湖北省襄阳市2020届高三优质高中联考数学（理）试题（PDF含解析）

襄阳市优质高中2020届高三联考试题
数学(理科)
考试时间:2020年1月17日下午:3:00—5:00试卷满分:150分
注意事项
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择題时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合P={xx2-3x≥0},Q={x1B.[1,2)
D.[1,3]
2.设:=1++2-1,则z的虚部是
B
3.已知a=logn3,b=log.s0.2,c=0.503,则a,b,c的大小关系为
B. asb
4.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部
分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.从外观上看,是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称;六根
等长的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.如图所示,正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为1,将这个鲁
班锁放进一个球形容器内则该球形容器半径的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)
√69
D.√17
5.设a6.2019年4月,习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作.为了进一步解决“两不愁,三保障”的
突出问题,当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研,要求每个乡镇至少安
排一名专家,则甲、乙两名专家安排在同一乡镇的概率为
B
D
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7.已知非零向量a,b满足{a=√2b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为
8.执行如图所示的程序框图,若输入的t=-25,则输出的n的值为
始
S=1,n=0,m=1
s=S-m
「m=2m,n=m+1
[结束
B.4
C.5
9.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn若Sn=S13-,(n∈N且n<13),有以下结论:
①S13=0;②a=0;③{an}为递增数列;④a=0.
则正确的结论的个数为
.2
D.4
10过抛物线C:2=2>D的焦点F的直线交该抛物线于AB两点若34F=1BFNO为坐标原点则所
B
1已知函数f()在R上都存在导函数f(x),对于任意的实数x都有(C2=c,当x<0时,(x)+f(x)>0
若ef(3a+1)≥f(2a+1),则实数a的取值范围是
C.[0,+∞)
D.(-∞,0]
12.在四面体ABCD中,AD=DB=AC=CB=2,则当四面体ABCD的体积最大时其外接球表面积为
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2aan+1(n∈N),则a1的值
4,“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大,假设李某智商较高,他独自
人解决项目M的概率为p1=0.95;同时,有n个水平相同的人也在相互独立地研究项目M,他们各自独
立地解决项目M的概率都是0.5,这个人的团队解决项日M的概率为p2若p2≥p,则n的最小值是
1已知函数f(x)=1+x-+写,若h(x)=1(x-2020)的零点都在(a,b内,其中a,b均为整数,当b一a取
最小值时,则b+a的值为
16.已知双曲线空一X2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F,点A是双曲线左支上的一点,直线AF1与
直线y=x平行,△AFF2的周长为8a,则双曲线的离心率为
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1
优质高中 2020 届高三联考试题
数学（理科）参考答案
一选择题 1-5 CBACD 6-10 ABCBA 11-12 BA
二填空题 13


14 5 15 4039 16 ?
17题(1) ∵ 纈 ， 纈 ， 缨? 纈

，
所以缨? 纈


纈


纈

，----------------------------2 分
整理得： 纈 ，-------------------------------------------4分
即 纈 ，解得： 纈 ?或 纈 （舍），则 纈 -----------------------6分
(2)由(1)知： 纈 ， 纈 ， 缨? 纈

， 纈 ，所以
缨? 纈


纈

纈

，------------8分则 6sin
3
B ? ，----------------9分
则所以 cos

=缨?缨?

????

纈

----------------------------12分
18题（1）如下图所示，由于四边形 ??是菱形，则 纈 ?，
又∵ ∠? 纈 ?， ?是等边三角形， 为 ?的中点， AE BC? ? ，----2
分
?∥?， ?.
∵PA⊥底面 ??， 平面 ??， ，-------------------------4分
? 纈 ，?、 平面 ?，
平面 ?；-------------------5分
（2）由（1）知，⊥ ?，且 底面 ??，以
点 为坐标原点，、?、所在直线分别为 、、
轴建立空间直角坐标系 ，--------------6分
由 PA=2则点 ?? 、? ?? 、 ?? ?? ，
设 纈 ? ，
则 纈 ?? ， 纈 纈 ??
， 纈 ?? ，----------------8分
设平面 AEF的一个法向量为 ? ?, ,m x y z?
??
，
2
由 ? 纈
? 纈
，即
纈
纈
，得
纈


纈

，
取 纈 ，则 纈 ， 纈 ，则平面 的一个法向量为
纈 ? ? .-------------------------10分
同理可得平面 ?的一个法向量为? 纈 ? ? ，
二面角 ?的正弦值为

. 缨? ?? 纈 ?? ? ? 纈


纈
，解得 纈


.---------------11分
因此，当点 为线段 ?的中点时，二面角 ?的正弦值为

.------------12
分
19题（1）证明：由椭圆方程可得 A（﹣2，0），B（2，0），--------------1分
设 P（x，y）（﹣2x2），
则 纈

，
纈

，----------------------3分
∴ 纈


纈
?


纈?

-------------------------------------5分
（2）设 C（m，0）（﹣2＜m＜2），-------------------6
则 ? 纈 纈


纈

．--------------------------------8分
若 4m≥0，即 m≥0，则? 纈


纈 ，
解得 m＝1．---------------------------------10分
此时 C ， ， 同理，若 4m＜0，可得 m＝﹣1，此时 C ， ,
故 C点坐标为 C（±1，0）------------------12分
20题（1）至 2020 年底，种植户平均收入


缨，---------------------2 分
即 缨 ，由题所给数据，
知：缨 缨 缨，所以， 缨 ，----------------4分
所以，x的最小值为 3，5x≥15-------------------------------------------------5分
即至少抽出 15户从事包装、销售工作。
（2）至 2018 年底，假设能达到 1.355 万元，
3
每户的平均收为： 纈




缨-------------------8分
化简，得： ? ，因为 x ∈Z，1 ≤x ≤ 9
解得：x∈｛4，5，6｝--------------------------11分
所以，当从事包装、销售的户数达到 20户、25户、30户时，能达到，
否则不能.-----------------------------------------------12分
21题（1）法一：由题意 ? ? sin 2f x x mx? ? ? ? ， 纈 缨?
① 若 2 1m ? ，即 1
2
m ? 时， ，则 ? ?f x? 在? ?0,?? 单调递增，
则 ? ? ? ?0 0f x f? ?? ? ，则 ? ?f x 在? ?0,?? 单调递增，
故 ? ? ? ?0 0f x f? ? ，满足题意-----------------------------------2分；
② 若 1 2 1m? ? ? ，即 1 1
2 2
m? ? ? 时，存在 0 0x ? ，使得 纈 ，且当
? ?00,x x? 时， ，则 ? ?f x? 在 ? ?00,x 上单调递减，则 ? ? ? ?0 0f x f? ?? ? ，
则 ? ?f x 在 ? ?00,x 单调递减，此时 ? ? ? ?0 0f x f? ? ，
舍去；----------------------------------------4分
③若 2 1m ? ? ，即 1
2
m ? ? 时， ，则 ? ?f x? 在? ?0,?? 上单调递减，则
? ? ? ?0 0f x f? ?? ? ，则 ? ?f x 在? ?0,?? 单调递减， ? ? ? ?0 0f x f? ? ，舍去；
故
1
2
m ? ．------------------------------------------------6分
法二由题知 ? ?0 0f ? ，且 ? ? sin 2f x x mx? ? ? ? ，
? ?0 0f ? ? ， 纈 cos
要使得 ? ? 0f x ? 在? ?0,?? 上恒成立，则必须满足 ? ?0 0f ?? ? ，
即2 1 0m? ? ， 1
2
m ? ．
4
①若
1
2
m ? 时， ，则 ? ?f x? 在? ?0,?? 单调递 ? ? ? ?0 0f x f? ?? ? ，
则 ? ?f x 在? ?0,?? 单调递增，故 ? ? ? ?0 0f x f? ? ，满足题意；------------3分
② 若
1
2
m ? 时，存在 ? ?00,x x? 时， ，则 ? ?f x? 在 ? ?00,x 上单调递减，则
? ? ? ?0 0f x f? ?? ? ，则 ? ?f x 在 ? ?00,x 单调递减，此时 ? ? ? ?0 0f x f? ? ，舍去；
故
1
2
m ? ．---------------------------------------------------------6分
（2）证明：由（1）知，当
1
2
m ? 时， ? ? 2 1 0f x cosx mx? ? ? ? ．取 1
2
m ? ，
则
21 1
2
x cosx? ? ? --------------------------------------------------------8分
由（1） ? ? sin 0f x x x? ? ? ? ? ， 则 sinx x? ，故 21 1 sin cos
2
x x x x? ? ? ? ，
要证 2 sin cosxe x x? ? ? ，只需证 2
12 1
2
xe x x? ? ? ? -------------------------10分．
令 ? ? 21 1
2
xg x e x x? ? ? ? ，则 ? ? 1xg x e x?? ? ? ， ? ? 1xg x e?? ?? ，
当 0x ? 时， ? ? 0g x?? ? ，则 ? ?g x? 在? ?0,?? 上单调递增，有 ? ? ? ?0 0g x g? ?? ? ，
故 ? ?g x 在? ?0,?? 单调递增，故 ? ? ? ?0 0g x g? ? ，
故
21 1 0
2
xe x x? ? ? ? ，即有 212 1
2
xe x x? ? ? ? ，得证---------------------------12分
22题 （1）将曲线C的参数方程
3 ,
1
x cos
y sin
?
?
? ? ??
?
? ???
消去参数? ，得
? ? ? ?2 23 1 1x y? ? ? ? . -------------------2分
将 cosx ? ?? 及 siny ? ?? 代入上式，得 2 2 3 cos 2 sin 3 0? ? ? ? ?? ? ? ? .---4分
（2）依题意由知 ?


. ----------------------------------------5分
将 0? ?? 代人曲线C的极坐标方程，得 2 0 02 3 cos 2 sin 3 0? ? ? ? ?? ? ? ? .
5
设 ? ? ? ?1 1 0 2 2 0, , ,P P? ? ? ? ，则 1 2 0 0 1 22 3cos 2sin , 3? ? ? ? ? ?? ? ? ? .-------6分
所以
0 01 2
0
1 2 1 2 1 2
2 3cos 2sin1 1 1 1 4 sin
3 3 3OP OP
? ?? ? ??
? ? ? ?
?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
.
-------------------------------------------------------------------8 分
因为 0 0, 3
?? ? ??? ?
? ?
，所以 0
2,
3 3 3
? ? ?? ? ?? ?? ?
? ?
，则 0
4 2 3 4sin ,
3 3 3 3
??
? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ?
，
所以
1 2
1 1
OP OP
? 的取值范围为
2 3 4,
3 3
? ?
? ??
? ?
.-----------------------------10分
23题（1） 纈
?

?

＜＜

?

---------------------------2分


， ? ?

＜＜

, ?

??

?

-------4分
max
5 7( ) ( )
4 2
f x f? ? 7
2
M ? ---------------------------------------5分
(2)由（1）知 7a b c? ? ?
? ?2( 1) ( 2) ( 3)a b c? ? ? ? ? ------------------------------6分
2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 2( 1)( 2) 2( 1)( 3) 2( 2)( 3)a b c a b a c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?2 2 2 2( ) 4 3 ( 1) ( 2) ( 3)a b c a b c? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ----------------------7分
? ?
2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 3a b c? ? ? ? ? ? ----------------------------------------9分
当且仅当 0a ? ， 3b ? , 纈 时值最小
2 2 2( 1) ( 2) ( 3)a b c? ? ? ? ? 的最小值为 3.----------------------------10分