北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程 复习题（PDF版 含答案）

第五章分式与分式方程 复习题
一、选择题(每题 3 分，共 30分)
1．下列式子是分式的是( )
A.a－b
2
B.5＋y
π
C.x＋3
x
D．1＋x
2．使分式
2
x－4
有意义的 x的取值范围是( )
A．x≤4 B．x≥4 C．x≠4 D．x＝4
3．若
|x|－1
x－1
的值为 0，则 x的值为( )
A．1 B．0 C．±1 D．－1
4．分式①
a＋2
a2＋3
，②
a－b
a2－b2
，③
4a
12（a－b）
，④
1
x－2
中，最简分式有( )
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个
5．下列各式中，正确的是( )
A．－－3x
5y
＝
3x
－5y
B．－a＋b
c
＝
－a＋b
c
C.－a－b
c
＝
a－b
c
D．－
a
b－a
＝
a
a－b
6．解分式方程
2
x－1
－
2x
x－1
＝1，可知方程的解为( )
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝1
2
D．无解
7．当 a＝2时，计算a
2－2a＋1
a2
÷
1
a
－1
的结果是( )
A.3
2
B．－3
2
C.1
2
D．－1
2
8．对于非零的两个实数 a，b，规定 a*b＝3
b
－
2
a
，若 5*(3x－1)＝2，则 x的值为( )
A.5
6
B.3
4
C.2
3
D．－1
6
9．解关于 x 的方程
x
x－1
－
k
x2－1
＝
x
x＋1
不会产生增根，则 k的值( )
A．为 2 B．为 1 C．不为±2 D．无法确定
10．甲、乙两地之间的高速公路全长 200 km，比原来国道的长度少了 20 km.高
速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多 45 km，从
甲地到乙地的行驶时间是原来的
1
2
.设该长途汽车在原来国道上行驶的速度
为 x km/h，根据题意，下列方程正确的是( )
A.200
x
＝
180
x－45
·1
2
B.200
x
＝
220
x－45
·1
2
C.
220
x＋45
＝
180
x
·1
2
D.
200
x＋45
＝
220
x
·1
2
二、填空题(每题 3 分，共 24分)
11. x
6ab2
与
y
9a2bc
的最简公分母是________．
12．计算x
2
y
·y
x
÷
－
y
x 的结果是________．
13．若 x＝1是分式方程a－2
x
－
1
x－2
＝0 的根，则 a＝________．
14．若关于 x 的方程
ax＋1
x－1
－1＝0 无实数根，则 a的值为________．
15．关于 x的分式方程
m
x－1
＋
3
1－x
＝1的解为正数，则 m 的取值范围是________．
16．小明同学在对分式方程
2x
x－2
＋
3－m
2－x
＝1 去分母时，方程右边的 1 没有乘 x－
2，若此时求得方程的解为 x＝2，则原方程的解为________．
17．已知
2x－3
（x－1）（x＋2）
＝
A
x－1
＋
B
x＋2
，则 A＝________，B＝________．
18．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步
数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行 12 000 步与小博步行 9
000步消耗的能量相同．若小琼每消耗 1千卡能量行走的步数比小博的多 10
步，则小博每消耗 1千卡能量需要行走________步．
三、解答题(19～21题每题 10分，其余每题 12分，共 66 分)
19．计算：(1)
2a
a2－9
－
1
a－3
； (2)
1
a
－
1
b ÷a
2－b2
ab
.
20．先化简，再求值：
(1)x
2－4x＋4
x
÷
2
x
－1
，其中 x＝2－ 2；
(2)
a2
a－2
－
1
a－2 ÷
a2－2a＋1
a－2
，其中 a＝3.
21．解分式方程：
(1)2
x
＝
3
x＋2
； (2)
x＋1
x－1
＋
4
x2－1
＝1.
22．已知 M＝
2xy
x2－y2
，N＝
x2＋y2
x2－y2
，用“＋”或“－”连接 M，N，有三种不同的形式：
M＋N，M－N，N－M，任选其中一种进行计算，并化简求值，其中 x∶y＝
5∶2.
23．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：
x－1
x
－
4x
x－1
＝0.
解：设 y＝x－1
x
，则原方程可化为 y－4
y
＝0，方程两边同时乘 y，得 y2－4＝0，
解得 y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2 都是方程 y－
4
y
＝0 的解．
当 y＝2 时，x－1
x
＝2，解得 x＝－1；当 y＝－2 时，x－1
x
＝－2，解得 x＝1
3
.
经检验，x1＝－1，x2＝
1
3
都是原分式方程的解．∴原分式方程的解为 x1＝－1，
x2＝
1
3
.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1) 若 在 方 程 x－1
4x
－
x
x－1
＝ 0 中 ， 设 y ＝ x－1
x
， 则 原 方 程 可 化 为
________________；
(2) 若 在 方 程
x－1
x＋1
－
4x＋4
x－1
＝ 0 中 ， 设 y ＝
x－1
x＋1
， 则 原 方 程 可 化 为
________________；
(3)模仿上述换元法解方程：
x－1
x＋2
－
3
x－1
－1＝0.
24．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营
A型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆售价比去年降低 400元，若卖出的数量
相同，销售总额将比去年减少 20%.A，B 两种型号车的进货和销售单价如下表：
A 型车 B 型车
进货单价/
元
1 100 1 400
销售单价/
元
今年的销售单
价
2 000
(1)今年 A 型车每辆售价为多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60辆，且 B 型车的进货数量不超
过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
答案
一、1.C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D 7．D
8．B 点拨：根据题意得
3
3x－1
－
2
5
＝2，解得 x＝3
4
.经检验 x＝3
4
是原方程的解．故
选 B.
9．C 点拨：去分母，得 x(x＋1)－k＝x(x－1)，解得 x＝1
2
k.∵方程
x
x－1
－
k
x2－1
＝
x
x＋1
不会产生增根，∴x≠±1，∴1
2
k≠±1，即 k≠±2.故选 C.
10．D 点拨：由题意，得该长途汽车在高速公路上行驶的速度是(x＋45)km/h.
从甲地到乙地，在原来国道上的行驶时间为
200＋20
x
＝
220
x
(h)，在高速公路上
的行驶时间为
200
x＋45
h，根据“从甲地到乙地的行驶时间是原来的1
2
”可得
200
x＋45
＝
220
x
·1
2
.
二、11.18a2b2c 12.－x
2
y
13．1 点拨：∵x＝1 是分式方程a－2
x
－
1
x－2
＝0 的根，∴a－2
1
－
1
1－2
＝0.解得 a
＝1.
14．1 或－1 15.m＞2且 m≠3
16．x＝1 点拨：小明去分母得到的整式方程是 2x－(3－m)＝1，把 x＝2 代入，
得 4－(3－m)＝1，解得 3－m＝3.故原分式方程为
2x
x－2
＋
3
2－x
＝1，解得 x＝1，
经检验，x＝1 是原分式方程的解．
17．－1
3
；
7
3
点拨：∵
2x－3
（x－1）（x＋2）
＝
A
x－1
＋
B
x＋2
，∴
2x－3
（x－1）（x＋2）
＝
A（x＋2）＋B（x－1）
（x－1）（x＋2）
＝
（A＋B）x＋2A－B
（x－1）（x＋2）
， 即
A＋B＝2，
2A－B＝－3.
解 得
A＝－1
3
，
B＝7
3
.
18．30 点拨：设小博每消耗 1 千卡能量需要行走 x步，则小琼每消耗 1 千卡能
量需要行走(x＋10)步，根据题意得
12 000
x＋10
＝
9 000
x
，解得 x＝30，经检验，x
＝30是原方程的解．故小博每消耗 1 千卡能量需要行走 30步．
三、19.解：(1)原式＝
2a
（a＋3）（a－3）
－
a＋3
（a＋3）（a－3）
＝
a－3
（a＋3）（a－3）
＝
1
a＋3
.
(2)原式＝b－a
ab
·
ab
（a＋b）（a－b）
＝－
a－b
ab
·
ab
（a＋b）（a－b）
＝－
1
a＋b
.
20．解：(1)原式＝（x－2）
2
x
÷2－x
x
＝
（2－x）2
x
·
x
2－x
＝2－x.当 x＝2－ 2时，2－x
＝2－(2－ 2)＝ 2.
(2)原式＝
a2－1
a－2
·
a－2
a2－2a＋1
＝
（a＋1）（a－1）
a－2
·
a－2
（a－1）2
＝
a＋1
a－1
.当 a＝3 时，
a＋1
a－1
＝
3＋1
3－1
＝2.
21．解：(1)方程两边都乘 x(x＋2)，
得 2(x＋2)＝3x，解得 x＝4.
检验：当 x＝4 时，x(x＋2)≠0，所以原分式方程的解为 x＝4.
(2)方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2＋4＝(x＋1)(x－1)，解得 x＝－3.
检验：当 x＝－3 时，(x＋1)(x－1)≠0，所以原分式方程的解为 x＝－3.
22．解：选择一：M＋N＝
2xy
x2－y2
＋
x2＋y2
x2－y2
＝
（x＋y）2
（x＋y）（x－y）
＝
x＋y
x－y
.当 x∶y＝5∶
2时，x＝5
2
y，原式＝
5
2
y＋y
5
2
y－y
＝
7
3
；
选择二：M－N＝
2xy
x2－y2
－
x2＋y2
x2－y2
＝
－（x－y）2
（x＋y）（x－y）
＝
y－x
x＋y
.当 x∶y＝5∶2 时，
x＝5
2
y，原式＝
y－5
2
y
5
2
y＋y
＝－
3
7
；
选择三：N－M＝
x2＋y2
x2－y2
－
2xy
x2－y2
＝
（x－y）2
（x＋y）（x－y）
＝
x－y
x＋y
.当 x∶y＝5∶2 时，
x＝5
2
y，原式＝
5
2
y－y
5
2
y＋y
＝
3
7
.
点拨：任选一种即可．
23．解：(1)y
4
－
1
y
＝0 (2)y－4
y
＝0
(3)原方程可化为
x－1
x＋2
－
x＋2
x－1
＝0，
设 y＝
x－1
x＋2
，
则原方程可化为 y－1
y
＝0.
方程两边同时乘 y，得 y2－1＝0，解得 y1＝1，y2＝－1.
经检验，y1＝1，y2＝－1 都是方程 y－
1
y
＝0的解．
当 y＝1时，
x－1
x＋2
＝1，该方程无解，
当 y＝－1时，
x－1
x＋2
＝－1，解得 x＝－1
2
，经检验，x＝－1
2
是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为 x＝－1
2
.
24．解：(1)设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为(x＋400)元．
由题意，
得
50 000
x＋400
＝
50 000（1－20%）
x
，
解得 x＝1 600.
经检验，x＝1 600是所列方程的根．
答：今年 A型车每辆售价为 1 600元．
(2)设车行新进 A 型车 m 辆，获利 y 元，则新进 B 型车(60－m)辆．
由题意，得
y＝(1 600－1 100)m＋(2 000－1 400)(60－m)，
即 y＝－100m＋36 000.
∵B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，
∴60－m≤2m.∴m≥20.
由 y 与 m 的关系式可知，－100＜0，
∴y 的值随 m 值的增大而减少．
∴当 m＝20 时，y有最大值．
∴60－m＝60－20＝40.
答：当车行新进 A 型车 20辆，B 型车 40辆时，才能使这批车获利最多．