人教版八年级数学下册：17.2 勾股定理的逆定理 培优训练（PDF版，含答案）

人教版八年级数学下册
17.2 勾股定理的逆定理培优训练
一、选择题（共 10小题，3*10=30）
1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5
C．2，3，4 D．1，2 ，3
2. △ABC的三边长分别为 a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：
5；③a2=（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.．如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，D是 BC的中点，DE⊥BC，若 AE＝3，BE＝5，则边
AC的长为( )
A．3 B．4C．6 D．8
4．下列说法正确的是( )
A．真命题的逆命题是真命题
B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题
D．定理一定有逆定理
5. 如图，AD为△ABC的中线，且 AB＝17，BC＝16，AD＝15，则 AC等于( )
A．15 B．16 C．17 D．18
6. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为 100cm，15cm和 10cm，A和 B是
这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到 B点去吃可口的食物，则它所走的最短
路线长度为 ( )
A．115cm B．125 cm C．135cm D．145cm
7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大
的半圆面积，那么这个三角形为( )
A.锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形
8. 在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C到 AB的距离是( )
A．36
5
B．12
25
C．9
4
D．3 3
4
9. 如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，M为 BC的中点，MN⊥AC于 N点，则MN=( )
A．6
5
B．9
5
C．12
5
D．16
5
10. 如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么
△ACD 的面积是( )
A． 3 B． 3
2
C．2 3 D． 9
4
3
二．填空题（共 8小题，3*8=24）
11. 命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是_____________________________．
12．下列各组数能构成勾股数的是________(填序号)．
① 6，8，10；② 7，8，10；③3
5
，
4
5
，1.
13．已知 a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2－a2－b2 ＋|a－b|＝0，则△ABC的形
状为__________________.
14. 如图，每个小正方形的边长为 1，A，B，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为
________________。
15. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，若 AB＝10，BD＝6，AD＝8，CD＝17，则
S△ABC=_______.
16. 在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm，CA=80cm，一只蜗牛从 C点出发，以每分 20cm的
速度沿 CA-AB-BC的路径再回到 C点，需要______分钟的时间.
17．已知 a，b，c 分别是△ABC的三条边，则下列三角形是直角三角形的有_________．(填
序号)
①a＝7，b＝24，c＝25；②a＝6，b＝9，c＝12；
③a∶b∶c＝3∶4∶5；④a＝1，b＝2，c＝ 3 .
18. 已知M，N是线段 AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点 A为圆心，AN长为半径
画弧；再以点 B为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC一定
是_____________三角形.
三．解答题（共 7小题， 46分）
19．(6分) 已知|x－5|＋ y－13＋(z－12)2＝0，则由此 x，y，z为三边的三角形是什么三角
形，为什么？
\
20．(6分) 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为 D，∠B=60°，∠C=45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若 AC=2，求 AD的长．
21．(6分) 在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，若点 P在边 AC上移动，求 BP 的最小值.
22．(6分) 如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1.
(1)求△ABC的面积；
(2)判断△ABC的形状？请说明理由．
23．(6分) 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D是 AB的中点，且 CD= 5
2
，如果 Rt△ABC
的面积为 1，求它的周长.
24．(8分) 如图是一块地，已知 AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，且 CD⊥AD，
求这块地的面积．
25．(8分) 如图，在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.
(1)若 a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(2)求证：△ABC的内角和等于 180°；
(3)若 a
a－b＋c
＝
1
2
（a＋b＋c）
c
，求证：△ABC是直角三角形．
参考答案
1-5BCBCC 6-10 BBACA
11. 有两个锐角互余的三角形是直角三角形
12. ①
13. 等腰直角三角形
14. 45°
15. 92
16. 12
17. ①③④
18．直角
19. 解：∵|x－5|＋ y－13＋(z－12)2＝0，
∴x－5＝0，y－13＝0，z－12＝0，
∴x＝5，y＝13，z＝12，
∵52＋122＝132，
∴由此 x，y，z为三边的三角形是直角三角形，
20. 解：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°；
（2）∵AD⊥BC， ∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC，
∵AC=2， ∴AD= 2 .
21. 解： 根据垂线段最短，得到 BP⊥AC时，BP最短，过 A作 AD⊥BC，交 BC于点 D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为 BC的中点，又 BC=6，
∴BD=CD=3，
在 Rt△ADC中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD= AC2-DC2 =4 ，
又∵S △ABC =
1
2
BC·AD=1
2
BPAC，
∴BP=BC·AD
AC
=6·4
5
=4.8 ．
22. 解：(1)△ABC的面积＝4×4－1×2÷2－4×3÷2－2×4÷2＝16－1－6－4＝5，
故△ABC的面积为 5；
(2)∵小方格边长为 1，
∴AB2＝12＋22＝5，BC2＝22＋42＝20，AC2＝32＋42＝25，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
23. 解： ∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D是 AB的中点，且 CD= 5
2
，
∴AB=2CD= 5．
∴AC 2+BC 2=5
又 Rt△ABC的面积为 1，
∴
1
2
AC·BC=1，则 AC·BC=2．
∴（AC+BC）2 =AC 2+BC 2+2AC·BC=9，
∴AC+BC=3（舍去负值），
∴AC+BC+AB=3+ 5，即△ABC的周长是 5+3．
24. 解：连接 AC，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，
∵AD＝4，CD＝3，∴AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝25，
又∵AC＞0，∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，
∴S 四边形ABCD＝S△ABC－S△ADC＝30－6＝24(m2)
25. 解：(1)∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A＋∠B＜∠C
(2)如图，过点 A作MN∥BC，∵MN∥BC，∴∠MAB＝∠B，
∠NAC＝∠C(两直线平行，同位角相等)，
∵∠MAB＋∠BAC＋∠NAC＝180°(平角的定义)，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)，
即：三角形三个内角的和等于 180°
(3)∵ a
a－b＋c
＝
1
2
（a＋b＋c）
c
，
∴ac＝1
2
(a＋b＋c)(a－b＋c)＝1
2
[(a2＋2ac＋c2)－b2]，
∴2ac＝a2＋2ac＋c2－b2，
∴a2＋c2＝b2，∴△ABC是直角三角形