2019-2020学年河北省石家庄市元氏县八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2019-2020学年河北省石家庄市元氏县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1．64的平方根是（　　）
A．8 B．4 C．±8 D．±4
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
4．下列各式属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．32，42，52
6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．解分式方程+＝3时，去分母后变形为（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
9．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有x人，结果每个同学比原来少分摊元车费（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
11．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　）

A．78 cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
12．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED＝90° ②∠ADE＝∠CDE③DE＝BE④AD＝AB+CD，
四个结论中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.
13．在实数0.23，4.，π，﹣，，0.3030030003…（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是　 　个．
14．的值是　 　；的立方根是　 　．
15．实数p在数轴上的位置如图所示，化简＝　 　．
16．化简+结果是　 　．
17．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　 　．
18．等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为　 　．
19．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为　 　．

20．已知+＝3，求＝　 　．
三、解答题：本大题共7个小题，满分74分.解答时请写出必要的演推过程.
21．已知y＝+﹣4，计算x﹣y2的值．
22．如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE．

23．解下列分式方程
（1）＝
（2）＝﹣2
24．如图，在10×10网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，若点A（3，4），则点C的坐标　 　；
（2）将△AOC向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C的坐标变为　 　；
（3）若将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以﹣，请画出△A1OC1；
（4）图中格点△AOC的面积是　 　；
（5）在x轴上找一点P，使得PA+PC最小，请画出点P的位置，并直接写出PA+PC的最小值是　 　．

25．阅读下列解题过程：
（1）；
（2）；
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为　 　．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
26．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为P10plus手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数量的华为P10plus手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元．
（1）填表：
销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台）
三月 90000 x 　 　
四月 80000 　 　 　 　
（2）三、四月华为P10plus手机每台售价各为多少元？
（3）为了提高利润，该店计划五月购进华为P20pro手机销售，已知华为P10plus每台进价为3500元，华为P20pro每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为P10plus有m台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为P10plus手机再返还顾客现金100元，而华为P20pro按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润？
27．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．
问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM．
（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．
（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．




参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分36分.
1．64的平方根是（　　）
A．8 B．4 C．±8 D．±4
【分析】根据平方根的定义回答即可．
【解答】解：∵（±8）2＝64，
∴64的平方根是±8．
故选：C．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：D．
4．下列各式属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，由此结合选项可得出答案．
【解答】解：A、含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
C、含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，故本选项错误；
故选：B．
5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．32，42，52
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵（）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm
【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】解：4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
∵4+4＝8，
∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；
4cm是底边时，腰长为（16﹣4）＝6cm，
4cm、6cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6cm．
故选：B．
7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．
【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；
C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；
D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；
故选：B．
8．解分式方程+＝3时，去分母后变形为（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x＝﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）．
故选：D．
9．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有x人，结果每个同学比原来少分摊元车费（　　）
A． B．
C． D．
【分析】用总车费除以人数得每人分摊的车费数，两者相减，利用分式的通分进行加减并化简即可．
【解答】解：∵原来参加旅游的同学共有x人时，每人分摊的车费为元，
又增加了两名同学，租车价不变，则此时每人分摊的车费为
∴每个同学比原来少分摊元车费：﹣＝＝
故选：C．
10．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE＝∠ACB＝35°．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
11．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　）

A．78 cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是+＝+4，
留下部分（即阴影部分）的面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）．
故选：D．
12．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED＝90° ②∠ADE＝∠CDE③DE＝BE④AD＝AB+CD，
四个结论中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF+FD＝AB+DC，∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论．
【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.
13．在实数0.23，4.，π，﹣，，0.3030030003…（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是　3　个．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在实数0.23，4.，π，﹣，，0.3030030003…（每两个3之间增加1个0）中，无理数有π，﹣，0.3030030003…（每两个3之间增加1个0）共3个．
故答案为：3
14．的值是　4　；的立方根是　2　．
【分析】根据平方根、立方根的意义，进行计算即可．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
＝8，
＝2，
故答案为：4，2．
15．实数p在数轴上的位置如图所示，化简＝　1　．
【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．
【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，
∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，
∴＝p﹣1+2﹣p＝1．
16．化简+结果是　　．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
17．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　1　．
【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴1+a＝4a﹣2，
解得a＝1．
故答案为1．
18．等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为　80°或50°　．
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
答案为：80°或50°．
19．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为　2　．

【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9
∴S正方形A+4＝9﹣3，
∴S正方形A＝2
故答案为2．

20．已知+＝3，求＝　﹣　．
【分析】由+＝3知＝3，即a+b＝3ab，整体代入到原式，计算可得．
【解答】解：∵+＝3，
∴＝3，
则a+b＝3ab，
所以原式＝
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题：本大题共7个小题，满分74分.解答时请写出必要的演推过程.
21．已知y＝+﹣4，计算x﹣y2的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝，
把x＝代入y＝+﹣4，得y＝﹣4，
当x＝，y＝﹣4时x﹣y2＝﹣16＝﹣14．
22．如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACE．

【分析】根据SAS证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，
∴∠CAB＝∠DAE＝90°．
∴∠CAB+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
23．解下列分式方程
（1）＝
（2）＝﹣2
【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，最后检验即可；
（2）先去分母，去括号，再移项合并同类项，最后检验即可．
【解答】解：（1）去分母得，2（x+1）﹣3（x﹣1）＝x+3，
移项合并同类项得，x＝1，
经检验：x＝1是原方程的增根，原方程无解；
（2）去分母得，2x＝3﹣4x+4，
移项合并同类项得，x＝，
经检验：x＝是原方程的解．
24．如图，在10×10网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，若点A（3，4），则点C的坐标　（4，2）　；
（2）将△AOC向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C的坐标变为　（﹣1，4）　；
（3）若将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以﹣，请画出△A1OC1；
（4）图中格点△AOC的面积是　5　；
（5）在x轴上找一点P，使得PA+PC最小，请画出点P的位置，并直接写出PA+PC的最小值是　　．

【分析】（1）根据第一象限点的坐标特征写出C点坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律求解；
（3）将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以﹣得到A1、C1的坐标，然后描点即可；
（4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△AOC的面积；
（5）作C点关于x轴的对称点C′，然后计算AC′即可．
【解答】解：（1）如图，点C的坐标（4，2）；
（2）将△AOC向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C的坐标变为（﹣1，4）；
（3）如图，△A1OC1为所作；
（4）图中格点△AOC的面积＝4×4﹣×2×1﹣×4×2﹣×4×3＝5；
（5）如图，点P为所作，PA+PC的最小值＝PA+PC′＝AC′＝＝．

故答案为（4，2）；（﹣1，4）；5；．
25．阅读下列解题过程：
（1）；
（2）；
请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为　　．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
【分析】（1）利用分母有理化求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）＝＝；
故答案为；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
26．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为P10plus手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数量的华为P10plus手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元．
（1）填表：
销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台）
三月 90000 x 　　
四月 80000 　（x﹣500）　 　　
（2）三、四月华为P10plus手机每台售价各为多少元？
（3）为了提高利润，该店计划五月购进华为P20pro手机销售，已知华为P10plus每台进价为3500元，华为P20pro每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为P10plus有m台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为P10plus手机再返还顾客现金100元，而华为P20pro按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润？
【分析】（1）设三月华为P10plus手机每台售价为x元，则四月华为P10plus手机每台售价为（x﹣500）元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解；
（2）根据数量＝总价÷单价结合三、四月份华为P10plus手机的销售量相等，即可得出那样x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（3）设总利润为y元，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可求出获得的总利润．
【解答】解：（1）设三月华为P10plus手机每台售价为x元，则四月华为P10plus手机每台售价为（x﹣500）元，三月售出手机台，四月售出手机台．
故答案为：（x﹣500）；；．
（2）依题意，得：＝，
解得：x＝4500，
经检验，x＝4500是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x﹣500＝4000．
答：三月华为P10plus手机每台售价为4500元，四月华为P10plus手机每台售价为4000元．
（3）设总利润为y元，
依题意，得：y＝（4000﹣3500﹣100）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝8000．
答：若将这20台手机全部售出共获得8000元利润．
27．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．
问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM．
（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．
（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．

【分析】问题原型：由AD⊥BC可得∠ADB＝∠ADC＝90°，又∠ABC＝45°易得∠ABC＝∠BAD，可得AD＝BD，由SAS定理可得△BDE≌△ADC；
问题拓展：（1）利用SAS判断出△BEF≌△CMF，得出BE＝CM，即可得出结论；
（2）借助问题原型与问题延伸的结论判断出△ACM是等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：问题原型：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD，
在△BDE和△ADC中，
∵，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC，

问题拓展：（1）AC＝CM，理由：
∵点F是BC中点，
∴BF＝CF，
在△BEF和△CMF中，
∵，
∴△BEF≌△CMF（SAS），
∴BE＝CM，
由（1）知，BE＝AC，
∴AC＝CM；
（2）如图②，

连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，
∴∠BED＝∠ACD，
由（2）知，△BEF≌△CMF，
∴∠EBF＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，
∵AC＝CM，
∴AM＝AC＝．