2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（解析版）

2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题《本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合題意的.请将答案填写在答题纸上
1．（2分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．|﹣a2|＝﹣a2 D．（﹣a3）2＝a6
3．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
5．（2分）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°
6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5
7．（2分）李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，出发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是（　　）

A．此车一共行驶了210公里
B．此车高速路一共用了12升油
C．此车在城市路和山路的平均速度相同
D．以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里
8．（2分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（　　）
x/分 … 2.66 3.23 3.46 …
y/米 … 69.16 69.62 68.46 …

A．8分 B．7分 C．6分 D．5分
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）已知点A坐标为（﹣1，2），则点A′关于原点的对称点的坐标为　 　．
10．（2分）方程x2﹣4＝0的解是　 　．
11．（2分）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为　 　．

12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：　 　．

13．（2分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行　 　米才能停下来．
14．（2分）如图，已知AB＝12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°．M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为　 　．（结果留根号）

15．（2分）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：　 　．
16．（2分）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为ao，bo，co，记为Go＝（ao，bo，co），游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为Gn＝（an，bn，cn）．
（1）若Go＝（9，12，15），则第　 　次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若Go＝（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2020＝　 　．
三、解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）解方程：2x2+﹣1＝0
18．（5分）解不等式x+＜2，并把解集在数轴上表示出来．

19．（5分）已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．
20．（5分）如图，△ABC与△AED均是等边三角形，连接BE、CD．请在图中找出一条与CD长度相等的线段，并证明你的结论．
结论：CD＝　 　．
证明：

21．（6分）在二次数y＝ax2+bx+c中，部分x，y1的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y1 … ﹣1 2 3 m ﹣1 …
（1）直接写出表格中m的值；
（2）求该函数的解析式；
（3）画出该函数的图象；
（4）作直线y2＝﹣x+2，当y2在y1的图象下方时，直接写出x的取值范围．
22．（6分）小贝同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知△ABC绕某点O逆时针转动一个角度得到△A'B'C'，其中A，B，C的对应点分别是A'，B'，C'试确定旋转中心O位置．
他经过认真思考设计了下画作法：
①连接A、A'做线段AA'的垂直平分线l1；
②连接B，B'做线段BB'的垂直平分线l2，l2与l1交于点O．
则点O为所求作的旋转中心．
请你根据小贝设计的作图过程，解答下面问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面小贝的推理过程
∵△A'B'C'是△ABC绕点O旋转而成的
．OA'＝OA（　 　①）（填推理的依据）
∴点O在线段AA'的垂直平分线l1上（　 　②）（填推理的依据）
同理可得，点O在线段BB'的垂直平分线l2上
∴点O为l1与l2的交点．

23．（5分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．为尽快减少库存，商场决定降价销售．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）如果降价x元，每星期可以卖出　 　件；
（2）如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
24．（5分）近几年，移动电商发展迅速．以下是2017年某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分：

请根据以上信息解答下列问题：
（1）2017年10月“移动电商行业用户规模”是　 　亿台（结果精确到0.1亿台）；并补全条形统计图；
（2）2017年从9月到12月“移动电商行业用户规模”月增长量的平均数为　 　亿台，若按此平均数增长，请你估计2018年1月“移动电商行业用户规模”为　 　亿台（结果精确到0.1亿台）；
（3）2017年某电商在双十一共售出手机12000台，则C品牌手机售出的台数是　 　．
25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函教y＝x2+自变量x的取值范围是　 　；
（2）下表是y与x的几组对应值，直接写出m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ m …
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．

26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物C：y＝ax2﹣2ax+3与直线l：y＝kx+b交于A，B两点，且点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若a＝﹣1，求直线l解析式；
（3）若﹣3≤k≤﹣，求a的取值范围．

27．（7分）已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，∠BA′C′＝∠BAC＝30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD．
（1）当α＝60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α＝90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

28．（7分）阅读材料：
①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）
②两条平行线l1，l2，直线上l1任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；
③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）＝0
④对于同一条直线l，我们定义d（l，l）＝0．
对于两点P1，P2和两条直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2﹣相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
设P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，l3：y＝kx，l4：y＝k′x，解决以下问题：
（1）d（P1，P2|l1，l1）＝　 　，d（P1，P2|l1，l2）＝　 　
（2）①若k＞0，则当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k＝　 　；
②若k＜0，试确定k的值使得d（P1，P2|l3，l3）最大．
（3）若k′＞k＞0，且，l3，l4的夹角是30°，直接写出d（P1，P2|l3，l4）的最大值　 　．



2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题《本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合題意的.请将答案填写在答题纸上
1．（2分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．|﹣a2|＝﹣a2 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】A．根据同底数幂相乘的法则判断即可；
B．根据合并同类项法则判断即可；
C．根据绝对值的性质判断即可；
D．根据幂的乘方法则判断即可．
【解答】解：A．a2?a3＝a5，故本项错误；
B．a3+a3＝2a3，故本项错误；
C．|﹣a2|＝a2，故本项错误；
D．（﹣a3）2＝a6，故本项正确．
故选：D．
3．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：D．
4．（2分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
故选：B．
5．（2分）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【解答】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，
∴AOA′＝80°，OA＝OA′，
∴∠OAA'＝（180°﹣80°）＝50°．
故选：B．

6．（2分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3．
故选：A．
7．（2分）李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，出发后先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是（　　）

A．此车一共行驶了210公里
B．此车高速路一共用了12升油
C．此车在城市路和山路的平均速度相同
D．以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里
【分析】找准几个关键点，走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点进行分析解答即可．
【解答】解：A、此车一共行驶了210公里，正确；
B、此车高速路一共用了45﹣33＝12升油，正确；
C、此车在城市路的平均速度是30km/h，山路的平均速度是＝60km/h，错误；
D、以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里，正确；
故选：C．
8．（2分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（　　）
x/分 … 2.66 3.23 3.46 …
y/米 … 69.16 69.62 68.46 …

A．8分 B．7分 C．6分 D．5分
【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．
【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）已知点A坐标为（﹣1，2），则点A′关于原点的对称点的坐标为　（1，﹣2）　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A坐标为（﹣1，2），
∴点A′关于原点的对称点的坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
10．（2分）方程x2﹣4＝0的解是　±2　．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
11．（2分）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为（3，30°），目标B的位置为（2，180°），目标C的位置为（4，240°），则图中目标D的位置可记为　（5，120°）　．

【分析】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．
【解答】解：由图可知，图中目标D的位置可记为（5，120°）．
故答案为：（5，120°）．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：　（4，2）　．

【分析】根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．
【解答】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′＝OD＝2，
∴点D坐标为（4，6）；
当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，
∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）．

13．（2分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行　600　米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
【解答】解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
14．（2分）如图，已知AB＝12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°．M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为　3　．（结果留根号）

【分析】连接MP，NP，证明MP⊥NP，将M、N的距离转化为直角三角形的斜边最短，利用勾股定理结合二次函数即可求解；
【解答】解：连接MP，NP，
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，
∴MP＝AP，NP＝BP，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，
∴∠MPC＝60°，∠EPN＝30°，
∴MP⊥NP，
∴MN2＝MP2+NP2，
即MN2＝（AP）2+（BP）2＝[AP2+3（12﹣AP）2]＝AP2﹣18AP+108＝（AP﹣9）2+27，
当AP＝9时，MN有最小值3，
∴点M、N之间的距离最短为3；
故答案为3；

15．（2分）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：　（﹣2，﹣15），（﹣7，0）　．
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0＝﹣4或x0＝1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故答案为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）．
16．（2分）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为ao，bo，co，记为Go＝（ao，bo，co），游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为Gn＝（an，bn，cn）．
（1）若Go＝（9，12，15），则第　3　次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若Go＝（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2020＝　（9，10，11）　．
【分析】（1）由已知可得G1＝（10，13，13），G2＝（11，11，13），G3＝（12，12，12）；
（2）分别求出G1＝（5，9，16），G2＝（6，10，14），G3＝（7，11，12），G4＝（8，12，10），G5＝（9，10，11），G6＝（10，11，9），G7＝（11，9，10），G8＝（9，10，11），……发现规律从此可得从第五次开始，三次是一个循环．
【解答】解：（1）由已知可得G1＝（10，13，13），G2＝（11，11，13），G3＝（12，12，12），
∴第3次操作后游戏结束，
故答案为3；
（2）由已知可得G1＝（5，9，16），G2＝（6，10，14），G3＝（7，11，12），G4＝（8，12，10），G5＝（9，10，11），G6＝（10，11，9），G7＝（11，9，10），G8＝（9，10，11），……
从此可得从第五次开始，三次是一个循环，
∵（2020﹣4）÷3＝672，
∴G2020＝（9，10，11），
故答案为（9，10，11）．
三、解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）解方程：2x2+﹣1＝0
【分析】利用公式法求解可得．
【解答】解：∵a＝2，b＝，c＝﹣1，
∴△＝（）2﹣4×2×（﹣1）＝11＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
18．（5分）解不等式x+＜2，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】先求出不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：x+＜2，
2x+2﹣3x＜4，
﹣x＜2，
x＞﹣2
在数轴上表示如下：
．
19．（5分）已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．
【分析】把x＝1代入已知方程求得a2﹣5a＝﹣1，然后整体代入所求的代数式中进行求解．
【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，
∴1﹣5a+a2＝0．
∴a2﹣5a＝﹣1，
∴3a2﹣15a﹣7＝3（a2﹣5a）﹣7＝3×（﹣1）﹣7＝﹣10，即3a2﹣15a﹣7＝﹣10．
20．（5分）如图，△ABC与△AED均是等边三角形，连接BE、CD．请在图中找出一条与CD长度相等的线段，并证明你的结论．
结论：CD＝　BE　．
证明：

【分析】利用等边三角形的性质得出∠CAD＝∠BAE，进而得出△CAD≌△BAE（SAS）即可得出答案．
【解答】结论：CD＝BE．
证明：△ABC与△AED是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠CAB＝∠DAE＝60°．
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，
即∠CAD＝∠BAE．
在△CAD和△BAE中，，
∴△CAD≌△BAE（SAS）．
∴CD＝BE．
21．（6分）在二次数y＝ax2+bx+c中，部分x，y1的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y1 … ﹣1 2 3 m ﹣1 …
（1）直接写出表格中m的值；
（2）求该函数的解析式；
（3）画出该函数的图象；
（4）作直线y2＝﹣x+2，当y2在y1的图象下方时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）从表格看：函数的对称轴为：直线x＝1，x＝2与x＝0是关于对称轴的对称点，即可求解；
（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为y＝a （x﹣1）2+3，将（0，2）代入可求得a的值，从而可求得抛物线的解析式；
（3）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可；
（4）作出直线y2＝﹣x+2，根据图象即可得出y2在y1的图象下方时x的取值范围．
【解答】解：（1）从表格看：函数的对称轴为：直线x＝1，
x＝2与x＝0是关于对称轴的对称点，
其y值相同，故m＝2，
（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，3）．
设抛物线的解析式为y＝a （x﹣1）2+3
∵过点（0，2），
∴2＝a （0﹣1）2+3．
∴a＝﹣1．
∴y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，
∴该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+2．
（3）画出函数的图象如图：

（4）作直线y2＝﹣x+2，当y2在y1的图象下方时，x的取值范围上0＜x＜3．
22．（6分）小贝同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知△ABC绕某点O逆时针转动一个角度得到△A'B'C'，其中A，B，C的对应点分别是A'，B'，C'试确定旋转中心O位置．
他经过认真思考设计了下画作法：
①连接A、A'做线段AA'的垂直平分线l1；
②连接B，B'做线段BB'的垂直平分线l2，l2与l1交于点O．
则点O为所求作的旋转中心．
请你根据小贝设计的作图过程，解答下面问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面小贝的推理过程
∵△A'B'C'是△ABC绕点O旋转而成的
．OA'＝OA（　对应点到旋转中心的距离相等　①）（填推理的依据）
∴点O在线段AA'的垂直平分线l1上（　到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　②）（填推理的依据）
同理可得，点O在线段BB'的垂直平分线l2上
∴点O为l1与l2的交点．

【分析】（1）由题意作图即可；
（2）根据旋转的性质，即可得到结论．
【解答】解（1）如图所示：

（2）∵△A'B'C'是△ABC绕点O旋转而成的，OA'＝OA（对应点到旋转中心的距离相等），
∴点O在线段AA'的垂直平分线l1上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
故答案为：对应点到旋转中心的距离相等，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
23．（5分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．为尽快减少库存，商场决定降价销售．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）如果降价x元，每星期可以卖出　（300+20x）　件；
（2）如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意可得：y＝（20+x）（300﹣10x）＝﹣10（x﹣5）2+6250，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）降价x元，每星期可以卖出（300+20x）件，
故答案为：（300+20x）；
（2）根据题意可得：y＝（20+x）（300﹣10x）＝﹣10（x﹣5）2+6250
∴当x＝5时，最大利润为6250元．
答：定价为55元才能使利润最大，最大利润是6250元．
24．（5分）近几年，移动电商发展迅速．以下是2017年某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分：

请根据以上信息解答下列问题：
（1）2017年10月“移动电商行业用户规模”是　8.0　亿台（结果精确到0.1亿台）；并补全条形统计图；
（2）2017年从9月到12月“移动电商行业用户规模”月增长量的平均数为　0.9　亿台，若按此平均数增长，请你估计2018年1月“移动电商行业用户规模”为　10.5　亿台（结果精确到0.1亿台）；
（3）2017年某电商在双十一共售出手机12000台，则C品牌手机售出的台数是　1440　．
【分析】（1）根据：10月“移动电商行业用户规模＝9月的数量×10月份的增长率计算即可．
（2）根据：2017年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数＝（10月份增加的数量+11月份增加的数量+12月份增加的数量）计算即可．
（3）根据：C品牌手机售出的台数＝总数×C品牌手机占有的百分比计算即可．
【解答】解：（1）2017年10月“移动电商行业用户规模”是：7.0×（1+14.7%）≈8.0（亿台），
故答案为：8.0，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由题意可得，
2017年从9月到12月“移动电商行业用户规模”月增长量的平均数为：≈0.9亿台
9.6+0.9＝10.5亿台，
故答案为0.9，10.5．
（3）12000×（1﹣0.4﹣0.32﹣0.16）＝1440亿台．
故答案为1440亿台．

25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函教y＝x2+自变量x的取值范围是　x≠0　；
（2）下表是y与x的几组对应值，直接写出m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ m …
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．

【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x＝3时的函数值为m，把x＝3代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）函教y＝x2+自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0；

（2）令x＝3，
∴y＝×32+＝＝，
∴m＝；

（3）如图


（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x＝0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物C：y＝ax2﹣2ax+3与直线l：y＝kx+b交于A，B两点，且点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若a＝﹣1，求直线l解析式；
（3）若﹣3≤k≤﹣，求a的取值范围．

【分析】（1）抛物线C：y＝ax2﹣2ax+3与y轴交于点A，令x＝0，即可求得A的坐标；
（2）令y＝0，解方程即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式；
（3）当a＝3时，抛物线C过点B（1，0），此时k＝﹣3．当a＝﹣1时，抛物线C过点B（3，0），此时k＝﹣1．结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝ax2﹣2ax+3与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，3）．
（2）当a＝﹣1时，抛物线C为y＝﹣x2+2x+3．
∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵直线l：y＝kx+b过A，B两点，
∴
解得
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．

（3）如图，
当a＞0时，
当a＝3时，抛物线C过点B（1，0），此时k＝﹣3．
结合函数图象可得a＞3．
当a＜0时，
当a＝﹣1时，抛物线C过点B（3，0），此时k＝﹣1．
结合函数图象可得a＜﹣1．
综上所述，a的取值范围是a＜﹣1或a＞3．

27．（7分）已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，∠BA′C′＝∠BAC＝30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD．
（1）当α＝60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α＝90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）当α＝60°时，根据旋转的性质和角的和差得出∠A′DB＝90°，得出BD和A′A垂直；
（2）根据α＝90°补全图形即可；
（3）根据旋转的性质和全等三角形的判定得出△AEC≌△A'FC'、△AED≌△A'FD，再根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】解：（1）当α＝60°时，BD⊥A'A．

（2）补全图形如图2，BD⊥A'A仍然成立；

（3）猜想BD⊥A'A仍然成立．
证明：作AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点E，F，如图3，

则∠AEC＝∠A'FC'＝90°．
∵BC＝BC'，
∴∠BCC'＝∠BC'C．
∵∠ACB＝∠A'C'B＝90°，
∴∠ACE+∠BCC'＝90°，∠A'C'F+∠BC'C＝90°．
∴∠ACE＝∠A'C'F．
在△AEC和△A'FC'中，
∴△AEC≌△A'FC'．
∴AE＝A'F．
在△AED和△A'FD中，
∴△AED≌△A'FD．
∴AD＝A'D．
∵AB＝A'B，
∴△ABA'为等腰三角形．
∴BD⊥A'A．
28．（7分）阅读材料：
①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）
②两条平行线l1，l2，直线上l1任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；
③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）＝0
④对于同一条直线l，我们定义d（l，l）＝0．
对于两点P1，P2和两条直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2﹣相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
设P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，l3：y＝kx，l4：y＝k′x，解决以下问题：
（1）d（P1，P2|l1，l1）＝　　，d（P1，P2|l1，l2）＝　2　
（2）①若k＞0，则当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k＝　　；
②若k＜0，试确定k的值使得d（P1，P2|l3，l3）最大．
（3）若k′＞k＞0，且，l3，l4的夹角是30°，直接写出d（P1，P2|l3，l4）的最大值　　．
【分析】（1）首先分别求出d（P1，l1）、d（l1，l1）、d（P2，l1）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P1，P2|l1，l1）的值是多少；然后分别求出d（P1，l1）、d（l1，l2）、d（P2，l2）的值各是多少，再把它们求和，求出d（P1，P2|l1，l2）的值是多少即可．
（2）①首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，然后根据P1A+P2B≤P1P2，可得当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的值最大，据此求出k的值是多少即可．
②首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，然后根据P2B+P3C≤P2P3，可得当P2P3⊥l3时，P2B+P3C取到最大值，据此求出k的值是多少即可．
（3）首先作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，然后求出d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝sin（α+γ）（其中tanγ＝），据此判断出d（P1，P2|l3，l4）的最大值是多少即可．
【解答】解：（1）∵P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，
∴d（P1，P2|l1，l1）＝d（P1，l1）+d（l1，l1）+d（P2，l1）
＝+0+
＝2
＝
∴d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）
＝+0+
＝2

（2）①如图1，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，
，
d（P1，P2|l3，l3）＝d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）＝P1A+P2B，
∵P1A≤P1C，P2B≤P2C，
∴P1A+P2B≤P1P2，
∴当P1P2⊥l3时，
P1A+P2B的最大值是：，
此时k＝tan∠OP2P1＝＝，
∴若k＞0，当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k＝．

②如图2，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，P1、P3关于原点对称，P3C⊥l3于点C，P2P3交l3于点D，，
∵P1、P3关于原点对称，
∴P1A＝P3C，
∴d（P1，P2|l3，l3）＝d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）＝P1A+P2B＝P2B+P3C，
∵P2B≤P2D，P3C≤P3D，
∴P2B+P3C≤P2P3，
∴当P2P3⊥l3时，
P2B+P3C的最大值是：＝＝5，
此时k＝﹣tan∠OP2P3＝﹣＝﹣，
∴若k＜0，当d（P1，P2|l3，l3）最大时，k＝﹣．

（3）如图3，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，
，
设∠AOP1＝α，∠BOP2＝β，
则β＝90°﹣30°﹣α＝60°﹣α，
∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）
＝P1A+P2B
＝OP1sinα+OP2sinβ
＝4sinα+3sinβ
＝4sinα+3sin（60°﹣α）
＝sinα+cosα
＝sin（α+γ）（其中tanγ＝）
∴当α+γ＝90°，即α＝90°﹣arctan时，
sin（α+γ）的最大值是，
∴d（P1，P2|l3，l4）的最大值是．
故答案为：，2，，．