三角函数恒等式证明的基本方法（word版 学案 练习无答案）

三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x都成立的数学问题。这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、证明下列三角函数恒等式：
（1）； （2）；
（3）若sin.cos＜0,sin.tan＜0，求证： =2tan。
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。
【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】（1）左边=sin( sin+ cos)+ cos= sin+ cos=1
=右边，；（2）左边= cos-2 cos+1+ sin
=2-2 cos=右边，；（3） sin.cos＜0，sin.tan＜0，是第二象限的角，是第一象限或第三象限的角，①当是第一象限的角时，左边=-=-
==2tan；②当是第一象限的角时，左边
=-=-
==-2tan；左边=2tan=右边，若若sin.cos＜0，sin.tan＜0， =2tan。
2、求证：=1-；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③同角三角函数基本关系。
【解题思路】对左边运用和角公式，差角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】左边==
=1-=1-=右边，
=1-。
3、求证：=；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。
【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边===1-==左边，=。
4、求证：=；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系。
【解题思路】对右边运用二倍角公式与同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边= = ==左边，=
。
5、求证：sin+sin=2sincos；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③二倍角公式及运用；④同角三角函基本关系。
【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式，二倍角公式与同角三角函数基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边=2（sincos+cossin）(coscos+sinsin)=2 sin
. coscos +2 sin cossin+2 sin coscos+2 sin. cossin
= 2 sin. cos(sin+ cos )+2 sin cos(sin+ cos)= 2 sin. cos
+2 sin cos= sin+sin=左边， sin+sin=2sincos。
6、求证：sincos=〔sin(+)+sin(-)〕；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用。
【解题思路】对右边运用和角公式，差角公式通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边=[（sincos+ cossin）+（sincos- cossin）]=
（sincos+ cossin+sincos- cossin）= sincos=左边，
sincos=〔sin(+)+sin(-)〕。
7、证明-2cos(+)=；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②分式的定义与性质。
【解题思路】对左边运用和角公式与分式的性质通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】左边=
==
====右边，
-2cos(+)=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是三角函数恒等式的证明问题，从题型结构上看，问题中的恒等式都是等式一边较繁杂，一边较简单，解答这类问题的基本思路是从等式较繁杂的一边入手，通过三角函数的恒等变换使其余等式较简单的一边相等，从而证明三角函数的恒等式；
（2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二倍角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求证：=
2、证明tan=；
3、证明cossin= 〔sin(+)-sin(-)〕；
4、证明=tan；
5、求证：sin-sin=2cossin；
6、求证：=1+sin；
7、求证：tan- =- ；
8、求证：tan(+)+tan(-)=2tan2；
9、求证：=sin+cos；
10、求证：sin(1+cos2)=sin2cos；
11、求证：2sin(+)sin(-)=cos2
【典例2】解答下列问题：
1、证明下列三角函数恒等式：
（1）； （2）。
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②完全平方公式及运用。
【解题思路】（1）对两边运用同角三角函数基本关系，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式；（2）对两边运用完全平方公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】左边= = = ，右边= . =，左边=右边，；（2）
左边=+2.+-2.=-2.
=1-2.=右边，。
2、求证：=；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。
【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与二倍角公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】左边==
=2，右边=
==
=2，左边=右边，=。
3、证明。
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。
【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与二倍角公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】左边==，右边==
====，左边=右边，。
『思考问题1』
（1）【典例1】是三角函数恒等式的证明问题，从题型结构上看，问题中的恒等式都是等式两边较繁杂，解答这类问题的基本思路是从等式的两边入手，通过三角函数的恒等变换，使之等于同一三角函数式，从而证明三角函数的恒等式；
（2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二倍角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键。
〔练习2〕解答下列问题：
1、求证：
2、求证：=sin+cos；
3、求证：sin(1+cos2)=sin2cos；
4、求证：= 。