苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：11函数的表示方法(基础)(word)

函数的表示方法

【学习目标】
了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单的应用。
【要点梳理】
要点一、构成函数的三要素：
1.定义域、对应关系、值域
（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
2．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
； ；
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
3.相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
要点诠释：
若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
要点三、函数的定义域、值域
1.函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
要点诠释：
求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
2.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一、判断两函数是否为同一个函数
例1. 下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1) 的定义域不同，前者是，后者是，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
(3)是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例2.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；　　　　(3).
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)； (2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例3.（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【思路点拨】（1）若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．（2）若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．
【答案】（1）[1，]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．
【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，，故，即，解得，所以函数的定义域为[1，].
（2）设，因为，所以，即，函数的定义域为[3，5] .由此得函数的定义域为[3，5] .
（3）因为函数的定义域为[1，2]，即，所以，所以函数的定义域为[3，5]，由，得，所以函数的定义域为[2，3] .
【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的.
举一反三：
【变式1】已知的定义域为，求的定义域.
【答案】
【解析】的定义域为，，，，解得：或，所以的定义域为.
例4.设，则的定义域为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
【思路点拨】要求复合函数的定义域，应先求的定义域。
【解析】由得，的定义域为，故
解得。故的定义域为.选B.
【总结升华】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。
例5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【思路点拨】确定的取值范围，使之对任意，都有，即方程无实根.
【答案】
【解析】
当时，对任意恒成立.
当时，要使恒成立，即方程无实根.只需判别式，于是.
综上，的取值范围是.
【总结升华】（1）函数有意义，分母恒成立，转化为时，二次方程无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里应分、两种情况讨论.（3）本题是求定义域的逆向问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.
举一反三：
【变式1】定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )
A．；B．；C．；D．无法确定
【答案】B；
【解析】函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的
类型三、求函数的值域
例6. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).
【解析】(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
类型四、函数解析式的求法
例8.求函数的解析式
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)已知，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)用代入法，．
(2)法一：换元法
令，则，所以
即：.
法二：凑配法
=，所以．
(3) ①，用代替上式中的，得 ②
由①②联立，消去，得
故所求的函数为．
【总结升华】（1）由求，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出的解析式．
举一反三：
【变式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)．
【答案】f(x)=x2+2x-1
【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax2+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
；
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
例9.已知=，则的解析式可取为
【思路点拨】这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法
【解析】令，则，∴ .∴.
故应填
【总结升华】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。
类型五、分段函数
例10.函数中，若，则的值为（ ）．
A．1 B．1或 C． D．
【思路点拨】分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
【答案】D
【解析】若，由，得，舍去．
若，由，得，由于，舍去，故．
若，则得，舍去．
综上知．故选D．
【总结升华】（1）解决分段函数的问题关键在于“分段归类”，即首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系（图象），离开定义域谈函数是无意义的．
（2）作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．
举一反三：
【变式】（2019 河南洛阳期中）已知函数，若，则实数a的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】选A
【解析】∵ ，∴ ，
又∵ 1＞0，∴
∴
作出函数的图象，如图
则
∴
例11．（2019 浙江温州期末）已知函数
（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．
【答案】（1）（2）如图（3）．
【解析】（1）由题意，去掉绝对值符号，则考虑x＞1和x＜1两种情况
∴ 当x≥1时，
当x＜1时，
即
（2）
（3）由（2）图形可知，的值域为．
【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决.
【巩固练习】
1．（2019 湖南张家界期末）函数 的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则等于（ ）
A．0 B．　　　 C． D．
3．函数的值域是( )
A．(-∞，)∪(，+∞) 　　B．(-∞，)∪(，+∞)
C．R 　　 　D．(-∞，)∪(2，+∞)
4．已知函数f(x)对任意的x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(1)＝(　　)
A．－2 B．1
C．0.5 D．2
5．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有 ( )个．
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
6．（2019 湖北武汉期中）若 则表达式为 （ ）
A． B． C． D．
7．设函数则的值为（ ）
A． B．　　　 C． D．18
8．汽车经过启运、加速行驶、匀速行使、减速行使之后停车，若把这一过程中汽车的行使路程看做是时间的函数，其图象可能是（ ）
9．设函数则实数的取值范围是 ．
10．函数的值域是_________．
11．如图，有一块边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是，则关于的函数关系式为 ；此函数的定义域是 ．
12．已知函数分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则的值 ；满足的的值 .
13．设函数，
（1）求的值；（2）若，求的值．
14．函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)试确定函数f(x)的解析式．
15．建一个容积为8、深为2的长方体无盖水池，如果池底造价是120元/，池避的造价是80元/，求水池的总造价（元）与池底（）之间的函数关系式.
16．（2019 浙江台州期末）已知函数的定义域为，值域为．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若1，求实数的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】选C
【解析】由题意4-x≥0且x≠1，解得且x≠1，故选C．
2．【答案】B．
【解析】把和代入函数解析式相减求得．
3．【答案】B．
【解析】法一：由y=，∴x= ∴y≠， 应选B．
　　　法二：
4．【答案】D．
【解析】解析：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，∴f(1)＝2.
5．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
6．【答案】B
【解析】∵
∴ ∴ ，故选B
7．【答案】C
【解析】 ，，故．
8. 【答案】A.
9．【答案】
【解析】当，这是矛盾的；当.
10. 【答案】.
【解析】
11．【答案】
【解析】设，对称轴，当时，.
12．【答案】1，2
13．【答案】（1）0，（2）
【解析】（1） ；．
（2）或或解得．
14．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得
f(1)－f(0)＝2.
又∵f(1)＝0，
∴f(0)＝－2.
(2)令y＝0，则
f(x)－f(0)＝x(x＋1)，
由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)
＝x(x＋1)－2
＝x2＋x－2.
15．【答案】
【解析】设池底矩形宽（），则池底矩形长为（）．
底面积为4，造价为（元）．左、右两侧面造价为（元），前、后两侧面造价为（元）．
水池的总造价与池底宽之间的函数关系式为
．
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，，
函数的定义域,值域,
．
（Ⅱ） 由1，得，所以．