9.4.5矩形、菱形、正方形
1、教学目标
1 掌握正方形的概念﹑性质以及四边形是正方形的条件
2 经历探索正方形的概念﹑性质以及四边形是正方形的条件
的过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力。
3 在对正方形特殊性质的探索过程中，理解特殊与一般的关系，领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系
2.教学重点
教学重难点：：经历探索正方形的概念﹑性质以及四边形是正方形的条件的过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力。
3、教学难点
教学重难点：：经历探索正方形的概念﹑性质以及四边形是正方形的条件的过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力。
4、教学过程：
1）课堂导入
1． 你能给正方形下定义吗？
正方形：
2． 正方形具有哪些性质？
边： 角：
对角线： 对称性：
2）重点讲解
、根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
? 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 ? ? ? ?
四边都相等 ? ? ? ?
四个角都是直角 ? ? ? ?
对角线互相平分 ? ? ? ?
对角线互相垂直 ? ? ? ?
对角线相等 ? ? ? ?
3）问题探究
例1：如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠ OAB的度数。
例2．已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.求证:BE=DE
4）难点剖析
具备什么条件的四边形是正方形？
正方形判定方法：
1．先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边_________，有一个角是_________
2．先说明它是矩形，再说明这个矩形______________
3．先说明它是菱形，再说明这个菱形有_______________
例3.在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗?为什么?
例4.如图，在矩形ＡＢＣＤ中，四个角的平分线相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，试说明四边形EFGH是正方形。
5）训练提升
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2．下列判断中正确的是 ( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于_______．
4．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_______．
5．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE．
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
7．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
8．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为 ( )
A．－1 B．3－ C．＋1 D．－1
10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_______．
11．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______．
12．如图①，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连接EF．
(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
(3)如图②．将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
1．C 2．D 3． 4． 5．2 6．略
7．D 8．A 9．D 10．10 11．15°或 75° 12．(1) EF＝BE＋DF．
(2)AM＝AB； (3)AM＝AB．
5、板书设计：
9.4.5矩形、菱形、正方形
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
（二）探索新知 例1、例2、例3、例4
（四）课堂练习 练习设计
6、教学反思：
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
(共20张PPT)
>> 课程名称
9.4.5矩形、菱形、正方形
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行
四边形
矩 形
菱 形
几种特殊四边形的定义及性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行
，四边都
相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角
中心对
称图形
轴对称
图形、
中心对
称图形
轴对称
图形、中
心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角
是直角的
平行四边
形
有一组邻
边相等的
平行四边
形
>> 情景导入
>> 要点学习
正方形的性质与判定
探 究（二）
菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
>> 问题探究
探究小结
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形是正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
正方形定义
矩 形
>> 问题探究
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
>> 问题探究
观察思考：正方形是轴对称图形吗?
如果是，有几条对称轴？
>> 问题探究
对称性：正方形是中心对称图形；同时还是轴对称图形，它有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线．）
>> 问题探究
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
>> 问题探究
正方形有哪些性质？
从三个角度来讲
：对边平行、四条边都相等
：四个角都是直角
：对角线相等，
互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角
边
角
对角线
>> 问题探究
A
D
C
B
O
结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是
△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．
（1）一条对角线把它分成_______个 的________ 三角形；
（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；
图中一共有________个等腰直角三角形；
（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．
2
全等
等腰直角
4
等腰直角
8
90
45
>> 难点剖析
正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
>> 难点剖析
1、
有一个角是直角的 是正方形。
有一组邻边相等的 是正方形。
A、矩形 菱形
B、菱形 平行四边形
C、平行四边形 矩形
D、菱形 矩形
D
>> 随堂巩固训练
2、正方形具有而菱形不一定
具有的性质是 。
A、对角线互相垂直
B、对角线互相平分
C、对角线相等
D、对角线平分一组对角
C
>> 随堂巩固训练
3、菱形、矩形、正方形都具
有的性质是 。
A、对角线互相垂直
B、对角线互相平分
C、对角线相等
D、对角线平分一组对角
B
>> 随堂巩固训练
4、正方形的边长是a，则周长为 ，面积为 。
A、 4a a2
B、 2a a2
C、 a2 4a
D、 a2 4a
A
>> 随堂巩固训练
5、正方形的边长是6，则其对
角线长为 。
A、
B、
C、
D、
>> 随堂巩固训练
6、四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠ADE= 。
A、 55°
B、 65 °
C、 75 °
D、 85 °
C
60°
30°
>> 随堂巩固训练
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
>> 知识拓展
1、正方形定义
一组邻边相等的矩形是正方形。
一个角为直角的菱形是正方形。
2、正方形有哪些性质?
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
3、正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
>> 知识导图
9.4.5矩形、菱形、正方形
1、基础夯实
单项选择题：
1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）
A．12 B．13 C．26 D．30
答案：C
知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质
解析：
解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；
斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；
共计26对．
故选C．
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．
2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD
∵CE＝DF
∴DE＝AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA
∴④S△AOB＝S四边形DEOF
∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°
∴∠AFB＋∠EAF＝90°
∴②AE⊥BF一定成立．
错误的结论是：③AO＝OE．
故选A．
分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
答案：D
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH＋∠LAF＝90°，
∴∠LHC＋∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，
∴∠HAE＝45°．
（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG．
（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．
∴△CEM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．
分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；
（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；
（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
答案：D
知识点：正方形的性质
解析：
解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜＜3，
且小方格的对角线长＜1.5．
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n＝12．
故选D．
分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
答案：B
知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质
解析：
解答：解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝90°＋60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°－∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°－（∠BCM＋∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°－∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选B．
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD＝AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD＝∠AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）
A．13 B．21 C．17 D．25
答案：D
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质
解析：
解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；
在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．
故选D．
分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．
7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）
A．4条 B．8条 C．12条 D．16条
答案：D
知识点：正方形的性质；点到直线的距离
解析：
解答：解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
知识点：正方形的性质；三角形的面积
解析：
解答：解：连接DP，
S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC
＝－×1×－×1×
＝，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP＝2S△BDF，
∴S△BDF＝，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF＝×BD×h＝，
计算得：h＝＝．
故选D．
分析：图中，F为BP的中点，所以S△BDP＝2S△BDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离．
9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
答案：B
知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴＝＝，
同理可证：＝＝，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为＝48cm2，
故选B．
分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝BD，△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）
A．1 B． C． D．1＋
答案：C
知识点：正方形的性质，三角形的面积
解析：
解答：解：连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE＝1－－S△CDE，
∵DE＝BD－BE＝，△CDE中CD边上的高为（－1），
∵S△CDE＝CD×（－1）＝－；
S△BCE＝1－－S△CDE＝；
又∵S△BCE＝S△BPE＋S△BPC＝?BC?（PM＋PN）
∴PM＋PN＝＝．
故选C．
分析：连接BP，PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM＋PN．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．
2、能力提升
非选择题（共5道）
1．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2．
答案：
知识点：正方形的性质；探索图形规律
解析：
解答：解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，
即×1×1＝，
当有三个三角形时，其面积为＋＝
当有四个时，其面积为＋＋＝
所以当n个三角形时，其面积为．
故答案为．
分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．
2．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．
答案：（0，4）或（0，0）
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，
∵点E是AB的中点，∴BE＝1，
∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，
∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC＝BF＝2，
∴P点坐标为（0，4）或（0，0），
即图中的点P和点P′．
故答案为：（0，4），（0，0）
分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．
3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．
答案：
知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（1）BP＝，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴，
KP＝，
阴影部分的面积＝×BK×（）＝×[＋]×
＝＝；
（2）HO1＝，HO2＝，
根据勾股定理O1O2＝
＝
＝．
故答案为：；．
分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O1O2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．
4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）
答案： （1，0） 和 （1，1）
知识点：正方形的性质；坐标与图形性质
解析：
解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C（1，0），D（1，1）．
故答案为：（1，0），（1，1）．
分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．
5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．
答案：5
知识点：正方形的性质；三角形的面积
解析：
解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．
故答案为 5．
分析：要使得△ABC的面积为2，即S＝ah，则使得a＝2、h＝2或者a＝4、b＝1即可，在图示方格纸中找出C点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．
3、个性创新
选答题（共1-3个）
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，则BD的长为 ．
答案：（1）见解析 （2）AB－EF1＝A1C1 （3）
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
解析：
解答：解：
（1）过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，
∴AB－OF＝AC．
（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①
∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，
∴A1B＋BC1＝2AB，
因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，
即AB－EF1＝A1C1．
（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7．
分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；
（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；
（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．
2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质
解析：
解答：
证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE＝BF．
分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE?DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．
3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．
答案：45°
知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，
∴△ABF≌△AGF（HL），
∴∠BAF＝∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；
即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，
故∠EAF＝45°．
分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．
4、其他题型（自由添加）
已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．
答案：
知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题
解析：
解答：解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：
由题意可得几个点的坐标A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4），E（4，2），F（1，0）．
设BE所在直线的解析式是y＝kx，因为BE所在直线经过E点，因此有
4k＝2，k＝，
因此BE所在直线的解析式是y＝x（1），
同理可得出DF所在直线的解析式是y＝（x－1）（2），
联立（1）（2）可解得点G的坐标为（，）．
故可求四边形CEGF的面积S＝S△BCE－S△BFG＝×4×2－×1×＝．
分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．
9.4.5正方形
利用旋转妙解正方形问题
正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性。因此，在正方形中的线段证明和计算等问题上，利用旋转变换可巧妙地拼接图形，使条件发生转化并相对集中，可达到化难为易的目的。现举例如下。
例1 如图 正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上两点，
BF平分∠EBC。求证：BE=AE+CF。
分析：四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠A=∠C=90°，
把△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAG的位置，如图，
此时AG=CF，只需再证BE=GE即可，由于∠GBE=∠FBE=∠GBA，
所以∠GBE=∠ABF=∠BFC=∠G。因而BE=GE。证明略。
评注：本题将△BCF绕点B进行旋转变换，使线段CF与AE巧妙
拼接，并与BE组成三角表，从而利用等腰三角形的知识解题。
例2 如图P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，
∠APB=135°，求PC的长。
分析：由AB=BC，∠ABC=90°，可将△BAP绕点B按顺时针方向旋转90°，得△BCP′，如图连结PP′，则△BPP′是等腰直角三角形。因为PB=P′B==2，根据勾股定理，得PV′2。又因为∠CP′B=∠APB=135°，∠PP′B=45°，所以∠CP′P=90°，即△CP′P是直角三角形，从而PC= EQ \R(,（2）2+12) =3。
评注：本题通过旋转变换，将线段PC、P′与PP′巧妙构成直角三角形，且使已知条件相对集中，并与结论沟通起来，达到了化难为易的目的。
以下两题供同学们练习：
1、如图，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD边上的两点，
∠EAF=45°。求证：EF=BE=DF。
2、如图，正方形ABCD的边长为1，BC、CD边上各角
一点E、F，若△CEF的周长为2，求∠EAF的度数。
完美正方形
「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形．最早由莫伦提出．
数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形．莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形），便可构造出一个完美正方形，而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成果．
1939年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形，其边长为4205．
几个月后，阶数更小（28阶）、边长更短（1015）的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来．
1948年，威尔科克斯构造出24阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形（此类正方形称为混完美正方形，完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形），一直到1978年，这个纪录才被打破．
1967年，威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形．
1962年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在20阶以下的完美正方形．
1978年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个21阶的完美正方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也有许多优美的特点，比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等．
杜伊维斯廷同时还证明了：低于21阶的完美正方形不存在．
1982年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于24阶的混完美正方形．
1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21～25阶全部207个纯完美正方形：
阶数 21 22 23 24 25
个数 1 8 12 26 160
至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号．但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱茵瓶上，也取得了许多有趣的成果．
但是立方体填充被证明是没有的．
2.图片素材
9.4.5矩形、菱形、正方形
1.学习目标：
1)知识目标
把握正方形的性质和判别条件
2)能力目标
探索正方形的性质和判别条件，在操作和观察、分析过程中发展主动探究习惯，进一步了解和体会说理的基本方法.
2.学习重难点：
探索正方形的性质和判别条件，在操作和观察、分析过程中发展主动探究习惯，进一步了解和体会说理的基本方法.
3.学习过程
1）自主学习：
操作:如图，BO是等腰直角三角形ABC的斜边上的中线，画出△ABC关于点O的中心对称图形。
（点B关于点O的对称点记作D）
问题1：所得四边形ABCD的四个角、四条边各有什么特点
问题2：四边形ABCD的两条对角线之间有什么关系？
2）即时巩固：
概念探究：有一组邻边相等且有有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
1．讨论：（1）、正方形的边、角和对角线各具有什么性质？
（2）、比较正方形与矩形、菱形之间的异同。
2．问题：正方形是矩形吗？是菱形吗？反之对不对？怎样使一个矩形变为正方形？怎样使一个菱形变为正方形呢？
3．小结：
（1）正方形的性质：
①正方形的四条边 ，四个角
②正方形的对角线
（2）正方形的判定：
①先证明是矩形，再证明
②先证明是菱形，再证明
3）要点理解：
例5 如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，并且AA′=BB′=CC′=DD′.四边形 A′B′C′D′是正方形吗？为什么？
思考：（1）由四边形ABCD是正方形，你能知道哪些条件？
（2）你能证明∠D，A，B，=90°和A，D，=A，B，吗？如能，则运用同理可证得∠A，B，C，=∠B，C，D，=∠C，D，A，=90°和A，B，=B，C，=C，D，=D，A，. 试一试吧！
4）难点探究：
1．在空格中填上适当的条件：
（1）__________________________的平行四边形是矩形；
（2）__________________________的平行四边形是菱形；
（3）_________________________的平行四边形是正方形。
2．正方形的边长为a，当边长增加1时，其面积增加了 。
3．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，则∠E= °；∠AFC= °.
4．已知正方形ABCD，延长AB到E，
作AG⊥EC于G，AG交BC于F，求证：AF＝CE。
5）点评答疑：
1．正方形的性质是：
2．正方形的判定方法有：①
②
6）训练提升：
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2．下列判断中正确的是 ( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于_______．
4．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_______．
5．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE．
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
7．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
8．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为 ( )
A．－1 B．3－ C．＋1 D．－1
10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_______．
11．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______．
12．如图①，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连接EF．
(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
(3)如图②．将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
1．C 2．D 3． 4． 5．2 6．略
7．D 8．A 9．D 10．10 11．15°或 75° 12．(1) EF＝BE＋DF．
(2)AM＝AB； (3)AM＝AB．
7）课堂小结：
谈谈这节课你的收获有哪些？
