苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：17《函数》全章复习与巩固(基础)(word)

《函数》全章复习与巩固

【学习目标】
1. 体会函数式描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念.
2. 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解分段函数，并能简单地应用.
3. 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性；了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；学会运用函数的图象理解和研究函数的性质。
4. 了解映射的概念，进一步了解函数是非空集合到非空集合的映射。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、映射与函数
1.映射
设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B。
理解：
（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.
（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.
（3）集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.
（4）给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.
（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.
2.函数的定义
（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
理解：
①集合A、B是两个非空数集；
②f表示对应法则；
③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；
④值域C(B。
3.函数的表示
函数关系可用列表法，图象法，解析法来表示.
①解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 当对应法则可以用解析式表达时，一般用符号y=f(x)表示，此时解析式本身就是从定义域到值域的对应法则.
②列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.
③图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
4.函数的三要素
函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则.
只有两个函数的定义域，值域，对应法则完全相同，它们才是同一函数.
要点二、函数的单调性
1.定义：
设函数f(x)的定义域为I,区间DI.如果对任意,D,当<时,都有 (或),则称f(x)是区间D上的增(减)函数.区间D称为f(x)的单调区间.
如果函数f(x)在区间(a,b)上是增函数或是减函数，那么就称f(x)在区间(a,b)上具有单调性，称为单调函数。
要点诠释：
①单调性立足于函数定义域的某一子区间.相对于整个定义域而言,单调性往往是函数的局部性质,而对于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的,具有任意性,不能以特殊值代替.
②函数f(x)在区间D上递增(或递减),与f(x)图像在区间D上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的.
③注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:
f(x)在D上为增函数且f()f(x)在D上为减函数且f(),,D.
2.定义的应用
单调性的定义,是判断,证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为：
①设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且<;
②作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;
③定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.
在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.
3.复合函数的单调性
（1）单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;
（2）单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.
（3）求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤
①确定定义域；
②将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).
③分别确定这两个函数的单调区间；
④按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间。
注：求函数单调区间时，易忽略函数的定义域。
要点三、函数的奇偶性
1.定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.
要点诠释：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;
②考察f(-x)与f(x)的关系;
③根据定义作出判断.
(Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)≠0)
②f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)≠0)
2.延伸
(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有
f(x)=+ =g(x)+p(x)
其中,g(x)= 为偶函数,p(x)= 为奇函数.
即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0.
3.奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;
(Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.
4.奇偶性与单调性的联系
当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:
设G,G＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有
(Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同；
(Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反．
这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反．
要点四、函数的周期性
定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T(0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有　　f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T为周期函数f(x)的周期。
由定义可以得到：
①作为周期函数的定义域应是“无界”的，如(-(,+()，或至少有一端是“无界”的，如：[0, +()，或(-(,0]。这是因为定义中的等式f(x+T)=f(x)，其中x是对于定义域D中的每一个x都有x+T(D，则区间D一定是“无界”的才能得保证在T(0时x+T(D。例如y=sinx, 当x(R或x([0,+()或x((-(,0]时都是周期函数，而当x([0,10(]或x([0,100(]等都不能构成周期函数。
②若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T(0)，则T的非零整数倍即nT(n(Z, n(0)都是f(x)的周期。
要点诠释：
1、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
（1）是整式时，定义域是全体实数。
（2）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。
（3）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。
（4）若是有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
（5）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出。
（6）对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。
（7）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。
2．求函数值域主要有以下一些方法：
（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可通过观察法求得值域。
（2）二次函数可用配方法求值域。
（3）分子、分母是一次函数的有理函数，可用反函数法求得值域，或用分离常数法。
（4）单调函数可根据函数的单调性求得值域。
（5）函数图象是函数的重要性质，利用数形结合的方法，根据图象求得函数值域。
（6）有的函数可拆配成重要不等式的形式，利用重要不等式求值域。
（7）解析法：将某些式子根据其几何意义，运用解析几何知识求值域（或最值）。
（8）运用导数求值域。
（9）无理函数可用换元法，尤其是三角代换求得值域。
（10）分子、分母中含有二次项的有现函数，可用判别式法。
在此必须注意，在利用配方法、重要不等式、判别式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时需注明等号成立的条件。
3．函数的最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
②利用图象求函数的最大（小）值；
③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
【典型例题】
类型一、映射的概念
例1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。

（1） （2） （3） （4）
【思路点拨】 依据映射的定义及函数的定义判断.
【解析】（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。
【总结升华】理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
举一反三：
【变式】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
【解析】9 , 8；从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.
例2．若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
【解析】a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}；
∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2）
∵a∈N，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.
∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
类型二、函数的概念
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），（n∈N*）；
（4），；
（5），
【思路点拨】要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
【答案】（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【解析】（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
【总结升华】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数.
举一反三：
【变式】下列函数中与函数相同的是( )
A .y = ()2 B. y = C. y = D. y=
【答案】B；
【解析】因为y = ，所以应选择B
类型三、函数的定义域、值域
例4．求函数的定义域
（1）； （2）函数．
【思路点拨】求给定解析式的函数的定义域的依据是使式子有意义，如分式的分母不为0，偶次方根的被开方数大于或等于0，零指数幂的底数不为等等。建议写成不等式组的形式，以免遗漏。
【解析】（1）由得，
所以函数的定义域为：。
（2）由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3所以函数的定义域为：(－3,2)
【总结升华】求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。
举一反三：
【变式】已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】由的定义域是R，则恒成立，
当时，显然成立；
当时，；
当时，，
综上，选C。
例5．已知的定义域为，求的定义域.
【解析】∵中,
∴中，即，解得或
∴所求定义域是.
【总结升华】有关复合函数的定义域问题，要明确：
（1）定义域是指单一的自变量的取值范围.如本题中的定义域为即；而的定义域，同样只指中的单一的自变量的取值范围.
（2）在同一法则之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中，应是函数的自变量的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的的定义域是中的取值范围，此处的取值范围已不是中的的取值范围；但中的与中的的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。
（3）求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。
举一反三：
【变式1】若的定义域为，求的定义域。
【答案】；
【解析】本题的实质是求在时的值域。
令，当时，。
故的定义域为。
【变式2】已知函数的定义域为，求函数的定义域。
【答案】由
【变式3】若函数的定义域是，则函数的定义域是

【答案】
【解析】；因为的定义域为，所以对，但故
类型四、函数的单调性
例6．确定函数的单调性．
【思路点拨】作差后，符号的确定是关键．
【解析】由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，
则
又，，
，即．
所以，在区间上是增函数．
【总结升华】运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
例7．已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）试求函数的最小值．
【思路点拨】本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．
【解析】（1）对于区间内的任意两个值，，且，
则，
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调减函数；
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数；
综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．
（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；
所以，的最小值为，此时；
又，所以的最大值为，此时或．
（3）令，则，
由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．
例8．求函数的单调区间
【思路点拨】该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．
【解析】设y=，u=x2+x-6 ．
由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，
结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．
又∵函数y=是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．
例9．已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值．
【思路点拨】用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。
【解析】(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，
令x=y=0，得f(0)=0．再令y=-x，得f(-x)=-f(x)．在R上任取x1＞x2，则Δx=x1-x2＞0，
Δy=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(Δx),
又∵x＞0时，f(x)＜0．而Δx＞0，
∴f(Δx)＜0，即Δy<0．
因此f(x)在R上是减函数．
方法二：在R上任取x1，x2，
不妨设x1＞x2，
则Δx=x1-x2>0,Δy=f(x1)-f(x2)
=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)
=f(x1-x2)=f(Δx)
又∵x＞0时，f(x)＜0，而Δx＞0，
∴f(Δx)＜0，即Δy<0．
因此f(x)在R上是减函数.
(2)∵f(x)在R上为减函数，
∴f(x)在［-3，3］上也为减函数，
∴f(x)在［-3，3］上的最大值为f(-3)、最小值为f(3)，
而f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=
3f(1)=-2，
∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3),
∴f(-3)=-f(3)=2,
因此，f(x)在［-3，3］上的最大值为2，最小值为-2.
【总结升华】求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转
化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
类型五、函数的奇偶性
例10．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【思路点拨】判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
【解析】（1）定义域为，关于原点对称；,
所以为偶函数．
（2）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．
（3）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．
（4）定义域为，关于原点对称；
，又，
，故为奇函数．
【总结升华】判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．
例11．已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．
【思路点拨】奇函数若在原点有定义，则．
【解析】设，则，．
又是奇函数，，．
当时，．
综上，的解析式为．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．
【总结升华】（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
例12．奇函数定义在上，且在定义域内是减函数．若，求实数a的取值范围．
【思路点拨】运用函数的性质脱去“外衣”．
【解析】由，解得：．
又，得，
定义在上是减函数，，即，
解得：．又，故a的取值范围是．
【总结升华】在上是减函数时，若设，则成立，反之，也成立．
举一反三：
【变式】已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在[-3，6]上的最大值与最小值．
【解析】
(1)令x=y＝0，可得f(0)+f(0)=f(0+0)，从而f(0)＝0．
令y＝-x，可得f(x)+f(-x)=f(x-x)＝0，即f(-x)＝-f(x)，
故f(x)为奇函数。
(2)设x1、x2∈R，且xl＞x2，则x1—x2＞0，于是f(xl-x2)＜0．
从而f(x1)-f(x2)=f[(xl-x2)+x2]-f(x2)＝f(xl-x2)+f(x2)-f(x2)＝f(xl-x2)＜0．
所以f(x) 在R上是减函数。
(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(-3)，最小值为f(6)．
f(-3)＝-f(3)=-[f(2)+f(1)]＝-2f(1)-f(1)=-3f(1)＝2，
f(6)＝-f(-6)＝-[f(-3)+f(-3)]=-4．
于是，f(x)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4．
【总结升华】对于抽象函数问题的求解，一般方法是取特例进行归纳与验证，也可联想满足该性质的函数，如f(x)＝kx(k＞0)，即满足上述条件．
类型六、函数的周期性
例13．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
【总结升华】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
【巩固练习】
1．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1
C．2x＋1 D．3x＋3
2．若函数为奇函数，则a＝(　　)
A. B. C. D．1
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
6．已知f(x－)＝x2＋，则函数f(3)＝________.
7．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．
8．函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
9．已知函数f(x)＝ (a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>2x＋5.
11．函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)试确定函数f(x)的解析式．
12．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
13．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
14．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
15．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，求t的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】在2f(x)－f(－x)＝3x＋1①
将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1②
①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，
∴f(x)＝x＋1.
2．【答案】A
【解析】法一：由已知得定义域关于原点对称，由于该函数定义域为
，知a＝
法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)＝则＝在函数的定义域内恒成立，∴1－2a＝0，可得a＝
3．【答案】A
【解析】由题意，f(x)是4为周期的奇函数，
∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.
4．【答案】C
【解析】由f(x)≥0，可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.
又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.
5．【答案】－3
【解析】法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
6．【答案】11
【解析】∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
7．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.
∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1.
即>0，解得a>0或a<－1.
8．【答案】[0,1)
【解析】由条件知，g(x)＝
如图所示，其递减区间是[0,1)．
9．【答案】(－∞，0)∪(1,3]
【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需3－a×1≥0，此时1当a－1<0，即a<1时， 要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需－a>0，此时a<0
所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]
10．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，
解得x>4或x<－1.
故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．
11．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得
f(1)－f(0)＝2.
又∵f(1)＝0，
∴f(0)＝－2.
(2)令y＝0，则
f(x)－f(0)＝x(x＋1)，
由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)
＝x(x＋1)－2
＝x2＋x－2.
12．【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴
解得－1≤m＜
13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
14．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0
?2a2－a－3＝0?a＝－1或a＝
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤，
∴a＋3>0.
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
＝－（a+)2＋,
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为.
15．【解析】∵f(x)是奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝1，
又f(x)是[－1,1]上的奇函数，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)≤f(1)＝1.
又函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，
∴1≤t2－2at＋1?2at－t2≤0，
设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，
则?t≥2或t＝0或t≤－2.
即所求t的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)