第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
【知识与技能】
能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.
【过程与方法】
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.
【情感态度】
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
【教学重点】
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
【教学难点】
明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.
一.情景导入，初步认知
提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.
二.思考探究，获取新知
1.你能用所学知识证明吗？
已知：△ABC与△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）.又BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
【归纳结论】
（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；
（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？
【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.
【归纳结论】
（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.
三.运用新知，深化理解
1.在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝50°，求∠B、∠C的度数
分析： 根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于
180°来计算.
解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C.（等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,
∴∠B＝∠C＝65°.
2.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.
猜想：AE⊥BC，BD＝CD.
证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AE为∠BAC的平分线.
∴AE⊥BC，BD=CD.
3.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
证明：（1）∵在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF（SSS）.
∴∠D=∠B
（2）∵△ADE≌△CBF,
∴∠AED=∠CFB,
∴∠AEO=∠CFO.
∵在△AOE与△COF中, ∠AEO=∠CFO,
∴AE∥CF.
4.如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,∠BAC = 100°.求∠1、∠3、∠B的度数.
解：∵在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=∠BAC=50°.
又∵AD⊥BC,∴∠3=90°.
在△ABC中,AB = AC,∴∠B=∠C=40°.
【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程.
四.师生互动,课堂小结
1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.
2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.
五.教学板书
布置作业:教材“习题1.1”中第1、3题.
在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调.
第2课时 等边三角形的性质
【知识与技能】
进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性
【过程与方法】
把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.
【情感态度】
体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的相关性质.
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.
一.情景导入，初步认知
在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？
【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴趣.
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.
【归纳结论】
等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法：
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BD、CE为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
你能证明其它两个结论吗？
探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：在△ABC中，AB=BC=AC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A=∠B=∠C＝60°
【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.
三.运用新知，深化理解
1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.
∴∠ABE=∠CBD=60°,
AB=CB, BE=BD.
在△ABE与△CBD中,
AB=CB,
∠ABE=∠CBD,
BE=BD.
∴△ABE≌△CBD(SAS).
∴AE=CD.
2.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF
证明：∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵ED⊥BC,
∴∠B+∠BFD=90°,
∠C+∠E=90°,
∵∠BFD=∠EFA,
∴∠B+∠EFA=90°,
∵∠C+∠E=90°,
∠B=∠C,
∴∠EFA=∠E,
∴AE=AF.
3.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.
解：∵AD=DC，
∴∠ACD=∠A=20°,
∵∠ACD∶∠BCD=2∶3,
∴∠BCD=30°,
∴∠ACB=50°,
∴∠ABC=110°.
【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式
四.师生互动，课堂小结
掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
五.教学板书
布置作业:教材“习题1.2”中第2、3 题.
在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
【知识与技能】
探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.
【过程与方法】
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
【情感态度】
培养学生的逆向思维能力.
【教学重点】
理解等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单应用
一.情景导入，初步认知
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.
二.思考探究，获取新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）
2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?
【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．
【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.
三.运用新知，深化理解
1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，
∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.
∵MN∥BC,
∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.
∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.
∴MB=MD,NC=ND.
∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC
=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.
3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE.求证：△ABC是等腰三角形.
解：∵S△ABC=(AB·CE)=(AC·BD)且BD = CE，
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
4.如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形.
证明：∵AB = AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠E，∠D=∠C.
∴∠D=∠E.
∴△ADE是等腰三角形.
5.垂直于同一条直线的两条直线平行.
证明：假设a、b 不平行，那么a、b 相交
∵a⊥c，b⊥c
∴∠1=900，∠2=900
∴ ∠1+∠2=180°
而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾.
∴假设不成立.
即：垂直于同一条直线的两条直线平行
【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力.
四.师生互动，课堂小结
结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系．
五.教学板书
举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3 题.
通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.
第4课时 等边三角形的判定
【知识与技能】
理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
【过程与方法】
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.
【情感态度】
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重点】
等边三角形判定定理的发现与证明.
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
一.情景导入，初步认知
1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？
2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.
二.思考探究，获取新知
1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结.
2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【归纳结论】
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P11例3
2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=BD．
又∵BC=AB，∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
3.如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2.求证：△ADE是等边三角形
证明：∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠1 =∠2,BD = CE,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴∠EAD=∠BAC=60°,EA=DA.
∴△ADE是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形).
4.如图，在Rt△ABC中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B = 30°
∵BD = AD
∴∠B =∠BAD= 30°
∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,
∴∠DAC=30°.
在Rt△ADC中,∠DAC=30°
∴CD=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵BD = AD=12,
∴CD=6.
【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质.
四.师生互动，课堂小结
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.
五.教学板书
布置作业:教材“习题1.4”中第3、5题.
通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强.
