
如解图①，连接PB、PC，过点D作DE//PC，交BC的延长线于点E，连接PE，交DC于点M.过点A作AF//PB，交CB的延长线于点F，连接PF，交AB于点N.
∵PC//DE，∴S△PDC=S△PCE，
∴S△pDM=S△MCE.
同理S△PAN =S△FBN.
∴S△PFE= S四边形ABCD，
在EF上找出中点Q，连接PQ，则PQ平分△PEF的面积.
∴直线PQ平分四边形ABCD的面积.此时BQ=b.
图①
图②
【一题多解】存在.当BQ=CD=b时， PQ将四边形ABCD面积二等分.
理由如下：
如解图②，延长BA到点E，使AE = b，延长CD到点F，便DF = a，连接EF.
∵BE//CF且BE = CF，BE=BC = a+b，
∴四边形EBCF是菱形.
连接BF交AD于点M，
则△MAB≌△MDF.
∴AM=DM.
∴P、M两点重合.
∴P点是菱形EBCF对角线的交点.
在BC上截取BQ=CD =b，则CQ=AB=a. 设点P到菱形EBCF一边的距离为d，则（AB+BQ）d=（CQ+CD）d=（a + b）d.
∴S四边形ABQP=S四边形QCDP，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形AB-CD的面积分成相等的两部分.
【解析】
5．(4分)
【考点】
【答案】
如解图①，连接BD，则BD将?AB-CD面积二等分（解法不唯一）；
如解图②，在圆中作两条互相垂直的直径，即可将⊙O面积四等分；
如解图③，过点A作出等腰△ABC的对称轴，即可将等腰三角形ABC的面积平分；
如解图④，连接AC、BD，则AC、BD将正方形ABCD分成4个相等的三角形.
图①
图②
图③
图④
【解析】
6．(4分)
【考点】
【答案】
如解图①，连接AC，BD交于点O， 连接PO并延长交BC于点Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分；
图①
如解图②，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心.作直线MP，直线MP
1．(6分)计算：?÷ ?- （-1）2018 +.
2．(6分)计算：（-）-2-?× ?- |-2|.
3．(6分)计算：|-3| - ?× ?+ （-）-1.
4．(6分)计算：?× -|1-| +cos45°.
5．(3分)计算：?÷ ?-（）0 - 6.
6．(6分)计算：（-2）2 + |4-2| - 2sin60°.
7．(6分)计算：?+（π-3.14）0 + 2cos30°.
8．(6分)计算：-?× ?+ （）-2 - |-3|.
9．(6分)计算：（-1）0 - （-）-2 + tan30°.
10．(6分)计算：（3 - π）0 + 4sin45° - ?+ |1-|.
11．(6分)计算：?+（-）-1 - |2cos45° -1|.
12．(6分)计算：?× （-cos45°） + （-）-3 + |-2tan60°|.
第16题分式
1．(6分)化简:.
2．(6分)化简:.
3．(5分)化简:.
4．(6分)化简:.
5．(6分)化简:.
6．(6分)先化简,再求值：（） ? （x2-4）,其中x=.
7．(8分)先化简,再求值: ,其中x=.
8．(8分)先化简：,再从-1,0,1,2中选择你喜欢的数代入求值.
9．(6分)先化简,再求值: ,其中x2-2x-8=0.
10．(8分)先化简,再求值：,其中x=2, y=.
11．(5分)解方程: =1-.
12．(4分)解方程: =1.
13．(5分)解分式方程: =1.
14．(5分)解分式方程: =1.
15．(5分)解分式方程: +3=.
16．(5分)解分式方程: =1.
17．(5分)解分式方程: =1.
18．(5分)解方程: ?=1.
第17题尺规作图
1．(5分)如图,在?ABC中,请用尺规作图求作一点P,使点P到∠A尺规作图的两边的距离相等,且PA=PB.（保留作图痕迹,不写作法）
2．(5分)如图,在扇形AOB中,用尺规在弧AB上求作一点P,使点P平分（保留作图痕迹,不写作法）
3．(5分)如图,已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC = PD, 且P到∠AOB两边的距离相等.（保留作图痕迹,不写作法）
4．(5分)如图,已知,∠BOC=2∠ABO,请用尺规在∠BOC内作一点P,使得OP∥AB（保留作图痕迹,不写作法）
5．(5分)如图,已知?ABC,请用尺规画出?ABC的内切圆,圆心为点O.（保留作图痕迹,不写作法）
6．(5分)如图,点P为⊙O外一点,请用尺规过点P作⊙O的切线PA,切点为A.（保留作图痕迹,不写作法）
7．(5分)如图,在Rt?ABC中,∠ACB = 90°,请用尺规过点C作直线l,使其将Rt?ABC分割成两个等腰三角形.（保留作图痕迹,不写作法）
8．(5分)如图,已知直线l及点A、B,求作⊙O,使得⊙O经过点A、B ,且圆心O在直线l上.（保留作图痕迹,不写作法）
9．(5分)如图,已知矩形ABCD,请用尺规分别在边AD、BC上找点E、F,使四边形BEDF是菱形.（保留作图痕迹,不写作法）
10．(5分)为进一步打造“宜居西安”,某小区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉M,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A,B的距离相等,且到广场管理处C 的距离等于AB之间距离的一半,A、B、C的位置如图所示,请利用尺规作出音乐喷泉M的位置.（保留作图痕迹,不写作法）
11．(5分)如图,已知?ABC, AB=AC,请用尺规过点A作一条直线,使其将?ABC分成两个全等的三角形.（保留作图痕迹,不写作法）
12．(5分)如图,点P是⊙O上一点,请用尺规过点P作⊙O的切线.（保留作图痕迹,不写作法）
13．(5分)如图,请你作出一个以线段a和线段b为对角线的菱形ABCD.（保留作图痕迹,不写作法）
14．(5分)如图,已知线段c,直线l及l外一点A,请用尺规作Rt?ABC,使直角边为AC（AC⊥l,垂足为C）,斜边AB=c（保留作图痕迹,不写作法）
15．(5分)在Rt?ABC中,∠ABC=90°,D为AB上一点,在AC边上确定一点E,使?AED∽?ABC.（不写作法,保留作图痕迹）
16．(5分)如图,已知线段AB,请用尺规以线段AB为边作一个菱形ABCD,使得∠A=60°.（保留作图痕迹,不写作法）
17．(5分)如图,已知?ABC,用尺规过点A作MN,使得MN∥BC.（保留作图痕迹,不写作法）
18．(5分)如图,已知?ABC,用尺规作?A'B'C',使?A'B'C'≌ ?ABC.（保留作图痕迹,不写作法）
19．(5分)如图,请用尺规在矩形ABCD的边BC上找一点E,使∠BAE =60°.（保留作图痕迹,不写作法）
20．(5分)如图,已知线段a、b, ∠α,用尺规作?ABC,使BC =a, AC = b, ∠ABC=∠α.（保留作图痕迹,不写作法）
第19题全等三角形有关证明
1．(6分)如图,AC、BD相交于点O, ∠A=∠D, AB=CD.
求证：∠ACB= ∠DBC.
2．(6分)如图,∠A= ∠B, AE= BE,点D在AC 边上,∠1 =∠2, AE和BD相交于点O.
求证：AC=BD.
3．(6分)如图,点A、F、C、D在同一条直线上,已知AF=DC, ∠A=∠D, BC∥EF.
求证:AB=DE.
4．(6分)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC ,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
求证：∠ABE=∠ACD.
5．(6分)如图,点A、B、C、D在同一直线上,BE∥DF,∠A = ∠F, AB = FD.
求证:AE=FC.
6．(6分)如图,在Rt?ABC中,∠B=90°, 点E是AC的中点,AC=2AB, ∠BAC的平分线AD交BC 于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形.
7．(6分)已知：如图,在中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.
求证：OE=OF.
8．(6分)在中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=AD.
求证：?ABE≌?DCF.
9．(8分)如图,点C是AB的中点,AD = CE, CD = BE.
（1）求证:?ACD≌?CBE
（2）连接DE,求证：四边形CBED是平行四边形.
10．(6分)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,点F在边BC上,且BF= CE, EF⊥AF.
求证:AB = CF.
11．(6分)如图,四边形ABCD是正方形,?EBC是等边三角形.
求证:AE=DE.
12．(8分)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE= ∠ACD=90°, ∠BAC= ∠D, BC = CE.
（1）求证:AC =CD;
（2）若AC=AE,求∠DEC的度数.
第20题几何测量问题
1．(8分)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B地.已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520 km , C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）.
（参考数据:sin67°≈, cos67°≈, tan67°≈, ≈1.73）
2．(8分)如图,港口B位于港口A的南偏东37° 方向,灯塔C恰好在AB的中点处,一艘海轮位于港口A 的正南方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5 km到达E处,测得灯塔C在北偏东45°方向上, 这时, E处距离港口A有多远？
（参考数据：sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37° ≈0.75）
3．(8分)如图,在航线的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4 km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20 km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处.求这艘轮船的航行路程CE的长度.（结果精确到0.1 km）（参考数据: ≈1.73, sin74°≈0.96, cos74°≈0.28, tan74°≈3.49）
4．(8分)图①,②分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F 点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）.
（参考数据：cos75°≈0.2588, sin75°≈0.9659, tan75°≈ 3.732, ≈1.732, ≈1.414）
5．(8分)小军学校门前有座山,山顶上有一观景台,他很想知道这座山比他们学校的旗杆能高出多少米.于是,有一天,他和同学小亮带着测倾器和皮尺来到观景台进行测量.测量方案如下：如图,首先,小军站在观景台的C点处,测得旗杆顶端M点的俯角为35°,此时测得小军眼睛距C点的距离BC为1.8米；然后,小军在C点处蹲下,测得旗杆顶端M点的俯角为34.5°,此时测得小军的眼睛距C点的距离为1米.请根据以上所测得的数据,计算山CD比旗杆MN高出多少米（结果精确到1米）？
（参考数据：sin35°≈0.5736, cos35°≈0.8192, tan35°≈0.7002, sin34.5°≈0.5664, cos34.5°≈0.8241, tan34.5°≈0.6873）
6．(8分)如图,某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度, 他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端点Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到B处,测得信号塔顶端P的仰角是68°,求信号塔PQ的高度.（结果精确到0.1米,参考数据：sin68°≈0.93, cos68°≈0.37, tan68°≈2.48, tan31°≈0.60, sin31°=0.52, cos31°≈0.86）
7．(8分)如图,旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处,某校数学课外兴趣小组的同学正在测量该旗杆的高度,在旗杆的底部A 处测得点D的仰角为15°, AC=10米,又测得, ∠BDA = 45°.已知斜坡CD的坡度为i =1:,求旗杆AB的高度（≈1.7,结果精确到个位）.
8．(8分)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米（即CD =2米）,背水坡DE的坡度i =1:1（即DB: EB=1:1）,如图所示,已知AE=4米, ∠EAC= 130°,求水坝原来的高度BC.
（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.2）
9．(8分)如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE 方向走30米,到E处,使A（目标物）,C（标杆）与E在同一条直线上,那么可测得A、B间的距离是多少？
10．(8分)如图,要在宽为22米的大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳,求路灯的灯柱BC的高度.
11．(8分)工人师傅为测量油桶内装有多少油,拿了一根直棍从油桶的入口A处插入油桶,并将直棍的一端接触到油桶底面边沿处点D的位置,然后将直棍取出进行测量,得出直棍从油桶孔进入的点A距离直棍顶端D处为1.5米, 直棍接触桶内油的部分BD=1米,油桶的高AE为1.2 米,DE是油桶底面圆的直径,点A、B、D、E在同一平面内,请你根据以上数据,帮工人师傅计算出桶内所装油的高度为多少米？
12．(8分)小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度.如图,相邻的两盏路灯AC、BD高度相等,某天晚上,小颖站在E点处,此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处,此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.这时,小林测得EF =10.2米.已知AB=20米,小颖身高ME=1.6米,小华身高NF =1.75米,AC、BD、ME、NF均与地面垂直. 请根据以上数据计算路灯的高度.（结果精确到0.1米）
13．(8分)如图,在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB,甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙,根据实际情况画出平面图形（CD⊥DF, AB⊥DF, EF⊥DF）,甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处,点B是DF的中点,墙AB高5.5米,DF=120米,BG=10.5米,求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差.（结果精确到0.1米）
14．(8分)学习投影后,小刚同学利用标杆和灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图, 在同一时间,身高为1.6 m的小刚（AB）的影子（BC）长是3 m,而标杆（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
（1）请在图中画出确定路灯灯泡所在的位置G;
（2）如果小刚同学沿线段BH向标杆（点H)走去,当小刚走到BH的中点B1处对,求其影子B1C1,的长.
第21题一次函数应用
1．(8分)某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾,甲种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8 元.相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90% 和95%.
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元,求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且购买鱼苗的总费用最低,应如何选购鱼苗？
2．(8分)小李是某服装厂的一名工人,负责加工A,B两种型号服装,他每月的工作时间为22天,月收入由底薪和计件工资两部分组成,其中底薪1200 元,加工A型服装1件可得20元,加工B型服装1件可得12元.已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件,设他每月加工A型服装的时间为x天,月收入为y 元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据服装厂要求,小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的,那么他的月收入最高能达到多少元？
3．(8分)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费；超过1千克的,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示, 按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x 千克.
（1）请写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元） 与x （千克）之间的函数关系式；
（2）小明应选择哪家快递公司更省钱？（请直接写出结果）
4．(8分)某蔬菜基地加工厂有工人100人,现对100人进行工作分工,或采摘蔬菜,或对当日采摘的蔬菜进行精加工,每人每天只能做一项工作.若采摘蔬菜,每人每天平均采摘48 kg;若对当日采摘的蔬菜进行精加工,每人每天可精加工32 kg（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）.巳知每千克蔬菜直接出售可获利润1元,精加工后再出售,每千克可获利润3元.设每天安排x名工人进行蔬菜精加工.
（1）求每天蔬菜精加工后再出售所得利润y（元）与x （人）的函数关系式；
（2）如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大, 最大利润是多少？
5．(8分)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40 m3 （二月份用水量不超过25 m3）,缴纳水费79.8元,则该用户二、三月份的用水量各是多少m3?
6．(8分)某工厂生产一种产品,当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,每吨的成本：y（万元/ 吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围；
（2）当生产这种产品的成本为每吨7万元时,求该产品的生产数量.
7．(8分)暑假期间,小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游,他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示.
（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
8．(8分)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发.甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地.设甲、乙两车距A地的路程为y（千米）,甲车行驶的时间为x（时）,y与x之间的函数图象如图所示.
（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程.
9．(8分)已知某山区的平均气温与该山区的海拔高度的关系如下表：
（1）若海拔高度用x（米）表示,平均气温用y（℃）表示, 试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若某种植物适宜生长在18℃~20℃（包含18℃,也包含20℃）的山区,则该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
10．(8分)某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种节能台灯的进价和售价如下表所示：
设购进A型台灯x盏,销售完这100盏台灯共获利润y 元.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若商场预计进货款为3500元,求销售完这两种台灯的利润.
11．(8分)某年级380名师生秋游,计划租用7辆客车,现有甲、乙两种型号客车,它们的载客量和租金如表.
（1）设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元,求y（元） 与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时,能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少,最少费用是多少元？
12．(8分)甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A地需70吨,B地需110吨水泥,两库到A,B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨?千米”表示每吨水泥运送1千米所需费用）.
设甲库运往A地水泥x吨,总运费W元.
（1）写出W关于x的函数关系式,并求x为何值时总运费最小？
（2）如果要求运送水泥数是10吨的整数倍,且运费不能超过38000元,则总共有几种运送方案？
第23题 圆的综合题
1．(8分)如图,在?ABC中,以AB为直径作半圆O,半圆O与BC相交于点D,半圆O与AC相交于点E,且点D为弧BE的中点,半圆O的切线BF与AC 的延长线相交于点F.
（1）求证:AC=AB；
（2）若EF:AE=9:16,求sin∠CBF.
2．(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交⊙O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E.
（1）求证:直线CE是⊙O的切线；
（2）若BC=3, CD=3,求弦AD的长.
3．(8分)如图,Rt?ABC中,∠C=90°, tanB =,点D、E分别在边AC、BC上,且CD?CB = CA?CE.
（1）求证:DE∥AB；
（2）若CD=, BE=5,求证:AB与?CDE的外接圆相切.
4．(8分)如图,在?ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接OD,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点E,与AC交于点F.
（1）求证：OD∥AC;
（2）若AB=10, BC =4,求BE的长.
5．(8分)如图,已知△ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足?,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.
（1）求证:AE⊥DE;
（2）若∠CBA=60°, AE=3,求AF的长.
6．(8分)如图,四边形ABCD内接于圆O,∠BAD=90°, AC为直径,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E.
求证：（1）AB= CD;
（2）CD2 =BE?BC.
7．(8分)如图,在?ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE,交AC 于点E, AC的反向延长线交⊙O于点F.
（1）求证:DE⊥AC;
（2）若DE+EA=8 ,⊙O的半径为10 ,求AF的长度.
8．(8分)如图,在Rt?ABC中,∠A= 90°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,点E在⊙O上, CE=CA ,AB和CE的延长线交于点F.
（1）求证:CE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为3, EF=4,求BD的长.
9．(8分)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过点B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
（1）求证:PA是⊙O的切线；
（2）若tanD=?, DE= 16,求PD的长.
10．(8分)如图,在Rt?ABC中,∠C=90° ,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16, DE=10,求BC的长.
11．(8分)如图,?ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径,过点A的切线与CB的延长线交于点E.
（1）求证：EA2 =EB ?EC;
（2）若EA =AC, cos∠EAB =, AE=12,求⊙O的半径.
12．(8分)如图,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G, EF⊥OG于点F.
（1）求证：∠FEB=∠ECF;
（2）若BC=6, DE=4, 求EF的长.
13．(8分)如图,点A为⊙O外一点,过A点作⊙O的切线与⊙O 相切于点P,连接PO并延长至圆上一点B,连接AB交⊙O于点C,连接OA交⊙O于点D,连接DP,且AD = PD.
（1）求证：?ODP为等边三角形；
（2）若AC=,求⊙O的半径.
14．(8分)如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点E,且OB⊥OC.
（1）求证：∠CAD=∠CDA;
（2）若AC=6, CE =2且sin15°=, cos15°=,求图中阴影部分的面积.
第24题二次函数和几何图形综合
1．(10分)如图,在平面直角坐标系中,?ABC是直角三角形,且∠ABC=90°, ∠ACB=30°,点B的坐标为（0,3）.
（1）求点A、C的坐标;
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
（3）设点M是（2）中抛物线的顶点,P、Q是抛物线上的两点,要使?MPQ为等边三角形,求P、Q两点的坐标.
2．(10分)如图,已知抛物线C:y= -x2 +bx+c经过A（3,0）和B（0,3）两点,将这条抛物线的顶点记为P,它的对称轴与x轴的交点记为Q.
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线C沿x轴向右平移d（d>0）个单位,得到抛物线C ',抛物线C '与抛物线C交于点M,如果以点P、Q、M为顶点的三角形是直角三角形,求抛物线C '的表达式.
3．(10分)已知抛物线c1的顶点为A（-1,4）, 与y轴的交点为D（0,3）.
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2,平行于x 轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答：当n为何值时, l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P, 使?PAB为等腰三角形.
4．(10分)如图,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上,E点是BC的中点,F是AB延长线上一点,且FB=1.
（1）求经过O、A、E三点的抛物线的表达式；
（2）点P在抛物线上运动,当点P运动到什么位置时, ?OAP的面积为2,请求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点Q,使?AFQ是等腰直角三角形？若存在,写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
5．(10分)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A（2,-3）,与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上,且∠BDO= ∠BAC,求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由.
6．(10分)已知抛物线C:y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点O 及点（4,0）,抛物线C的顶点M的纵坐标为2,对称轴与x轴的交点为N.
（1）求抛物线C的对称轴和表达式；
（2）将抛物线C绕其与x轴的交点旋转180°,并记旋转后的抛物线为C',且抛物线C'的顶点为M',对称轴与x 轴的交点为N',则是否存在以点M、N、M’、N’为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出抛物线C'的表达式;若不存在,请说明理由.
7．(10分)如图,拋物线y =x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB =OC=6.
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD, F为抛物线上一动点,当∠FAB=∠EDB 时,求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点,以线段MN为对角线作菱形MPNQ,当点P在x轴上,且PQ= MN时,求菱形对角线MN的长.
8．(10分)如图,已知与x轴交于点A（1, 0）和B（5,0）的抛物线l的顶点为C（3,4）,抛物线l'和l 关于x轴对称.
（1）求抛物线l'的函数表达式；
（2）将抛物线l'向右平移m（m>0）个单位长度,平移后新抛物线与x轴交点从左向右依次为D、E,其顶点为F,在平移过程中,是否存在以点A、C、E、F为顶点的四边形是矩形的情形？若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由；
（3）设l上的点M、N（M在N的左侧）分别与l'上的点M’、N’始终关于x轴对称.若四边形MNN'M'是正方形,求点M的坐标.
9．(10分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且点A的坐标为（-3,0）,顶点D的坐标为（-1,4）.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）连接AD、AC、CD、BC.在y轴上是否存在点M.使得以M、B、C为顶点的三角形与?ACD相似？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
10．(10分)如图,已知点A（-1,0）、B（4,0）是抛物线y=ax2+bx-4 与x轴的两个交点,点C是抛物线与y轴的交点,连接AC,抛物线的对称轴与x轴交于点M.
（1）求抛物线的表达式及点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N,使得以点M、N、B为顶点的三角形与?AOC相似？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.
11．(13分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
（1）求点A,B,C的坐标;
（2）将?ABC绕AB中点M旋转180°,得到?BAD.
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P,使?BMP与?BAD相似,若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在,请说明理由.
12．(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1：y=ax2+bx+2过B（-2,6）、C（2,2）两点.
（1）试求抛物线C1的表达式；
（2）记抛物线C1的顶点为D,求?BCD的面积；
（3）把抛物线C1先向下平移m个单位,得抛物线C2 ,再以x轴为对称轴作抛物线C2的轴对称图形C3,如果抛物线C3与原抛物线C1只有一个交点,求m的值及抛物线C3的表达式.
13．(10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,菱形ABCD的三个顶点A、B、D在坐标轴上,且已知点A（-3,0）、点B（0,4）,现有抛物线m经过点B、C和OD 的中点E.
（1）点C、D的坐标是C（? ）,D（? ）；
（2）求抛物线m的表达式,并在图中画出抛物线示意图；
（3）在抛物线m上是否存在一点P,使得S?PBC=S?PDC,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
14．(10分)如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0,3）, B（-1,0）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得?MBC的面积是4,若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
15．(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y =ax2+bx+c经过A（0,3）,B（1,0）两点,顶点为M.
（1）求b、c的值；
（2）将?OAB绕点B顺时针旋转90°后,点A落到点C的位置,该抛物线沿y轴上下平移后经过点C,求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移所得的抛物线与y轴的交点为A1,顶点为M1,若点P在平移后的抛物线上,且满足?PMM1的面积是?PAA1面积的3倍,求点P的坐标.
16．(10分)如图,已知抛物线y =x2+bx+6与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标为（2,0）,抛物线的顶点为P.
（1）求b的值,求出点P、B的坐标；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使?AMP≌?AMB?如果存在,请直接写出点M的坐标；如果不存在,试说明理由.
17．(10分)如图,抛物线y =ax2+bx-8交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线l经过坐标原点O, 与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E, 连接CE,点A、D的坐标分别为（-2,0）、（6,-8）.
（1）求抛物线的解析式,并分别求出点B和点E的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点F,使?FOE≌?FCE,若存在,求出点F的坐标；若不存在,请说明理由.
18．(10分)如图,二次函数y =ax2+bx+c （a≠0）的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为（3,0）,顶点C的坐标为（1,4）.
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM 长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使?BDQ中BD边上的高为2,若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由.
19．(12分)如图,已知二次函数y =ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2,0）,点C（8,0）,与y轴交于点A.
（1）求二次函数y =ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC、AB,若点N在线段BC上运动（不与点B,C 重合）,过点N作NM∥AC,交AB于点M,当?AMN面积最大时,求N点的坐标；
（3）连接OM,在（2）的结论下,求OM与AC的数量关系.
20．(13分)如图①,抛物线C1:y=x2+ax与C2:y = -x2+bx相交于点O、C, C1、C2分别交x轴于点B、A, 且点B为OA的中点.
（1）求的值；
（2）若OC∥AC,求?OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l,顶点为M,在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点,当?PAC的周长最小时,求点P的坐标；
②如图②,点E在抛物线C2上点O与点M之间运动,四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在,请说明理由.
? ??
第25题 综合与实践
1．(4分)请在图中过点A作一条直线,使它平分?ABC的面积.
自主解答：
2．(4分)如图,点D是?ABC边AC上的一定点,取BC的中点M,连接DM,过点A作AE ∥DE交BC于点E,作直线DE.求证:直线DE平分?ABC的面积.
自主解答：
3．(4分)如图,四边形ABCD是某商业用地示意图.现准备过点A修一条笔直的道路（其占地面积不计）,使其平分四边形ABCD的面积.请你在图中作出这条路所在的直线,写出作法,并说明理由.
自主解答：
4．(4分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD, AB+CD= BC,点P是AD的中点.如果AB=a, CD=b,且b >a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在,求出BQ的长;若不存在,请说明理由.
自主解答：
5．(4分)请你在图①中作一条直线,使它将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分;在图②中作出两条直线,使它们将圆O四等分;在图③中作一条直线,使它平分以BC为底的等腰三角形ABC的面积；在图④中作两条直线,使它们将正方形ABCD四等分.
自主解答：
? ?? ? ? ?? ? ? ?
6．(4分)请你在图①中过点P作一条直线平分矩形ABCD的面积;在图②中过点M 作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）四等分正方形ABCD的面积;如图④,在矩形中剪去一个小正方形,得到一个六边形ABCDEF,请你作一条直线平分六边形ABCDEF 的面积.
自主解答：
? ? ?? ? ? ?? ? ? ??
7．(4分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB, DC⊥BC, OB⊥BC, OB=6, BC=4, CD=4,开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位,准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计）,并且使这条路所在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在？若存在,求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由.
自主解答：
8．(10分)提出问题在一个图形上画一条直线,若这条直线既平分该图形的面积,又平分该图形的周长,我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.
探究问题
（1）如图①,在Rt?ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=45°, AB=4,请你过点C画出?ABC的一条“等分积周线”,与AB交于点D,并求出CD的长；
（2）如图②,在?ABC中,AB=BC,且BC≠AC,过点C画一条直线CE,其中点E为AB上一点,你觉得CE可能是?ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；
解决问题
（3）西安市区的环境越来越美,随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处.在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD,其中,∠A=∠B=90°, AB=4, BC=6, CD=5 ,现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计）,使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长,又平分四边形ABCD的面积,且要求这条水渠必须经过BC边.请你画出所有满足条件的水渠,说明理由,并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离.
? ? ? ?? ? ? ??
9．(10分)问题探究：
（1）如图①所示,已知直线m∥n, A、B为直线n上的两点,C、D为直线m上的两点,AD与BC交于点O,请你写出图中面积相等的任意2对三角形：__________；
（2）如图②所示,正方形ABCD的边长为4, G是边CD上一点,以CG为边作正方形GCEF.求?BDF的面积；
问题解决
（3）某小区是一块矩形土地如图③所示,AB=1200米, AD=600米,由于修建高速公路,该小区右下方停车场右下方区域将被作为公共区域,便于加装隔音墙,现决定在DC下侧补给小区一块土地,补偿后,小区变成四边形ABMD,且补偿后四边形ABMD的面积与原来矩形ABCD 的面积相等,若小区围墙折线DMB加装隔音墙.请在图③中确定M点的位置,使得隔音墙的长度最短,说明理由,并求出最短的长度.
? ? ? ??? ? ? ? ?
10．(10分)定义:如果一条线段将一个图形分成面积相等的两部分, 那么称这条线段是这个图形的梦想线段.问题探究：
（1）已知?ABC,它是否存在梦想线段,如果存在,梦想线段有多少条？并在图①中过点A作出一条梦想线段（保留作图痕迹）；如果不存在,请说明理由；
（2）在图②的?ABC中,AB=10, BC=6, AC=8,若在边AB, AC上取两点P,Q,使线段PQ是?ABC的梦想线段, 且PQ∥BC.这样的线段PQ存在吗？若存在,请在图② 中画出PQ并计算PQ的长;若不存在,请说明理由；
问题解决
（3）在（2）中的?ABC中,若分别在边AB , AC上取P,Q 两点,使PQ是?ABC的梦想线段,求线段PQ的最小值.
? ? ? ? ??
11．(10分)我们知道,沿轴对称图形的对称轴折叠这个图形,对称轴两侧的部分可以完全重合,也就是说,轴对称图形的对称轴可以将这个图形的面积平分,而任意一个中心对称图形,经过其中心的直线必然平分这个图形的面积.
（1）如图①,在正五边形ABCDE中,请作出一条直线,使得这条直线将正五边形的面积平分；
（2）如图②,在多边形ABCDEF中,∠A=∠B=90°, AB∥ ED, EF∥CD, EF=CD.请作出一条直线l,使得l经过AB 和DE,且恰好平分这个多边形的面积；
（3）如图③是马爷爷家的一块菜地,其中∠A=∠B=∠C =∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=∠R=∠O=90°, OA = OR =20米,GF =30米, AB=BC=CD=DE=EF=GH= RH=10米.为了便于管理,马爷爷计划沿点O修一条笔直的小路OP（路的宽度不计）,并且OP把这块菜地恰好分为面积相等的两部分,是否存在这样的点P,若存在, 求出OP的长;若不存在,请说明理由.
? ? ??? ? ? ? ? ?
12．(3分)已知?ABC两边a=8 , b=12,且夹角为60°,则此三角形的面积为_____.
13．(3分)已知三角形两边长分别为4、7,则此三角形的最大面积为_____.
14．(3分)如图,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC =AP,以AC为对角线作,若AB=,则面积的最大值为_____.
15．(3分)如图,矩形ABCD的四个顶点分别在同心圆的两圆的圆周上,大圆的半径为4,小圆的半径为3,则矩形ABCD的面积最大值为_____.
16．(4分)如图,请你利用作位似图形的方法,在Rt?ABC中,作出两边分别落在两直角边上的与正方形CNPM位似的最大正方形CNP'M'.
自主解答：
17．(4分)如图,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在边长为（3+）的正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N', 且使正方形E'F'P'N'的面积最大,并求此时正方形的边长.
自主解答：
18．(4分)如图,在边长为（3+）的正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.
自主解答：
19．(4分)如图,在半径为R的半圆O内（含弧）,画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形,并求出这个三角形的面积.
自主解答：
20．(4分)如图,在半径为R的半圆O内（含弧）,画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形,并求出这个正方形的面积.
自主解答：
21．(4分)如图,现有一块半径R=6的半圆形钢板,是否可以裁出一边落在直径MN上的面积最大的矩形？若存在,求出这个矩形的面积;若不存在,说明理由.
自主解答：
22．(10分)我们可以定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
问题探究
（1）如图①,已知矩形ABCD中,AB > BC,试在矩形ABCD 上确定一点P,使?BCP为等腰三角形.
（2）如图②,在菱形ABCD中,∠ABC=120°, AB=4,点M、N分别在AD、CD上（不含端点）,若∠MBN=60°,判断四边形DMBN是否一定为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”,说明理由并求出其周长最小值；如果不是,请说明理由.
尝试应用
（3）现有一个平行四边形材料ABCD,工作人员需要将其制作成一个“等邻边四边形”面板.如图③,在中,AB=, BC=7, tanB=4,点E在BC上,且BE=4,在内或者边上,确定一点F,使四边形ABEF为面积最大的“等邻边四边形”,若能实现,求出最大面积, 若不能实现,试说明理由.
? ? ? ? ?? ? ? ??
23．(10分)（1）如图①,点C为直线m上一点,A、B在m的同侧,AE⊥m于点E, BF⊥m于点F, AC⊥BC.求证：?AEC∽?CDB；
（2）如图②,在锐角?ABC中,∠ACB=45°, AB=2,分别以A、B为直角顶点向?ABC外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足分别为M、N.
①求EM+EN的值；
②求?ABC面积的最大值；
③如图③,连接EF则?EFC面积的最大值为_____（直接写出答案）.
? ? ? ??? ? ? ??
24．(10分)将面积为4的正方形ABCD与面积为8的正方形AEFG 按图①的位置放置,A、D、E在同一条直线上,A、B、G在同一条直线上.
（1）试判断DG、BE的数量和位置关系,并说明理由；
（2）如图②,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B 恰好落在线段DG上时,求此时BE的长；
（3）如图③,将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE相交,交点为H,求出?GHE与?BHD 面积之和的最大值.
? ? ?? ? ??
25．(10分)问题发展：
（1）如图①,Rt?ABC中,∠C=90°, AC=3, BC=4,点D 是AB边上任意一点,则CD的最小值为_____.
问题解决：
（2）如图②,矩形ABCD中,AB=3, BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值.
（3）如图③,矩形ABCD中,AB=3, BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是BC边上的任意一点,把?BEF 沿EF翻折,点B的对应点为点G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度；若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
26．(3分)如图,在?ABC中,AB=AC=5, BC=6.若点P在AC上移动,则PB 的最小值是_____.
27．(3分)如图,在?ABC中,AC=BC=2, ∠ACB=90°, D是BC边中点,E 是AB上一动点,则EC + ED的最小值为_____.
28．(3分)如图,在菱形ABCD中,AB=2, ∠BAD=60°, E是AB的中点,P 是对角线AC上的一个动点,则PE + PB的最小值为_____.
29．(3分)如图,半径为1的半圆弧上有两点C、D,其中∠AOC=30°, ∠BOD=60°,在直径AB上存在一点到C、D两点的距离和最短,这个最短距离为_____.
30．(3分)如图,在锐角?ABC中,AB=, ∠BAC=45°, ∠BAC的平分线交BC于D, M、N分别是AD和AB上的动点,则BM + MN的最小值是_____.
31．(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小？若存在,求出它周长的最小值；若不存在,请说明理由.
32．(4分)如图,菱形ABCD中,AB=2, ∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,求PK + QK的最小值.
33．(4分)如图,已知点P为?ABC内一点,AB=3, BC=4, ∠ABC=30°,求PA+PB+PC的最小值.
34．(10分)问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P, 使PA +PC最小；
（2）如图②,点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点, AB=2, BC=2,点E为BC边的中点,请作一点P,使PE+PC最小,并求这个最小值；
问题解决
（3）如图③,李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD, AC = 1200米,BD为小路,BC的中点E为一水池,李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P,为了节省土地,使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短,那么是否存在符合条件的点P?若存在,请作出点P的位置,并求出这个最短距离；若不存在,请说明理由.
? ? ? ??? ? ? ??
35．(10分)理解运用
（1）如图①,在四边形ARBC中,AR∥BC, BR⊥BC, RB= 5, BC=12,则点B到RC的最短距离是_____；
（2）如图②,在四边形ARBC中,AR∥BC, BR⊥BC,矩形DEFG为?ABC的一个内接矩形,CR交DG于点H,过H 作HI⊥BC于点I,延长GD交BR于点P,则四边形PBIH 的面积与矩形DEFG的面积有什么关系？请说明理由；
综合实践
（3）如图③,某小区有一块三角空地,已知?ABC空地的边AB=400米,BC=600米,∠ABC=45°.准备在?ABC 内建设一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上,点D、G分别在边AB、AC上）,其余部分进行植被绿化,请在图③中画出对角线EG最短的矩形DEFG,并求出对角线EG的最小值（不要求证明）.
? ? ? ? ?? ? ??
36．(10分)小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图①,在矩形ABCD中,AB=6, AD= 8, E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上, 则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究,请你帮助她完成下面的探究过程.
探究（1）如图②,在AF=2, DH=5的条件下,请在图②中画出周长最小的四边形EFGH,并求出周长的最小值；
探究（2）在探究1的启发下,小敏画出了图③:作F关于AD的对称点F1,作F关于BC的对称点F2,作F1关于CD的对称点F3,连接F2F3交CD于点H,交BC于点G, 连接F1H交AD于点E,连接EF、FG,借助图③,她发现四边形EFGH的周长有最小值,并顺利解决了遇到的这个问题,请求出四边形EFGH的周长的最小值；
拓广探究（3）解决了上述问题后,小敏又想到了新的问题,当四边形EFGH的周长最小时,四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题,若存在,请求出此时面积的最大值;若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??
37．(10分)小明与小颖在做关于两个边长和为定值的动态等边三角形的研究.已知线段AB=12, M是线段AB上的任意一点.分别以AM、BM为边在AB 的上方作出等边三角形AMC和等边三角形BMD,连接CD.
（1）如图①,若M为AB的中点时,则四边形ABDC的面积为_____；
（2）如图②,试确定一点M,使线段CD取最小值,并求出这个最小值；
（3）如图③,设CD的中点为O,在M从点A运动到点B 的过程中,?OAB的周长是否存在最小值？如果存在,请求出最小周长和点O从最初位置运动到此时所经过的路径长;若不存在,请说明理由.
? ? ??? ? ? ? ? ?
38．(4分)请在图①的正方形ABCD、图②的长方形ABCD、图③的三角形ABC内, 分别画出所有使∠APB=90°的点P.
自主解答：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
39．(3分)如图,?ABC是等边三角形,AB=12.若点O是?ABC的内心,则OA的长为_____.
自主解答：
40．(4分)如图,在?ABC中,∠ABC=60°, BC=12, AD是BC边上的高,点E、F分别为边AB、AC的中点.当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF = 90°,求此时BQ的长.
自主解答：
41．(4分)如图,现有一块矩形钢板ABCD, AB=4, BC=3.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的?APB和?CP'D钢板,且∠APB=∠CP'D=60°.请你在图中画出符合要求的点P和点P',并求出?APB的面积（结果保留根号）.
自主解答：
42．(4分)某城市街角有一草坪,草坪是由?ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌）,同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图,已测出AB=24 m, MB=10 m, ?AMB的面积为96 m2 ；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8 m.
请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
自主解答：
43．(4分)如图,有一矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°, EF=FG=米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF
44．(10分)问题发现：
（1）如图①,点A和点B均在⊙O上,且∠AOB=90°,点P和点Q均在射线AM上,若∠APB=45°,则点P与⊙O 的位置关系是__________；若∠AQB<45°,则点Q与⊙O的位置关系是__________；
问题解决：
如图②、图③所示,四边形ABCD中,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠DAB=135°,且AB=1, AD=2,点P是BC边上任意一点.
（2）当∠APD=45°时,求BP的长度；
（3）是否存在点P,使得∠APD最大？若存在,请说明理由,并求出BP的长度；若不存在,也请说明理由.
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
45．(10分)问题探究
（1）如图①,线段AB的长为4,请你作出一个以AB为斜边且面积最大的Rt?ABC;
（2）如图②,在四边形ABCD中,AD=CD, ∠ABC=120°, ∠ADC=60°, AB=4, BC=2,请你求出四边形ABCD的面积；
问题解决
（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板,这种材料板的形状如图③所示,并且满足在四边形ABCD中,AD=CD, ∠ABC=75°, ∠ADC=60°, DB=4,你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能,请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能,请说明理由.
（tan22.5°=-1）
? ? ? ? ?? ? ? ? ??
46．(10分)问题提出
（1）如图①,正方形ABCD的对角线交于点O, ?CDE是边长为6的等边三角形,则O、E之间的距离为__________；
问题探究
（2）如图②,在边长为6的正方形ABCD中,以CD为直径作半圆O,点P为弧CD上一动点,求A、P之间的最大距离；
问题解决
（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑,窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线,是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外,还具有冬暖夏凉的天然优点.家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟,发现自家的窑洞（如图③所示）的门窗是由矩形ABCD及弓形AMD组成,AB=2 m, BC=3.2 m,弓高MN=1.2 m（N 为AD的中点,MN⊥AD）.小宝说,门角B到门窗弓形弧AD的最大距离是B、M之间的距离.小贝说这不是最大的距离,你认为谁的说法正确？请通过计算说明.
? ? ?? ? ? ?
47．(10分)问题探究
（1）如图①,在矩形ABCD中,AB=2, BC=4,在BC边上（不含B、C两点）找一点P,使得?APD为直角三角形,请画出符合条件的一个P点,并求出此时AP的长；
（2）如图②,在四边形ABCD中, AB∥CD, ∠B=90°, AD= 10, AB=7, CD=1,点P在边BC上,且∠APD=90°,求BP 的长；
问题解决
（3）如图③,矩形ABCD是某小广场平面示意图,点E、F 为进口,AB=40米,BC=50米,点E、F在AB上,AE=BF =10米,广场管理办公室想在广场（矩形ABCD）的边上找一点P安装摄像头,使得∠EPF最大,则是否存在这样的点P,若存在,求出点P的位置及此时∠EPF的余弦值;若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ? ? ? ? ???
48．(10分)（1）如图①,点A是⊙O外一点,点P是⊙O上一动点.若⊙O的半径为3, OA=5, 则点P到点A的最短距离为__________；
（2）如图②,已知正方形ABCD的边长为4,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离为__________；
（3）如图③,在等边?ABC中,AB=6,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CA方向向终点C和A运动,连接AM和BN交于点P,求?APB面积的最大值,并说明理由.
? ? ?? ? ? ? ?
49．(10分)问题提出
（1）如图①,已知?ABC为边长为2的等边三角形,则?ABC的面积为__________；
问题探究
（2）如图②,在?ABC中,点A为动点,且∠BAC=120°, BC=6,求?ABC的最大面积；
问题解决
（3）如图③,某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼堂内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°,请你通过所学知识进行分析,在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在,求出MC的长度;若不存在,请说明理由.
? ? ? ? ??? ? ? ??
第15题实数运算
答案与解析
1．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
4-1
2．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
11 -3
3．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
1 -3
4．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
8+2
5．(3分)
【考点】 实数的运算
【答案】
--1
6．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
8-3
7．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
2+4
8．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-1
【解析】
9．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-2
10．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
11．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-2
12．(6分)
【考点】 实数的运算
【答案】
-9+
第16题分式
答案与解析
1．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
-2y-x
2．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
3．(5分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
4．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
1
5．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
6．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=2x.当x=时，原式=2.
7．(8分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=.当x=时，原式=.
8．(8分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=1-a.
由于分式中分母不能为0 ，即a，a+1，1-a都不能为0，故a不能为0，-1和1.取a=2时，原式=-1.
9．(6分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
原式=，把x =4代入原式得原式=.
10．(8分)
【考点】 分式化简求值
【答案】
11．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
原分式方程的解为x= -1.
12．(4分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=2是原方程的解.
13．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x =15是原方程的解.
14．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=0是原方程的解.
15．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=5是原方程的解.
16．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=-是原方程的解.
17．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=17是原方程的解.
18．(5分)
【考点】 解分式方程
【答案】
x=-1是原方程的解.
第17题尺规作图
答案与解析
1．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，点P即为所求.
第1题解图
【解析】
2．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，点P即为所求点.
【解析】
3．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，P点即为所求.
【解析】
4．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，P点为射线上除点O外任一点.
【解析】
5．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，⊙O即为所求.
【解析】
6．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线PA或直线PA'为所求作的切线.
【解析】
7．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线l即为所求.
【解析】
8．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，⊙O为所作的圆.
【解析】
9．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图E、F点即为所求点.
【解析】
10．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:作出音乐喷泉M的位置如解图.
【解析】
11．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直AD即为所求.
图①
图②
【解析】
12．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线MN即为所求.
【解析】
13．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，菱形ABCD即为所求.
【解析】
14．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:作出的Rt△ABC如解图所示（作出一个直角三角形即可）.
【解析】
15．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，点E即为所求作的点.
【解析】
16．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，菱形ABCD即为所求.
【解析】
17．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，直线MN即为所求.
【解析】
18．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图，△A'B'C'即为所求作的三角形.
【解析】
19．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解:如解图所示，点E即为所求.
【解析】
20．(5分)
【考点】 尺规作图
【答案】
解：如解图，△ABC和△A'BC为所作的三角形.
【解析】
第19题全等三角形有关证明
答案与解析
1．(6分)
【考点】
【答案】
证明：在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌DOC（AAS）.
∴OB=OC，
∴∠ACB= ∠DBC.
【解析】
2．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE，
在△AOD和△BOE中，∠A =∠B，
∴∠BEO=∠2，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC =∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）.
∴AC=BD.
【解析】
3．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵BC//EF，
∴∠ACB=∠DFE，
又∵AF = DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF.
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE.
【解析】
4．(6分)
【考点】
【答案】
证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴∠ABE=∠ACD.
【解析】
5．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵BE//DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
，
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE = FC.
【解析】
6．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵AF//BC，
∴∠AFE =∠CDE，
∵点E是AC的中点，
∴AE =CE，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AFE≌△CDE（AAS），
∴AF =CD，
∵AF//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（SAS），
∴∠AED=∠B=90。，即DF丄AC.
∴四边形ADCF是菱形.
【解析】
7．(6分)
【考点】
【答案】
证明：如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB = CD.
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF.
∵AB//CD，
∴AE//CF.
∴∠E=∠F，∠1=∠2.
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴OE = OF.
【解析】
8．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC，AB//CD，
∴∠ABE= ∠DCF，
又∵EF=AD，
∴BC = EF，
∴BE = CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）
【解析】
9．(8分)
【考点】
【答案】
证明：（1）∵点C是AB的中点，
∴AC=BC，
在△ACD与△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（SSS）；
（2）如解图，连接DE，
∵△ACD≌△CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD//BE，
又∵CD = BE，
∴四边形CBED是平行四边形.
【解析】
10．(6分)
【考点】
【答案】
证明：在矩形ABCD中，∠ABF = ∠FCE =90°，
∴∠BAF +∠AFB =90°，
∵EF丄AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB +∠CFE=90°，
则∠BAF=∠CFE，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（AAS），
∴AB =CF.
【解析】
11．(6分)
【考点】
【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形， △EBC是等边三角形，
∴BA=BC=CD，BE = CE， ∠ABC =∠BCD =90°，∠EBC = ∠ECB =60°，
∴∠ABE =∠DCE = 30°，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE.
【解析】
12．(8分)
【考点】
【答案】
（1）证明：∵∠BCE = ∠ACD=90°，
∠BCE =∠ACB +∠ACE，∠ACD= ∠ACE+∠DCE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC=CD；
（2）∠DEC = 112.5°.
【解析】
第20题几何测量问题
答案与解析
1．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
A地到C地之间高铁线路的长约为595km.
【解析】
2．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
E处距离港口A大约35km.
【解析】
3．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
这艘轮船的航行路程CE的长度约为20.9km.
【解析】
4．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
篮框D到地面的距离约为3.05米.
【解析】
5．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
山CD比旗杆MV高出约42米.
【解析】
6．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
信号塔PQ的高度约为67.0米.
【解析】
7．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
旗杆AB的高度约为16米.
【解析】
8．(8分)
【考点】 方位角、仰角俯角、坡度的有关应用题
【答案】
水坝原来的高度BC约为12米.
【解析】
9．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
测得A、B间的距离是48米.
【解析】
10．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
路灯的灯柱BC的高度为（11-4）米.
【解析】
11．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
桶内所装油的高度为0.8米.
【解析】
12．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
路灯的高度约为6.8米.
【解析】
13．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
甲、乙两人的观测点到地面的距离的差约为25.9米.
【解析】
14．(8分)
【考点】 相似三角形及其应用
【答案】
（1）如解图，点G即为所求灯泡的位置；
（2）小刚的影子B1C1的长是1.5m.
【解析】
第21题一次函数应用
答案与解析
1．(8分)
【考点】 一次函数应用
【答案】
（1）甲种鱼苗购买了4000尾，乙种鱼苗购买了2000尾；
（2）购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低为4080元.
【解析】
2．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=-16x+3312；
（2）他的月收入最高能达到3120元.
【解析】
3．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
解：（1）当0
y乙=16x+3；
（2）当
【解析】
4．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=96x；
（2）每天安排60名工人进行蔬菜精加工才能使一天所获利润最大，最大利润是5760元.
【解析】
5．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=；
（2）二月份的用水量为12m3，三月份的用水量为28m3.
【解析】
6．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y=-x+11（10≤x≤50）；
（2）成本为每吨7万元时，该产品的生产数量为40吨.
【解析】
7．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）小刚家到该景区乘车一共用了4小时；
（2） 线段AB对应的函数解析式为y=120x-40（1≤x≤3）；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地120km.
【解析】
8．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）甲车从A地到B地的行驶时间为2.5小时；
（2） 甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=-100x+550（2.5≤x≤5.5）；
（3） 乙车到达A地时，甲车距A地路程为175km.
【解析】
9．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y= -0.005x+22；
（2）该植物适宜种植的海拔高度的范围是400米~800米.
【解析】
10．(8分)
【考点】 一次函数应用
【答案】
（1）y=-5x+2000；
（2）销售完这两种台灯的利润为1625元.
【解析】
11．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
（1）y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y=100x+3150；
（2）当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650元.
【解析】
12．(8分)
【考点】 一次函数应用 一次函数表达式
【答案】
解：（1）总运费W（元）关于x（吨）的函数关系式为W=-30x+39200（0≤x≤70），从甲库运往A地70吨水泥，运往地30吨水泥，从乙库运往B地80吨水泥时，总运费最小为37100元；
（2）共有4种方案.
【解析】
第23题 圆的综合题
答案与解析
1．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接AD.
∵AB是半圆O的直径，
∴AD丄BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵，
∴∠CAD=∠BAD.
∵AD=AD，
∴△CAD≌△BAD（ASA），
∴AC=AB；
（2）sin∠CBF =.
【解析】
2．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OD，
∵OA =OD.
∴∠DAO=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠DAO，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD//AE.
∵AE丄CD，
∴OD丄CE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）AD=.
【解析】
3．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
证明：（1）∵CD ? CB = CA ? CE，
∴ =，
又∵∠C共用，∴△CDE~△CAB，
∴∠CED=∠B，
∴DE//AB；
（2）由（1）得∠CED=∠B，
∴tan∠CED = tanB = ，
在Rt△CDE中，CD=，
∴ CE==，
∴DE= =8，
如解图，取DE的中点O，点O即为△CDE外接圆圆心，过点O，E分别作OM丄AB，EN丄AB，则OM =EN，在
Rt△BEN中，tanB==，
设EN = 4k， BN = 3k，则 EN2 + BN2 =BE2，
又∵BE=5，
解得k=1，则EN=4，ON=4，
∵OM=DE，
∴OM是△CDE的外接圆半径，
∴AB与△CDE的外接圆相切.
【解析】
4．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB =OD，∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC；
（2）BE=.
【解析】
5．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC//AE，
∵DE切⊙O于点C，OC为⊙O的半径，
∴OC丄DE，
∴AE丄DE；
（2）AF=2.
【解析】
6．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
证明：（1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC =90°，
∵∠BAD =90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD；
（2）∵AE为⊙O的切线，
∴AE丄AC，
∴∠EAB+∠BAC =90°，
∵∠BAC+ ∠ACB =90°，
∴∠EAB= ∠ACB，
∵∠ABC =∠ABE=90°，
∴△ABE~△CBA，
∴，
∴AB2 = BE ? BC.
由（1）知AB=CD，
∴CD2 =BE ? BC.
【解析】
7．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
证明：（1）如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD丄BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OB=OA，
∴OD//AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD丄DE，
∴DE丄AC；
（2）AF=16.
【解析】
8．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OE，OC，
∵OA=OE，CE = CA，OC共用，
∴△OEC≌△OAC（SSS），
∴∠OEC=∠A=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
（2）BD=3.
【解析】
9．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OB，
∵OP丄BA，OA=OB，
∴∠OBA =∠OAB，∠PAB=∠PBA，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBA+∠OBA=∠PBO=90°，
则∠PAB +∠OAB= 90°，即∠PAO = 90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）PD=39.
【解析】
10．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO =90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
又∵OD= OB，
∴∠B=∠BDO.
∴∠ADE= ∠A；
（2）BC=15.
【解析】
11．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：如解图，连接BD，
∵AE为⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠DAE=∠ABD=90°，
∴∠EAB=∠D，
又∵∠C=∠D，
∴∠EAB=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE~△ACE，
∴EA:EC = EB:EA，'
∴EA2 =EB ? EC；
（2）⊙O的半径为.
【解析】
12．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵EF丄OG，BC为切线，
∴∠B=∠EFC =90°，
∴∠EOF +∠FEB =90°，∠BOC+ ∠BCO =90°，
∵∠EOF=∠BOC，
∴∠FEB=∠BCO，
∵CB、CD切⊙O于点B、D，
∴∠ECF=∠BCO，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）EF=2.
【解析】
13．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵AD=PD，
∴∠PAD=∠APD，
∴∠ODP=2∠APD，
∵OP=OD，
∴∠OPD=∠ODP，
∴∠OPD=2∠APD，
∵AP与⊙O相切于点P，
∴∠OPD+∠APD =90°，
∴3∠APD =90°，解得∠APD=30°，
∴∠OPD =60°，
∴△OPD是等边三角形；
（2）⊙O的半径为3.
【解析】
14．(8分)
【考点】 圆的综合
【答案】
（1）证明：∵OB丄OC，
∴∠BOD=90°，
∴∠CDA +∠OBD =90°.
又∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAD+∠OAD=90°.
∵OB = OA，
∴∠OBD=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA；
（2）S阴影=5π-3.
【解析】
第24题二次函数和几何图形综合
答案与解析
1．(10分)
【考点】 等边三角形 直角三角形
【答案】
（1）A（-，0），C（3，0）；
（2） y=-x2+x+3；
（3）如解图，设PQ交y轴于点D，过点M作MN丄PQ垂足为N，
由（2）可得点M的坐标为（，4），设PD=n，则PN=n+，
∵△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ=60°，
∴MN=n+3,
∴点N的坐标为（，1-n），
∴点P的坐标为（-n，1-n），
将P点坐标代入抛物线的表达式，得1-n=-（-n）2-n+3，
整理得n2>n-6=0，
解得n=2或n=-（舍去），
∴点P的坐标为（-2，-5），
又∵点P与点Q关于直线MN对称，
∴点Q的坐标为（4，-5），
∴P（-2，-5），Q（4，-5）或P（4，-5），Q（-2，-5）.
【解析】
2．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）y=；
（2）P（1，4）；
（3）∵P（1，4），A（3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），
① 当∠PQM=90°时，可知点M与点A 重合，则d=4，
∴抛物线的表达式为y=-（x-1 -4）2+4=-（x-5）2+4；
② 当∠PMQ=90°时，如解图，作MD丄PQ于点D，则△PMD~△MQD，
∴=，则DM2=PD·QD，
设点M（x，-x2 + 2x+3），则QD=-x2 +2x+3，DM=x-1，PD=4-DQ=（x-1）2
代入DM2=PD ? QD，
得（x-1）2=（x-1）2 ?（-x2 +2x+3），
解得x1=1（不合题意，舍去），x2=1+，=1-（不合题意，舍去）；
∴M（1+，1），
把点M（1+，1）代入y=-（x-1-d）2 +4，
得d1=2，d2=0（不合题意，舍去），
∴此时抛物线的表达式为y=-（x-1-2）2+4；
③ 不存在∠QPM=90°的情况.
综上所述，抛物线的表达式为y= -（x-5）2+4或y=-（x-1-2）2+4
【解析】
3．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 等腰三角形
【答案】
（1）y= -x2-2x+3；
（2）m=；
（3）根据题意可得抛物线c1:y=-（x +1）2+4关于y轴对称的抛物线c2 的解析式为y=-（x-1）2 +4.
① 由图象可得当n =4时，直线y =4 经过两抛物线顶点（-1，4），（1，4）， 此时直线y=4与抛物线c1，c2共有两个交点；
② 当n=3时，直线y= 3经过两抛物线的交点D（0，3），
此时直线y=3与抛物线c1，c2共有三个交点；
③ 当3
则AB ===4.
设点P，（x，0）.
① 当PA=PB时，有（x+1）2 +42 =（3 -x）2，解得x1=-1，
∴点P坐标为（-1，0）；
② 当AB=PB时，（4 ）2=（3-x）2，
解得x2=3+4，x3=3-4，
∴点P坐标为（3+4，0）或（3-4，0）；
③ 当AB=AP时，（4）2= （x+1）2+42，解得x4=3（舍去），x5=-5，
∴点P坐标为（-5，0）.
综上所述，使△PAB为等腰三角形的点P坐标为（-1，0）或（3+4，0）或（3-4，0）或（-5，0）；
【解析】
4．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 等腰三角形
【答案】
（1）抛物线的表达式为y=-2x2 + 4x；
（2）∵△OAP的面积是2，OA=2，
∴点P到x轴的距离为2，即点P的纵坐标是2或-2.
当-2x2 +4x=2时，
解得x=1，
则点P的坐标是（1，2）；
当-2x2+4x=-2时，
解得x=1±，
此时P的坐标是（1+，-2）或（1-，-2）.
综上所述，点P的坐标为（1，2）或（1+ ，-2）或（1-，-2）；
（3）存在.
理由如下：由题意知AF=AB+BF=2+1=3，OA=2，
当点A是直角顶点时，
要使△AFQ是等腰直角三角形，Q不可能在抛物线上；
当点F是直角顶点时，
要使△AFQ是等腰直角三角形，Q不可能在抛物线上；
当点Q是直角顶点时，
要使△AFQ是等腰直角三角形，则点Q到AF的距离是AF=.
将y=代入抛物线表达式y=-2x2 +4x中，得-2x2 +4x =，
解得x1=，x2=（舍去），
∴点Q的坐标是（ ， ?）
【解析】
5．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 平行四边形的性质与判定
【答案】
（1）抛物线的解析式为y = x2 -2x-3；
（2）D（0，1）或（0，-1）；
（3）存在.理由如下：
当AB//MN时，由MN=AB=3，可知点M与对称轴的距离为3 ，由y =x2-2x-3可得对称轴为直线x=1，
∴点M的横坐标为4或-2，
把x= -2代入y=x2-2x-3得y=4+4-3=5，
∴M（-2，5）；
把x =4代入y=x2-2x-3得y=16-8-3=5，
∴M（4，5）；
当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC=BN=2， 可知点M与点C重合，
∴点M坐标为（0，-3）.
∴M的坐标为（0，-3）、（-2，5）、（4，5）.
【解析】
6．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）抛物线C的表达式为y= -x2 +2x，对称轴为x=2；
（2）存在.理由如下：
由题意可知抛物线C的顶点M到x轴的距离MN=2，要使以点M、N、M '、N '为顶点的四边形为平行四边形，则必有MN//M 'N '，MN = M 'N '，
如解图：①当抛物线C绕原点O旋转180°时，M 'N '=2，由于MN、M 'N '分别垂直于x轴，故MN/M'N '，
第2题解图
又∵M 'N ' =MN，故存在平行四边形M 'N 'MN，
∴点M '的坐标为（-2，-2），
旋转后抛物线的对称轴为直线x=-2， 又∵抛物线C '过原点O，故与x轴另一交点为（-4，0），
∴设抛物线C '的表达式为y = a1x（x +4）（a1≠0），
将M '（-2，-2）代入可得a1=，
故抛物线C'的表达式为y=x2+2x；
②当抛物线C绕点（4，0）旋转180° 时，同①方法可知存在平行四边形MNM 'N '，则M '的坐标为（6，-2），旋转后抛物线的对称轴为直线x=6，
∵此时抛物线C'过点（4，0），
∴根据抛物线的对称性可知抛物线C ' 过另一点（8，0），
设拋物线C '的表达式为y=a2（x-4） ? （x-8）（a2≠0），
将M '（6，-2）代入可得a2=，
∴抛物线C '的表达式为y=（x-4） ? （x-8）=x2-6x+16.
综上所述，存在满足以点M、N、M '、N ' 为顶点的四边形是平行四边形的抛物线C '，其表达式为y=x2+2x或y=x2-6x+16.
【解析】
7．(10分)
【考点】 菱形的性质与判定 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
1）抛物线的解析式为y =x2-2x-6，点D的坐标为（2，-8）；
（2）如解图①，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为（x，x2-2x-6）.过点F作FG丄x轴于点G，易求OA=2，则AG=x+2，FG=x2-2x-6.
∵∠FAB= ∠EDB，
∴tan∠FAG = tan∠BDE.
即= ，
解得x1=7，x2=-2（舍去）.
当x=7时，y=，
∴点F的坐标为（7，）；
当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为（5，-）.
综上所述，点F的坐标为（7，）或（5，-）；
（3）∵点P在x轴上，根据菱形的对称性可知点P的坐标为（2，0）.如解图②，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.
∵PQ=MN，
∴MT=2PT.
设TP=n，则MT= 2n，
∴M（2+2n，n）
∵M在抛物线上，
∴n =（2+2n）2-2（2+2n）-6，
化简得2n2-n-8=0，
解得n1=，n2=（舍去）.
∴MN=2MT=4n = +1；
当MN在x轴下方时，设TP=n，得M （2+2n，-n）.
∴-n=（2+2n）2-2（2+2n） -6，
化简得2n2+n-8=0，
解得n1=，n2=（舍去）.
∴MN = 2MT = 4n =-1.
综上所述，菱形对角线MN的长为+1或-1.
【解析】
8．(10分)
【考点】 正方形的性质与判定 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）抛物线l '的表达式为y=x2-6x+5；
（2）存在.
如解图①，由题意得D（1 +m，0），E（5 +m，0），F（3+m，-4）.
∵A（1，0），C（3，4），
∴AE =5+m-1=4+m，
CF =
=，
由已知条件可得，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，要使以A、C、E、F为顶点的四边形是矩形，则AE=CF，
∴4+m=，解得m =6.
即当m=6时，以A、C、E、F为顶点的四边形是矩形；
（3）如解图②，∵抛物线l '的表达式为y = x2 - 6x+5 ，
∴由对称性可得l的表达式为y= -x2 + 6x- 5，
设点M（x，-x2+6x-5），则点M '（x， x2-6x+5），
∵C（3，4），
∴3=，则xN=6-x，
∴N（6-x，-x2+6x-5），点N '（6-x，x2 -6x+5），
∴MN=6-2x，
① 若点M在x轴上方时，则MM '= -x2 +6x-5-（x2-6x+5）=-2x2 +12x-10，
要使四边形MNN 'M '是正方形，则MN =MM '，且点M在点N的左侧，
∴6-2x=-2x2+12x-10，
解得x1=（不合题意，舍去），
x2=，
∴.M1（，）；
② 若点M在x轴下方时，则MM '=x2 -6x+5-（-x2+6x-5） =2x2-12x +10，
要使四边形MNN 'M '是正方形，则MN =MM '，
∴6-2x=2x2-12x+10，
解得x1=（不合题意，舍去），
x2=，
∴M2（，）.
综合①②，可得M1（，），M2（，）.
【解析】
9．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 直角三角形
【答案】
（1）∵顶点D（-1，4），则设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4.
将点A（-3，0）代入抛物线中可得，0 =a（-3+1）2+4，解得a=-1，
∴y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3；
（2）当y=0时，-x2 -2x+3=0，
解得x=1或x=-3，
即点B的坐标为（1，0），
当x=0时，y=3，
即点C的坐标为（0，3）；
（3）存在.理由如下：
∵B（1，0），A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴OB=1，OC = 3，BC= ，CD =，
AC =3，AD =2，
∵AD2=AC2+CD2=20，
∴△ACD是以∠ACD为直角的直角三角形，且 =，
①当Rt△CMB~Rt△ACD时，如解图，
∵==，且∠CMB=∠ACD，=90°，
∴此时点M与点O重合，
即M（0，0）；
②当Rt△CBM~Rt△ACD时，
如解图，过点B作BM '丄BC，交y轴于点M '
∴= ，解得CM '=，
又∵OC=3，∴OM '=，
∴M '（0，-）.
∴在y轴上存在点M，使得以M、B、C为顶点的三角形与△ACD相似，点M的坐标为（0，0）或（0，-）.
【解析】
10．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 三角形的中位线
【答案】
（1）抛物线表达式为y=x2-3x-4，M（，0）；
（2）存在.理由如下：
∵拋物线的表达式为y=x2-3x-4与y轴相交于点C，
∴C（0，-4），OC=4，
∵OA=1，OB =4，∴MB=，
设在x轴上方的抛物线的对称轴上存在点N（，n），∴MN=n，
①当△AOC~△BMN时，
有=，即=，
解得n=10，
∴N（，10），
根据对称性可知，在x轴下方的抛物线的对称轴上存在点N（，-10），
也能使得以点M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似；
②当△AOC~△NMB时，
有=，即=，解得n=，
∴N（，），
根据对称性可知，在x轴下方的抛物线的对称轴上存在点N（，-），也能使得以点M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似.
综上所述，符合条件的N点共有4个， 分别为（，10）、（，-10）、 （，）、（，-）.
【解析】
11．(13分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 矩形的性质与判定
【答案】
（1）令y=-x2+x+2=0，
解得x1=-1，x2=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
当x=0时，y=-x2+x+2=2，
∴C（0，2）；
（2）①如解图，过点D作DE丄x轴于点E
∵C（0，2），△ABC绕AB中点M旋转180°得到△BAD，
∴DE=OC=2，
∵A（-1，0），
∴BE=OA=1，
∴OE=OB-BE=4-1=3，
∴D（3，-2）；
②四边形ADBC是矩形.
理由如下：∵△BAD是由△ABC绕AB的中点M旋转180°得到的，
∴∠ABC=∠BAD，∠CAB=∠ABD，
∴BC//AD，AC//BD，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴AO =1，BO=4，CO=2，
∴AC2 =AO2+CO2=5， BC2= BO2+CO2=20，AB2=25，
∴AC2 +BC2 =AB2，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ADBC是矩形；
（3）存在.点P的坐标为（，5）或（，-5）或（，）或（，-）.
【解析】
12．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）∵抛物线C1:y=ax2+bx+2 过点B（-2，6），C（2，2），
∴，解得，
∴抛物线C1的表达式为y=x2-x+2；
（2）如解图，连接BD、BC、CD，过点D 作对称轴交BC于点H，
∵y+x2-x+2=（x-1）2 +，
∴顶点坐标D（1，），
∵B（-2，6）、C（2，2），
∴可得直线BC的解析式为y=-x+4，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点H的坐标为（1，3），
∴DH =3-=，
∴S△BDC=S△BDH +S△DHC=××（1+2）+ ?××（2-1）=3；
（3）抛物线C1:y=（x-1）2+向下平移m个单位，得抛物线C2:y=（x-1）2+-m，
∵抛物线C3与抛物线C2关于x轴对称，
∴抛物线C3的表达式为y=-（x-1）2-+m，
将抛物线C1与抛物线C3联立有
（x-1）2+=-（x-1）2-+m，
即（x-1）2=m-3，
∵抛物线C3与原拋物线C1只有一个交点，
∴m-3=0，
∴m=3，
∴抛物线C3的表达式为y=-（x-1）2+，
即y=-x2+x+1.
【解析】
13．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）C（5，4），D（2，0）；
（2）∵E是OD的中点，O（0，0），D（2，0），∴E（1，0）.
设抛物线表达式为y =ax2+bx+c，把点B（0，4），C（5，4），E（1，0）分别代入，得
解得
∴y=x2-5x+4，
则抛物线m的图象如解图：
（3）存在.设点P坐标为（x，x2-5x+4），
① 当点P在BC下方时，如解图，作PN⊥x轴于点N延长NP交BC于点M，则PM丄BC，作CG丄x轴于点G，连接CP，PD.
由S△pBc=S△pDc=S梯形pNGC-S△pDN-S△DCG，得
BC·PM=（PN+CG）·NG-ND ? PN-DG ? CG，
即×5（4-x2+5x-4）=（x2-5x+4+4）（5-x）-（2-x）（x2-5x+4） -×3×4，
整理得2x2-11x+5=0，
解得x1=，x2=5（舍去），
∴y=（）2-5×+4=，
∴P（，）；
② 当点P在BC上方时，
BC·PM=（PN + CG）·NG-ND ? PN-DG ? CG，
即×5（x2-5x+4-4）=（x2-5x+4+4）（5-x）-（2-x）（x2-5x+4）-×3×4，
整理得x2-3x-10=0，
解得x1=-2，x2=5（舍去），
∴y=（-2）2-5×（-2）+4=18，
∴P（-2，18）.
综上所述，P点的坐标为（，）或（-2，18）
【解析】
14．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 三角形面积
【答案】
（1）抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2） BD的长是2；
（3） 在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4.
设点M的坐标为（1，m），
令-x2+2x+3=0得x=-1或3，
∴点C的坐标为（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵△MBC的面积是4，
∴S△DcM===4，
解得m=±2，
∴点M的坐标为（1，2）或（1，-2）.
【解析】
15．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 三角形面积
【答案】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A （0，3），B（1，0）两点，
∴，解得；
（2） 由（1）知，抛物线的表达式为y= x2-4x+3.
∵A（0，3），B（1，0）
∴OA=3，OB=1，
∴C点坐标为（4，1），
当x=4时，由y=x2-4x+3得y=3， 则抛物线y=x2-4x+3经过点（4，3），
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，
∴平移后的抛物线的表达式为y=x2-4x+1；
（3）∵点P在y=x2-4x+1上，可设P点的坐标为（x0，x-4x0+1），
将y=x2-4x+1配方得y=（x-2）2-3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵S△PMM1=|x0-2| ?MM1，
S△PAA1=|x0|?AA1，
S△PMM1=3S△PAA1，MM1=AA1=2，
∴x0<2，|x0-2|=3|x0|.
分情况讨论：
① 当0
∴点P的坐标为（，-）
② 当x0<0时，
则有2-x0=-3x0，解得x0=-1，则x-4x0+1=6，
∴点P的坐标为（-1，6）.
故满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍时，点P的坐标为（，-）或（-1，6）.
【解析】
16．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点
【答案】
（1）∵抛物线y=x2+bx+6经过点A（2，0），
∴0=×22+2b+6，
解得b=-4，
∴抛物线的表达式为y=x2-4x+6，
∵y=x2-4x+6=（x-4）2-2，
∴点P的坐标为（4，-2），
令y=0，则x2-4+6=0，
解得x1=2，x2=6，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点B的坐标为（6，0）；
（2）存在，点M（，-）.
【解析】
17．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 线段垂直平分线
【答案】
（1）∵拋物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0）、D（6，-8），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-3x-8.
∵y=x2-3x-8=（x-3）2-，
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
又∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0），
∴点B的坐标为（8，0）.
设直线l的函数解析式为y=kx.
∵点D（6，-8）在直线l上，
∴6k=-8，解得k=-，
∴直线l的函数解析式为y=-x，
∵点E为直线l和抛物线对称轴直线x=3的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，
∴点E的坐标为（3，-4）；
（2）抛物线上存在点F，使△FOE ≌△FCE.
理由如下:
∵E（3，-4）、C（0，-8），O（0，0）
∴OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，将其代入抛物线解析式得: x2-3x-8=-4，
解得x=3±，
∴点F的坐标为（3+，-4）或（3-，-4）.
【解析】
18．(10分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 直角三角形
【答案】
（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4，
∵点B（3，0）在该二次函数的图象上，
∴0=a（3-1）2+4，
解得a=-1，
∴二次函数的解析式为y=-（x-1）2+4 =-x2+2x+3，
∵点D在y轴上，
∴可令x=0，解得y=3，
∴点D的坐标为（0，3），
设直线BD的解析式为y=kx+3，
把（3，0）代入得3k+3=0，解得k=-1，
∴直线的解析式为y=-x+3；
（2） 设P点的横坐标为m（m>0），
则 P（m，-m+3），M（m，-m2 + 2m + 3），
∴PM = -m2 + 2m + 3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2 +，
∴PM最大值为；
（3） 存在.理由如下：
如解图，过点Q作QG//y轴交BD于点G，作QH丄BD于点H，
设Q（x，x2+2x+3），则G（x，-x+3），
∴QG = |-x2 +2x+3-（-x+3）|
=| -x2 +3x|，
∵D（0，3），B（3，0），
∴OD =OB=3，
∴△DOB是等腰直角三角形，
∴∠3=45°，
∴∠2 = ∠1=45°，
在Rt△QHG中，QH=2，
sin∠1==，
∴QG=4，
即|-x2+3x|=4，
当-x2+3x=4时，b2-4ac=9-16<0，方程无实数根，
当-x2+3x=-4时，
解得x1=-1，x2=4，
∴Q1，（4，-5），Q2（-1，0），
综上所述，存在满足条件的点Q，点Q 的坐标为（4，-5）或（-1，0）.
【解析】
19．(12分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 线段垂直平分线
【答案】
（1）y=-x2+x+4；
（2）设点N的坐标为（n，0）（ -2
令x=0，解得y=4，
∴点A（0，4），OA=4.
∵MN//AC，∴==.
∵OA=4，BC = 10，
∴S△ABC=BC ? OA = ?× 4 × 10=20.
S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2），
又∵===，
∴S△AMN=S△ABN=（8-n）（n+2）=-（n-3）2+5.
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；
（3）当N的坐标为（3，0）时，N为BC边中点.
∴M为AB边中点，M（-1，2），
∴OM=
∵AC===4，
∴OM =AC.
【解析】
20．(13分)
【考点】 二次函数与坐标轴的交点 线段垂直平分线
【答案】
（1）=-；
（2）∵点C是C1、C2两抛物线的交点，
∴联立C1、C2并将b=-2a代入得，
解得x1=0（舍），x2=-a，
当x=-a时，y=a2，
∴C（-a，a2）.
如解图①，过点C作OD丄x轴于点D，
∴D（-a，0），
第3题解图①
∵∠OCA=90°，
∴△OCD~△CAD，
∴=，
∴CD2=AD ? OD，
即（a2）2=-a·（-a），
解得a=-或或0，
∵0和均不符合题意，故舍去.
∴OA=-2a=，CD=a2=1.
∴S△OAC=OA ? CD=；
（3）①由（2）知，C2:y=-x2+x，对称轴l：x=，C（，1），
如解图②，点A关于l的对称点为O（0，0），
令P为直线OC与l的交点，则此时△PAC的周长最小.
设OC的解析式为y=kx，
∴1=k，得k=，
则OC的解析式为y=x，
当x=时，y=，
∴P （，）；
②存在.理由如下：
如解图③，连接BE，E（m，-m2 + m），（0≤m≤），
则S△OBE= ×·（-m2+m）=-m2+m，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由解得.
∴直线BC的解析式为y = x-2.
如解图③，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，
则-m2+m=x-2，
即x=-m2+m+，
∴EN=-m2+m+，
∴S△EBC=·1·（--m2 +m+）=-m2+m+，
第3题解图③
∴S四边形Obce=S△Obe +S△EBC
=（-m2+m）+（-m2+m+）=-m2+m+=-（m-）2+，
∵0≤m≤，
∴当m=时，S最大=，
当m=时，y=-（）2+×=，
∴S最大=，E（，）
【解析】
第25题 综合与实践
答案与解析
1．(4分)
【考点】
【答案】
如解图，取BC的中点M，连接AM，并延长，则直线AM平分△ABC的面积.
【解析】
2．(4分)
【考点】
【答案】
证明：如解图，连接AM，
∵M是BC中点，则S△ABM=S△AcM=S△ABC，
∵AE//DM，∴S△DAE=S△MAE，
∴S△DEC =S△ACE -S△DAE =S△ACE-S△AME=S△AMC=S△ABc，
∴直线DE平分△ABC的面积.
【解析】
3．(4分)
【考点】
【答案】
如解图①，连接AC，过点D作DE //AC，交BC的延长线于点E，连接AE，交DC于点F ，取BE的中点P作直线AP，则直线AP即为所求.理由如下：
∵DE//AC，则S△ACD=S△ACE，
∴S△ABE= S四边形ABCD，
∵直线AP平分△ABE的面积，
∴直线AP平分四边形ABCD的面积.
图①
图②
【一题多解】如解图②，连接BD、AC，取BD的中点M，过点M作ME//AC交BC于点E，作直线AE，则直线AE即为所求.
理由如下：连接AM、CM.
∵点M是BD的中点，
∴S△ABM =S△ABD，
S△BCM=S△BDC.
∵ME//AC，∴S△AMC=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC-S△AEC
=S△ABC - S△AMC
=S△ABM +S△BCM
=S△ABD+S△BDC
=（S△ABD+S△BDC）
=S△四边形ABCD.
【解析】
4．(4分)
【考点】
【答案】
理由如下：
如解图①，连接PB、PC，过点D作DE//PC，交BC的延长线于点E，连接PE，交DC于点M.过点A作AF//PB，交CB的延长线于点F，连接PF，交AB于点N.
∵PC//DE，∴S△PDC=S△PCE，
∴S△pDM=S△MCE.
同理S△PAN =S△FBN.
∴S△PFE= S四边形ABCD，
在EF上找出中点Q，连接PQ，则PQ平分△PEF的面积.
∴直线PQ平分四边形ABCD的面积.此时BQ=b.
图①
图②
【一题多解】存在.当BQ=CD=b时， PQ将四边形ABCD面积二等分.
理由如下：
如解图②，延长BA到点E，使AE = b，延长CD到点F，便DF = a，连接EF.
∵BE//CF且BE = CF，BE=BC = a+b，
∴四边形EBCF是菱形.
连接BF交AD于点M，
则△MAB≌△MDF.
∴AM=DM.
∴P、M两点重合.
∴P点是菱形EBCF对角线的交点.
在BC上截取BQ=CD =b，则CQ=AB=a. 设点P到菱形EBCF一边的距离为d，则（AB+BQ）d=（CQ+CD）d=（a + b）d.
∴S四边形ABQP=S四边形QCDP，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形AB-CD的面积分成相等的两部分.
【解析】
5．(4分)
【考点】
【答案】
如解图①，连接BD，则BD将?AB-CD面积二等分（解法不唯一）；
如解图②，在圆中作两条互相垂直的直径，即可将⊙O面积四等分；
如解图③，过点A作出等腰△ABC的对称轴，即可将等腰三角形ABC的面积平分；
如解图④，连接AC、BD，则AC、BD将正方形ABCD分成4个相等的三角形.
图①
图②
图③
图④
【解析】
6．(4分)
【考点】
【答案】
如解图①，连接AC，BD交于点O， 连接PO并延长交BC于点Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分；
图①
如解图②，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心.作直线MP，直线MP
同课章节目录