苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：07《集合》全章复习与巩固(基础)（Word版）

《集合》全章复习与巩固

【学习目标】
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，并初步掌握集合的表示方法.
2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.
3. 理解补集的含义，会求补集；
4. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、集合的含义与表示：
1、集合的含义
集合：某些指定的对象集在一起成为集合
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
要点诠释：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2、一些常用集合的记法：
自然数集记为N；
正整数集记为或；
整数集记为Z；有理数集记为Q；
实数集记作R；
复数集记作C；
不含任何元素的集合叫做空集，记作。
3、常用的集合表示法
常用的集合表示法有：列举法、描述法、Venn图．
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，其具体形式如下：{元素的一般形式|元素所具有的公共属性}
Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。
要点二：集合与集合的关系
1. 子集：
如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集，记作：．
2. 相等：
若AB且BA，则集合A与集合B的元素是一样的，则称集合A与集合B相等，记作A=B．
3. 真子集：
如果集合AB ，但存在元素x∈B，且xA，则称集合A为集合B的真子集，记作：AB．
4. 空集：
空集是任何集合A的子集，即(A； 空集是任何非空集合B的真子集，即B。
5. 任何集合是它本身的子集：
对于任一集合A，有AA．
6. 集合的传递性：
对于集合A，B，C，如果AB，且BC，则AC．
7. 含n个元素的集合的子集个数
含n个元素的集合有个子集，有个真子集，有个非空真子集．(同学们可结合组合的有关知识予以证明)．
要点三：集合的运算
1. 交集：
对于两个给定的集合A、B，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B.即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
Venn图表示：（阴影部分代表集合A与集合B的交集）；
性质：
2. 并集：
对于两个给定的集合A、B，由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.即：A∪B={x|x∈A或x∈B}；
Venn图表示：（阴影部分表示A与B的并集）
性质：
要点诠释：并集中的元素可分为三类：
第一类是但；
第二类是；
第三类是但.
3. 全集与补集
全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么这个集合就称为全集，通常用U来表示.
补集：对于一个集合A，由全集U中所有属于U但不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 即：.
Venn图表示：（阴影部分表示A在I中的补集）
性质：，.
要点诠释：
（1）全集是相对所研究问题而言的一个相对概念，因研究问题不同全集也不同.例如在研究数集时，常把实数集R看作全集；在平面几何中，整个平面可以看作全集.
（2）如下图所示韦恩图中，①表示，②表示， ③表示， ④表示 .
（3）补集作为一种思想方法为研究问题开辟了新的思路.如果直接求A困难，则使用“正难则反”的策略，利用，，求A.
集合运算中常用的几个重要性质
（1）
（2）
（3）且，则
（4）（交之补=补之并）
（5）（并之补=补之交）
（6）card=card+ card－card
要点诠释：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法
【典型例题】
类型一、集合的概念
例1.下列各组对象中，能构成集合的是（　）
(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到坐标点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体；(5)的近似值的全体.
【思路点拨】从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.
【解析】“接近于0的数”、“比较小的正整数”对象不确定，所以(1)、(2)不是集合，同理(5)也不是集合.(3)、(4)可构成集合，故答案是(3)、(4).
举一反三：
【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.
(1)申办2019年奥运会的所有城市；(2)举办2019年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)大于0且小于1的所有的实数.
【思路点拨】紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.
【解析】(1)申办2019年奥运会的是几个确定的不同的城市，能组成一个集合，且为有限集；
(2)举办2019年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；
(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.
(4)大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.
【总结升华】
(1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断；
(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.
例2.比较下列两个集合的差异：
（1）A={(x，y)|y=x2， x(R}， B={y|y=x2， x(R}；
（2）A={x|x2-6x-7=0} B={(x，y)|}.
【解析】(1)集合A是一个点集，是函数y=x2图象上的点的集合；集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素不同.
(2)A={-1，7}， B={(-1，7)}
集合A，B都是方程（组）解的集合，但A中有两个元素-1，7，而B中只有一个元素(-1， 7).
例3．设集合，，若，求的值及集合、．
【解析】∵且，∴．
（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；
（2）若，则或．
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；
当时，，，
由得 ① 或 ②
由①得，由②得，
∴或，此时．
例4．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}
C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1， 2)}
【答案】C
【解析】由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。
类型二、元素与集合的关系
例5.用符号“”或“”填空．
(1)0_____N；(2)-1______ N；(3)______ Q；(4)_____Z；(5)0______；(6)_____Q.
【思路点拨】确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定.
【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
举一反三：
【变式1】用符号“”或“”填空．
(1)
(2)
(3)
【思路点拨】给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
【解析】(1)
(2)令，则
令，则
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，
∴
【总结升华】第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.
例6．集合,,若,则的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】 D
【解析】∵,,∴∴,故选D.
举一反三：
【变式】，且，则的取值范围是 ；
【答案】；
【解析】∵，则，即，又，即
故的取值范围是.
例7．已知，则满足条件的集合A的个数是 。
【解析】解法一：列举法
因为集合A中必有元素a、b，且又是集合{a，b，c，d，e}的真子集．从而满足条件的集合A是：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d)，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共7个．
解法二：
令，其中集合B可以是集合{c，d，e}的任意真子集，由于集合{c，d，e}的真子集共有=7个，所以满足条件的集合A共有7个．
【总结升华】
1.这类问题主要考查子集与真子集的概念，解答这类问题应弄清楚符合条件r的集合A的最大集合(元素个数最多)与最小集合(元素个数最少)是什么，注意不要多写或遗漏．
2.元集合的子集的个数为.
举一反三：
【变式】已知集合，集合，那么的子集的个数为 ；
【答案】4；
解析：直线与圆交于两点和，
故的子集的个数为4.
类型三：集合中元素性质的应用
例8. 定义，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N-M=( )
A. M B. N C. {1，4，5} D. {6}
【思路点拨】由的定义可得，在集合N中含有M中的2，3两个元素，而不含有6，故N-M={6}，选D。
例9. 已知集合M={x|ax2+2x+1=0}中只含有一个元素，则a=________.
【思路点拨】由集合M中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
【答案】0，1.
【解析】当a=0时，可得是一次方程，故满足题意，当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例10.已知：-3∈{a-3， 2a-3， a2-4}，求a.
【解析】若-3=a-3即a=0.当a=0时2a-3=-3，即不符合元素的互异性，∴a=0(舍)；
若-3=2a-3(a=0同理舍掉；
若a2-4=-3即a2=1即a=(1，
当a=1时，集合为{-2，-1，-3}，当a=-1时，集合为{-4，-5，-3}，∴ a=(1.
类型四：集合的表示方法
例11．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件，且10因此，用描述法表示为；
大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，
因此，用列举法表示为.
举一反三：
【变式1】用列举法表示下列集合.
(1) A={x|x=(-1)n， n(N}；
(2) B={(x，y)|3x+2y=16， x(N， y(N}；
(3) C={16的正整数约数}.
【解析】(1)A={1，-1}；
(2)B={(0，8)， (2，5)， (4，2)}；
(3)C={1，2，4，8，16}.
【变式2】用描述法表示下列集合.
(1)A={3，6，9，12，15，18，21}；
(2)B={，，，，，……}.
【解析】(1)A={x|x=3n， 1≤n≤7， n∈N}；
(2)B={x|x=， n∈N+}.
类型五：集合间的关系
例12. 下列关系正确的是( )
A. 0 B. 0= C. ={0} D. {0}
【解析】表示空集不含任何元素，故元素0(，既A不正确；0是元素，是集合，元素与集合只有“属于”或“不属于”两种关系，即B不正确；不含任何元素，{0}含有元素0，故与{0}不是相等关系，即C不正确；{0}是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故{0}是正确的，即D正确.
例13. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
举一反三：
【变式1】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.
【解析】∵， ∴a2A，
则有：
（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0
综上：a=-1， a=或a=0.
【总结升华】根据集合元素的互异性，需分类讨论.
例14. 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
类型六：集合的运算
例15. 已知集合A={y|y=x2-4x+3，xR}，B={y|y=-x2-2x+2，xR}，则A∩B等于( )
A. B. R C. {-1，3} D. [-1，3]
【解析】集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={y|y≥-1}，B={y|y≤3}，所以A∩B={y|-1≤y≤3}，选D.
例16. 设全集U={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么(CuM)∩(CuN)=( )
A. B. {d} C. {a，c} D. {b，e}
【解析】CuM={b，e}，CuN={a，c}
∴(CuM)∩(CuN)={b，e}∩{a，c}=
或由补集法则，M∪N={a，b，c，d，e}=U
∴(CuM)∩(CuN)=Cu(M∪N)=CuU=
即A为正确选项.
例17．（1）设全集U={不超过5的自然数}，A={x|x2-5x+6=0}，B={x|x2-7x+12=0}，则A∩B= ，
A∪B= ，= ，= ；
（2）设全集，已知，，则Ｍ∩Ｎ= ，
= 。
【解析】
（1）方法一：
U={0，1，2，3，4，5}，A={2，3}，B={3，4}，则
A∩B={3}，A∪B={2，3，4}，={0，1，3，4，5}，={0，1，5}.
方法二：用韦恩图示：
由图知A∩B={3}，A∪B={2，3，4}，={0，1，3，4，5}，={0，1，5}.
（2）由不等式，得Ｍ=(-，1)，由不等式，得Ｎ=(-1，+)，
因而Ｍ∩Ｎ=(-1，1)，，.
【总结升华】
1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。
2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.
3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.
举一反三：
【变式】已知全集,且,，则(A)∩B等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】：全集且
∴(UA)∩B =，选C.
类型七：集合运算综合应用
例18．已知集合，，若，，求实数、的值．
【解析】由得，∴或，
∴，又∵，且，
∴，∴和是方程的根，
由韦达定理得：，∴．
说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
例19．设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【解析】直接验证可知①正确.
当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确
对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误
取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1(T，故T不是封闭集，④错误
答案：①②
例20. 已知,若,求实数的值,并求.
【解析】 ∵,∴,即.
由已知可得，, ∴.
(ⅰ)当时，∴,与题设相符.
(ⅱ)当时，∴与题设矛盾.
(ⅲ)当时， ={4} 与题设矛盾.
∴，这时=.
【总结升华】
本题容易出现由求出，而不对的条件进行验证。此题是集合在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。
举一反三：
【变式1】若集合A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0，m∈R}, 且BA，则m的取值的集合是________。
【答案】可求A={-3,2}, 化简集合B时注意对m的讨论，
当m=0时，mx+1=0无解，∴B=，满足BA；
当m(0时，, ∵ BA，∴或， ∴ 或,
综上所述，m的取值的集合是：.
例21. 设集合，，若，求的取值范围.
【思路点拨】不等式的解集的有关问题一般应当借助于数轴解决。
【解析】集合，用数轴表示,如图：
　∵，
（1）若时，需k＋1＞2k－1，即k＜2．
（2）时，只需
或k＞6．

　∴满足条件的的取值范围是：＜2或＞6．
【总结升华】
1. 有关含参数集合的运算,通常先确定参数的取值,再进行有关运算.尤其解决与不等式有关问题时,抓住集合的交并补等概念,借助于数轴解决,但要特别注意端点的取舍.
2. 解答这类问题，最容易忽略的情形。空集是一个特殊的集合，在研究集合之间的关系及运算时必须要注意。
3. 对于不等式集合的字母讨论中有可能（或
；但对于区间则一定有.
【巩固练习】
1．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A． B．
C． D．
3．下列表示图形中的阴影部分的是( )
A．
B．
C．
D．
4．下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是1；　　　　　　 (2)若不属于，则属于；
(3)若则的最小值为2； (4)的解可表示为；
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．若全集，则集合的真子集共有( )
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．若集合，则有( )
A． B． C． D．
8．方程组的解集是( )
A． B． C． D．
9．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.
10．已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ；若至少有一个元素，则的取值范围 .
11. 若集合，，，则的非空子集的个数为 .
12．用列举法表示集合：= .
13．已知，则_________.
14．集合，，，满足求实数的值.
15．若
16．已知，，，求的取值范围.
17．设全集，，.
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】根据元素的确定性.
2．【答案】D
【解析】选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.
3．【答案】A
【解析】阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分.
4．【答案】A
【解析】(1)最小的数应该是；(2)反例：，但；
(3)当；(4)元素的互异性.
5．【答案】C
【解析】，真子集有.
6．【答案】 B
【解析】；，整数的范围大于奇数的范围.
7．【答案】A
【解析】，.
8．【答案】D
【解析】原方程组可化为，该方程组有一组解，解集为.
9．【答案】26
【解析】全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育的人数为()人；仅爱好音乐的人数为()人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为人 .∴，∴.
10．【答案】，
【解析】当中仅有一个元素时，，或；
当中有个元素时，；
当中有两个元素时，.
11.【答案】15
【解析】，，非空子集有.
12．【答案】
【解析】(的约数).
13．【答案】
【解析】，，，.
14．【解析】，，而，则至少有一个元素在中，
又，∴，，即，得
而矛盾，
∴.
15．【解析】，
∴.
16．【解析】当，即时，满足，即；
当，即时，满足，即；
当，即时，由，得，得，即；
∴综上得.
17．【解析】当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴
∴.